三角函数概念及公式的应用 题型归纳分类练习-2025届高三数学一轮复习

三角函数一轮复习题型归纳 三角函数概念及公式使用 一、任意角及弧度制 1.(单选)若角与角的终边相同,则可能是( ) A. B. C. D. 2.(单选)若是第三象限角,则是( ) A.第一或第二象限角 B.第一或第三象限角 C.第二或第四象限角 D.第三或第四象限角 3.(单选)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A. B. C. D. 4. 弧度. 5.(多选)下列说法正确的是( ) A.化成弧度是 B.化成角度是 C.化成弧度是 D.rad化成角度是 6.3弧度是第 象限角. 7.(单选)的值( ) A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在 8.(多选)将下列角度与弧度进行互化正确的是( ) A. B. C. D. 二、扇形的弧长及面积 9.已知一个扇形的中心角是,所在圆的半径是R. (1)若,求扇形的面积; (2)若扇形的周长为,面积为,求扇形圆心角的弧度数; (3)若扇形面积为16,求扇形周长的最小值,及此时扇形的圆心角. 10.已知扇形的圆心角是,半径为R,弧长为l. (1)若,求扇形的弧长l; (2)若,求扇形的弧所在的弓形的面积; (3)若扇形的周长是,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大? 11.(单选)曲线的长度为( ) A. B. C. D. 三、任意角的三角函数及诱导公式 12.(单选)点绕原点按逆时针方向旋转到达点,则点的坐标为( ) A. B. C. D. 13.若角的终边过点 (1)分别求,,的值; (2)求的值. 14.已知角终边上的一点. (1)求的值; (2)求的值. 15.若角的终边经过点,则 . 16.已知角的终边经过点,且,则 . 四、知一求二 17.(单选)已知锐角满足,则( ) A. B. C. D.-1 18.(单选)已知,均为第二象限角,,,则等于( ) A. B. C. D.2 五、给值求值 19.(单选)已知,且,则( ) A. B. C. D. 20.已知,若,则 . 21.(单选)若,则的值为( ) A. B. C. D. 22.已知,且,则 . 23.已知. (1)求的值; (2)求的值. 24.已知为锐角,且,则 . 25.已知,若,,则 . 26.已知,,且,,则 . 27.(1)已知,,,求的值. (2)已知,,且,求的值. 28.已知,,则 . 六、知一求二 29.若,则( ) A. B. C. D. 30.若,则( ) A. B. C. D. 31.已知,,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 32.已知,则( ) A. B. C. D. 七、齐次下弦切互化 33.(单选)已知向量,,若,则的值为( ). A. B. C. D. 34.已知,则 . 35.(单选)已知,则( ) A. B. C. D. 36.已知. (1)求的值; (2)求的值. 37.(单选)已知,则( ) A. B. C. D. 38.已知,则 . 39.(单选)已知,且,则( ) A. B. C. D.1 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 $$试卷第 1页，共 18页 三角函数一轮复习题型归纳 三角函数概念及公式使用 一、任意角及弧度制 1．若角 与角 2π 5  的终边相同，则 可能是（ ） A． 17π 5 B． 17π 5  C． 22π 5 D． 22π 5  【答案】D 【分析】写出与 2π 5  终边相同的角的集合，得到答案. 【详解】与 2π 5  终边相同的角的集合为 2π 2 π, Z 5 k k         ， 当 2k   时， 2π 22π4π 5 5     ，D正确，其他选项均不合要求. 故选：D 2．若 是第三象限角，则 2  是（ ） A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 【答案】C 【分析】首先利用不等式写出 2  的范围，即可求解. 【详解】由题意可知 3ππ 2 π 2 π, Z 2 k k k     ， 所以 π 3ππ π, Z 2 2 4 k k k     ， 所以 2  是第二或第四象限角. 故选：C. 3．下列与 9π 4 的终边相同的角的表达式中正确的是（ ） A．2 π 45 ( )k k  Z B． 9π360 ( ) 4 k k   Z C． 360 315 ( )k k    Z D． 5ππ ( ) 4 k k Z 【答案】C 【分析】角的表达中，弧度制和角度制不能混用，直接判断即可. 【详解】与 9π 4 的终边相同的角可以写成 9π2 π ( ) 4 k k Z ，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有 C正确． 故选：C. 4．15  弧度. 试卷第 2页，共 18页 【答案】 12  / 1 12  【分析】根据角度与弧度的换算关系，即可求得答案. 【详解】由题意得 π π15 15 180 12     . 故答案为： π 12 . 5．下列说法正确的是（ ） A．100化成弧度是 5 πrad 9 B． π rad 90 化成角度是 2 C． 420 化成弧度是 5 rad 2  D． 3 π 4  rad化成角度是 75 o 【答案】AB 【分析】根据弧度制与角度制的互化计算可得结论. 【详解】对于 A， π 5100 100 rad πrad 180 9    ，故 A项正确； 对于 B， π π 180rad 2 90 90 π         ，故 B项正确； 对于 C， π 7π420 420 rad rad 180 3       ，故 C项错误； 对于 D， 3 3 180πrad π 135 4 4 π            ，故 D项错误. 故选：AB. 6．3弧度是第 象限角． 【答案】二 【分析】判断角的终边在第几象限即可. 【详解】1弧度 57.3 ，3弧度 171.9 ， 3弧度的角的终边在第二象限，3弧度是第二象限角. 故答案为：二. 7． sin 2cos3的值（ ） A．小于 0 B．大于 0 C．等于 0 D．不存在 【答案】A 【分析】判断弧度 2，3表示的角的范围，判断 sin 2,cos3的正负，即可得答案. 【详解】 π π2 π, 3 π, sin 2 0 2 2       ， cos3 0 ， sin 2cos3 0  ． 故选：A 8．将下列角度与弧度进行互化正确的是（ ） 试卷第 3页，共 18页 A． 511 π 1530 6  o B． 7π 105 12    o C． π10 18 o D． 19π855 4   o 【答案】BCD 【分析】利用角度与弧度的换算公式计算即可一一判断. 【详解】对于 A，因 511 511π 180 =15330 6 6   o o，故 A错误； 对于 B， 7π 7 180 = 105 12 12     o o，故 B正确； 对于 C， π π10 10 = 180 18  o ，故 C正确； 对于 D， π 19π855 855 = 180 4     o ，故 D正确. 故选：BCD. 二、扇形的弧长及面积 9．