专题13 垂直平分线与角平分线的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版2024）

专题13 垂直平分线与角平分线的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、根据线段垂直平分线的性质求解 1 类型二、根据角平分线的性质定理求解 4 类型三、线段垂直平分线的性质和判定 7 类型四、根据角平分线的性质定理证明 11 类型五、作垂直平分线与角平分线（尺规作图） 16 压轴能力测评（16题） 20 解题知识必备 1. 垂直平分线 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. 2.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3.作法：作已知线段的垂直平分线. 2. 角平分线 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 3.作已知角的角平分线. 压轴题型讲练 类型一、根据线段垂直平分线的性质求解 例题：（2025·青海西宁·一模）如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点与点重合，已知的周长是，，则的周长是 ． 2．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是 ．    3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为 ． 类型二、根据角平分线的性质定理求解 例题：（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为 ． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知，平分，点P在上，于，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 2．（24-25七年级下·北京·期中）如图，在中，为的中点，平分，，与交于点，已知的面积为，则的面积为 ． 3．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，的外角和的平分线相交于点，点到的距离为．若，，则四边形的面积为 ． 类型三、线段垂直平分线的性质和判定 例题：（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，中，垂直平分，交 于点F，交于点E，且． (1)若，求的度数； (2)若周长为，求的长． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，． (1)的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 3．（24-25八年级下·广东佛山·期中）在中，垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交于点M，N． (1)如图1，若，，则______，______°． (2)如图2，若，求的度数； (3)通过以上的探索过程，直接写出与，的数量关系． 类型四、根据角平分线的性质定理证明 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）如图，是的角平分线，且． (1)求的度数． (2)若，点F是上的动点，求的最小值． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，在中，，垂直平分于点E，交于点D，并且． (1)求的度数； (2)若，求的长． 2．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是16，求的长． 3．（24-25八年级下·山东菏泽·阶段练习）如图1和2，在四边形中，，，平分． (1)如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； (2)问题解决：如图2，求证：； (3)问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 类型五、作垂直平分线与角平分线（尺规作图） 例题：（江苏省无锡市积余教育集团2024—2025学年下学期七年级数学期中考试）如图，在中，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)在上作一点Q，连接，使得； (2)在上作一点P，使 【变式训练】 1．（24-25八年级下·山东青岛·期中）某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力，拟在两条景观道，之间（即内部）的开阔地修建一所红十字救助站，使其到景观道，的距离相等，同时到两个休息亭的距离也相等，试确定救助站的位置． 2．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，海丰县有两所初级中学和两条交叉的公路．图中点，表示初级中学，，表示公路，现计划修建一所青少年综合实践活动基地--耕艺馆，希望耕艺馆到两所初级中学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出这间耕艺馆P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，直角三角形中，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．    (1)作边的中点D； (2)作的平分线，交边于点E； (3)作点C关于直线的对称点F； (4)直接写出的长为 ． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，垂直平分，垂足为D，交于E，的周长为20，的长为8，则为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N．且分别交于点D，E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，O是三个内角平分线的交点，若面积为36，且O到边的距离为4，则的周长为（　　） A．8 B．12 C．18 D．30 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．的最小值是的长 5．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，下述结论正确的有（   ） ①平分；②的周长等于 ③；④点是线段的三等分点 A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 6．（2025·湖南衡阳·一模）如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为 ． 7．（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图，已知在中，，平分，则的面积为 ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 9．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点；分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点；且分别与相交于M，N两点，连接、，若，则 ． 10．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，在点处用钉子将木条，钉在一起，是木条上一点，用橡皮筋连接，，固定木条，把木条绕转动．若是的中点，当的面积最大时，与之间存在的数量关系为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·广东河源·期中）如图，中，，的垂直平分线交于P点． (1)若，求的度数 (2)若，，求的周长． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，于平分． (1)若，且，求的度数； (2)若，的面积为2，，求点E到边的距离． 13．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图所示，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 14．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点， 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中，找到一个格点 D，作射线 ，使平分 的面积； (2)在图②中，找到格点E、F，作直线，使 垂直平分； (3)在图③中，找到一个格点G，作射线，使 平分． 15．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，等腰直角中，，点E为上一点，于点M，交于点D，于点H，交于点G，连接． (1)若，求证：垂直平分； (2)若点E在线段上运动． ①请判断与的数量关系，并说明理由； ②求证：平分． 16．