专题04 一次函数（广东专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题04 一次函数 题型概览 题型01函数的概念 题型02函数解析式 题型03函数的三种表示 题型04函数图象的识别 题型05函数图象的应用 题型06正比例函数 题型07一次函数的概念 题型08一次函数的图象 题型09一次函数的解析式 题型10一次函数的性质 题型11一次函数图象的平移 题型12一次函数与方程 题型13一次函数与不等式 题型14求图形的面积 题型15一次函数的实际应用——分配问题 题型16一次函数的实际应用——利润问题 题型17一次函数的实际应用——行程问题 题型18一次函数与几何综合 SHAPE \* MERGEFORMAT 函数的概念 1．（23-24八年级下·广东·期末）王司机到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中的常量是（    ） A．金额 B．数量 C．金额和数量 D．单价 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量．根据常量与变量的定义即可判断． 【详解】解：解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， 故选：D． 2．（23-24八年级下·广东·期末）当圆的半径 由小到大变化时，圆的面积 也随之发生变化．在这一变化过程中，以下说法错误的是（    ） A． ， 是变量 B． 是 的函数 C． 是 的函数 D． 随 的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的概念．根据函数的概念，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、 ， 是变量，故本选项正确，不符合题意； B、 是 的函数，故本选项正确，不符合题意； C、 是 的函数，故本选项错误，符合题意； D、 随 的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； 故选：C 3．（23-24八年级下·广东·期末）肥料的施用量与产量之间有一定的关系．研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量 土豆产量 根据表格可知，下列说法正确的是（    ） A．氮肥施用量是 时，土豆产量为 B．氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量 C．土豆产量为 时，氮肥的施用量一定是 D．氮肥施用量越大，土豆产量越高 【答案】B 【分析】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义及其变化关系是正确判断的前提．从表格中的变量之间的变化关系以及对应值逐项进行判断即可． 【详解】A、根据表中的数据，无法判断氮肥施用量是 时，土豆产量为 ，故选项错误； B、根据题意分析可得，氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量，故选项正确； C、上表中土豆产量为 时，氮肥的施用量可能是 ，还有可能有其他值，故选项错误； D、随着氮肥施用量的增大，土豆产量先是逐渐的增加，然后又逐渐减少，故选项错误； 故选：B 4．（23-24八年级下·广东·期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的定义，对于两个变量x、y，若对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，那么y就叫做x的函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：B、C、D三个选项中，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，故三个选项中的图象都能表示y是x的函数， A选项中，当x为正数时，对于x的每一个值，y都有两个值与之对应，故该选项中的图象不能表示y是x的函数， 故选：A． SHAPE \* MERGEFORMAT 函数解析式 1．（23-24八年级下·广东汕头·期末）檀香具有镇静安神、调理脾胃等功效，已知某品牌檀香线每支长 ，每分钟燃烧的长度是 ，檀香线剩余长度 与燃烧时间x（分钟）之间的关系为 （不需要写出自变量的取值范围）. 【答案】 / 【分析】本题考查的是一次函数的应用，根据燃烧速度和燃烧时间求出燃烧长度，根据题意列出函数关系式． 【详解】解：∵每分钟燃烧的长度是 ，燃烧时间x分， ∴燃烧的长度为 ， ∴檀香线剩余长度 与燃烧时间x（分钟）之间的关系为： ， 故答案为： ． 2．（23-24八年级下·广东河源·期末）已知等腰三角形的底为3，腰长为x，则周长y关于腰长x的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，正确得出函数关系式是解题的关键．据周长等于三边之和可得出 和 的关系式． 【详解】解： 等腰三角形的底为3，腰长为 ， ， 故答案为： ． 3．（23-24八年级下·广东·期末）长方形的周长为 ，其中一边长为 ，面积为 ，则 与 的关系可表示为 . 