期末模拟测试卷02（沪教版2020必修第二册，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

2024-2025学年高一数学下学期期末模拟测试卷02 一、填空题 1．若是第四象限角，则是第 象限角. 2．对于复数（i是虚数单位），则 . 3．当手表的分针转过10分钟时，转过的弧度数是 . 4．已知，则 ． 5．已知复平面上有点和点，使得向量所对应的复数是，则点的坐标为 . 6．已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 7．不等式的解集是 . 8．若向量，，能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为 . 9．在平面直角坐标系中，点，将绕原点逆时针旋转得到向量，则在上的投影向量的坐标是 ． 10．如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为 米．（保留一位小数） 11．已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是 . 12．在边长为1的正六边形中，以为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为，以为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为，若分别为的最小值､最大值，其中.则的值为 . 二、单选题 13．已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 14．下列说法中正确的是（     ） A．若，则 B．若，则夹角为钝角 C．若，则 D．若，则 15．在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．已知，，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三、解答题 17．在中，． (1)求的值； (2)若，求的面积． 18．已知复数，（，i是虚数单位） (1)若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围； (2)若是实系数一元二次方程的根，且是实数，记，求的值. 19．已知函数. (1)求的单调减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意，，求实数的最小值. 20．如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． (1)延长交于点Q（图1），求的值； (2)过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证为定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 21．若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质． （1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末模拟测试卷02 一、填空题 1．若是第四象限角，则是第 象限角. 【答案】三 【分析】利用坐标轴依次找到角、、的终边即可. 【解析】在坐标系中标出角的终边，关于轴对称得到角，再逆时针旋转得到的终边在第三象限. 故答案为：三 2．对于复数（i是虚数单位），则 . 【答案】 【分析】先进行复数乘法运算，再根据共轭复数和虚部概念求解即可. 【解析】由题意，所以，则. 故答案为：. 3．当手表的分针转过10分钟时，转过的弧度数是 . 【答案】/ 【分析】根据弧度制和角度制的互化求值即可. 【解析】由题意，手表的分针转过10分钟，即顺时针旋转，即顺时针旋转弧度， 因此，分针转过的弧度数是. 故答案为：. 4．已知，则 ． 【答案】 【分析】根据诱导公式求解. 【解析】由，得， . 故答案为：. 5．已知复平面上有点和点，使得向量所对应的复数是，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】先求出向量的坐标，根据可得点的坐标. 【解析】因向量所对应的复数是， 所以， 因，所以. 故答案为：. 6．已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 【答案】 【分析】在中，利用余弦定理求出，即可求得. 【解析】在中，，由余弦定理， ， 因为，所以， 又在中，， 所以. 故答案为：. 7．不等式的解集是 . 【答案】 【分析】由已知有，结合余弦函数的性质解不等式求解集. 【解析】由，即，可得， 所以解集为. 故答案为： 8．若向量，，能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据为平面内所有向量的一组基底，可知不共线，通过求共线时的值，即可得到不共线时的范围. 【解析】因为向量，，能作为平面内所有向量的一组基底， 所以， 当时，，解得， 所以若，则，即的取值范围为， 故答案为： 9．在平面直角坐标系中，点，将绕原点逆时针旋转得到向量，则在上的投影向量的坐标是 ． 【答案】 【分析】由题意作图，由投影向量的定义在图中表示，根据一次函数与模长公式，可得答案. 【解析】由题意，过作，垂足为，作图如下： 由题意可知，， 为在上的投影向量， 则，， 设直线的函数解析式为，代入，解得， 则可设，则，解得， 所以. 故答案为：. 10．如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为 米．（保留一位小数） 【答案】66.4 【分析】先在和中，根据仰角分别用建筑物高度表示出和，然后在中利用余弦定理建立关于的方程，最后求解方程得到的值. 【解析】在中，已知从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，即.因为，所以. 在中，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，即.因为，且，所以. 在中，已知米，.根据余弦定理，将，代入可得： ，即 可得. 则. 故答案为：66.4. 11．已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据对称性求得，结合对数函数的性质求得正确答案. 【解析】不妨设，画出的图象如下图所示， ，所以. 令，解得， 所以，所以. 故答案为： 12．在边长为1的正六边形中，以为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为，以为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为，若分别为的最小值､最大值，其中.则的值为 . 【答案】 【分析】由余弦定理和勾股定理分别求出，再由向量的加法法则结合图形的关系和向量的数量积公式求出结果即可； 【解析】如图： 由向量的加法法则可得，两个向量的夹角越小，模长越大，和向量就越大；反之越小； 正六边形可得， 同理， 因为正六边形的边长为1， 由余弦定理可得，解得， 所以， 所以由图形关系可得， 所以， 同理，两个向量的模长越小，夹角越大，和向量就越小，两个括号的乘积就越小， 所以， 如图： 由图可得 ， 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键是能用图形表示，再结合向量的数量积公式计算即可. 