已知一个扇形的中心角是 ，所在圆的半径是 R． (1)若 60 , 10cmR   ，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为 20cm，面积为 29cm ，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为 16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角 ． 【答案】(1)  250π cm 3 ； (2) 2 9 ； (3)  16 cm , 2  . 【分析】（1）利用扇形的面积公式直接计算即可； （2）利用扇形的弧长公式及面积公式建立方程组计算即可； （3）利用扇形的弧长公式、面积公式结合基本不等式计算即可. 【详解】（1）由题意可知扇形圆心角的弧度为 π 3 ， 则该扇形的面积为  2 21 π 50π10 cm2 3 3S     ； （2）设扇形圆心角的弧度为   0, 2π   ， 则该扇形的弧长为 l R ，所以有 21 9 2 2 20 R R R         ， 解方程得 1 18 R     （舍去）或 9 2 9 R      ， 所以扇形圆心角的弧度数为 2 9 ； 试卷第 4页，共 18页 （3）设扇形圆心角的弧度为   0, 2π   ，则 21 16 2 R  ，则 32R R   扇形的周长为 32 322 2 2 2 16R R R R R R        ， 当且仅当  4 cmR  时，周长可取得最小值  16 cm ，此时 2  ， 故此时扇形的圆心角 2  . 10．已知扇形的圆心角是 ，半径为 R，弧长为 l． (1)若 60 , 10cmR    ，求扇形的弧长 l； (2)若 π , 2cm 3 R   ，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是 20cm，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) 10π (cm) 3 l  (2) 2 2π 3 cm 3      (3) 2  【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积 （3）由题意知 2 20l R  ，可得 2( 5) 25S R    ，然后结合二次函数的最值求法可得； 【详解】（1） π π 10π60 , 10 (cm) 3 3 3 l       ． （2）设弓形面积为 S弓．由题知 2π  cm 3 l  ． 2 21 2π 1 π 2π2 2 sin 3 cm 2 3 2 3 3 S S S               弓 扇形 三角形 ． （3）由已知得， 2 20l R  ， 所以 2 21 1 (20 2 ) 10 ( 5) 25 2 2 S lR R R R R R         ． 所以当 5R  时，S取得最大值 225cm ， 此时 10, 2l   ． 11．曲线  24 3y x x   的长度为（ ） A． 2π B． 4π 3 C． π D． 5π 3 【答案】D 【分析】对式子进行变形，明确其含义即可求解. 【详解】由  24 3y x x   ，得  2 2 4 3, 0x y x y    ， 所以曲线  24 3y x x   是以坐标原点O为圆心，2为半径的圆弧AB， 试卷第 5页，共 18页 其中点A的横坐标为 3，则 π 6 AOx  ， π 5ππ 6 6 AOB    ， 故曲线  24 3y x x   的长度为 5π 5π26 3  . 三、任意角的三角函数及诱导公式 12．点 (2,1)A 绕原点O按逆时针方向旋转90到达点 B，则点 B的坐标为（ ） A． (1, 2) B． ( 1, 2) C． ( 2,1) D． ( 2, 1)  【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义，结合诱导公式求解. 【详解】以原点为角的顶点， x轴的非负半轴为角的始边，令角 的终边过点A， 则 90  角的终边过点 ( , )B x y ，且 2 2| | | | 2 1 5OB OA    ， 于是 1 2sin ,cos 5 5    ， | | sin( 90 ) 5 cos 2y OB      ， | | cos( 90 ) 5 sin 1x OB        ， 所以点 B的坐标为 ( 1, 2) . 故选：B 13．若角 的终边过点 ( 3,4)P  (1)分别求 sin ， cos， tan 的值； (2)求    sin π cos 3π 3π 7πcos sin 2 2                     的值. 【答案】(1) 4sin 5  = ， 3cos 5    ， 4tan 3    (2)7 【分析】（1）由三角函数的定义可得； （2）利用诱导公式化简可得. 【详解】（1）由三角函数的定义可得， 2 2 4sin 5 y x y     ， 2 2 3cos 5 x x y      ， 4tan 3 y x     . （2）     4 3 sin π cos 3π sin cos 5 5 74 33π 7π sin coscos sin 5 52 2                             试卷第 6页，共 18页 14．已知角 终边上的一点  3, 4P  . (1)求  πcos sin π 2 11π 9πcos sin 2 2                        的值； (2)求 22 sin cos cos    的值. 【答案】(1) 4 3  (2) 29 25 【分析】（1）根据三角函数的定义求出 tan ，再由诱导公式化简即可； （2）构造齐次分式，同除 2cos  ，转化为含有 tan 的式子求解. 【详解】（1）因为角 终边上的一点  3, 4P  ， 所以 4tan 3   ， 所以  πcos sin π 2 11π 9πcos sin 2 2                        sin sin tan sin 3o 4 c s             ； （2）因为 4tan 3    ， 所以 22 sin cos cos    2 22 2 2 4 1sin cos cos tan 1 32 2 2 sin cos tan 1 4 1 29 25 3                          . 15．若角 π 4   的终边经过点  3,4P  ，则 sin2  . 【答案】 7 25 【分析】利用三角函数的定义来得到已知角的函数值，再用二倍角公式和诱导公式来求其它角的三角函数值. 【详解】根据已知条件可知： π 3 π 4cos ,sin 4 5 4 5                 ， 则 π π πsin 2 sin 2 cos 2 4 2 4                     2 2π π 9 16 7cos sin 4 4 25 25 25                       ， 故答案为： 7 25 . 试卷第 7页，共 18页 16．已知角的终边经过点  , 10P m  ，且 5tan 12   ，则m  ． 【答案】-24 【分析】根据三角函数定义和正切值得到方程，求出答案. 【详解】因为 5tan 12   ，且角 的终边经过点  , 10P m  ，所以 10 5 12m   ，解得 24m   ． 