【答案】 【分析】本题考查了求函数解析式，根据题意列出函数解析式即可，读懂题意，找到变量之间的数量关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为： ． 4．（23-24八年级下·广东·期末）王大爷要围成一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长恰好为 米，要围成的菜园是如图所示的长方形 ，设 边的长为 米， 边的长为 米，则 与 的关系式是 ． 【答案】 【分析】根据周长的意义进行计算即可． 【详解】解：由周长的意义可知， ， 故答案为： 【点睛】本题考查由实际问题抽象出函数关系式，理解周长的定义是解决问题的关键． 5．（23-24八年级下·广东中山·期末）函数 中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式的定义，熟练掌握二次根式的有意义的条件是解题关键．根据二次根式的有意义的条件建立不等式求解即可解题． 【详解】解：由题知， ， 解得 ， 故答案为：B． 6．（23-24八年级下·广东·期末）在函数 中，自变量 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为 ，判断即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得： ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式含有分式时，考虑分式的分母不能为 ；③当函数表达式含有二次根式时，被开方数非负． 7．（23-24八年级下·广东·期末）在函数 中，自变量 的取值范围是 ． 【答案】 且 / 且 【分析】本题主要考查了函数的自变量的取值范围及分式有意义的条件，根据分式的分母不为零和二次根式被开方数为非负数，即可确定自变量 的取值范围，即可求解． 【详解】解：函数 中 ，且 ， 解得： 且 ， 故答案为： 且 ． SHAPE \* MERGEFORMAT 函数的三种表示 1．（23-24八年级下·广东·期末）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料--纳米气凝胶，该材料导热率 与温度 的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为 ，则温度为 ． 温度 100 150 200 250 300 350 导热率 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 【答案】 【分析】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案． 【详解】解：根据题意，温度每增加 ，导热率增加 ， 所以 ． 所以，当导热率为 时，温度为 ， 故答案为： ． 2．（23-24八年级下·广东佛山·期末）在一次实验中，把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，所挂物体的质量与弹簧长度的对应值如下： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 18 20 22 24 26 28 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系，并指出哪个是自变量，哪个是因变量； (2)不挂物体时，弹簧长_________ ； (3)求当所挂物体的质量为 （在弹性限度内）时弹簧的长度； (4)求当弹簧长度为 （在弹性限度内）时所挂物体的质量． 【答案】(1)所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量 (2)18 (3) (4) 【分析】本题考查函数的表示方法，理解表格中弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系是正确判断的关键． （1）根据变量常量的定义结合题意进行判断即可； （2）根据表格中的数据，当所挂物体质量为0时，随对应的弹簧的长度即可； （3）根据表格中两个变量的变化规律得出答案； （4）利用两个变量的变化规律进行计算即可． 【详解】（1）解：表格中反映的是弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系，其中所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2）解：当所挂物体质量为0时，所对应的弹簧长度是 ， 故答案为：18； （3）解：由表格中弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系可知，当所挂物体质量每增加 ，弹簧的长度就增长 ，所以当所挂物体质量为 时，弹簧的长度为 ， 答：当所挂物体的质量为 时，弹簧长度是 ； （4）解：由弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系可知，当弹簧长度为 时，所挂物体的质量为 ， 答：当弹簧长度为 （在弹性限度内）时，所挂物体的质量是 ． 3．（23-2八年级下·广东佛山·期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度 随所挂物体的质量 变化关系的图象如下： (1)上图反映哪两个变量之间的关系？ (2)根据上图，补全表格： 0 1 2 5 7 12 16 (3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？ 【答案】(1)弹簧的长度 与所挂物体的质量 的变化关系 (2)见解析 (3)当所挂物体的质量不超过 时，所挂物体的质量 每增加 ，弹簧的长度增加 ；当所挂物体的质量超过 时，弹簧的长度为 ，不随所挂物体的质量 的变化而变化． 【分析】本题考查了函数的基本概念，函数的表示方法： （1）直接观察图象，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解； （3）直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：反映了弹簧的长度 与所挂物体的质量 的变化关系； （2）解：根据上图，补全表格： 0 1 2 4 5 7 8 10 12 16 18 18 （3）解：由图象得： 当所挂物体的质量不超过 时，所挂物体的质量 每增加 ，弹簧的长度增加 ； 当所挂物体的质量超过 时，弹簧的长度为 ，不随所挂物体的质量 的变化而变化． 4．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）清明假期，刘老师乘车从学校到井冈山观赏映山红，缅怀革命先烈．已知学校距离井冈山 ，车行驶的平均速度为 ， 后刘老师距离井冈山 ，则 与 之间的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用关系式表示变量间的关系，根据“路程、速度、时间”之间的关系解答即可； 【详解】解：根据题意有： ， 故选：A． 5．（23-24八年级下·广东深圳·期末）根据以下信息，探索完成任务： 如何选择合适的话费套餐 素材1 中国移动A套餐：月租费为58元/月，套餐内每月可拨打国内电话150分钟，超出套餐部分拨打国内电话0.19元/分钟． 素材2 中国移动B套餐：月租费为88元/月，套餐内每月可拨打国内电话350分钟，超出套餐部分拨打国内电话0.19元/分钟． 素材3 中国移动推出的A，B两种套餐都在全国范围内接听免费，含来电显示． 套餐收费说明：如A套餐计费方法中，若拨打国内电话时长小于等于150分钟，则只收月租费58元/月；若拨打国内电话时长为180分钟，则该月计费为 元． 任务一 某用户选择中国移动B套餐： 若该月拨打国内电话时长为200分钟，则该用户的月缴费为 元； 若该月拨打国内电话时长为380分钟，则该用户的月缴费为 元． 任务二 若选择A套餐计费方法，设某用户一个月的拨打国内电话时长为x分钟 ，该月话费为 元，则 与x的关系式是 ；若选择B套餐计费方法，设某用户一个月的拨打国内电话时长为x分钟 ，该月话费为 元，则 与x的关系式是 ． 任务三 若某用户某月拨打国内电话总时长为250分钟，你认为他应该选择上述两种套餐中的哪一种较为合算？请说明你的理由． 【答案】任务一：88，93.7，任务二： ； ，任务三：选择A套餐较为划算，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，变量之间的关系，一次函数，解题的关键是列出解析式； 任务一：选择中国移动B套餐，200分钟低于350分钟，收费即为月租费，380分钟高于350分钟，收费即为月租费加上超出的30分钟的费用，据此计算即可； 任务二：根据题意，根据月缴费等于月租费加上超出分钟数乘以超出每分钟的费用的乘积列式化简即可； 任务三：分别求出总时长为250分钟条件下的费用，比较大小即可得解． 【详解】解：任务一：∵该用户选择中国移动B套餐，且该月拨打国内电话时长为200分钟， ∴该用户的月缴费即为月租费88元； ∵该用户选择中国移动B套餐，且该月拨打国内电话时长为380分钟， ∴该用户的月缴费为： ； 故答案为：88，93.7； 任务二：选择A套餐计费方法， 依题意得： ，即 ， 选择B套餐计费方法， 依题意得： ，即 ， 故答案为： ； ； 任务三：选择A套餐较为划算，理由如下： 当 时， （元） 由于 ，故 （元）， ， 故选择A套餐较为合算． 6．（23-24八年级下·广东·期末）某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式： ，则下列说法错误的是（    ） A．时间是自变量，水位高度是因变量 B．y是变量，它的值与x有关 C．当 时， D．当 时， 【答案】C 【分析】本题考查了函数关系式，根据给出的函数关系式 结合函数的性质逐一判断即可求解，熟练掌握函数关系式的意义是解题的关键． 【详解】解：A、时间是自变量，水位高度是因变量，则正确，故不符合题意； B、y是变量，它的值与x有关，则正确，故不符合题意； C、当 时，即 ， 解得： ，则错误，故符合题意； D、当 时，即 ，则正确，故不符合题意； 故选C． 7．（23-24八年级下·广东深圳·期末）2024深圳市梧桐山第九届毛棉杜鹃花会正式拉开帷幕，小明决定登梧桐山赏花．如图1，他以一定的速度沿路线“梧桐山北门—万花屏—好汉坡—大梧桐—深外高中站”步行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他到达深外高中站时，共用去 ．小明步行的路程 与游览时间 之间的部分图象如图2所示．