期末模拟测试卷02（沪教版2020选择性必修，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

2024-2025学年高二数学下学期期末模拟测试卷02 测试范围：第1-8章 一、填空题 1．经过两点，的直线倾斜角为 . 2．已知随机变量，若，则 . 3．曲线的焦距为 ． 4．函数的驻点为 . 5．已知圆与圆内切，则实数 ． 6．为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断 原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．） 7．在在展开式中，不含的所有项的系数和为 （用数值作答）. 8．直线绕其与轴的交点顺时针旋转所得的直线方程为，则原点到的距离为 . 9．已知直线和曲线有公共点，则的取值范围是 ． 10．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是 ． 11．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时0.003秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；已知与的离心率之比为，则 秒. 12．等差数列满足，则的最大值为 ． 二、单选题 13．若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（    ） A． B． C． D． 14．为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见表）：若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（    ） 1 2 3 4 5 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A． B．去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变 C．当时，的预测值为2.2 D．与的样本是负相关 15．已知定圆，点A是圆所在平面内一定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能是：(1)椭圆；(2)双曲线；(3)抛物线；(4)圆；(5)直线；(6)一个点.其中所有可能的结果有（    ）. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 16．定义在上的函数满足，当时，，有以下两个命题： ①当为正整数时，； ②若函数在区间内有3个极大值点，则的取值范围是. 则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 三、解答题 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，M为PC中点．    (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 18．已知数列，是其前项的和，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求的表达式． 19．（1）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如表.（单位：个）若规定显著性水平，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效； 未患病者 患病者 合计 未服用 中草药甲 29 16 45 服用 中草药甲 46 9 55 合计 75 25 100 （2）已知一个盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球.现从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X，求X的分布列、期望和方差. 附：，. α 0.100 0.050 0.010 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828 20．已知双曲线，，分别为其左、右焦点，为其左顶点．设过右焦点的直线与的右支交于，两点，其中点位于第一象限内．当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)设直线，分别与直线交于，两点，问：是否存在实数，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 21．已知函数在定义域上存在导函数．对于给定的一个有序实数对，若存在，使得，则称为在定义域上的一个“分割数对”． (1)已知，判断数对是否为在上的“分割数对”，并说明理由； (2)已知，若为在区间上的“分割数对”，求实数的取值范围； (3)已知，若有且仅有一个实数满足对任意，都不是在上的“分割数对”，求实数的值． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末模拟测试卷02 测试范围：第1-8章 一、填空题 1．经过两点，的直线倾斜角为 . 【答案】/ 【分析】设直线的倾斜角为，由两点的斜率公式求出，即可得到，从而得解； 【解析】解：设直线的倾斜角为，由于两点，，所以， 即，因为，所以 故答案为： 2．已知随机变量，若，则 . 【答案】0.4 【分析】由正态分布曲线的对称性求解即可. 【解析】因为随机变量，正态曲线关于对称. ，则， 根据正态曲线的对称性. 故答案为：0.4. 3．曲线的焦距为 ． 【答案】 【分析】将曲线方程化为普通方程，求出的值，即可得出该曲线的焦距. 【解析】由可得， 所以，曲线的普通方程为， 该曲线为椭圆，且，，则， 因此，曲线的焦距为. 故答案为：. 4．函数的驻点为 . 【答案】0 【分析】根据驻点的定义，即可判断. 【解析】，令，得， 所以函数的驻点为0. 故答案为：0 5．已知圆与圆内切，则实数 ． 【答案】 【分析】根据两圆内切列方程，求解即可解答. 【解析】，故圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为2， 因为两圆内切，所以两圆圆心距离为两半径之差，故，解得. 故答案为： 6．为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断 原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平．） 【答案】拒绝 【分析】在独立性检验中，当计算得到的统计量大于临界值时，就拒绝原假设，即可求解. 【解析】已知显著性水平，，即临界值为， 因为，所以可推断拒绝原假设. 故答案为：拒绝. 7．