专题12 等腰（等边）三角形的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版2024）

专题12 等腰（等边）三角形的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用等腰三角形的性质求解 2 类型二、利用等边三角形的性质求解 4 类型三、利用等腰三角形的性质证明 7 类型四、利用等边三角形的性质证明 14 压轴能力测评（16题） 18 解题知识必备 1. 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 2. 等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 压轴题型讲练 类型一、利用等腰三角形的性质求解 例题：（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）若一个等腰三角形有一个内角为，则它的底角为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，且，则长为 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知点P是射线上一动点（即P可在射线上运动），，当 时，为等腰三角形． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）设，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且，若，则这样的小棒最多摆放 根；若最多能摆放5根小棒，则的取值范围是 ． 类型二、利用等边三角形的性质求解 例题：（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知是等边三角形，点D在边的延长线上，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·北京丰台·期末）如图，是等边三角形的中线，，则 ． 2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图是等边三角形，点D是边上一点，以为边作等边，连接．若，，则 ． 3．（2025·湖南常德·二模）如图，为等边三角形，点D是边的中点，过点D的直线与相交于点E，与的延长线相交于点F，当时，则 ． 4．（24-25八年级上·全国·期中）如图，点O是等边三角形内一点，．以为一边作等边三角形，连接．当 时，是等腰三角形． 类型三、利用等腰三角形的性质证明 例题：（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且．若，，，求的周长． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，，垂足为，，垂足为，、交于点，．求证： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图，，，，，垂足为F．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系． 3．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）已知中，，．点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点、移动的速度相同，与直线相交于点． (1)如图①，过点作交于点，求证：； (2)如图②，当点为的中点时，求的长； (3)如图③，过点作于点，在点从点向点移动的过程中，线段的长度是否保持不变？若保持不变，请求出的长度，若改变，请说明理由． 类型四、利用等边三角形的性质证明 例题：（2025·陕西西安·模拟预测）如图，为等边三角形，E为边上一点，作，且，求证：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，已知是等边三角形，分别为上的点，且相交于点于点Q (1)求的度数． (2)若，求的长． 2．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在等边中，D、E分别是上的点，且，与交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 3．（24-25八年级下·江西吉安·期中）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在等腰中，，是的角平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知是整数，，满足，用长度为，，的小木棒刚好可以围成一个等腰三角形，则这个三角形的周长是（   ） A．7 B．8 C．7或8 D．7或8或9 3．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A． B． C． D．或 4．（陕西省延安市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题）如图，与都是等边三角形，点，，在同一直线上，连接，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山西太原·期中）如图所示，借助“三等分角仪”能将任意角三等分．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点O处相连并可以绕点O旋转，已知点C固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）在中，，，则的长度为 ． 7．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）在中，若，，，则的面积 ． 8．（2025九年级下·湖南邵阳·学业考试）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则底边的长为 ． 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是 ． 10．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，的点在直线l上，，，若点P在直线l上运动，当成为等腰三角形时，则度数是 ． 三、解答题 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，于点D，点E在上且． (1)若的周长是，求线段的长； (2)求的度数． 12．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，E为的延长线上一点，过点E作，分别交，于点P，F． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的度数． 13．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，在中，，点为边上的任一点，过点 作，，垂足分别为、，过点作， 垂足为．求证：．如图2，当点在延长线上时，其余条件不变，求证：． 14．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，为边上一动点（点不与重合），过作于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)试探究的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 15．（24-25七年级下·四川成都·期中）在等腰直角中，，点D在边上，过点B作射线的垂线，垂足为点E． (1)如图1，过点C作射线的垂线，垂足为点F，求证：； (2)在射线上取点G，使，连接，，与交于点H．如图2，若，，求线段的长． 16．