5.3 二元一次方程组的应用 (课件)2025-2026学年北师大版八年级数学上册

5.3 二元一次方程组的应用 第五章 二元一次方程组 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 列二元一次方程组解实际问题 列二元一次方程组解古算问题 列二元一次方程组解增收节支问题 列二元一次方程组解行程问题 知1－讲 感悟新知 知识点 列二元一次方程组解实际问题 1 1. 列二元一次方程组解实际问题的基本思路 感悟新知 知1－讲 特别提醒 设未知数的方式有两种：一种是直接设未知数，问什么，设什么，列出二元一次方程组；另一种是间接设未知数，所设不是所求，而是一个中间量，通过中间量，得到所求的未知量 . 感悟新知 2. 列二元一次方程组解应用题的基本步骤： (1)审：认真审题，明确已知量、未知量，理解题意和题目中的数量关系，找到两个等量关系； (2)设：设未知数，可直接设，也可间接设； (3)列：根据等量关系列方程组； (4)解：求出所列方程组的解； (5)答：写出答案，包括单位名称 知1－讲 “设”“答”两步都要写清单位名称。 列方程组时，方程中不出现单位 知1－练 感悟新知 某中学为了奖励在学校《诗词大会》上获奖的同学，计划购买甲、乙两种奖品共 20 件，其中甲种奖品每件 40 元，乙种奖品每件 30 元 . 如果购买甲、乙两种奖品共花费 650 元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件 . 例1 考向：列二元一次方程组解实际问题 知1－练 感悟新知 思路导引： 解：设甲种奖品购买了 x 件，乙种奖品购买了y 件， 由题意，得解得 所以，甲种奖品购买了 5 件，乙种奖品购买了 15 件 . 知1－练 感悟新知 1-1. [ 中考· 吉林 ] 糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰 糖制作而成 . 现将一些山楂分别串在若干根竹签上 . 如果每根竹签串 5 个山楂，还剩余 4 个山楂；如果每根竹签串 8 个山楂，还剩余 7 根竹签 . 这些竹签 有多少根？山楂有多少个？ 变式训练 知1－练 感悟新知 感悟新知 知2－讲 知识点 列二元一次方程组解古算问题 2 古算问题的文字一般用古文叙述，弄清题意有一定困难，所以要先把题目用通俗的文字叙述，然后找出题目中的等量关系，列出方程组求解。 知2－讲 感悟新知 特别提醒 解古算题时，理解题目叙述的意思是关键，然后把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系 . 感悟新知 [母题 教材P120例1 ]我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲、乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上 .乙说得甲九只，两家之数相当.” 翻译成现代文，其大意如下：甲、乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计.甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍 .” 乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱两家的羊就一样多.”求甲、乙各有多少只羊？ 例2 知2－练 感悟新知 思路导引： 解：设甲有 x 只羊，乙有 y 只羊， 由题意，得 解这个方程组，得 所以，甲有 63 只羊，乙有 45 只羊 . 知2－练 2-1. [中考·长春]《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”。下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400 钱，会剩余3400 钱；每人出300 钱，会剩余100 钱。合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题。 变式训练 知2－练 知3－讲 感悟新知 知识点 列二元一次方程组解增收节支问题 3 在列方程组解有关经济问题时，应理解“增加了”“减少了”“增加到”“减少到”“翻一番”等词的意义，并掌握下列有关公式： (1) 销售问题，商品利润= 销售价格- 商品进价； 商品利润率=× 100 % 。 知3－讲 感悟新知 (2)储蓄问题，利息= 本金×利率×期数； 本息和= 本金+ 利息。 (3) 增长(降低)率问题， 增长率=×100％； 降低率=×100％ 知3－讲 感悟新知 增长后的量= 增长前的量×(1 + 增长率)； 下降后的量= 下降前的量×(1 － 降低率)。 提示为了厘清题目中的各个量之间的关系，常采用列表分析法，列表时，常在最左边一栏和最上面一行中填上一些项目名称，依次填入表格内容。 感悟新知 拓宽视野 销售问题中的其他常用公式： 1.售价=标价×(打n 折销售时)； 2. 售价= 进价+ 利润； 3. 售价= 进价×(1+利润率)； 4. 利润= 进价× 利润率。 