专题04 平面解析几何 立体几何 考前熟概念（十三大题型）-2025年高考数学最后冲刺题型秒杀专项训练（上海专用）

专题04 平面解析几何 立体几何 考前熟概念（十三大题型） 目录： 题型1：平面上的直线 题型2：圆的方程及应用 题型3：圆的位置关系 题型4：圆锥曲线的有关概念 题型5：圆锥曲线有关概念的应用；轨迹方程 题型6：直线与圆锥曲线的位置关系 题型7：焦点三角形；其他简单性质 题型8：圆锥曲线简单的最值问题 题型9：空间几何体的表面积与体积 题型10：空间中的角度问题 题型11：空间中的位置关系综合辨析、填空 题型12：空间向量及其应用 题型13：空间位置关系综合辨析、空间向量的综合应用 题型1：平面上的直线 1．直线的倾斜角为 .（用反三角函数表示） 2．已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 3．直线l过点，法向量，则l的一般式方程为 . 4．若直线：与直线：互相垂直，则 ． 5．若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为 ． 6．直线与直线的夹角的大小是 . 7．若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 题型2：圆的方程及应用 8．已知圆的周长为，则实数的值为 . 9．以为圆心且过点的圆的标准方程是 ． 10．设圆方程为，则圆的半径为 ． 题型3：圆的位置关系 11．已知圆与圆内切，则实数 ． 12．直线与圆相交所得的弦长为 ． 13．若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 14．与圆，都相切的直线有 条． 题型4：圆锥曲线的有关概念 15．抛物线的焦点到其顶点的距离为 ． 16．双曲线的渐近线方程为 . 17．双曲线的右焦点坐标是 ． 18．双曲线的离心率为 ． 19．椭圆的焦距为 ． 20．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的范围是 . 题型5：圆锥曲线有关概念的应用；轨迹方程 21．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 ． 22．设椭圆的焦距为，且，则该椭圆的离心率 . 23．到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 题型6：直线与圆锥曲线的位置关系 24．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是 . 25．已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 题型7：焦点三角形；其他简单性质 26．设，是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为 . 27．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 28．抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C．或 D．或 题型8：圆锥曲线简单的最值问题 29．已知抛物线，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点，则的最小值为 . 30．已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点，则内切圆半径的最大值为 题型9：空间几何体的表面积与体积 31．已知圆柱的底面半径为，高为3，则圆柱的体积为 ． 32．已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则该圆锥的表面积为 ． 33．表面积为的球的体积是 （结果保留） 34．已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1，则该圆锥的母线长为 ． 35．边长为2的正方形绕旋转形成一个圆柱，则该圆柱的表面积为 . 题型10：空间中的角度问题 36．已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ． 37．如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为 . 38．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为 . 题型11：空间中的位置关系综合辨析、填空 39．已知平面，直线，，，满足，，且，互为异面直线，则“且”是“”的 ． 40．已知三条不同的直线a，b，l以及两个不同的平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 41．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面.下列正确命题的序号是 . ①若，，，则    ②若，，，则 ③若，，，则    ④若，，，则 42．是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题： ①，则， ②，则， ③，则， ④，则， 其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号） 43．如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有 条. 题型12：空间向量及其应用 44．空间向量的单位向量的坐标是 ． 45．已知点，，，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为 ． 46．若，则三棱锥O—ABC的体积为 . 47．在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为 ． 题型13：空间位置关系综合辨析、空间向量的综合应用 48．如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（    ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 49．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（    ） A．与垂直 B．与平面垂直 C．与平行 D．