5.4 二元一次方程与一次函数 (课件)2025-2026学年北师大版八年级数学上册

5.4 二元一次方程与一次函数 第五章 二元一次方程组 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 二元一次方程与一次函数的关系 二元一次方程组与一次函数的关系 用二元一次方程组确定一次函数的表达式 在实际问题中求解一次函数的表达式 知1－讲 感悟新知 知识点 二元一次方程与一次函数的关系 1 1. 二元一次方程与相应一次函数的关系 感悟新知 知1－讲 特别提醒 因为二元一次方程的解与其对应一次函数图象上点的坐标之间的关系是一一对应的，所以可以实现方程与函数之间的相互转化，这体现了数形结合的思想。例如，以二元一次方程kx－y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上;一次函数y=kx+b的图象上任意一点的坐标都是关于x,y的二元一次方程kx－ y+b=0的解。 感悟新知 2. 二元一次方程与一次函数的区别与联系 知1－讲 二元一次方程 一次函数 区别 x ， y 的含义 x， y 均为未知数 x， y 均为变量 表示方式 只能用一个等式表示 x， y 的关系 可用一个等式、表格或图象表示 x， y 的关系 从数的角度 有无数个解 有无数对 x， y 的值 从“形”的角度 图象 (即直线 ) 上有无数个点 联系 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线 一个二元一次方程对应着平面上的一条直线 知1－练 以二元一次方程2x－y＝1 的解为坐标的点组成的图象画在平面直角坐标系中是图5-4-1 中的( ) 例1 考向：利用二元一次方程与一次函数的关系确定图象 知1－练 思路导引： 知1－练 答案：D 解：因为以二元一次方程2x－y＝1的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，所以这个一次函数的表达式为2x－y＝1 的变形，即y=2x －1。 对于一次函数y=2x-1，k=2>0，b= －1<0，所以一次函数 y=2x-1 的图象过第一、三、四象限。 知1－练 感悟新知 1-1.下列四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y=2 的解的是( ) C 变式训练 感悟新知 知2－讲 知识点 二元一次方程组与一次函数的关系 2 二元一次方程组与对应的一次函数的关系 一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标， 相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标。 感悟新知 知2－讲 二元一次方程组的 解对应着平面上两 条直线的交点 知2－讲 拓宽视野 二元一次方程组的解的个数与两条直线交点个数的关系： 1. 方程组只有一组解 两条直线有一个交点(相交)； 2. 方程组无解 两条直线无交点(平行)； 3. 方程组有无数组解 两条直线是同一条直线(重合). 知2－练 考向：利用二元一次方程组与一次函数的关系求方程组的解 13 知2－练 [母题 教材P129随堂练习T1] 如图5-4-2，已知 一次函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是( ) A. B. C. D. 例2 14 思路导引： 知2－练 解：由图可知一次函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P (－3，1)，即x= －3，y=1 同时满足两个一次函数的表达式。 所以关于x，y 的方程组 的解是 答案：C 知2－练 知2－练 感悟新知 2-1.如图， 直线 y=－x +3 与 y = m x + n 交点的横坐标为 1，则关于 x， y 的二元一次方程组的解为(     ) A. B. C. D. C 变式训练 知3－讲 感悟新知 知识点 用二元一次方程组确定一次函数的表达式 3 1. 待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫作待定系数法。 知3－讲 感悟新知 2. 