期末模拟测试卷01（沪教版2020必修第二册，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

2024-2025学年高一数学下学期期末模拟测试卷01 一、填空题 1．角的终边经过点，则= ． 2．已知复数满足，则 3．函数的最小正周期为 ． 4．已知向量，，则在方向上的数量投影是 . 5．化简 . 6．已知复数是关于的实系数方程的一个根，则 ． 7．已知与为单位向量，且满足，则与的夹角 . 8．在锐角 中，若 ，则 等于 . 9．已知，若，则 ． 10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的新函数为偶函数，则的最小值为 ． 11．一根长为的材料（材料粗细忽略不计）欲水平通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽，则能够通过这个直角走廊的材料的最大长度（即求的最小值）为 m. 12．中，，当时，的最小值为，则 ． 二、单选题 13．已知，，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 14．都是复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C． D．则 15．已知，点C在内，且.设，则等于（    ） A． B．3 C． D． 16．对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.已知，，则下列3个命题4，真命题的个数为（    ） （1）函数是周期函数；（2）函数的图象关于直线对称；（3）方程有2个实数根. A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题 17．已知向量，满足，，． (1)求； (2)设，若，求的值． 18．在中，设． (1)求； (2)若，求的面积． 19．已知函数，记，，，. (1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值； (2)若，，函数有零点，求实数的取值范围. 20．如图，某小区有一块空地，其中米，，小区物业拟在中间挖一个小池塘，，在边上（，不与，重合，且在，之间），．设． (1)若米，求的值； (2)为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小．问：当为多大时的面积最小？并求出面积的最小值 21．我们把（其中）称为一元次多项式方程.代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程（即为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有个复数根（重根按重数计算）.那么我们由代数基本定理可知：任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为个一元一次多项式的积.即，其中，为方程的根.进一步可以推出：在实系数范围内（即为实数），方程有实数根，则多项式必可分解因式.例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，. (1)在复数集内解方程：； (2)设，其中，且. （i）分解因式：； （ii）记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点.求证：当时，. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟测试卷01 一、填空题 1．角的终边经过点，则= ． 【答案】 【解析】试题分析：由三角函数定义可知 考点：三角函数定义 2．已知复数满足，则 【答案】 【分析】根据复数的乘除运算及复数的模的运算公式即可求解. 【解析】因为复数满足，所以，所以. 故答案为：. 3．函数的最小正周期为 ． 【答案】/ 【分析】根据条件，利用三角函数的周期公式，即可求出结果. 【解析】，所以函数的周期， 故答案为：. 4．已知向量，，则在方向上的数量投影是 . 【答案】 【分析】根据平面向量数量投影的定义计算即可. 【解析】由向量，， 则，， 又在方向上的数量投影为， 故答案为：. 5．化简 . 【答案】-1 【分析】根据诱导公式和同角的商数关系化简计算即可求解. 【解析】. 故答案为： 6．已知复数是关于的实系数方程的一个根，则 ． 【答案】26 【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理可得方程的另一个根，再由根与系数的关系求解. 【解析】由题意，是方程的一个根，则是其另一个根， 所以. 故答案为：26. 7．已知与为单位向量，且满足，则与的夹角 . 【答案】/ 【分析】根据向量垂直，即可得，即可求解. 【解析】因为与为单位向量，则，， 又， ， ，则， 又，所以与的夹角为. 故答案为：. 8．在锐角 中，若 ，则 等于 . 【答案】/ 【分析】利用正弦定理将已知等式中的边化为角，然后求解角的值. 【解析】已知，由正弦定理可得到，即 可得.因为是三角形内角，且为锐角,则 . 故答案为：. 9．已知，若，则 ． 【答案】/0.4 【分析】根据已知，应用商数关系及平方关系可得，再应用二倍角正弦公式求函数值. 【解析】由， 所以，则. 故答案为： 10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的新函数为偶函数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】求出平移后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可解得的最小正值. 【解析】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象，且该函数为偶函数， 则，解得， 因为，则当时，取最小值. 故答案为：. 11．一根长为的材料（材料粗细忽略不计）欲水平通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽，则能够通过这个直角走廊的材料的最大长度（即求的最小值）为 m. 【答案】 【分析】利用三角函数定义可得，即可得，再利用换元法令，并由函数单调性求得最小值. 【解析】由题意，因为,, 所以, 所以,, 令, 因为， 所以，即，则， 所以， 易知在上单调递增， 则在上单调递减， 所以， 即能够通过这个直角走廊的材料的最大长度为. 故答案为：. 12．中，，当时，的最小值为，则 ． 【答案】 【分析】令，取点使，则可可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和，从而可数形结合构造出点关于的对称点为，得到，再利用余弦定理计算出后即可得解. 【解析】令，则， 又，则点在线段上， 取上靠近点的三等分点，连接，则， 则， 令点关于的对称点为，则， 即有，设，则在中， 有， 即，即， 又，则， 则有， 即，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，在线段上取点，使，从而可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和. 