故答案为：-24 四、  tancossin 、、 知一求二 17．已知锐角 满足 10cos 10   ，则 tan 2 （ ） A． 1 4  B． 1 2  C． 3 4  D．-1 【答案】C 【详解】因为 为锐角， 10cos 10   ， 所以 2 3 10sin 1 cos 10     ，得 sintan 3 cos     ， 所以 2 2 2 tan 2 3 3tan 2 1 tan 1 3 4          ． 故选：C 18．已知 ， 均为第二象限角， 3sin 5   ， 2 5cos 5    ，则 tan( )  等于（ ） A． 2 11  B． 2 C． 2 11 D．2 【答案】A 【分析】先利用同角三角函数的平方关系和商数关系，分别求出 tan , tan  ，然后利用两角差的正切公式求值. 【详解】因为 ， 均为第二象限角，所以 2 4cos 1 sin 5       ， sin 3tan cos 4      ，同理可得 1tan 2    .   tan tan 2tan 1 tan tan 11             . 故选：A. 五、给值求值 19．已知   3cos 33 5   ，且0 90   ，则      tan 33 sin 57 cos 147      （ ） A． 7 5 B． 1 5  C． 5 4 D． 720 【答案】A 【分析】根据同角三角函数关系是先求   4sin 33 5   ，再利用诱导公式化简即可得解. 【详解】由0 90   ，可得33 33 123     ， 试卷第 8页，共 18页 且   3cos 33 5   ，则   23 4sin 33 1 5 5           ， 又      sin 57 sin 90 33 cos 33              ，      cos 147 cos 180 33 cos 33             ， 所以               sin 33 tan 33 sin 57 cos 147 cos 33 cos 33 cos 33                      4 3 733 cos 33 5 5 5 sin         . 故选：A 20．已知 π0, 6       ，若 π 2cos 3 3       ，则 2sin 3 π      . 【答案】 5 3 【分析】先由诱导公式得到 2sin sin 3 3 π π              ，再由同角的三角函数关系计算可得. 【详解】 2sin sin sin 3 3 3 π π ππ                          ， 因为 π0, 6       ，所以 π π π 6 3 3    ， 所以 2 πcos 3 3 π 5sin 1 3               . 故答案为： 5 3 . 21．若 π 1sin 6 3       ，则 2πcos 2 3      的值为（ ） A． 2 9 B． 2 9  C． 7 9 D． 7 9  【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系式以及诱导公式、二倍角公式，计算求解. 【详解】解法一：因为 π 1sin 6 3       ，所以 2 2 2π π 1 8cos 1 sin 1 6 6 3 9                         . 因为 π π π πsin sin cos 3 2 6 6                           ， 所以 2 22π π π π 8 7cos 2 cos 2 1 2sin 1 2cos 1 2 3 3 3 6 9 9                                          . 解法二：令 π 2    ，则 π 6    ， 2π 2π π2 2 π 2 3 3 6             ， 试卷第 9页，共 18页 所以   22π 7cos 2 cos π β cos 2 2sin 1 3 9                . 故选：D. 22．已知 π π, 6 2       ，且 2π 3cos 2 3 5        ，则 πtan 6       ． 【答案】 1 2 /0.5 【分析】利用二倍角公式求出 πcos 3      ，结合同角三角函数的基本关系求出 πsin 3      和 πtan 3      ，最后利用 两角差的正切公式求解即可. 【详解】因为 π π, 6 2       ，所以 π π 5π, 3 2 6        ， 可知 π πcos 0,sin 0 3 3                ， 且由二倍角公式得 22π π 3cos 2 2cos 1 3 3 5                  ， 解得 π 5cos 3 5        ，则 2 π π 2 5sin 1 cos 3 3 5                 ， 可得 π 2 5sin π 3 5tan 2 π3 5cos 3 5                       ， 所以 π π π 1 1tan tan π6 3 2 2tan 3                             ． 故答案为： 1 2 23．已知 π 7 2 πsin , 0, 4 10 4               ． (1)求 sin 的值； (2)求 πtan 2 4      的值． 【答案】(1) 3 5 (2) 31 17  【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系可得 π 2cos 4 10       ，再由两角差的正弦公式即可求解； （2）根据同角三角函数的平方关系可得 4cos 5   ，由二倍角公式和同角三角函数的商数关系可得 24tan 2 7   ，再 试卷第 10页，共 18页 由两角差的正切公式求解即可. 【详解】（1）因为 π 7 2 πsin , 0, 4 10 4               ，所以 π π π, 4 4 2        ， 所以 2 π π 2cos 1 sin 4 4 10                 ， 所以 π π π π π πsin sin sin cos cos sin 4 4 4 4 4 4                           7 2 2 2 2 10 2 10 2     3 5  ； （2）因为 3 πsin , 0, 5 4          ， 所以 2 4cos 1 sin 5     ， 所以 3 4 24sin 2 2sin cos 2 5 5 25        ， 2 16 7cos 2 2cos 1 2 1 25 25        ， 所以 sin 2 24tan 2 cos 2 7     ， 所以 24π 1tan 2 tanπ 3174tan 2 π 244 171 tan 2 tan 1 4 7               . 24．已知 为锐角，且 π 2sin 6 3       ，则 πsin 2 3       ． 【答案】 4 5 9 【分析】利用二倍角的余弦公式可求得 πcos 2 3      的值，再由同角的三角函数值的平方关系可求得 πsin 2 3      . 【详解】由 π 2sin 6 3       ． 所以 2π π 4 1cos 2 1 2sin 1 2 3 6 9 9                    ． 