根据图回答下列问题： (1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为 ，因变量为 ； (2)他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 千米/时； (3)小明在景点好汉坡处逗留的时间是 小时； (4)图2中点A表示 ． 【答案】(1)小明的游览时间，小明步行的路程 (2)4 (3)0.35 (4)小明游览时间为 时，步行的路程为 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，读懂图象是解题的关键． （1）由题意直接得到； （2）计算出从万花屏到好汉坡的路程和时间，从而得解； （3）计算出从好汉坡到大梧桐的路程，继而算出时间，从而得解； （4）根据其横纵坐标说明即可． 【详解】（1）由题意可知：自变量为小明的游览时间，因变量为小明步行的路程． 故答案为：小明的游览时间，小明步行的路程； （2）由图象可知：从万花屏到好汉坡，路程为： ， 时间为： ∴他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 故答案为：4； （3）由图象可知：从好汉坡到大梧桐的路程为： ， ∴从好汉坡到大梧桐的运动时间为： ， ∴在景点好汉坡处逗留的时间是 ， 故答案为：0.35； （4）由图象可知：小明游览时间为 时，步行的路程为 ． 故答案为：小明游览时间为 时，步行的路程为 ． 8．（23-24八年级下·广东清远·期末）人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘，德国心理学家艾宾浩斯第一个发现了记忆遗忘规律．他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线，观察图象并回答下列问题： (1)其中自变量是__________，因变量是__________； (2)在以下哪个时间段内遗忘的速度最快？填序号__________ ①     ②     ③     ④ (3)图中B点表示的意义是__________； (4)老师要求我们“堂堂清”、“日日清”，请结合艾宾浩斯遗忘曲线谈谈你的看法？ 【答案】(1)时间，记忆保持量 (2)① (3)记忆9小时后记忆保持量约为 (4)见解析 【分析】本题主要考查了图象表示变量之间的关系． （1）根据自变量和因变量的定义分析判断即可； （2）结合图象可知， 内曲线下降的最快，即可获得答案； （3）对照艾宾浩斯遗忘曲线的横纵轴代表的意义可得出结论； （4）可以结合我们实际学习生活回答即可． 【详解】（1）解：由图象可知，其中自变量是时间，因变量是记忆保持量． 故答案为：时间，记忆保持量； （2）由图象可知，在学习后 内遗忘的速度最快． 故答案为：①． （3）结合图象可知，图中 点表示的意义是：记忆9小时后记忆保持量约为 ； 故答案为：记忆9小时后记忆保持量约为 ； （4）如不复习，会很快忘掉很多，只能保持大约 的记忆保持量；老师要求学生“堂清”、“日清”，提示我们学习后要及时复习． 9．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，可以近似的刻画下列哪种实际情境中的变化关系（    ） A．一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系） B．一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系） C．足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系） D．匀速行驶的汽车（速度与时间的关系） 【答案】C 【分析】本题考查利用图象表示函数关系．根据函数的图象可以得到因变量随着自变量的增大而增大，随后又随着自变量的增大而减小．逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：因变量随着自变量的增大而增大，随后又随着自变量的增大而减小． A．一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系），水温随着时间的增加而下降，故该选项不符合题意； B．一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系），高度随着时间的增加而增大， ，故该选项不符合题意； C．足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系），高度随着时间的增加先增大，后减小，故该选项符合题意； D．匀速行驶的汽车（速度与时间的关系），速度不随着时间的变化而变化．故该选项不符合题意； 故选：C． 10．（23-24八年级下·广东河源·期末）如图为一蓄水池的横断面示意图，若以固定的水流量往这个蓄水池注水，下列图象中能大致表示在蓄水池中水的深度h和时间t之间关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的底面积大，故 与 的关系变为先慢后快． 【详解】解：根据题意和图形的形状， 可知水的最大深度 与时间 之间的关系分为两段，先慢后快． 故选：D． SHAPE \* MERGEFORMAT 函数图象的识别 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）下列各曲线中， 不是关于 的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象的判断，根据函数的定义：对于 的每一个取值， 都有唯一确定的值与之对应进行即可，正确理解函数的定义是解题的关键． 