二、单选题 13．已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】由复数为纯虚数，求出，判断即可. 【解析】复数为纯虚数，则， 解得，或， 所以若为纯虚数不一定得到，但是由一定能得到为纯虚数， 故“为纯虚数”是“”的必要非充分条件， 故选：B 14．下列说法中正确的是（     ） A．若，则 B．若，则夹角为钝角 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】当时，可判断A；，可判断B；由已知可得或或，可判断C；由已知可得，可判断D. 【解析】对于A，若时，因零向量与任意向量是共线向量，故得不出，故A错误； 对于B，因，取，符合条件，但不是钝角，故B错误； 对于C，由，可得，可得或或， 所以或或，故C错误； 对于D，由，可得，所以， 所以，故D正确. 故选：D. 15．在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：由余弦定理，即有两个不相等的正根，则，即可求出的范围，再求出角的范围. 法二：根据正弦定理得到，即可求出的取值范围，再结合、的关系求出的范围. 【解析】法一：因为，，要使三角形有且只有两个，即会出现两个符合题意的值， 由余弦定理，即， 依题意可得关于的方程有两个不相等的正根， 则，解得， 又，解得， 综上可得. 法二：由正弦定理，所以， 所以，则， 由且，所以， 所以由，解得， 综上可得. 故选：A 16．已知，，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】分别从，，三方面分类讨论求解； 【解析】根据题意，，若对任意实数均有， 当时，， 又因为，所以时符合题意； 对任意实数均有，即， 因为，， 当且仅当时，满足题意， 所以 当时，， 因为，所以，符合题意； 当时，， 所以，解得：， 因为，所以，符合题意； 综上所述，满足条件的有序实数对为，，， 共有3个， 故选：C. 三、解答题 17．在中，． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理求的值； （2）求出c，再利用余弦定理求出b，然后利用三角形面积公式可求得答案. 【解析】（1）在中，因为， 由正弦定理得. （2）因为，所以， 由余弦定理得， 解得或（舍）， 所以的面积. 18．已知复数，（，i是虚数单位） (1)若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围； (2)若是实系数一元二次方程的根，且是实数，记，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先利用复数减法运算化简复数，再结合复数对应的点所在象限列不等式即可求解； （2）根据韦达定理求得，然后利用复数运算法则化简得，利用该复数为实数列方程得，从而代入化简得，最后利用复数模的运算求解即可. 【解析】（1）因为复数，，所以， 其对应的点为，由题意，解得， 即实数a的取值范围为； （2）由题意知的两根为，， 所以，所以，所以， 因为为实数， 所以，即， 所以， 所以. 19．已知函数. (1)求的单调减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意，，求实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式可得，最后利用复合函数单调性求出单调递减区间即可. （2）根据函数平移及伸缩求出的解析式，求解即可. 【解析】（1）. 由，解得， 所以函数的单调递减区间为； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数 ， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即， 当时，，则，则， 对任意的、，， 则， 故实数的最小值为. 20．如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． (1)延长交于点Q（图1），求的值； (2)过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证为定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值； （2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值；（ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可. 【解析】（1）依题意，因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得， 即，所以，所以； （2）（i）根据题意, 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线，所以， 化简得， 即为定值，且定值为3； （ii）根据题意，， ， 所以， 由（i）可知，则， 所以， 易知，当时，有最小值，此时. 21．若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质． （1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：． 【答案】（1）函数具有性质，不具有性质，理由见解析；（2）不具备，理由见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据具有性质的定义依次讨论即可得答案； （2）假设函数具有性质，则有，即，进而得，再根据并结合函数的值域为得，故，此时，在验证不具有性质，进而得到答案； （3）结合（2），并根据题意得，进而得在的值域为，当时，与零点唯一性矛盾得或，再讨论当时不成立得，即． 【解析】（1）函数具有性质，不具有性质，说明如下： ， ， 对任意，都有， 所以具有性质， ，， 所以， 所以不具有性质； （2）若函数具有性质， 则有，即， 于是，结合知， 因此； 若，不妨设 由可知： （记作*），其中 只要充分大时，将大于1 考虑到的值域为为，等式（*）将无法成立， 综上所述必有，即； 再由，，从而，而 当时，， 而，显然两者不恒相等（比如时) 综上所述，不存在以及使得具有性质； (3）由函数具有性质以及（2）可知， 由函数是以为周期的周期函数，有， 即，也即 由，及题设可知 在的值域为 当时，当及时，均有， 这与零点唯一性矛盾，因此或， 当时，，在的值域为 此时 于是在上的值域为， 由正弦函数的性质，此时当时和的取值范围不同， 因而，即． 【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查逻辑推理能力，运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于正确理解具有性质P的函数的定义，利用定义，结合反证法，分类讨论思想等讨论求解. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$