由于 为锐角，所以 π0, 2       ，则 4π2 π 3 3 π , 3        ，结合 π 1cos 2 0 3 9        ， 所以 π π π2 , 3 3 2        ，因此 2 π π 4 5sin 2 1 cos 2 3 3 9                 ． 故答案为： 4 5 9 ． 25．已知 π0 2     ，若   5cos 5    ， 10cos2 10   ，则   ． 【答案】 3π 4 【分析】先根据同角三角函数关系,再利用两角差的余弦公式即可得解. 试卷第 11页，共 18页 【详解】由 π0 2     ，   5cos 5    ， 10cos2 10   则 π π0,0 2 2 2         ， 故   2 5sin 5     ， 3 10sin2 10       cos + cos 2           10 5 2 5 3 10 2=cos 2 cos +sin 2 sin = 10 5 5 10 2             由0 + π   ，所以 3π+ = 4   故答案为： 3π 4 26．已知0 π  ， 0 π  ，且 πtan 2 3       ， π 10cos 6 10       ，则  tan    . 【答案】-7 【分析】利用同角关系式及和差公式求出 tan , tan  ，继而即可求解. 【详解】 π πtan( ) tanπ π 3 3tan tan[( ) ] π π3 3 1 tan( ) tan 3 3             2 3 (2 3)(2 3 1) 5 3 8 111 2 3 (1 2 3)(2 3 1)           ， 因为 0 π  ，所以 π π 5π 6 6 6     ，且 π 10 3cos 6 10 2        ， 所以 π 6   为第一象限角， 所以 2 π 10 3 10sin 1 6 10 10               ， 所以 πtan 3 6       ， 所以 π πtan( ) tan 6 6tan tan[ π π1 tan( ) tan 6 6 π π] 6 6               3 33 (3 )(1 3) 5 3 63 3 31 3 (1 3)(1 3)            ， 所以   5 3 6 5 3 8 3 1 7 70 3 42 tan tan 33t 1 5 3 6 5 3 8)( a 3 1 an 1 tan t n 10 1 3 61 33                         . 故答案为：-7. 试卷第 12页，共 18页 27．（1）已知 3π, , π 4        ，   3sin 5     ， π 24sin 4 25       ，求 cos 4 π     的值． （2）已知   4 3sin 2 7    ，   11cos 2 14     ，且 π π0 4 2      ，求  的值． 【答案】（1） 4 5  ；（2） π 3    【分析】（1）由   3sin 5     ， π 24sin 4 25       ，利用同角三角函数的平方关系求   πcos ,cos 4         ，又  π π 4 4             ，利用两角差的余弦公式即可求解； （2）由 π π0 4 2      得 π 3π 4 4     ，  π πcos cos 4 4                     ，利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为 3π, , π 4        ，所以 3π , 2π 2         ．又   3sin 5     ， 所以     2 2 3 4cos 1 sin 1 5 5                 ． 因为 π 24 π π 3πsin , , 4 25 4 2 4                ， 所以 2 2π π 24 7cos 1 sin 1 4 4 25 25                            ． 所以  π πcos cos 4 4                        π πcos cos sin sin 4 4                      4 7 3 24 5 25 5 25                4 5   （2）由 π π0 4 2      ，得 π π π π0 2 , 2 0, 2 2 2 4 2              ， 由   4 3sin 2 0 7     ，得   2 4 3 1cos 2 1 7 7             ， 由 π π0 4 2      ，得 π π π2 π, 0, 2 π 2 4 4             ， 由   11cos 2 14     ，得   5 3 π 3πsin 2 , 14 4 4         ，              cos cos 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2                          11 1 5 3 4 3 1 14 7 14 2 2       ， 所以 π 3    ． 试卷第 13页，共 18页 28．已知 2cos 4 10 x       ， 3, 2 4 x       ，则 sin x  . 【答案】 4 5 【分析】先求得 πsin 4 x     的值，再由 π πsin sin 4 4 x x         ，结合两角和的正弦公式，求得 sin x的值. 【详解】由于 π 3π, 2 4 x      ，所以 π π π, 4 4 2 x       ，所以 2 π π 7 2sin 1 cos 4 4 10 x x               ，所以 π πsin sin 4 4 x x         π π π πsin cos cos sin 4 4 4 4 x x              7 2 2 2 2 4 10 2 10 2 5      . 故答案为： 4 5 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法， 属于基础题. 六、  cossincossincossin 、、  知一求二 29．若 3sin cos 2 x x  ，则 4 4sin cosx x （ ） A． 25 32 B． 31 32 C． 33 32 D． 41 32 【答案】B 【分析】由已知式两边平方，可得 1sin cos 8 x x  ，将所求式进行配方后，代入结论计算即得. 【详解】由 3sin cos 2 x x  两边取平方，可得 2 3(sin cos ) 1 2sin cos 4 x x x x    ，解得 1sin cos 8 x x  ， 则 4 4 2 2 2 2 2 21 31sin cos (sin cos ) 2sin cos 1 2 ( ) 8 32 x x x x x x        . 故选：B. 30．若 3sin cos 5    ，则 1tan tan    （ ） A． 8 25 B． 16 25 C． 25 8 D． 25 16 【答案】C 【分析】应用同角三角函数关系结合切化弦计算求解. 