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，已知，，，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，设点的运动时间是秒． (1)当时，用含有的代数式表示的长______________； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)当点在直角边，上运动过程中，如果点到的两条边距离相等，求的值； (4)当点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 等腰（等边）三角形的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用等腰三角形的性质求解 2 类型二、利用等边三角形的性质求解 4 类型三、利用等腰三角形的性质证明 7 类型四、利用等边三角形的性质证明 14 压轴能力测评（16题） 18 解题知识必备 1. 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 2. 等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 压轴题型讲练 类型一、利用等腰三角形的性质求解 例题：（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）若一个等腰三角形有一个内角为，则它的底角为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．分是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：①是等腰三角形的底角； ②当是等腰三角形的顶角时， 它的底角的度数为：，符合要求； 故答案为：或． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，且，则长为 【答案】2 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一的性质．根据等腰三角形的性质得到即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：2． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知点P是射线上一动点（即P可在射线上运动），，当 时，为等腰三角形． 【答案】或或 【知识点】等边对等角 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 若为等腰三角形则有、和三种情况，分别利用等腰三角形的两底角相等可求得的值． 【详解】解：若为等腰三角形则有、和三种情况， ①当时，则； ②当时，则； ③当时，则有， ∴； 综上可知为或或 故答案为：或或． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）设，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且，若，则这样的小棒最多摆放 根；若最多能摆放5根小棒，则的取值范围是 ． 【答案】 2 【知识点】等边对等角 【分析】当时，由等腰三角形的性质，三角形的外角性质得到°，得到最多摆放2根小棒；当最多能摆放5根小棒时，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质得到，，因此，，于是得到． 本题考查等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质和题意得到，． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当时，这样的小棒最多摆放2根； 如图，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质得到，， ∵最多能摆放5根小棒， ∴，， ∴． 故答案为：2，． 类型二、利用等边三角形的性质求解 例题：（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知是等边三角形，点D在边的延长线上，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了等边三角形的性质和邻补角，结合等边三角形的性质可得，再根据邻补角即可求出答案． 【详解】解：是等边三角形， ， 点D在边的延长线上， ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·北京丰台·期末）如图，是等边三角形的中线，，则 ． 【答案】/75度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据等边三角形任意一边的三线合一得到。结合等腰三角形两底角相等即可得到答案； 【详解】解：∵三角形是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图是等边三角形，点D是边上一点，以为边作等边，连接．若，，则 ． 【答案】4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 3．（2025·湖南常德·二模）如图，为等边三角形，点D是边的中点，过点D的直线与相交于点E，与的延长线相交于点F，当时，则 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形和三角形外角的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，由可得，再利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：为等边三角形，点D是边的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·全国·期中）如图，点O是等边三角形内一点，．以为一边作等边三角形，连接．当 时，是等腰三角形． 【答案】或或 【知识点】等边三角形的性质、等边对等角、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键；先求出，，，分三种情况讨论：①，则，②，则，③，则，分别求出α的角度即可. 【详解】解：和是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ，，， 当时， ， ； 当时， ， ， ， 当时， ， ， ． 故答案为：或或． 类型三、利用等腰三角形的性质证明 例题：（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且．若，，，求的周长． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据平行线的性质探究角的关系、对顶角相等 【分析】首先根据平行线的性质证明，，然后结合角平分线的定义可推得，根据等角对等边得出，结合对顶角相等和全等三角形的判定证明，根据全等三角形的性质得出的长，然后可求得的长，于是可求得的周长． 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴． ∴， ∵是的中点， ∴． ∵， ∴． 由对顶角相等可知：． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴的周长． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，对顶角的性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，，垂足为，，垂足为，、交于点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，关键是推出，属于中考常考题型． （1）根据证出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，再根据，推出即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ，且， ， 在和中， ， ． （2）证明：∵， ， 又由（1）知， ∴， ． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图，，，，，垂足为F．