期末模拟测试卷01（沪教版2020选择性必修，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

2024-2025学年高二数学下学期期末模拟测试卷01 测试范围：第1-6章 一、填空题 1． ． 2．已知双曲线，则其渐近线方程为 ． 3．若向量是直线的一个法向量，则直线的倾斜角为 ．（用反三角表示） 4．设圆方程为，则圆的半径为 ． 5．直线与直线的夹角的大小为 . 6．将5名篮球新秀分配给4支篮球队，要求每支篮球队至少分配到1名新秀，那么不同的分配方法有 种（用数字作答） 7．经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 . 8．已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值 . 9．已知，则 ． 10．已知椭圆的离心率为 ，其左、右焦点分别为 ，上顶点为 ，且 内切圆的半径为 ，则椭圆的方程为 . 11．如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为 米. 12．已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时，取得最大值，则的值为 . 二、单选题 13．抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 14．下列式子错误的（    ） A． B． C． D． 15．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 16．已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ） 命题①：方程至多只有一个实数根； 命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有． A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 三、解答题 17．棱锥中，平面平面，，，是棱的中点. (1)证明：平面; (2)求二面角的余弦值. 18．已知平面直角坐标系中两定点为、，为坐标原点． (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)设．动点满足，记的轨迹为曲线．若曲线与圆：外切，求的值． 19．甲、乙两企业，2019年的销售量均为p(2019年为第一年)，根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为，乙企业第年的销售量比前一年的销售量多． (1)求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式； (2)根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由． 20．设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 21．对于相同定义域D内的函数和，若存在常数k，b使得和都成立，则称直线为函数与的一条分界线. (1)判断与在定义域上是否存在一条分界线，请简要说明理由； (2)若直线是与函数的一条分界线，求实数的b取值范围； (3)试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请证明，并求直线；若不存在，请说明理由. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟测试卷01 测试范围：第1-6章 一、填空题 1． ． 【答案】 【分析】根据导数的定义，以及求导公式，即可求解. 【解析】设，， . 故答案为： 2．已知双曲线，则其渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】由方程求得，即可求解. 【解析】由双曲线方程可知：，双曲线的焦点在轴上， 所以渐近线方程为：， 故答案为： 3．若向量是直线的一个法向量，则直线的倾斜角为 ．（用反三角表示） 【答案】 【分析】根据法向量的定义，以及直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【解析】因为向量是直线的一个法向量， 所以直线的一个方向向量为， 所以直线l的斜率，设直线的倾斜角为， 则，又， 所以直线l的倾斜角. 故答案为：. 4．设圆方程为，则圆的半径为 ． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得出圆的半径. 【解析】将圆的方程化为标准方程可得，故圆的半径为. 故答案为：. 5．直线与直线的夹角的大小为 . 【答案】 【分析】根据直线方程得到直线倾斜角的正切值，由此可得结果. 【解析】由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为. 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，， ∴， 设直线与直线的夹角为，则， 由得. 故答案为：. 6．将5名篮球新秀分配给4支篮球队，要求每支篮球队至少分配到1名新秀，那么不同的分配方法有 种（用数字作答） 【答案】240 【分析】先将5名篮球新秀分为4组，再利用排列知识进行求解 【解析】将5名篮球新秀分为4组，再和4支篮球队进行全排列， 故有种分配方法. 故答案为：240 7．经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 . 【答案】2 【分析】先计算直线方程，再根据直线与圆相交的弦长计算公式可算出弦长. 【解析】如图所示， 过原点且倾斜角为的直线斜率为， 故直线方程：，即， 又圆心坐标，半径为， 圆心到直线距离， 所以根据圆的弦长计算公式可得， 弦长为. 故答案为：2. 8．已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值 . 【答案】5 【分析】利用抛物线的定义转化为点到线的距离问题求解. 【解析】抛物线的准线方程为， 则的最小值为到准线的距离，即为. 故答案为：.    9．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】对二项展开式分别赋值和，化简计算即得. 【解析】由， 取，可得； 再取，可得， 将代入整理得： . 故答案为：. 10．已知椭圆的离心率为 ，其左、右焦点分别为 ，上顶点为 ，且 内切圆的半径为 ，则椭圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. 【解析】椭圆的离心率① 内切圆的半径， 则， 即②， 根据椭圆的知识有③， 由①②③解得， 所以椭圆的方程为. 故答案为： 11．如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为 米. 【答案】 【分析】过点作，设,，根据正弦定理求得，求得阴影的面积为，令，求得，得出函数的单调性，得到时， 取得最小值，结合为等腰直角三角形，即可求解. 【解析】过点作垂足为，可得，， 设,，在中，由正弦定理得， 因为，所以， 又由阴影部分的面积： ，其中， 令， 可得， 令，可得，解得 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值，则，所以为等腰直角三角形， 因为，所以. 故答案为：     12．已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时，取得最大值，则的值为 . 【答案】21 【分析】不妨设数列的公差大于零，不妨取，则，设，再分和两种情况讨论，可得出的值，再讨论，即可求出，即可得解. 