【详解】因为 3sin cos 5    ，所以 2 2 9 8sin cos 2sin cos ,sin cos 25 25          . 因为 2 21 sin cos sin cos 1tan tan cos sin sin cos sin cos                  ，所以 1 25tan tan 8     . 故选：C. 试卷第 14页，共 18页 31．已知 (0,π)  ， 1sin cos 5    ，则下列结论正确的是（ ） A． 12sin cos 25    B． 4tan(5π ) 3    C． 7sin cos 5     D． 24tan 2 7   【答案】D 【分析】利用题中条件、完全平方公式与同角三角函数的平方关系可求出sin cos  即可判断选项 A；根据 sin cos  的符号及的范围可判断 sin 0  ， cos 0  ，再利用完全平方公式与同角三角函数的平方关系以及选项 A中结论 即可判断选项 B；根据 sin cos  的值和 sin cos  的值可解出 sin ，cos 的值，进而可求 tan ，利用诱导公式 即可判断选项 C；根据二倍角的正切公式即可判断选项 D. 【详解】 1sin cos 5    ， 2 2 2 1(sin cos ) sin cos 2sin cos 1 2sin cos 25                ， 12sin cos 25     ，故选项 A错误； (0,π)  ， sin 0  . 又 12sin cos 0 25      ， cos 0  ， sin cos 0    . 又 2 2 2(sin cos ) sin cos 2sin cos 1 2sin cos 49 25               ， ∴ 7sin cos 5    ，故选项 C错误； 联立方程组 1sin cos 5 7sin cos 5             ，解得 4sin 5 3cos 5          ，∴ sin 4tan cos 3      . ∴ 4tan(5π ) tan( ) tan 3         ， 2 2 42 ( )2 tan 243tan 2 41 tan 71 ( ) 3           ，故选项 B错误，选项 D正确. 故选：D. 32．已知  1sin cos , 0, π 2      ，则（ ） A． 3sin 2 4   B． 7sin cos 2     C． 2 2 4 cos sin 7   D． 3π 2cos 4 4       【答案】AD 【分析】A将题干中的式子平方即可；B结合的范围和 3sin 2 0 4    可得为锐角，再利用  2sin cos 1 sin 2     计算即可；C利用 AB选项的结果可计算；D利用两角和差的余弦公式即可. 试卷第 15页，共 18页 【详解】由题意可得，  2 2 2 1sin cos sin 2sin cos cos 1 sin 2 4              ，则 3sin 2 4   ，故 A正确； 因  0, π  ，则  2 0,2π  ， 因 3sin 2 0 4    ，则  2 0, π  ，即 π0, 2       ，则 sin 0,cos 0 > > ， 又  2 2 2 3 7sin cos sin 2sin cos cos 1 sin 2 1 4 4                ， 则 7sin cos 2    ，故 B错误；   2 2 7 1 7cos sin cos sin cos sin 2 2 4                    ，故 C错误； 3π 3π 3π 2 2 2cos cos cos sin sin cos sin 4 4 4 2 2 4                 2 2 1 2sin cos 2 2 2 4       ，故 D正确. 故选：AD 七、齐次下弦切互化 33．已知向量  3,4a  ，  cos ,sinb    ，若 a b∥  ，则 2sin cos sin 2cos       的值为（ ）． A． 3 4  B． 3 4 C． 1 2  D． 12 【答案】D 【分析】根据向量共线的坐标表示可得 4tan 3   ，再根据齐次化问题运算求解即可. 【详解】因为向量  3,4a  ，  cos ,sinb    ， a b∥  ， 则3sin α 4cos α= ，可得 4tan 3   ， 所以 42 12sin cos 2 tan 1 13 4sin 2cos tan 2 22 3                . 故选：D. 34．已知 1tan 3   ，则 sin cos   . 【答案】 3 10 /0.3 【分析】将原式分母化为 2 2sin cos  ，再利用正弦余弦齐次式，弦化切后即可代入求解. 【详解】 2 2 sin cossin cos sin cos          2 1 tan 33 1tan 1 101 9        ， 试卷第 16页，共 18页 故答案为： 3 10 . 35．已知 sin 2cos 0   ，则 cos2  （ ） A． 4 5  B． 4 5 C． 3 5 - D． 3 5 【答案】C 【分析】首先求出 tan 2 = - ，再根据二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为 sin 2cos 0   ，所以 sin 2cos   ，其中 cos 0  不符题意， 所以 sintan 2 cos      ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 1 tan 3cos 2 cos sin cos sin 1 tan 5                   ， 故选：C. 36．已知 tan 4  ． (1)求 4sin 2cos 2sin cos       的值； (2)求 2 πsin( π)cos 2cos 2          的值． 【答案】(1)2 (2) 14 17  【分析】（1）将其1次式的分子分母同时除以 cos，转化为 tan 的式子计算求解即可； （2）利用诱导公式化简转化为其二次式分子分母同时除以 2cos  ，转化为 tan 的式子计算求解即可. 【详解】（1） 4sin 2cos 4tan 2 2sin cos 2tan 1            4 4 2 2 2 4 1       ． （2） 2 2 2 πsin( π)cos 2cos sin 2cos 2               2 2 2 2 sin 2cos sin cos        2 2 tan 2 16 2 14 tan 1 16 1 17            ． 37．已知 cos 3 cos sin      ，则 πtan 4       （ ） A． 2 3 1 B． 3 1 C． 3 2 D． 2 3 1 【答案】D 【分析】根据已知利用商数关系化弦为切求出 tan ，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】由 cos 1 3 cos sin 1 tan         ，得 3 1tan 3   ， 试卷第 17页，共 18页 所以 3 1 1 π 3tan 2 3 1 4 3 11 3             . 故选：D. 38．