在在展开式中，不含的所有项的系数和为 （用数值作答）. 【答案】 【分析】先将问题转化为各项的系数之和，再通过赋值法即可得到答案. 【解析】二项式， 其展开式的通项为， 令，则， 则不含的项的系数和等于的各项系数之和， 令，则. 故答案为：. 8．直线绕其与轴的交点顺时针旋转所得的直线方程为，则原点到的距离为 . 【答案】 【分析】求出直线与轴的交点坐标、斜率，利用两角差的正切公式，求出所求直线的方程，再求出原点到直线的距离. 【解析】设直线的倾斜角为，则，直线的倾斜角为， 设直线的斜率为，则， ∵直线与轴的交点为， 所以直线的方程：，即． 原点到的距离为. 故答案为：． 9．已知直线和曲线有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定曲线的图象，再求出两个极端的位置，进而即可求解． 【解析】由，则，是圆的上半部分， 当直线与圆的上半部分的相切时， 圆心到直线的距离为直线，即，解得； 当直线过圆的上半部分的右顶点时，即，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：． 10．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】由抛物线定义对线段进行转化，再由中位线得到线段，解三角形得到线段，由基本不等式得到取值范围，从而得到最值. 【解析】设、，作分别于，则，， 在梯形中，有， 在中，， 又，则，即， 当且仅当时取等号，因此，所以的最大值是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决． 11．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时0.003秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；已知与的离心率之比为，则 秒. 【答案】0.018 【分析】根据椭圆和双曲线的定义推得和的周长，然后根据时间速度以及路程之间的关系列出等式，即可解得答案. 【解析】设 ，设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，光速为 ， 而与的离心率之比为，即 ，即 ， 在图①中， ， 两式相减得：， 即.即 的周长为， 在图②中，的周长为, 由题意可知： ， 则 ，故 （秒）， 故答案为：. 12．等差数列满足，则的最大值为 ． 【答案】50 【分析】根据题意分析可知：存在，使得或，以为例，设等差数列的公差为，结合绝对值不等式的性质分析可知：，且，进而可得，再根据等差数列的前n项和公式，求得，从而得出，即可求解. 【解析】若对任意，恒成立，则， 可得， ， 显然两者不相等，不合题意； 同理可得对任意，恒成立也不合题意； 所以等差数列一部分为正，一部分为负， 即存在，使得或， 若，可得， 且 ， 当且仅当时，等号成立， 即，解得； 且 ， 当且仅当时，等号成立 即，解得， 综上所述：，即满足条件的必为偶数， 结合等号成立条件可知：且， 设等差数列的公差为，则，，， 即，，， 可得， 则 ， 可得，解得， 且，即有的最大值为，的最大值为； 同理可得：当，的最大值也为. 故答案为：50. 【点睛】关键点睛：1.根据的符号性分析可得存在，使得或； 2.根据绝对值不等式分析可得，且. 二、单选题 13．若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，要使，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，即. 【解析】若，则； 对于A：，，故A错误； 对于B：，，故B正确； 对于C：，，故C错误； 对于D：，，故D错误； 故选：B. 14．为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见表）：若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（    ） 1 2 3 4 5 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A． B．去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变 C．当时，的预测值为2.2 D．与的样本是负相关 【答案】B 【分析】由表格数据求出样本点的中心坐标，代入可得的值由此即可判断A，由相关系数公式即可判断B，根据回归方程代入计算即可判断C，由的正负即可判断D. 【解析】，所以样本点的中心坐标为， 将它代入得，，解得，故A错误； 由相关系数公式可知，去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变，故B正确； 当时，y的预测值为，故C错误； 因为，所以与的样本是正相关，故D错误. 故选：B 15．已知定圆，点A是圆所在平面内一定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能是：(1)椭圆；(2)双曲线；(3)抛物线；(4)圆；(5)直线；(6)一个点.其中所有可能的结果有（    ）. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】作出图像，通过椭圆，双曲线，圆的定义和圆的性质，判断结论. 【解析】(1)椭圆（点A在圆内，不包括圆心） 如图：    ∵，∴，即点的轨迹是以为焦点的椭圆. (2)双曲线（点A在圆外） 如图：    ∵，∴，即点的轨迹是以为焦点的双曲线. (4)圆（点A恰为圆心）    当与重合时，在中点，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. (6)一个点（点A在圆上）    当在圆上时，为弦，所以一定与重合，所以点的轨迹是点. 故选：. 16．定义在上的函数满足，当时，，有以下两个命题： ①当为正整数时，； ②若函数在区间内有3个极大值点，则的取值范围是. 则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 【答案】A 【分析】对①，根据题意，可得，利用累加法求求答案；对②，分别求出，，的解析式，利用导数判断极大值情况，得解. 【解析】对于①，当为正整数时，已知， 则，， 将这些式子累加可得， 由等差数列求和公式， 所以，故①正确， 对于②，当时，，令， ， 即， 同理，可得， ， 由，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是极大值点， 当时，则， 同上易得是极大值点， 当时，则， 可得为极大值点， 当时，则， 易得为极大值点， 因为函数在区间内有3个极大值点，所以，故②错误. 故选：A. 