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）（1）感知：如图1，平分，，，易知的数量关系为 ． （2）应用：如图2，在四边形中，平分，，，求证：． （3）在（2）的条件下，如图3，过点D作于点E，试判断之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 垂直平分线与角平分线的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、根据线段垂直平分线的性质求解 1 类型二、根据角平分线的性质定理求解 4 类型三、线段垂直平分线的性质和判定 7 类型四、根据角平分线的性质定理证明 11 类型五、作垂直平分线与角平分线（尺规作图） 16 压轴能力测评（16题） 20 解题知识必备 1. 垂直平分线 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. 2.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3.作法：作已知线段的垂直平分线. 2. 角平分线 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 3.作已知角的角平分线. 压轴题型讲练 类型一、根据线段垂直平分线的性质求解 例题：（2025·青海西宁·一模）如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是 ． 【答案】4 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 由线段垂直平分线的性质可得，根据求出的长即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点与点重合，已知的周长是，，则的周长是 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质得到，再结合求解，即可解题． 【详解】解：为的垂直平分线，， ， ， 则 ； 故答案为：． 2．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是 ．    【答案】17 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】此题考查的是线段垂直平分线的性质，连接，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，则，根据三角形三边之间的关系得到（当且仅当A、P、C共线时取等号），则的最小值为的长，所以周长的最小值． 【详解】解：连接，如图，    ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵（当且仅当A、P、C共线时取等号）， ∴的最小值为的长， ∴周长的最小值． 故答案为：17． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称是解题的关键．先根据轴对称的性质得出，，再由的周长是，即可得出结论． 【详解】解：交于点，交于点，交于点，交于点， ，， 的周长是， ， ． 故答案为：． 类型二、根据角平分线的性质定理求解 例题：（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为 ． 【答案】6 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质，得到，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：6． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知，平分，点P在上，于，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线的性质可得，则，再根据角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短，即可进行解答． 本题主要考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短． 【详解】解：，平分， ， ， ∴， 过点P作于点E'， 平分， ， 的最小值为． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·北京·期中）如图，在中，为的中点，平分，，与交于点，已知的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积．根据角平分线的性质得到点到和的距离相等，则利用三角形面积公式得到，所以，则，从而得到，接着可求出，然后利用为的中点得到． 【详解】解：平分， 点到和的距离相等， ， ， ， 为的中点， ， 点到和的距离相等， ， ， ， 为的中点， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，的外角和的平分线相交于点，点到的距离为．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．如图，过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质得出，根据，结合三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接， ∵的外角和的平分线相交于点，点到的距离为， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为： 类型三、线段垂直平分线的性质和判定 例题：（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，中，垂直平分，交 于点F，交于点E，且． (1)若，求的度数； (2)若周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）结合等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质求出，再根据三角形外角性质、三角形内角和定理求解即可； （2）先求得，再求出， 由，可得， 再推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵周长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质及三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据，且，可得垂直平分，则，根据垂直平分，可得，据此可证明； （2）根据线段垂直平分线的定义得到，根据，得到，再根据三角形周长计算公式和线段之间的关系可得的周长． 【详解】（1）证明：∵，垂足为D，且， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分，交于点F，交于点E， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分，交于点F，交于点E， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴的周长． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，． (1)的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用的周长为得到，然后根据等线段代换可得到的长； （2）先利用等腰三角形的性质得到，，再利用三角形内角和定理计算出，所以，然后计算即可． 【详解】（1）解：的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，， ，， 的周长为， ， ， 即； （2）解：，， ，， ， ， ， ， ， 即的度数为． 3．（24-25八年级下·广东佛山·期中）在中，垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交于点M，N． (1)如图1，若，，则______，______°． (2)如图2，若，求的度数； (3)通过以上的探索过程，直接写出与，的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理，并分两种情况讨论． （1）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数； （2）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到，即可求出的度数； （3）由（1）（2）即可总结得出结论． 【详解】（1）解：垂直平分， ． ． 同理， ． ， ． 故答案为：112；44； （2）解：垂直平分， ． ． 同理， ． ． （3）解：由（1）知当时， ． 由（2）知时， ， 综上，或． 类型四、根据角平分线的性质定理证明 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）如图，是的角平分线，且． (1)求的度数． (2)若，点F是上的动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)5 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，角平分线的性质，垂线段最短，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本定理和知识． （1）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义求出，再利用外角的性质求解； （2）根据垂线段最短得到当时，最小，再利用角平分线的性质求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵点F是上的动点， ∴当时，最小， ∵平分， ∴． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，在中，，垂直平分于点E，交于点D，并且． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)18 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、等边对等角、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，角平分线的性质和判定，三角形内角和定理等知识点，比较简单． （1）连接，根据垂直平分得出，，根据，得出是的角平分线，即可得，根据和三角形内角和定理得出； （2）根据，，得出，根据角平分线定理得出，即可得． 【详解】（1）解：连接， ∵垂直平分于点E， ∴，， ∴， 又∵， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是16，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据（2）中结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ，即． （2）证明：过点作交于点交于点， ， ， 由（1）可知，， ， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分． （3）解：， ， ， ， ， ， ． 3．（24-25八年级下·山东菏泽·阶段练习）如图1和2，在四边形中，，，平分． (1)如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； (2)问题解决：如图2，求证：； (3)问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】(1)角平分线上的点到角的两边距离相等 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的性质定理解答； （2）作于E，于F，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （3）在上截取，连接，可得，可证明，结合图形证明，从而得到，进而得到，即可求证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∵平分， ∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）． 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等 （2）证明：如图，作于E，于F． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图，在上截取，连接． ∵在等腰中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型五、作垂直平分线与角平分线（尺规作图） 例题：（江苏省无锡市积余教育集团2024—2025学年下学期七年级数学期中考试）如图，在中，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)在上作一点Q，连接，使得； (2)在上作一点P，使 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查作图一复杂作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作的角平分线交于点Q，点Q即为所求； （2）作线段的垂直平分线交于点P，连接，有，点P即为所求． 【详解】（1）解∶如图，点Q即为所求； （2）解：如图，点P即为所求； 【变式训练】 1．（24-25八年级下·山东青岛·期中）某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力，拟在两条景观道，之间（即内部）的开阔地修建一所红十字救助站，使其到景观道，的距离相等，同时到两个休息亭的距离也相等，试确定救助站的位置． 【答案】作图见详解 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，尺规作线段垂直平分线，掌握角平分线的性质，垂直平分线的性质是关键． 根据题意，运用尺规作角平分线，尺规作线段垂直平分线，两线的交点即可所求点，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， 尺规作角的角平分线，连接，尺规作线段的垂直平分线，交于点， 根据角平分线上点到角两边距离相等，线段垂直平分线到线段两端点距离相等得到点即为所求点的位置． 2．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，海丰县有两所初级中学和两条交叉的公路．图中点，表示初级中学，，表示公路，现计划修建一所青少年综合实践活动基地--耕艺馆，希望耕艺馆到两所初级中学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出这间耕艺馆P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题了作图-应用与设计作图：首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．分别作的垂直平分线和（或的邻补角）的平分线，它们的交点即为点． 【详解】解：如图，点、点为所作． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，直角三角形中，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．    (1)作边的中点D； (2)作的平分线，交边于点E； (3)作点C关于直线的对称点F； (4)直接写出的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，角平分线和线段，熟练掌握基本作图方法，是解题的关键： （1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，作出的中垂线，得到中点即可； （2）以为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两个点，以这两个点为圆心，大于这两个点所连线段的长为半径画弧，画出的角平分线即可； （3）根据对称的性质，得到，故以为圆心，的长为半径画弧，交于点即可； （4）根据线段中点的定义，线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求；    （4）由作图可知：， ∴． 故答案为：3． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，垂直平分，垂足为D，交于E，的周长为20，的长为8，则为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式进行计算，得到答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， 又∵， ∴． 故选：C． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N．且分别交于点D，E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和等知识点，灵活运用等边对等角成为解题的关键． 由线段垂直平分线的性质得，则，再由三角形内角和定理得，进而完成解答． 【详解】解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，O是三个内角平分线的交点，若面积为36，且O到边的距离为4，则的周长为（　　） A．8 B．12 C．18 D．30 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积． 先根据角平分线的性质得到O到边的距离都为4，再利用三角形面积公式得到，然后整理求出的值即可． 【详解】解：∵O是三个内角平分线的交点， ∴点O到的距离相等， ∵O到边的距离为4， ∴O到边的距离都为4， ∴， ∴， 即的周长为18． 故选：C． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．的最小值是的长 【答案】C 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，根据作图得到平分，根据作图方法，结合角平分线的定义和性质，垂线段最短，逐一进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：，平分；故A选项正确； ∴；故B选项正确； 无法得到，故C选项错误； ∵平分，， ∴点到两边的距离相等，均为的长， ∵点E在边上， ∴当时，的长取最小值，为的长，故D选项正确； 故选C． 5．