【详解】 、对每一个 的值，都有唯一确定的 值与之对应， 是关于 的函数； 、对每一个 的值，都有唯一确定的 值与之对应， 是关于 的函数； 、对给定的 的值，有几个 值与之对应， 不是关于 的函数； 、对每一个 的值，都有唯一确定的 值与之对应， 是关于 的函数； 故选： ． 2．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口 处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为 ，水位高度为 ，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象问题．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．由于原来水位较低，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，结合下面容器截面面积大于上面，由此即可作出判断． 【详解】解： ∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面， ∴前面水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快， ∴A符合题意，B，C，D不符合题意． 故选A． 3．（23-24八年级下·广东中山·期末）李明周末去菜市场买菜，从家中走 分钟到一个离家 米的菜市场，买菜花了 分钟，之后用 分钟返回家里．如图表示李明离家距离 (米)与外出时间 (分)之间关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，正确理解题意和函数图象横纵坐标的意义是解题的关键． 按时间可将图象分为三段： 分钟，小明离家距离从 增加到 ； 分钟，小明离家距离没有变化； 分钟，小明离家距离从 米减少为 ；据此即可选择． 【详解】解：根据题意可得：从家中走 分钟到一个离家 米的菜市场，即 分钟，小明离家距离从 增加到 米； 买菜花了 分钟，即 分钟，小明离家距离没有变化； 之后用 分钟返回家里，即 分钟，小明离家距离从 米减少为 ， 故选： ． 4．（23-24八年级下·广东·期末）小丽从甲地开车去乙地，先加速行驶，后匀速行驶，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后开始加速行驶，然后又匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 根据横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择． 【详解】解：加速行驶时，速度逐渐增加， 匀速行驶时，速度不变， 开到服务区时，速度逐渐减少， 加油时，速度为0， 加满油后开始加速行驶时，速度增加， 最后匀速行驶时，速度不变， 综上：只有C符合题意； 故选：C． 5．（23-24八年级下·广东惠州·期末）“1000米跑”是体育中考男生必考项目，体育老师一声令下，小明立即开始慢慢加速，途中一直保持匀速，最后400米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小明跑步时的速度 （单位：米／分）与时间 （单位：分）之间的大致图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，发现速度的变化关系是解题关键． 根据小明的速度的变化判断即可． 【详解】解：由小明立即开始慢慢加速，此时速度随时间的增大而增加；途中一直保持匀速，此时速度不变，图象与 轴平行；最后400米时奋力冲刺跑完全程，此时速度随时间的增大而增加，且图象比开始一段更陡． 故选项B符合题意． 故选：B． SHAPE \* MERGEFORMAT 函数图象的应用 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）小红和小明从甲地出发，骑自行车沿同一条路到距甲地24千米的乙地参加活动．如图，折线 和线段 分别表示小红和小明离甲地的距离 （单位： ）与时间 （单位： ）之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，当小明到达乙地时，小红距乙地 千米． 【答案】4 【分析】本题考查函数图象的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 观察图象，由两人到达乙地时的横坐标即可求解；可得小红在 段的速度为 ，根据路程 速度 时间可得此时小红行驶的路程，再求与乙地的差值即可． 【详解】解：由图象可知，当小明到达乙地时，小红还有 小时到达乙地， 由图象可得，小红在 段的速度为： ， 则此时小红距乙地 ， 故答案为：4． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家．小丽离家距离 与时间 之间的关系如图所示． 下列结论错误的是（   ）． A．小丽家到便利店距离500米 B．小丽在便利店停留了5分钟 C．小丽步行的速度是 D．