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析， 【知识点】根据三线合一证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． （1）根据证明即可； （2）根据，，求出，根据全等三角形性质得出，根据，得出，即可求出； （3）延长到，使得，连接，由得，证明，得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， ， ， ； （3）解：；理由如下： 延长到G，使得，连接，如图所示： ， ， ， ， ，， ，， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ．    3．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）已知中，，．点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点、移动的速度相同，与直线相交于点． (1)如图①，过点作交于点，求证：； (2)如图②，当点为的中点时，求的长； (3)如图③，过点作于点，在点从点向点移动的过程中，线段的长度是否保持不变？若保持不变，请求出的长度，若改变，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)线段的长度保持不变， 【知识点】根据三线合一证明、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意得出，根据等边对等角得出，根据平行线的性质得出，推得，根据等角对等边得出，推得，根据全等三角形的判定定理即可证明； （2）过点作交于，先推得，再根据全等三角形的性质得出，即可求解； （3）过点点作交于，根据等腰三角形三线合一的性质得出，根据全等三角形的性质得出，即可推得． 【详解】（1）证明：∵点、移动的速度相同， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 在与中， ， ∴． （2）解：如图，过点作交于， ∵点为的中点，， ∴为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：线段的长度保持不变． 如图，过点点作交于， 由（1）知， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 类型四、利用等边三角形的性质证明 例题：（2025·陕西西安·模拟预测）如图，为等边三角形，E为边上一点，作，且，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明，即可得证． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，已知是等边三角形，分别为上的点，且相交于点于点Q (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)7 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键。 （1）由等边三角形的性质可得，，证明，由此可得，再证明，则可得． （2）由得到，则，由此即可得到，据此求出的长，再由全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在等边中，D、E分别是上的点，且，与交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵是等边三角形， ∴， 由（1）已证：， ∴． 3．（24-25八年级下·江西吉安·期中）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60度 (3)，见解析 【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）利用等边三角形性质证明，根据全等三角形的性质解答； （2）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （3）同（1）易证，根据全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在等腰中，，是的角平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点．熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，得到，再根据是的角平分线得到，然后利用三角形外角性质计算即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知是整数，，满足，用长度为，，的小木棒刚好可以围成一个等腰三角形，则这个三角形的周长是（   ） A．7 B．8 C．7或8 D．7或8或9 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，绝对值非负数，偶次方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出、的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．先根据非负数的性质列式求出、的值，再分3是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】 解：根据题意得，，， 解得，， ①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、2， ， 能组成三角形，周长， ②3是底边时，三角形的三边分别为3、2、2， ， 能组成三角形，周长， 所以，三角形的周长为7或8． 故选：C． 3．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，设腰长为x，得出方程或，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：如图， 设腰长为，一腰的中线为， 则或， 解得：， ∴或1， ①三边长为9、9、1，符合三角形三边关系定理； ②三边是1、1、9，，不符合三角形三边关系定理； 所以，该等腰三角形的腰长为， 故选：C． 4．（陕西省延安市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题）如图，与都是等边三角形，点，，在同一直线上，连接，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．（24-25八年级下·山西太原·期中）如图所示，借助“三等分角仪”能将任意角三等分．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点O处相连并可以绕点O旋转，已知点C固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）在中，，，则的长度为 ． 【答案】2 【知识点】根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了等角对等边，根据在中，，则，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：2． 7．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）在中，若，，，则的面积 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，过点作，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过点作， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 8．（2025九年级下·湖南邵阳·学业考试）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则底边的长为 ． 【答案】3 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分两种情况讨论：①底是腰的2倍，②腰是底的2倍，再利用三角形三边关系进行检验即可得到答案，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键． 【详解】解：当等腰三角形的底边长是腰长的2倍时， ， 底边的长为． 