知3－讲 感悟新知 速记口决 找准问题关键词，列出等量关系式，复杂问题常列表，检查方程及题意。 知3－讲 感悟新知 小刚家去年种芒果的收入扣除各项支出后结余5 000 元，今年他家芒果又喜获丰收，收入比去年增加了20%，由于实行了科学管理，今年的支出比去年减少了5%，因此今年结余比去年多1 750 元，求小刚家今年种植芒果的收入和支出各是多少元。 例3 考向：列二元一次方程组解增长(降低)率问题 知3－练 感悟新知 去年 今年 收入/ 元 x (1+20%) x 支出/ 元 y (1－5%) y 结余/ 元 5 000 5 000+1 750 解题秘方：列表格分析数量关系。 知3－练 感悟新知 解：设去年小刚家种植芒果的收入和支出分别为 x 元、y 元，根据题意，得 解这个方程组，得 因此，今年的收入为(1+20%)x=1.2×80 00=9 600(元)， 今年的支出为(1-5%)y=0.95×3 000=2 850 (元) 。 所以，小刚家今年种植芒果的收入为9 600 元，支出为 2850 元。 间接设未知数 知3－练 感悟新知 3 -1. [ 模拟·合肥 ]某超市有线下和线上两种销售方式，去年计划实现总销售利润为 200 万元的目标，经 过 努力，实际总销售利润为 225 万元，其中线下销售利润比原计划增长 5%，线上销售利润比原计划增长15%，则该超市去年实际达成线下销售利润、线上销售利润各多少万元？ 变式训练 知3－练 感悟新知 知3－练 感悟新知 知4－讲 知识点 列二元一次方程组解行程问题 4 行程问题的三种基本类型 (1) 相遇问题 相遇问题 直行相遇问题 环形相遇问题 图示 等量关系 v 甲 t+v 乙t=s总 (s环形周长) 感悟新知 知4－讲 (2)追及问题 追及问题 直行追及问题 环形追及问题 图示 等量关系 v 快t－v 慢t = s相距 (s 环形周长) 感悟新知 知4－讲 (3)航行问题 航行问题 顺水航行 逆水航行 图示 速度关系 v 顺水=v 静水+v 水 v 逆水=v 静水－v 水 知4－练 例4 甲、乙两地相距160 km，一辆汽车和一辆摩托车同 时由甲、乙两地相向而行，h 后相遇。相遇后，摩托车继续前进，汽车在相遇处停留1h 后调转车头原速返回，汽车再次出发 h 后追上摩托车，此时汽车、摩托车各行驶了多少千米？ 考向：列二元一次方程组解行程问题 题型1 相遇(追及)问题 解题秘方：画线段示意图(如图5-3-1)寻找等量关系。 知4－练 解：画设汽车行驶的速度为x km/h，摩托车行驶 的速度为y km/h。 根据题意，得解得 90 ×(+)= 165(k m)，30 ×( + 1 +)= 85 (km)。 所以，此时汽车行驶了165 km ，摩托车行驶了85 km 。 知4－练 4-1. 某中学新建的塑胶操场跑道的一圈长为400 m. 甲、乙两名运动员从同一起点同时出发，相背而跑，40 s 后首次相遇；从同一起点同时出发，同向而跑，200 s 后甲首次追上乙. 求甲、乙运动员的速度. 变式训练 知4－练 知4－练 例5 A，B两码头相距140 km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7 h，逆水航行用了10 h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度. 题型2 航行问题 解题秘方：解本题的关键是找到各速度之间的关系：顺速＝静速＋水速，逆速＝ 静速－水速，再结合公式“路程＝ 速度×时间”列方程组求解. 知4－练 解：设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为 y km/h. 根据题意，得解这个方程组，得 所以，这艘轮船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为 3 km/h. 知4－练 5-1. 一艘轮船从甲地到乙地顺流航行需4 h，从乙地到甲地逆流航行需6 h，那么一只木筏由甲地漂流到乙地需多长时间？ 变式训练 知4－练 知4－练 二元一次方程组的应用 增收节支 问题 列二元一次方程 组解决实际问题 古算问题 步骤 用通俗的文 字叙述题目 审 设 列 解 答 行程问题 解：设竹签有x根，山楂有y个， 由题意，得 解得 所以，这些竹签有20根，山楂有104个． 解：设共有x人合伙买金，金价为y钱，根据题意，得 解这个方程组，得 所以，共有33人合伙买金，金价为9 800钱。 解：设去年计划达成线下销售利润x万元， 线上销售利润y万元， 根据题意，得 解得 所以(1＋5%)×50＝52.5(万元)， (1＋15%)×150＝172.5(万元)． 所以，该超市去年实际达成线下销售利润52.5万元，线上销售利润172.5万元． 解：设甲运动员的速度为x m/s，乙运动员的速度为y m/s.根据题意，得 解得 所以，甲运动员的速度为6 m/s，乙运动员的速度为4 m/s. 解：设轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h，甲、乙两地之间的路程为a km。 根据题意，得 整理，得x＝5y。 把x＝5y代入方程①，得a＝4(5y＋y)＝24y。 ＝＝24。 所以，一只木筏由甲地漂流到乙地需24 h。 $$