【解析】不妨设数列的公差大于零， 由于，得， 且时，，时，， 不妨取，则， 设， 若，则，此时式子取不了最大值； 若，则， 又时，， 因为，此时式子取不了最大值； 因此这就说明必成立. 若，则， 这也就说明不成立，因此， 所以. 故答案为：. 二、单选题 13．抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将题中抛物线的方程转化为标准方程，从而得解. 【解析】由，可得， 所以准线方程为， 故选：C 14．下列式子错误的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据排列数及组合数的运算性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【解析】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为， 且，故C正确； 对于D，因为 且，故D正确. 故选:A. 15．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案. 【解析】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 16．已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ） 命题①：方程至多只有一个实数根； 命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有． A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】C 【分析】对于命题①：构造函数，利用导数判断其单调性，结合单调性分析其零点即可；对于命题②：利用函数是定义域为的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再对与1的大小关系进行分类讨论，即可得出结论. 【解析】因为，即， 对于命题①：令，故， 可知函数在上单调递增，则至多有一个零点， 所以方程至多只有一个实数根，故命题①为真命题； 对于命题②：因为函数是周期为2，取一个周期， 由题意可知在内连续不断，则在内必有最大值和最小值， 设在内的最大值为，最小值为， 设，，且， 对任意， 显然时，恒成立，下面考虑的情况， 由导数定义可知，即， 若，则成立； 若，设，即， 则，且，可得， 所以成立； 综上所述：对任意实数，都成立，故命题②为真命题； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：对于命题②：设的最大值为，最小值为，在一个周期上，，当时，结论显然成立，当时，利用不等式的性质可证明. 三、解答题 17．棱锥中，平面平面，，，是棱的中点. (1)证明：平面; (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由结合面面垂直的性质定理即可得证 （2）先求证两两垂直，接着建立适当的空间直角坐标，求出平面和平面的法向量，再结合向量夹角余弦公式即可计算得解. 【解析】（1）证明：因为，是棱的中点， 所以，因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，是棱的中点， 所以，所以两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以， 所以， 由上可知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，故，取，则， 所以， 所以由图可知二面角的余弦值为. 18．已知平面直角坐标系中两定点为、，为坐标原点． (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)设．动点满足，记的轨迹为曲线．若曲线与圆：外切，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)设的中点为，求出点的坐标，计算直线的斜率，即可得直线的斜率，由点斜式即可得直线的方程； （2）设，由得曲线的方程，最后由曲线和圆外切即可求解. 【解析】（1）设的中点为，则由中点坐标公式有， 则，，设直线的斜率，则， 所以， 所以线段的垂直平分线的方程为. （2）设，则由已知有， 由有：， 所以圆，圆心， 圆，圆心， 因为圆和圆外切，所以，解得， 因为，所以. 19．甲、乙两企业，2019年的销售量均为p(2019年为第一年)，根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为，乙企业第年的销售量比前一年的销售量多． (1)求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式； (2)根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由． 【答案】(1)； (2)第2029年时，乙企业被甲企业收购，理由见详解 【分析】（1）设甲、乙两企业第n年的销售量分别为，根据前n项和与通项之间的关系求，利用累加法求； （2）分析可知：甲企业不可能被乙企业收购，令，整理可得，分析求解即可. 【解析】（1）设甲、乙两企业第n年的销售量分别为，数列的前n项和为， 则， 当时，则， 且不满足上式，则； 又因为当时，， 则 ， 且满足上式，所以. （2）因为，即时不合题意； 当时，可知， 即恒成立，可知甲企业不可能被乙企业收购， 令，即， 显然，整理可得， 因为，则， 可知：当时，不等式不成立； 当时，，即不等式不成立； 当时，，即不等式不成立； 当时，不等式成立； 综上所述：当时，等式成立， 所以第2029年时，乙企业被甲企业收购. 20．设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标和的长度求出基本量后可得椭圆的标准方程； （2）求出直线与椭圆的交点后可得关于横坐标的方程，从而可求其坐标. （3）利用两角和的正切结合韦达定理可证. 【解析】（1）， 直线l过所以右焦点，即， 所以，椭圆方程为. （2）当，直线，， 解得， ， 设，到直线距离， 由面积，得或， 即或 . （3）    设， 因为向量在直线上的投影为向量，故， 故直线的斜率为，故直线的方程为，故， 而， 故， 联立， ，， 故， 设，设， 由双勾函数的性质可得在为增函数， 故，故， . 21．对于相同定义域D内的函数和，若存在常数k，b使得和都成立，则称直线为函数与的一条分界线. (1)判断与在定义域上是否存在一条分界线，请简要说明理由； (2)若直线是与函数的一条分界线，求实数的b取值范围； (3)试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请证明，并求直线；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)存在，理由见解析 (2) (3)存在，答案见解析 【分析】（1）由对恒成立，可得结论； （2）由题意可得对恒成立，令，，求导求得的最大值与的最小值，可求的取值范围. （3）直线和函数相切于，则，进而构造函数再证明即可. 【解析】（1）因为对恒成立， 所以存在一条分界线. （2）对恒成立，则对恒成立. 令，则 解得，则在上严格增，在上严格减， 得，所以 令，则，则在上严格单调递增， 得，所以， 进而 （3）画两个函数的大致图像，利用计算器猜想： 两个函数与的一个交点是， 再猜想：直线和函数相切于，则 下面从两个角度去证明该直线是分界线： 一方面：， 所以 另一方面：令 则，解得，则在上严格增，在上严格减， 所以，即所以 所以对恒成立. 【点睛】方法点睛：把新定义转化为不等式恒成立，再通过构造函数求得函数的最值可求范围，求分界线，先通过作图，猜想分界线，再证明即可． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$