三、解答题 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，M为PC中点．    (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接.由已知推得，即可根据线面平行的判定定理得出证明； （2）建立空间直角坐标系，求出以及平面的法向量的坐标，根据向量法求解即可得出答案. 【解析】（1）连接，交于点，则是的中点，连接. 因为，分别是的中点， 所以，. 因为，平面，平面， 所以，平面. （2）    如图，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，. 因为平面，所以即为平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， 因为，， 所以，，. 18．已知数列，是其前项的和，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求的表达式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）时，由,得，然后利用，可得到，进而得到从而可以证明数列为等比数列； （2）由（1）可以得到的通项公式，代入可得到的表达式，进而利用分组求和即可求出的表达式． 【解析】（1）时，，所以， 当时，由,得， 则， 即， 所以又， 故就是首项为，公比为3的等比数列. （2）由（1）可得即. 将代入得, 所以 =. 19．（1）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如表.（单位：个）若规定显著性水平，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效； 未患病者 患病者 合计 未服用 中草药甲 29 16 45 服用 中草药甲 46 9 55 合计 75 25 100 （2）已知一个盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球.现从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X，求X的分布列、期望和方差. 附：，. α 0.100 0.050 0.010 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）的所有可能取值为0，1，2，它服从超几何分布，结合超几何分布概率的求法求得相应的概率进而可得的分布，结合期望、方差计算公式即可求解. 【解析】（1）提出原假设：中草药甲对预防此疾病无效，确定显著性水平， 计算，而， 的值超过了所确定的界限，从而否定原假设，即认为中草药甲对预防此疾病有效果. （2）的所有可能取值为0，1，2， ， 所以的分布列为， 它的期望为， 它的方差为. 20．已知双曲线，，分别为其左、右焦点，为其左顶点．设过右焦点的直线与的右支交于，两点，其中点位于第一象限内．当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)设直线，分别与直线交于，两点，问：是否存在实数，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）依据题意设出，代入双曲线中建立方程，再结合双曲线中基本量的运算关系得到另一个方程，求解基本量，得到双曲线方程即可. （2）设出直线的方程，联立双曲线方程，得到关于点坐标的韦达定理；再分别求得的方程，以及点的坐标，利用数量积的坐标运算表示，再结合题意建立方程，求解参数即可. （3）求得直线不存在斜率时满足的，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线斜率之间的关系，结合点的坐标满足曲线方程，求解即可. 【解析】（1）因为当直线与轴垂直时，， 且点位于第一象限内，所以设， 代入方程中得到，而， 解得，，则双曲线的方程为. （2）由上问得双曲线的方程为， 如图，则点，的坐标分别为， 又双曲线渐近线为，显然直线的斜率不为零， 故设其方程为，， 联立双曲线方程可得：， 设点的坐标分别为，且恒成立 则， ， ； 又直线方程为：，令，则， 故点的坐标为；直线方程为：， 令，则，故点的坐标为； 若右焦点恒位于以线段为直径的圆上，则， 则 ，令，解得， 故存在，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上. （3）当直线斜率不存在时， 对曲线，令，解得， 故点的坐标为，此时， 在三角形中，，故可得， 则存在常数，使得成立； 当直线斜率存在时，不妨设点的坐标为，， 此时直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，， 假设存在常数，使得成立，即， 则一定有：，也即； 又；； 又点的坐标满足，则， 故 ； 故假设成立，存在实数常数，使得成立； 综上所述，存在常数，使得恒成立. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中存在常数满足条件的问题；其中第二问的关键是能够分析出向量数量积是定值，再表示出数量积，进而求解参数，第三问处理的关键是要投石问路，找到特殊情况下的参数值，再验证非特殊情况下依旧成立，同时还要注意本小题中把角度关系，转化为斜率关系即可. 21．已知函数在定义域上存在导函数．对于给定的一个有序实数对，若存在，使得，则称为在定义域上的一个“分割数对”． (1)已知，判断数对是否为在上的“分割数对”，并说明理由； (2)已知，若为在区间上的“分割数对”，求实数的取值范围； (3)已知，若有且仅有一个实数满足对任意，都不是在上的“分割数对”，求实数的值． 【答案】(1)是；答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）取，由函数新定义代入验证即可； （2）构造函数，求导分析单调性和最值，然后结合函数新定义可得； （3）由题意先将问题不是在上的“分割数对”等价于或恒成立，然后构造函数，求导后再将问题“恒成立”等价于“对任意，恒成立”，然后结合二次函数的性质令判别式小于等于零可得. 【解析】（1）是， 存在， 由函数新定义有满足. （2）令， 则， 令，得， 所以当时，，函数为递减函数；当时，，函数为递增函数， 所以在处取得极小值，也是最小值， 所以在区间上的值域为， 若为在区间上的“分割数对”，既要满足在区间上的函数值有正有负， 所以， 即实数的取值范围为. （3）对任意，考虑， 则不是在上的“分割数对”等价于或恒成立， 显然，， 由于，显然， 令， 因为，则， 所以，结合函数的性质可知“恒成立”等价于“对任意，恒成立”， 即在上恒成立， 即， 由题意，满足的实数有且仅有一个，则. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$