已知 tan 2  ，则     πsin π sin 2 π2cos cos π 2                    ． 【答案】1 【分析】由诱导公式化简，化为齐次式，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】原式 sin cos tan 1 2 1 1 2sin cos 2 tan 1 2 2 1                  . 故答案为：1 39．已知 π π, 4 2       ，且 4sin2 5   ，则 3sin cos 4sin 2cos        （ ） A． 12 B． 1 4 C． 1 8 D．1 【答案】A 【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系计算即可得解. 【详解】方法一：因为 4sin2 5   ， 所以 2 2 2 2sin cos 2sin cos 2tan 42sin cos 1 sin cos tan 1 5                ， 解得 tan 2  或 1tan 2   ． 因为 π π, 4 2       ，所以 tan 2  ， 所以 3sin cos 3tan 1 3 2 1 1 4sin 2cos 4tan 2 4 2 2 2                  ． 方法二：因为 π π, 4 2       ，所以 sin cos 0   ，  2 9sin cos 1 2sin cos 1 sin2 5           ，  2 1sin cos 1 2sin cos 1 sin2 5           ， 所以 3 5sin cos 5    ， 5sin cos 5    ， 解得 2 5sin 5   ， 5cos 5   ， 所以 2 5 533sin cos 15 5 4sin 2cos 22 5 54 2 5 5             ． 故选：A． 试卷第 18页，共 18页 三角函数一轮复习题型归纳 三角函数概念及公式使用 一、任意角及弧度制 1．若角与角的终边相同，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出与终边相同的角的集合，得到答案. 【详解】与终边相同的角的集合为， 当时，，D正确，其他选项均不合要求. 故选：D 2．若是第三象限角，则是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 【答案】C 【分析】首先利用不等式写出的范围，即可求解. 【详解】由题意可知， 所以， 所以是第二或第四象限角. 故选：C. 3．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】角的表达中，弧度制和角度制不能混用，直接判断即可. 【详解】与的终边相同的角可以写成，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确． 故选：C. 4． 弧度. 【答案】/ 【分析】根据角度与弧度的换算关系，即可求得答案. 【详解】由题意得. 故答案为：. 5．下列说法正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．rad化成角度是 【答案】AB 【分析】根据弧度制与角度制的互化计算可得结论. 【详解】对于A，，故A项正确； 对于B，，故B项正确； 对于C，，故C项错误； 对于D，，故D项错误. 故选：AB. 6．3弧度是第 象限角． 【答案】二 【分析】判断角的终边在第几象限即可. 【详解】1弧度，3弧度， 3弧度的角的终边在第二象限，3弧度是第二象限角. 故答案为：二. 7．的值（   ） A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 【答案】A 【分析】判断弧度2，3表示的角的范围，判断的正负，即可得答案. 【详解】，，． 故选：A 8．将下列角度与弧度进行互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用角度与弧度的换算公式计算即可一一判断. 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 二、扇形的弧长及面积 9．已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R． (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【答案】(1)； (2)； (3),. 【分析】（1）利用扇形的面积公式直接计算即可； （2）利用扇形的弧长公式及面积公式建立方程组计算即可； （3）利用扇形的弧长公式、面积公式结合基本不等式计算即可. 【详解】（1）由题意可知扇形圆心角的弧度为， 则该扇形的面积为； （2）设扇形圆心角的弧度为， 则该扇形的弧长为，所以有， 解方程得（舍去）或， 所以扇形圆心角的弧度数为； （3）设扇形圆心角的弧度为，则，则 扇形的周长为， 当且仅当时，周长可取得最小值，此时， 故此时扇形的圆心角. 10．已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积 （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求法可得； 【详解】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 11．曲线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对式子进行变形，明确其含义即可求解. 【详解】由，得， 所以曲线是以坐标原点为圆心，2为半径的圆弧， 其中点的横坐标为，则，， 故曲线的长度为.    三、任意角的三角函数及诱导公式 12．点绕原点按逆时针方向旋转到达点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义，结合诱导公式求解. 【详解】以原点为角的顶点，轴的非负半轴为角的始边，令角的终边过点， 则角的终边过点，且， 于是，， ， 所以点的坐标为. 故选：B 13．若角的终边过点 (1)分别求，，的值； (2)求的值. 【答案】(1)，， (2)7 【分析】（1）由三角函数的定义可得； （2）利用诱导公式化简可得. 【详解】（1）由三角函数的定义可得，，，. （2） 14．已知角终边上的一点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再由诱导公式化简即可； （2）构造齐次分式，同除，转化为含有的式子求解. 【详解】（1）因为角终边上的一点， 所以， 所以 ； （2）因为， 所以 . 15．若角的终边经过点，则 . 【答案】 【分析】利用三角函数的定义来得到已知角的函数值，再用二倍角公式和诱导公式来求其它角的三角函数值. 【详解】根据已知条件可知：， 则 ， 故答案为：. 16．已知角的终边经过点，且，则 ． 【答案】-24 【分析】根据三角函数定义和正切值得到方程，求出答案. 【详解】因为，且角的终边经过点，所以，解得． 故答案为：-24 四、知一求二 17．已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D．-1 【答案】C 【详解】因为为锐角，， 所以，得， 所以． 故选：C 18．