精品解析：广东省湛江市第二十一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024-2025学年第二学期期中考·高一 数学 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知直线a在平面α外，则　(　　) A. a∥α B. 直线a与平面α至少有一个公共点 C. a∩α=A D. 直线a与平面α至多有一个公共点 3. 是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 4. 知为 的三个内角 的对边，向量 ．若 ，且 ，则角的大小分别为 A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 6 C. D. 3 6. 如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么（　　） A. 6︰5 B. 7︰5 C. 8︰3 D. 4︰3 7. 如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东方向，距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北方向的C处，且已知A，C之间的距离为10海里，则该货船的速度大小为（ ） A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 8. 如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 在中，若，，则 C. 已知向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 D. 已知，，为的内角，，的对边，则“”的充要条件是“” 10. 已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A. 的虚部为i B. C. 在复平面内对应点位于第二象限 D. 为方程的一个根 11. 如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（    ） A. 不存在点，使得//平面 B. 过三点平面截正方体所得截面面积是 C. 三棱锥体积不为定值 D. 三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的面积为，，，则______. 13. 三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于______. 14. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知向量满足． （1）若，求向量与的夹角； （2）若．求的值． 16. 如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．过点作交线段于点，且． （1）求； （2）求的面积． 17. 已知直三棱柱（如图所示），底面是边长为2正三角形，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 18. 已知的内角的对边为，且 （1）求; （2）若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 19. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且. （1）证明：； （2）在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期期中考·高一 数学 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由，可得， 所以，所以. 故选：B. 2. 已知直线a在平面α外，则　(　　) A. a∥α B 直线a与平面α至少有一个公共点 C. a∩α=A D. 直线a与平面α至多有一个公共点 【答案】D 【解析】 【详解】因为a在平面α外，所以a∥α或a∩α=A，所以直线a与平面α至多有一个公共点. 故选D. 3. 是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出向量，再利用向量共线列式求出值. 【详解】由，，得， 由，，三点共线，得，又，不共线， 则，所以. 故选：A 4. 知为 的三个内角 的对边，向量 ．若 ，且 ，则角的大小分别为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由可得 即 所以角， 因为 所以可得 5. 已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量公式及已知条件可得，化简可计算出的值. 【详解】根据公式可知向量在向量上的投影向量为 所以，得. 故选：A 6. 如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么（　　） A. 6︰5 B. 7︰5 C. 8︰3 D. 4︰3 【答案】B 【解析】 【分析】因为分别为的中点，得到，利用棱台的体积公式，求得，得到则，即可求得的值. 【详解】设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，则， 因为分别为的中点，所以， 所以，则，所以. 故选：B. 7. 如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东方向，距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北方向的C处，且已知A，C之间的距离为10海里，则该货船的速度大小为（ ） A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 【答案】A 【解析】 【分析】根据所给条件求出，再借助余弦定理即可作答. 【详解】因，则，由题意得， 即， 在中，，， 由余弦定理得： 即，解得， 设船速为x，则，即， 所以货船的速度大小为海里小时. 故选：A 8. 如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，得到要使平面，则四边形为平行四边形，故，设，表达出，求出最小值． 【详解】过点分别作交于点，交于点，连接， 要想平面， 则四边形为平行四边形，故， 设，则，故， 由勾股定理得， 其中， 当且仅当时，等号成立，故. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 在中，若，，则 C. 已知向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 D. 已知，，为的内角，，的对边，则“”的充要条件是“” 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，向量不能比较大小；对于B，利用数量积的定义和等腰三角形的性质即可判断； 对于C，利用数量积为负同时要排除反向共线即平角的情况即可判断； 对于D，由正弦定理和大边（角）对大角（边）即可判断 【详解】对于A，因为向量有方向，所以不能像实数一样比较大小，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由即 解得，故C正确； 对于D，由正弦定理，可知，故D正确． 故选：BCD. 10. 已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A. 的虚部为i B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 为方程的一个根 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算化简得，求出对应点的坐标判断C，求出共轭复数及虚部判断A，代入方程求解判断D，求出后求模长判断B. 【详解】，对应点为在第二象限，故C对； 又，虚部为，故A错， ，故B错； ，故为方程的一个根，D对. 故选：CD 11. 如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（    ） A. 不存在点，使得//平面 B. 过三点的平面截正方体所得截面面积是 C. 三棱锥的体积不为定值 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线面平行判定定理判断A，应用截面面积判断B，等体积计算判断C，结合长方体外接球计算求解判断D. 【详解】 对于A，当为中点时，由中位线可得， 因为平面，平面，所以平面，故A错误； 对于B，由中位线可得，在正方体中，易证，所以， 又因为，所以截面为等腰梯形，，故B正确； 对于C，，为定值，故C不正确； 对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径， 所以表面积，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的面积为，，，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】应用三角形面积公式可得，再由向量数量积运算律有，结合已知即可得. 【详解】由题设，则， 又， 所以，则， 综上，. 故答案为：2 13. 三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于______. 【答案】 【解析】 【分析】先用补形法求出外接球的半径R，再利用表面积公式即可得答案. 【详解】如图： 将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的. 设长方体外接球半径为，则：， 所以，所以外接球的表面积为， 故答案为：. 14. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据五角星中的长度关系，由平面向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意：， 则， 因为，同样, 所以， 则． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足． （1）若，求向量与的夹角； （2）若．求值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的运算律，结合向量夹角公式求解. （2）利用数量积的运算律求解. 【小问1详解】 由，得，， 因此，而，则， 所以向量与的夹角为. 【小问2详解】 由，得，则，解得， 所以. 16. 如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．过点作交线段于点，且． （1）求； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，由此求得. （2）利用余弦定理求得，进而求得三角形的面积. 【小问1详解】 依题意，， 由正弦定理得， 整理得， 所以为钝角，且. 【小问2详解】 由于，，， 所以，则， 所以，由余弦定理得， 即， 所以. 17. 已知直三棱柱（如图所示），底面是边长为2的正三角形，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明； （2）利用锥体体积公式求解. 【小问1详解】 连接交与O，则为的中点， 连接，则, 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）可得，平面， 所以. 18. 已知的内角的对边为，且 （1）求; （2）若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可. （2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得，即， 故，因为，所以， 所以. 【小问2详解】 ①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以，即 ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 得到， 由于，所以， 由二倍角公式得，则，解得， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故. 19. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且. （1）证明：； （2）在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）设交AC于点O，由题意可得PO⊥AC，，可证得平面，进而证得结论. （2）在线段PE取一点G，使得，由题意可得，可证得平面，进而可得平面平面，再证得，可得的值. 【小问1详解】 设交于点O，连接，正方形中，则，， 又，则，又平面， 因此平面，而平面， 所以. 【小问2详解】 侧棱上存在一点F，满足条件， 证明如下：如图，正方形中，， 在线段取一点G，使得，由，得， 连接，则，而平面，平面， 则平面，由平面，，平面， 得平面平面，而平面平面，平面平面， 于是，， 所以＝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$