长为6，6，12的线段不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长是底边长的2倍时， ， 底边的长为3，满足三角形的三边关系． 综上所述，底边的长为3， 故答案为3． 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是 ． 【答案】/105度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角，根据等边对等角，求出，外角的性质，得到，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 10．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，的点在直线l上，，，若点P在直线l上运动，当成为等腰三角形时，则度数是 ． 【答案】或或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，分三种情形：，，分别求解即可解决问题．解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【详解】解：如图， 在中，， ①当时，当点在点左边，此时， ， ； 当点在点右边，此时； ②当时，此时； ③当时，此时， ； 综上所述，满足条件的的值为或或或． 三、解答题 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，于点D，点E在上且． (1)若的周长是，求线段的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三线合一 【分析】（1）根据等腰三角形底边上的三线合一结合周长即可得到答案； （2）根据等腰三角形两底角相等及三线合一得到，结合即可得到答案． 本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴， 的周长是， ， ， ∴线段的长为； （2）， ， ， ， ， ， ∴， ， 的度数为． 12．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，E为的延长线上一点，过点E作，分别交，于点P，F． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据三线合一得到，再根据平行线得到，，则，即可证明； （2）根据三合一得到，结合三角形内角和定理以及等边对等角即可求解． 【详解】（1）证明：如图： ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：如上图：∵， ∴ ∴ ∵ ∴， 由（1）可知， ∴． 13．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，在中，，点为边上的任一点，过点 作，，垂足分别为、，过点作， 垂足为．求证：．如图2，当点在延长线上时，其余条件不变，求证：． 【答案】见解析；见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形性质，解题的关键在于利用不同的方法表示面积． 连接，利用等面积法求解，即可解题； 连接，利用等面积法求解，即可解题． 【详解】证明：连接， ，，，， ， ， ， ； 证明：连接， ，，，， ， ， ， ． 14．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，为边上一动点（点不与重合），过作于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)试探究的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)为定值，定值为 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（）利用余角性质可得，进而由即可求证； （）过点作交于点，可证，可得，即得是等腰直角三角形，得到，进而由三角形外角性质得到，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，， ∵于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：是定值，理由如下： 过点作交于点， ∴， ∴， ∵，即，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的大小为定值，定值为． 15．（24-25七年级下·四川成都·期中）在等腰直角中，，点D在边上，过点B作射线的垂线，垂足为点E． (1)如图1，过点C作射线的垂线，垂足为点F，求证：； (2)在射线上取点G，使，连接，，与交于点H．如图2，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握性质定理是解题的关键； （1）由余角的性质可得，再加上以及直角即可证明； （2）过点C作射线的垂线，垂足为点F，由（1）可得，即可得到 ，，进一步可证明，得到；由可得，得到，得到 ，BG=2AE，即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵等腰直角中，， ∴， ∵，， ∴， ，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）过点C作射线的垂线，垂足为点F，由（1）可得， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴； ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 16．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，已知，，，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，设点的运动时间是秒． (1)当时，用含有的代数式表示的长______________； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)当点在直角边，上运动过程中，如果点到的两条边距离相等，求的值； (4)当点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)的值为或4或． (4)或或． 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了动点问题，等腰三角形的性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）观察图形用来求解； （2）当是以为腰的等腰三角形时有两种情况，①，②，两种情况，表示出线段长，即可列列方程求解； （3）分三种情况：当点与点重合时，当点在上时，当点在上时，分别求解即可； （4）先求出周长的一半，分三种情况：当点在上时，，当点在上时，， 当点在上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，设点的运动时间是秒．， ， 故答案为：． （2）解：∵当是以为腰的等腰三角形时， 点一定在上，     ①若， ， （秒）， ②若， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴（秒）， 综上所述：当是以为腰的等腰三角形时，的值为或． （3）解：当点在直角边，上运动过程中，如果点到的两条边距离相等， ①当点与点重合时，点P到直角边，的距离都等于0，此时，解得， ②当点在上时，点P到直角边，的距离都等于，此时， 过点作， ； ∵， ∴，解得： ③当点在上时，点P到直角边，的距离都等于，此时， 过点作， ； ∵， ∴，解得： 综上所述：当点在直角边，上运动过程中，如果点到的两条边距离相等， 的值为 或4或． （4）解：，，，， 的周长为， 点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，每一部分的周长为， 当点在上时，，    ， （秒）， 当点在上时，，    ， （秒）， 当点在上时，，    ， （秒）， 综上所述，的值为或或． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$