与平面平行 50．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平面解析几何 立体几何 考前熟概念（十三大题型） 目录： 题型1：平面上的直线 题型2：圆的方程及应用 题型3：圆的位置关系 题型4：圆锥曲线的有关概念 题型5：圆锥曲线有关概念的应用；轨迹方程 题型6：直线与圆锥曲线的位置关系 题型7：焦点三角形；其他简单性质 题型8：圆锥曲线简单的最值问题 题型9：空间几何体的表面积与体积 题型10：空间中的角度问题 题型11：空间中的位置关系综合辨析、填空 题型12：空间向量及其应用 题型13：空间位置关系综合辨析、空间向量的综合应用 题型1：平面上的直线 1．直线的倾斜角为 .（用反三角函数表示） 【答案】 【分析】由直线的一般式方程求得斜率，根据倾斜角与斜率的关系，建立方程，可得答案. 【解析】由直线，则该直线的斜率为，设其倾斜角为，则， 解得. 故答案为：. 2．已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 【答案】 【分析】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可. 【解析】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 3．直线l过点，法向量，则l的一般式方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，由直线方程的点法式代入计算，即可得到结果. 【解析】直线l的点法式方程为，化简可得. 故答案为： 4．若直线：与直线：互相垂直，则 ． 【答案】0 【分析】根据直线互相垂直求出的值. 【解析】由题意得，解得. 故答案为：0 5．若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为 ． 【答案】 【分析】先用直线平行解出，再利用平行线间的距离公式求解. 【解析】直线与直线平行， 则，解得， 故直线，直线， 这两条直线间的距离为：． 故答案为：. 6．直线与直线的夹角的大小是 . 【答案】/ 【分析】利用两直线夹角公式去求解即可. 【解析】线与直线的斜率分别为， 由直线的夹角公式可得，又，所以. 故答案为：. 7．若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】将直线化为斜截式，利用直线过第一、二、四象限，得斜率为负值，纵截距为正值，即可得出结论. 【解析】由题意直线经过第一、二、四象限， 所以直线的斜率为负值，纵截距为正值. 直线方程化为斜截式：， 所以斜率且纵截距， 所以且， 故选：B. 题型2：圆的方程及应用 8．已知圆的周长为，则实数的值为 . 【答案】-3 【分析】由周长求出圆的半径，从而根据半径得到方程，求出实数的值. 【解析】设圆的半径为r，则由题意，故， 将圆一般式化为标准式得， 则. 故答案为：-3 9．以为圆心且过点的圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】由圆心和圆上的点求出圆的半径，代入圆的标准方程即可. 【解析】圆心为，圆过点，则圆的半径， 所以圆的标准方程是. 故答案为：. 10．设圆方程为，则圆的半径为 ． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得出圆的半径. 【解析】将圆的方程化为标准方程可得，故圆的半径为. 故答案为：. 题型3：圆的位置关系 11．已知圆与圆内切，则实数 ． 【答案】 【分析】根据两圆内切列方程，求解即可解答. 【解析】，故圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为2， 因为两圆内切，所以两圆圆心距离为两半径之差，故，解得. 故答案为： 12．直线与圆相交所得的弦长为 ． 【答案】 【分析】首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再利用几何法求相交弦长即可. 【解析】由，即， 所以圆心为，半径为， 所以到的距离， 综上，直线与圆的相交弦长为. 故答案为： 13．若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差得到公共弦方程，最后求出公共弦长即可. 【解析】圆，即， 所以圆心为，半径为， 圆，即， 所以圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为， 所以两圆相交，两圆方程作差得到，即公共弦方程为， 又圆的圆心到的距离为， 所以公共弦的长为. 故选：B 14．与圆，都相切的直线有 条． 【答案】3 【分析】根据两圆心距离与两个圆的半径和差关系判断两圆位置关系，即可判断公切线条数. 【解析】圆的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为，因为， 所以圆与圆外切，与圆，都相切的直线有3条． 故答案为：3 题型4：圆锥曲线的有关概念 15．抛物线的焦点到其顶点的距离为 ． 【答案】/0.25 【分析】求出抛物线的焦点及顶点即可得解. 【解析】抛物线的焦点为，顶点为， 所以该抛物线的焦点到其顶点的距离为. 故答案为： 16．双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的性质求得渐近线方程. 【解析】由双曲线，可得， 所以双曲线的焦点在轴上的渐近线方程为：. 故答案为：. 17．双曲线的右焦点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义求解. 【解析】因为，所以， 且焦点在x轴上，所以右焦点为. 故答案为：. 18．双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的离心率公式求解即可. 【解析】因为双曲线， 所以， 所以， 所以离心率， 故答案为： 19．椭圆的焦距为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的基本性质计算可得. 【解析】椭圆，即，所以，， 则，所以，则焦距为. 故答案为： 20．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】 方程表示焦点在轴上的椭圆的充要条件是，即可求解. 【解析】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得. 