二、单选题 13．已知，，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义结合充分、必要条件分析判断. 【解析】若，，则，即充分性成立； 若，则，，或，，则必要性不成立； 综上所述：p是q的充分不必要条件. 故选：A. 14．都是复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C． D．则 【答案】C 【分析】举反例即可判断A，设，计算出和即可判断B，设，，分别计算和即可判断C，虚数不能比较大小，即可判断D 【解析】对于A，当时，，但，故A错误， 对于B，设，显然，，故B错误， 对于C，设， 所以， 所以 ， 又 所以，故C正确 对于D选项，若，则虚数不能比较大小，故D错误， 故选：C 15．已知，点C在内，且.设，则等于（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得,建立坐标系，由已知条件可得，进而可得，即可得答案. 【解析】解：因为， 所以, 又因为点C在内，且， 建立如图所示的坐标系： 则,, 又因为， 所以， 所以， 所以. 故选：B. 16．对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.已知，，则下列3个命题4，真命题的个数为（    ） （1）函数是周期函数；（2）函数的图象关于直线对称；（3）方程有2个实数根. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由题意可得、均为偶函数，作出两函数的图象，可判断（1），（2）；分，，且及或，求解（3）． 【解析】函数的定义域为， 因为， 所以为偶函数， 当时，， 当时，， 当时，， 因为为偶函数，所以函数的图像如下图所示： 因为， 所以为偶函数， 由可知，在,内， 当，时，， 当，且，时，， 当或，时，， 则函数的图像如下图所示： 显然不是周期函数，故（1）错误； 的图像不关于直线对称，故（2）错误； 因为当， 时，， 所以； 不存在，使，故无解； 当，且，时，， 所以； 如图所示， 此时有一个解； 当或，时，， 所以； 综上，方程有2个实数根，故（3）正确． 故选：B． 【点睛】方法点睛：求函数零点个数的常用方法： (1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个； (2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 三、解答题 17．已知向量，满足，，． (1)求； (2)设，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数量积的定义求出，再利用数量积的运算律求解. （2）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式计算. 【解析】（1）由，，，得， 所以. （2）由，得， 则，即，所以. 18．在中，设． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用边化角与和两角和的正弦公式即可化简求值. （2）利用余弦定理与三角形面积公式即可求得结果. 【解析】（1） 由正弦定理得 ， 整理得：， 即：，又因为， 所以,又，所以； （2）， 解得：， 故 19．已知函数，记，，，. (1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值； (2)若，，函数有零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用三角函数的周期公式求得，再利用三角函数的值域与周期性求得，从而得解； （2）根据题意，利用换元法将问题转化为在有解，从而利用参变分离法或二次函数根的布分即可得解. 【解析】（1）因为函数的最小正周期，所以， 则当时，， 所以，得， 因为，所以取得， （2）解法一： 当，时，，， 设， 由题意得，在有解，化简得， 又在上单调递减， 所以，则. 解法二： 当，时，，， 设， 由题意得，在有解， 记，对称轴为， 则由根的分布可得，即，解得， 所以. 20．如图，某小区有一块空地，其中米，，小区物业拟在中间挖一个小池塘，，在边上（，不与，重合，且在，之间），．设． (1)若米，求的值； (2)为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小．问：当为多大时的面积最小？并求出面积的最小值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用余弦定理计算可求得，可得的值； （2）利用正弦定理用表示出，再结合条件得到，根据三角函数性质求最值即可. 【解析】（1）由题意知为等腰直角三角形，且， 在中，由，，利用余弦定理可得： ， 即可得； 利用余弦定理的推论可得， 因此 （2）依题意可知，则； 在中由正弦定理， 可得； 在中，由正弦定理， 可得； 因此的面积为 ， 因为，所以，即， 因此， 当且仅当时，即时，等号成立； 故面积的最小值为. 21．我们把（其中）称为一元次多项式方程.代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程（即为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有个复数根（重根按重数计算）.那么我们由代数基本定理可知：任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为个一元一次多项式的积.即，其中，为方程的根.进一步可以推出：在实系数范围内（即为实数），方程有实数根，则多项式必可分解因式.例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，. (1)在复数集内解方程：； (2)设，其中，且. （i）分解因式：； （ii）记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点.求证：当时，. 【答案】(1)、 (2)（i）；（i）证明见解析 【分析】（1）结合题意，观察可得是方程的一个根，借助待定系数法计算即可得； （2）（i）结合题意，观察可得是方程的一个根，借助待定系数法计算即可得；（ii）借助所得因式分解，构造函数，借助二次函数的性质及韦达定理可得函数必有两个不同零点、，且满足. 【解析】（1）观察可知，是方程的一个根， 则一定是多项式的一个因式， 即， 即有，解得， 即， 令，则， 即该方程的根为：、； （2）（i）观察可知，是方程的一个根， 则一定是多项式的一个因式， 即， 则有，即， 即； （ii）令，即， 即， 设，由， 有，故函数必有两个不同零点， 设，且，则，故， 又， 故，则方程的根有、、，且， 故的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点的横坐标为，即. 【点睛】关键点点睛：最后小问关键点在于借助所得因式分解，构造函数，借助二次函数的性质可得函数必有两个不同零点、，且满足. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$