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式是求一次函数表达式的主要方法，其一般步骤如下： (1)设：设出函数表达式为y=kx+b； (2)代：把已知条件代入，得到关于k， b 的方程组； (3)解：解方程组，求出 k， b 的值； (4)写：写出其表达式。 特别提醒 1. 利用二元一次方程组求一次函数表达式，关键是找出两对对应值或图象上两个点的坐标. 2. 将求函数表达式中待定字母k，b的值转化为求以k，b为未知数的二元一次方程组的解. 知3－讲 知3－练 已知一次函数的图象经过A(－2， － 3)，B (1，3) 两点，求这个一次函数的表达式。 例3 考向：利用二元一次方程组求一次函数的表达式 解题秘方：利用待定系数法求出函数表达式。 解：设所求的一次函数的表达式为y=kx+b。 由题意，得解得 所以这个一次函数的表达式为y = 2 x + 1 。 知3－练 3-1. [中考·陕西] 根据下表中一次函数的自变量x与函数值y的对应值，可得p的值为( ) A. 1 B. －1 C. 3 D. －3 x －2 0 1 y 3 p 0 变式训练 A 知3－练 知4－讲 知识点 在实际问题中求解一次函数的表达式 4 1. 利用一次函数的表达式解决实际问题的思路 注意确定函数表达式时，注意自变量的取值范围。 通过求一次函数的表达式解决实际问题 2.一次函数性质的应用主要有两种类型： (1)给出了一次函数表达式，直接利用一次函数的性质解决问题； (2)只用语言叙述或用表格、图象提供一次函数的情境时，应先求出表达式，进而利用一次函数的性质解决问题. 知4－讲 特别提醒 在解决实际问题时，要用函数的观点看待问题，并将其转化为二元一次方程组解决，体现了方程思想和转化思想在实际问题中的应用. 知4－讲 世界上大部分国家都使用摄氏温度(℃)计量法，但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度(°F)计量法，两种计量法之间有如下的对应关系： x/℃ 0 10 20 30 40 50 y/°F 32 50 68 86 104 122 例2 考向：利用一次函数的模型解生活中的实际应用题 知4－练 (1)猜想y与x之间的函数关系； (2)确定y与x之间的函数表达式，并加以检验； (3)0°F时的温度对应多少摄氏度？ 知4－练 解题秘方：由表格中的数据可知， x 每增加 10， y 增加 18，则 y 是 x 的一次函数，根据表格中的数据，用待定系数法求出函数表达式，然后将 y=0 代入求出对应摄氏度 . 知4－练 (1)猜想y与x之间的函数关系 解：观察表格中的对应数据的特征可知：摄氏温度每增加10℃，华氏温度就增加18°F，因此猜想y与x之间是一次函数关系. 知4－练 (2)确定y与x之间的函数表达式，并加以检验 解：设y＝kx＋b(k ≠ 0)，把x＝0，y＝32和x＝10，y＝50 代入，得解得所以y＝x＋32. 经检验，其他几对x，y的值均能满足上述表达式，所以y与x之间的函数表达式为y＝x＋32. 知4－练 (3)0°F时的温度对应多少摄氏度？ 解：当y＝0时，x＋32＝0，解得x＝－ . 所以0°F 时的温度对应－℃ . 知4－练 4-1. [期末·西安西咸新区] 某水果商店推出一款水果拼盘套餐受到广大消费者的喜爱，每天销售量y(单位：盒)与销售单价x(单位： 元/ 盒) 之间存在一次函数关系(如表所示)。 销售单价x/ (元/盒) 40 50 60 销售量y/ 盒 220 200 180 变式训练 知4－练 已知水果拼盘套餐的成本为30 元/ 盒。 (1)求出y 与x 的函数关系式； (2)当销售单价为65元/ 盒时，求当天的销售利润。(销售利润=销售额－成本) 知4－练 (1)求出y 与x 的函数关系式； 知4－练 (2)当销售单价为65元/ 盒时，求当天的销售利润。(销售利润=销售额－成本) 知4－练 二元一次方程与一次函数 一次函数 解二元一 次方程组 确定 两个 关系 与二元一 次方程 与二元一 次方程组 解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b。 由题意，得 解这个方程组，得 所以y与x的函数关系式为y＝－2x＋300。 由题意可知，当x＝65时，y＝－2×65＋300＝170， 所以65×170－30×170＝5 950(元)。 因此，当销售单价为65元/盒时，当天的销售利润为5 950元。 $$