故答案为： 题型5：圆锥曲线有关概念的应用；轨迹方程 21．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 ． 【答案】/0.5 【分析】求出抛物线的焦点坐标及双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算即得. 【解析】抛物线，即的焦点为，双曲线的渐近线方程为， 所以点到直线的距离． 故答案为： 22．设椭圆的焦距为，且，则该椭圆的离心率 . 【答案】/ 【分析】由题意得出，等式两边同时除以，可得出关于的方程，结合可求出的值. 【解析】因为椭圆的焦距为，且，即， 等式同时除以可得，即， 因为，解得. 故答案为： 23．到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【解析】依题意，， 则点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆， 由，得， 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 题型6：直线与圆锥曲线的位置关系 24．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出曲线的图象，数形结合判断直线与曲线的交点个数. 【解析】曲线即，表示以为圆心，以1为半径的一个半圆， 直线表示斜率为1的一组平行线，当直线过时，， 当直线和半圆相切时，由，解得或（舍去）， 要使曲线与直线有两个相异的交点，则b满足， 故答案为：.    25．已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】考虑直线斜率存在：，和不存在三种情况，讨论即可得解. 【解析】因为点不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线斜率时，易知满足条件； 当直线斜率存在且时，设直线方程为， 由，整理得到， 由，解得. 综上所述：满足条件的直线有条. 故选：D 题型7：焦点三角形；其他简单性质 26．设，是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为 . 【答案】3 【分析】根据题意可得，，利用勾股定理可得，即可得面积. 【解析】由题意可知：， 则，， 若，则， 即，可得， 所以的面积为. 故答案为：3. 27．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【解析】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 题型8：圆锥曲线简单的最值问题 28．抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线焦点弦性质及直线的倾斜角、斜率关系计算即可. 【解析】由题意可知，不妨设，， 联立直线与抛物线方程得， 又，而， 则，即或， 所以直线的倾斜角为或. 故选：C    29．已知抛物线，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】作邮抛物线的准线，把转化为到准线的距离，由三点共线得最小值． 【解析】由题意抛物线的准线的方程是， 过作于，则，所以 当且仅当三点共线时，取得最小值， 所以的最小值是8. 故答案为：8. 30．已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点，则内切圆半径的最大值为 【答案】 【分析】利用等面积法即可求解，根据取时最大求解. 【解析】 如图所示，由椭圆定义，，， 则，故， 要使最大，则， 故 故答案为： 题型9：空间几何体的表面积与体积 31．已知圆柱的底面半径为，高为3，则圆柱的体积为 ． 【答案】 【分析】由圆柱的体积公式计算即可. 【解析】由圆柱的体积公式可得. 故答案为：. 32．已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则该圆锥的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积公式及表面积求法计算可得. 【解析】因为圆锥的底面半径，母线， 所以该圆锥的表面积为. 故答案为： 33．表面积为的球的体积是 （结果保留） 【答案】/ 【分析】根据表面积求得球的半径，进而求得球的体积. 【解析】设球的半径为，则， 所以球的体积为. 故答案为： 34．已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1，则该圆锥的母线长为 ． 【答案】 【分析】根据圆锥的结构特征，圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，可根据锐角三角函数进行求解底面圆的半径，再利用勾股定理求解母线. 【解析】已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1， 因为圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形， 所以底面圆半径为1，所以母线长等于. 故答案为：. 35．边长为2的正方形绕旋转形成一个圆柱，则该圆柱的表面积为 . 【答案】 【分析】圆柱的底面半径，母线长，代入公式求值即可. 【解析】该圆柱的底面半径，母线长， 所以该圆柱体的表面积为. 故答案为：. 题型10：空间中的角度问题 36．已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据扇形弧长与圆锥底面周长关系列方程求底面半径，结合圆锥的结构特征求该圆锥的母线与底面所成角余弦值，即可确定大小. 【解析】令底面半径为，则，可得，且圆锥母线为， 所以该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为，故其大小为. 故答案为： 37．如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为 . 【答案】 【分析】利用旋转思想把正方体问题转化到圆锥问题来求解即可. 【解析】 根据，可由题意将所求角转化为将绕旋转所得到的直线与所成的角， 即可将其转移到圆锥中求解，图中直线与重合，圆锥母线为,如下图： 由旋转可转化到， 在正方体中，假设正方体的边长为，则可知 所以，即在圆锥中有，， 由可得， 由等边三角形，可得， 在中，由余弦定理， 从而可得旋转后直线方向向量与直线AB方向向量夹角的余弦值为， 所以直线AB与直线所成角的大小为. 