已知，均为第二象限角，，，则等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先利用同角三角函数的平方关系和商数关系，分别求出，然后利用两角差的正切公式求值. 【详解】因为，均为第二象限角，所以，，同理可得. . 故选：A. 五、给值求值 19．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数关系是先求，再利用诱导公式化简即可得解. 【详解】由，可得， 且，则， 又， ， 所以 . 故选：A 20．已知，若，则 . 【答案】 【分析】先由诱导公式得到，再由同角的三角函数关系计算可得. 【详解】， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 21．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系式以及诱导公式、二倍角公式，计算求解. 【详解】解法一：因为，所以. 因为， 所以. 解法二：令，则，， 所以. 故选：D. 22．已知，且，则 ． 【答案】/0.5 【分析】利用二倍角公式求出，结合同角三角函数的基本关系求出和，最后利用两角差的正切公式求解即可. 【详解】因为，所以， 可知， 且由二倍角公式得， 解得，则， 可得， 所以． 故答案为： 23．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系可得，再由两角差的正弦公式即可求解； （2）根据同角三角函数的平方关系可得，由二倍角公式和同角三角函数的商数关系可得，再由两角差的正切公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以 ； （2）因为， 所以， 所以， ， 所以， 所以. 24．已知为锐角，且，则 ． 【答案】 【分析】利用二倍角的余弦公式可求得的值，再由同角的三角函数值的平方关系可求得. 【详解】由． 所以． 由于为锐角，所以，则，结合， 所以，因此． 故答案为：． 25．已知，若，，则 ． 【答案】 【分析】先根据同角三角函数关系,再利用两角差的余弦公式即可得解. 【详解】由，， 则， 故， 由，所以 故答案为： 26．已知，，且，，则 . 【答案】-7 【分析】利用同角关系式及和差公式求出，继而即可求解. 【详解】 ， 因为，所以，且， 所以为第一象限角， 所以， 所以， 所以 ， 所以. 故答案为：-7. 27．（1）已知，，，求的值． （2）已知，，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由，，利用同角三角函数的平方关系求，又，利用两角差的余弦公式即可求解； （2）由得，，利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以．又， 所以． 因为， 所以． 所以 （2）由，得， 由，得， 由，得， 由，得， ， 所以． 28．已知，，则 . 【答案】 【分析】先求得的值，再由，结合两角和的正弦公式，求得的值. 【详解】由于，所以，所以，所以. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 六、知一求二 29．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知式两边平方，可得，将所求式进行配方后，代入结论计算即得. 【详解】由两边取平方，可得，解得， 则. 故选：B. 30．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用同角三角函数关系结合切化弦计算求解. 【详解】因为，所以. 因为，所以. 故选：C. 31．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题中条件、完全平方公式与同角三角函数的平方关系可求出即可判断选项A；根据的符号及的范围可判断，，再利用完全平方公式与同角三角函数的平方关系以及选项A中结论即可判断选项B；根据的值和的值可解出，的值，进而可求，利用诱导公式即可判断选项C；根据二倍角的正切公式即可判断选项D. 【详解】， ， ，故选项A错误； ，. 又，，. 又， ∴，故选项C错误； 联立方程组，解得，∴. ∴，，故选项B错误，选项D正确. 故选：D. 32．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】A将题干中的式子平方即可；B结合的范围和可得为锐角，再利用计算即可；C利用AB选项的结果可计算；D利用两角和差的余弦公式即可. 【详解】由题意可得，，则，故A正确； 因，则， 因，则，即，则， 又， 则，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：AD 七、齐次下弦切互化 33．已知向量，，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共线的坐标表示可得，再根据齐次化问题运算求解即可. 【详解】因为向量，，， 则，可得， 所以. 故选：D. 34．已知，则 . 【答案】/ 【分析】将原式分母化为，再利用正弦余弦齐次式，弦化切后即可代入求解. 【详解】 ， 故答案为：. 35．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出，再根据二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为，所以，其中不符题意， 所以， 所以， 故选：C. 36．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）将其次式的分子分母同时除以，转化为的式子计算求解即可； （2）利用诱导公式化简转化为其二次式分子分母同时除以，转化为的式子计算求解即可. 【详解】（1）． （2） ． 37．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知利用商数关系化弦为切求出，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】由，得， 所以. 故选：D. 38．已知，则 ． 【答案】1 【分析】由诱导公式化简，化为齐次式，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】原式. 故答案为： 39．已知，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系计算即可得解. 【详解】方法一：因为， 所以， 解得或． 因为，所以， 所以． 方法二：因为，所以， ， ， 所以，， 解得，， 所以． 故选：A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$试卷第 1页，共 7页 三角函数一轮复习题型归纳 三角函数概念及公式使用 一、任意角及弧度制 1．（单选）若角 与角 2π 5  的终边相同，则 可能是（ ） A． 17π 5 B． 17π 5  C． 22π 5 D． 22π 5  2．（单选）若 是第三象限角，则 2  是（ ） A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 3．