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，下述结论正确的有（   ） ①平分；②的周长等于 ③；④点是线段的三等分点 A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题主要考查等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． ①根据，得，再根据线段垂直平分线性质得，进而得，则，据此可对结论①进行判断； ②根据得，进而得的周长等于，据此可对结论②进行判断； 根据得，则，进而得，再根据即可对结论③进行判断； ④假设点D是线段的三等分点得，进而得，但是，根据已知条件无法判定，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①在中，，， ， 的垂直平分线交于点， ， ， ， ， 平分，故结论①正确； ， ， ， 的周长等于，故结论②正确； ， ， ， ， ， ，故结论③正确； ④假设是线段的三等分点， ， ， ， ， ， ，根据已知条件无法判定，故结论④不正确； 综上所述，正确的结论是①②③． 故答案为：C． 二、填空题 6．（2025·湖南衡阳·一模）如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的判定定理 【分析】题目主要考查三角形内角和定理及角平分线的性质和判定，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的判定和性质得出，继续利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图，已知在中，，平分，则的面积为 ． 【答案】15 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，勾股定理，正确作出垂线是解题的关键． 过D作于，由角平分线的性质得到，然后由勾股定理求出，再由面积法得到，即求解，即可求出面积． 【详解】解：过D作于， 是的平分线，，于， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴ 故答案为：15． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 【答案】4 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点作于点，于点，根据角平分线性质定理求出，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，利用证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，、为三角形的角平分线， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：4． 9．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点；分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点；且分别与相交于M，N两点，连接、，若，则 ． 【答案】/115度 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质是解题关键．先得出垂直平分，垂直平分，则，再根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的内角和定理可得，根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：由题意得：垂直平分，垂直平分， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，在点处用钉子将木条，钉在一起，是木条上一点，用橡皮筋连接，，固定木条，把木条绕转动．若是的中点，当的面积最大时，与之间存在的数量关系为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．设在中，边上的高为，则，当时，最大，此时最大，结合是的中点，得到垂直平分线段，推出，即可求解． 【详解】解：设在中，边上的高为， ， 是的中点， 当的面积最大时，垂直平分线段， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·广东河源·期中）如图，中，，的垂直平分线交于P点． (1)若，求的度数 (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，理解并掌握垂直平分线的性质是解题关键． （1）首先根据垂直平分线的性质可得，由等腰三角形“等边对等角”的性质可知，然后由求解即可； （2）结合，易得的周长，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于P点，， ∴， ∴， ∴； （2）解：的周长 ， ∵，， ∴的周长． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，于平分． (1)若，且，求的度数； (2)若，的面积为2，，求点E到边的距离． 【答案】(1) (2)4 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质定理、等边对等角 【分析】（1）根据角平分线定义得到，根据等边对等角以及三角形内角和得到，结合已知可求出，利用即可求出结果； （2）过点作于点M，于点N，求出，根据，求出的长，根据角平分线性质即可求出最后结果． 【详解】（1）解：平分， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ； （2）如图，过点作于点M，于点N， ，， ，即， ， ， ， ， ，，平分， ， 点E到边的距离为4． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键． 13．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图所示，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边对等角及三角形外角的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质确定，再由等边对等角得出，利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可求解； （2）根据（1）得出，结合图形求周长即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可知， ∵， ∴， ∴的周长． 14．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点， 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中，找到一个格点 D，作射线 ，使平分 的面积； (2)在图②中，找到格点E、F，作直线，使 垂直平分； (3)在图③中，找到一个格点G，作射线，使 平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】根据三角形中线求面积、线段垂直平分线的性质、格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查三角形的中线，中垂线，等腰三角形的判断和性质： （1）根据三角形的中线平分面积，取的中点即可； （2）根据等腰三角形的性质，中垂线的定义，取的中点，取格点右侧格点，连接即为所求； （3）根据等腰三角形三线合一，取格点，连接，即可． 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）如图②即为所求； （3）如图③，即为所求； 15．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，等腰直角中，，点E为上一点，于点M，交于点D，于点H，交于点G，连接． (1)若，求证：垂直平分； (2)若点E在线段上运动． ①请判断与的数量关系，并说明理由； ②求证：平分． 【答案】(1)证明见解析； (2)①，理由见解析；②证明见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，于点，根据等腰三角形的三线合一得，即可得出结论； （2）①证明，即可得出答案； ②过点H作于点J，于点K，证明，得到，再根据，利用角平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵于点M， ∴， ∴垂直平分； （2）解：①解：，理由如下： ∵， ∴， ∵于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和△中， ， ∴， ∴； ②证明：过点H作于点J，于点K， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴平分． 16．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）（1）感知：如图1，平分，，，易知的数量关系为 ． （2）应用：如图2，在四边形中，平分，，，求证：． （3）在（2）的条件下，如图3，过点D作于点E，试判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】（1）结论：．只要证明即可； （2）结论成立．如图②中，作于E，于F，只要证明即可； （3）如图③中，连接，作于F，首先证明，再证明即可解决问题． 【详解】解：（1）结论：． 理由：∵，， ∴， ∵，， ∴． ∴． 故答案为：； （2）结论成立． 理由：如图中，作于E，于F． ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）结论：． 理由：如图中，连接． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$