故答案为：. 38．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为 . 【答案】/ 【分析】根据平面可知即为所求角，利用可求得结果. 【解析】连接， 平面，即为直线与平面所成角， 在中，，， . 故答案为：. 题型11：空间中的位置关系综合辨析、填空 39．已知平面，直线，，，满足，，且，互为异面直线，则“且”是“”的 ． 【答案】充要条件 【分析】根据题意，分别证明命题的充分性成立和必要性成立即可. 【解析】证明充分性，如图，因为，互为异面直线，且，， 则平面内必存在两条相交直线与分别与，平行，即，，如下图示： 因为且，所以，，，且，，，所以；充分性成立； 证明必要性，若，则垂直平面内任一直线，且，，则，，所以，，；必要性成立. 所以“且”是“”的充要条件． 故答案为：充要条件 40．已知三条不同的直线a，b，l以及两个不同的平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据直线、平面之间的位置关系作出判断. 【解析】对于A选项，若，则或，故A错误； 对于B选项，若，则，故B正确； 对于C选项，若，则与可以异面，故C错误； 对于D选项，若，如果与相交，则，但如果，则或或与斜交，故D错误. 故选：B. 41．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面.下列正确命题的序号是 . ①若，，，则    ②若，，，则 ③若，，，则    ④若，，，则 【答案】② 【分析】举例说明判断①③④；利用相关性质推理判断②作答. 【解析】对于①，在长方体中，平面，平面分别为， 直线分别为直线，显然有，，，而，①错误；    对于②，因为，，当时，由，得， 当n不在平面内时，则存在过直线的平面与都相交，令交线分别为， 则有，而，，于是，因此，②正确； 对于③，在长方体中，平面，平面分别为， 直线分别为直线，满足，，，而，③错误； 对于④，在长方体中，平面，平面分别为， 直线分别为直线，满足，，，而，④错误， 所以正确命题的序号是②. 故答案为：② 42．是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题： ①，则， ②，则， ③，则， ④，则， 其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号） 【答案】①④ 【分析】根据立体几何相关定理逐项分析. 【解析】对于①，，必然存在一个平面使得，并且，又，正确； 对于②，如果，则结论不成立，错误； 对于③，如图：   ，构造平面，使得，并且，则，在平面内，作直线n，使得，显然，错误； 对于④，，又，正确； 故答案为：①④. 43．如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有 条. 【答案】3 【分析】利用异面直线的判定定理判断即可. 【解析】空间直线的位置关系有平行、相交、异面，即不平行也不相交则异面， 由图可知九条棱中，，，，，与相交， 没有直线与平行， 所以与直线是异面直线的共有3条，分别为，，， 故答案为：3 题型12：空间向量及其应用 44．空间向量的单位向量的坐标是 ． 【答案】 【分析】单位向量只需根据即可求出. 【解析】，，. 故答案为： 45．已知点，，，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】先求出平面ABC与平面xOy的法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可. 【解析】因为，，， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 平面xOy的一个法向量为， 所以， 所以平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为. 故答案为： 46．若，则三棱锥O—ABC的体积为 . 【答案】 【分析】根据空间向量的坐标运算，求得棱锥底面积和高，结合棱锥的体积计算公式，即可求得结果. 【解析】根据已知可得：，即， 又， 故△的面积； 不妨取平面的一个法向量， 则点到平面的距离， 故三棱锥O—ABC的体积. 故答案为：. 47．在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为 ． 【答案】 【分析】根据点面距公式代入计算即可得. 【解析】由点面距公式得. 故答案为：. 题型13：空间位置关系综合辨析、空间向量的综合应用 48．如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（    ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 【答案】B 【分析】以为基底结合图形，利用空间向量的线性运算推理作答. 【解析】在平行六面体中，令，，， 则，， ， ，因为不共线所以与不平行，故A错误. ， ，即有，，有公共点， 所以、、三点共线，B选项正确. 因为点在直线上，点也在直线上所以与是相交直线， 故C选项错误. 因为，所以，故D选项错误. 故选：B 49．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（    ） A．与垂直 B．与平面垂直 C．与平行 D．与平面平行 【答案】C 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法逐一判断即可. 【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设， 则 ， 对于A，， 则，所以，故A正确； 对于B，，则，所以， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于C，， 若与平行，则存在唯一实数使得， 所以，无解， 所以与不平行，故C错误； 对于D，， 设平面的法向量， 则有，可取， 因为，且平面， 所以平面，故D正确. 故选：C. 50．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案. 【解析】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$