（单选）下列与 9π 4 的终边相同的角的表达式中正确的是（ ） A．2 π 45 ( )k k  Z B． 9π360 ( ) 4 k k   Z C． 360 315 ( )k k    Z D． 5ππ ( ) 4 k k Z 4．15  弧度. 5．（多选）下列说法正确的是（ ） A．100化成弧度是 5 πrad 9 B． π rad 90 化成角度是 2 C． 420 化成弧度是 5 rad 2  D． 3 π 4  rad化成角度是 75 o 6．3弧度是第 象限角． 7．（单选） sin 2cos3的值（ ） A．小于 0 B．大于 0 C．等于 0 D．不存在 8．（多选）将下列角度与弧度进行互化正确的是（ ） A． 511 π 1530 6  o B． 7π 105 12    o C． π10 18 o D． 19π855 4   o 试卷第 2页，共 7页 二、扇形的弧长及面积 9．已知一个扇形的中心角是 ，所在圆的半径是 R． (1)若 60 , 10cmR   ，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为 20cm，面积为 29cm ，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为 16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角 ． 10．已知扇形的圆心角是 ，半径为 R，弧长为 l． (1)若 60 , 10cmR    ，求扇形的弧长 l； (2)若 π , 2cm 3 R   ，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是 20cm，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 11．（单选）曲线  24 3y x x   的长度为（ ） A． 2π B． 4π 3 C． π D． 5π 3 试卷第 3页，共 7页 三、任意角的三角函数及诱导公式 12．（单选）点 (2,1)A 绕原点O按逆时针方向旋转90到达点 B，则点 B的坐标为（ ） A． (1, 2) B． ( 1, 2) C． ( 2,1) D． ( 2, 1)  13．若角 的终边过点 ( 3,4)P  (1)分别求 sin ， cos， tan 的值； (2)求    sin π cos 3π 3π 7πcos sin 2 2                     的值. 14．已知角 终边上的一点  3, 4P  . (1)求  πcos sin π 2 11π 9πcos sin 2 2                        的值； (2)求 22 sin cos cos    的值. 15．若角 π 4   的终边经过点  3,4P  ，则 sin2  . 16．已知角的终边经过点  , 10P m  ，且 5tan 12   ，则m  ． 试卷第 4页，共 7页 四、  tancossin 、、 知一求二 17．（单选）已知锐角 满足 10cos 10   ，则 tan 2 （ ） A． 1 4  B． 1 2  C． 3 4  D．-1 18．（单选）已知 ，  均为第二象限角， 3sin 5   ， 2 5cos 5    ，则 tan( )  等于（ ） A． 2 11  B． 2 C． 2 11 D．2 五、给值求值 19．（单选）已知   3cos 33 5   ，且 0 90   ，则      tan 33 sin 57 cos 147      （ ） A． 7 5 B． 1 5  C． 5 4 D． 720 20．已知 π0, 6       ，若 π 2cos 3 3       ，则 2sin 3 π      . 21．（单选）若 π 1sin 6 3       ，则 2πcos 2 3      的值为（ ） A． 2 9 B． 2 9  C． 7 9 D． 7 9  22．已知 π π, 6 2       ，且 2π 3cos 2 3 5        ，则 πtan 6       ． 试卷第 5页，共 7页 23．已知 π 7 2 πsin , 0, 4 10 4               ． (1)求 sin 的值； (2)求 πtan 2 4      的值． 24．已知 为锐角，且 π 2sin 6 3       ，则 πsin 2 3       ． 25．已知 π0 2     ，若   5cos 5    ， 10cos2 10   ，则   ． 26．已知0 π  ， 0 π  ，且 πtan 2 3       ， π 10cos 6 10       ，则  tan    . 27．（1）已知 3π, , π 4        ，   3sin 5     ， π 24sin 4 25       ，求 cos 4 π     的值． （2）已知   4 3sin 2 7    ，   11cos 2 14     ，且 π π0 4 2      ，求  的值． 28．已知 2cos 4 10 x       ， 3, 2 4 x       ，则 sin x  . 试卷第 6页，共 7页 六、  cossincossincossin 、、  知一求二 29．若 3sin cos 2 x x  ，则 4 4sin cosx x （ ） A． 25 32 B． 31 32 C． 33 32 D． 41 32 30．若 3sin cos 5    ，则 1tan tan    （ ） A． 8 25 B． 16 25 C． 25 8 D． 25 16 31．已知 (0,π)  ， 1sin cos 5    ，则下列结论正确的是（ ） A． 12sin cos 25    B． 4tan(5π ) 3    C． 7sin cos 5     D． 24tan 2 7   32．已知  1sin cos , 0, π 2      ，则（ ） A． 3sin 2 4   B． 7sin cos 2     C． 2 2 4 cos sin 7   D． 3π 2cos 4 4       试卷第 7页，共 7页 七、齐次下弦切互化 33．（单选）已知向量  3,4a  ，  cos ,sinb    ，若 a b∥  ，则 2sin cos sin 2cos       的值为（ ）． A． 3 4  B． 3 4 C． 1 2  D． 12 34．已知 1tan 3   ，则 sin cos   . 35．（单选）已知 sin 2cos 0   ，则 cos2  （ ） A． 4 5  B． 4 5 C． 3 5 - D． 3 5 36．已知 tan 4  ． (1)求 4sin 2cos 2sin cos       的值； (2)求 2 πsin( π)cos 2cos 2          的值． 37．（单选）已知 cos 3 cos sin      ，则 πtan 4       （ ） A． 2 3 1 B． 3 1 C． 3 2 D． 2 3 1 38．已知 tan 2  ，则     πsin π sin 2 π2cos cos π 2                    ． 39．（单选）已知 π π, 4 2       ，且 4sin2 5   ，则 3sin cos 4sin 2cos        （ ） A． 12 B． 1 4 C． 1 8 D．1