小丽骑自行车的速度是步行速度的1.5倍 【答案】D 【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图是解题的关键．根据图象逐项分析即可． 【详解】解：由图象可得， A．小丽家到便利店距离500米，正确； B． ∴小丽在便利店停留了5分钟，正确； C． ∴小丽步行的速度是 ，正确； D．小丽骑自行车的速度为 ∴ ∴小丽骑自行车的速度是步行速度的2倍，故选项错误． 故选：D． 3．（23-24八年级下·广东江门·期末）周末，小明出去购物；如图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的关系图象，根据图示信息，下列说法不正确的是（　　） A．小明去时的速度为6千米/小时 B．小明在超市停留了10分钟 C．小明去时花的时间大于回家所花的时间 D．小明去时走下坡路，回家时走上坡路 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的图象，理解函数图象每个时间段图象的变化意义时解题关键．A．去时的路程为2千米，时间为20分钟，根据“速度 路程 时间”即可判断；B．在超市停留的时间段为函数图象水平的一段，以此即可判断；C．根据图象可知，小明去超市所花的时间为20分钟，回家所花的时间为 分钟，再计较大小即可判断；D．函数图象表示的是距离和时间的关系，因此不能判断出小明去时走下坡路，回家时走上坡路． 【详解】解：A． 小明去时的路程为2千米，时间为20分钟 小时， 小明去时的为 （千米 小时），故A选项正确，不符合题意； B．小明在超市停留的时间为 （分钟），故B选项正确，不符合题意； C．小明去超市所花的时间为20分钟，回家所花的时间为 （分钟）， ， 小除去时花的时间多于回家所花的时间，故C选项正确，不符合题意； D． 函数图象表示的是距离和时间的关系， 不能判断出小陈去时走下坡路，回家时走上坡路，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图1，在 中， ，点 是 的中点，动点 从点 出发沿 运动到点 停止．设点 的运动路程为 ， 的面积为 ， 与 的图象如图2所示，则 的面积为（   ）    A．10 B．16 C．20 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了与动点问题有关的两个变量间的图象关系：图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是求出 和 的长．由图象可知：当 时， 等于4，由此可得出 的长，进而得出 的长；当 时，面积最大，且面积发生转折，此时点 和点 重合，可得 ，由直角三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：由图象可知：当 ，即 时， ∴ ，即 ， 解得 ， 点 是 的中点， ， 当 时，面积发生转折，此时点 和点 重合， ， 在 中， ， ， ， ． 故选：C． SHAPE \* MERGEFORMAT 正比例函数 1．（23-24八年级下·广东惠州·期末）已知y与x成正比例，且 时， ，则y与x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，根据题意设出函数解析式，将当 时， ，代入解析式，列出方程，求出未知系数，即可得所求解析式． 【详解】解：设y与x的函数解析式为 ， 把 ， 代入 ，得： ， 解得， ， ∴y与x的函数解析式为 ， 故答案为： . 2．（23-24八年级下·广东惠州·期末）下列函数是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正比例函数的概念，根据正比例函数的表达式 即可求解． 【详解】解：A、 ，是正比例函数，符合题意； B、 ，不是正比例函数，不符合题意； C、 ，不是正比例函数，不符合题意； D、 ，不是正比例函数，不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知正比例函数的图象过点 ，则该函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解正比例函数的解析式，直接利用待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】解：设正比例函数解析式为 ， ∵正比例函数的图象过点 ， 解得： ， ∴该函数的解析式为 ； 故答案为： 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知正比例函数 ，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D． 随 的增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：A、正比例函数 ，图象是一条直线，故该选项不符合题意； B、当 时， ，图象不经过点 ，故该选项不符合题意； C、 ，图象经过第一、三象限，故该选项符合题意； D、 ，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意． 故选：C． 5．（23-24八年级下·广东云浮·期末）一个正比例函数的图象经过点 ， ，求 的值． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求正比例函数解析式，以及正比例函数图象上的点的特征．将点 代入解析式，求出 的值，再将点 分别代入解析式，求出 的值即可． 【详解】解：设正比例函数的解析式为 ． 把点 代入， 得 ， 解得 ， 正比例函数的解析式为 ． 把点 代入 ， 得 ， 解得 ． 6．（23-24八年级下·广东广州·期末）关于函数 ，下列结论错误的是（    ） A．它是正比例函数 B．图象是一条直线 C．图象经过 D．图象经过第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义，正比例函数图像上点的坐标特征以及正比例函数的性质，据此逐一分析各选项即可作出判断．解题的关键是掌握正比例函数的定义、图像及性质． 【详解】解：A. 函数 是正比例函数，说法正确，不符合题意； B.函数 图象是一条直线，说法正确，不符合题意； C.当 时， ，函数 图像经过 ，说法正确，不符合题意； D.函数 图象经过第一、三象限，原说法错误，符合题意； 故选：D． 7．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，正比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数 的大小关系是 ．（填“ ”、“ ”或“ ”） 【答案】 【分析】本题考查饿了正比例函数的性质，根据直线越靠近 轴 越大，即可判定求解，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线越靠近 轴 越大，且由图象可知 为正数， ∴ ， 故答案为： ． SHAPE \* MERGEFORMAT 一次函数的概念 1．（23-24八年级下·广东汕头·期末）下列函数中，是一次函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的定义．形如 的函数叫做一次函数，根据定义，逐项判断即可． 【详解】解：A.是二次函数，此项不符合题意； B.是常数函数，此项不符合题意； C.是一次函数，此项符合题意； D.是反比例函数，此项不符合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级下·广东汕头·期末）下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的识别，一次函数形如 ，其中k，b为常数，由此逐项判断即可． 【详解】解：A． 不是一次函数，不合题意； B． 不是一次函数，不合题意； C． 是一次函数，符合题意； D． 不是一次函数，不合题意； 故选C． 3．（23-24八年级下·广东·期末）已知函数 是关于x的一次函数，则m的值是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的概念可得 ， ，求解即可得出答案． 【详解】解： 函数 是关于x的一次函数， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一次函数的概念，根据题意得到关于 的不等式和方程是解题的关键． 4．（23-24八年级下·广东·期末）若函数y=(m-2)x+5是一次函数，则m满足的条件是 ． 【答案】m≠2. 【分析】根据一次函数的定义求解即可. 【详解】解：∵函数y=(m-2)x+5是一次函数， ∴m﹣2≠0，即m≠2. 故答案为m≠2. 【点睛】本题考查一次函数的定义. 一次函数解析式 y=kx+b 的结构特征： （1）k是常数，k≠0 ；（2）自变量x的次数是1；（3）常数项b可以为任意实数． 5．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）若点 在函数 的图象上，则 的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 ”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出 ，解之即可求出 的值． 【详解】解：∵点 在函数 的图象上， ∴ ， 解得： ． 故选：A 6．（23-24八年级下·广东汕尾·期末）下列各点中，在一次函数 的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，分别代入 、 、 及 求出 值，对照各选项中点的纵坐标后即可得出结论．解题的关键是牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 ． 【详解】解：A、当 时， ， ∴点 不在一次函数 的图象上，故选项不符合题意； B． 当 时， ， ∴点 不在一次函数 的图象上，故选项不符合题意； C． 当 时， ， ∴点 在一次函数 的图象上，故选项符合题意； D． 当 时， ， ∴点 不在一次函数 的图象上，故选项不符合题意； 故选：C． 7．（23-24八年级下·广东广州·期中）已知： ． (1)化简A； (2)若点 是一次函数 图象上的点，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减运算、一次函数图象上的点．注意化简的准确性． （1）利用异分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果； （2）把 点坐标代入一次函数解析式求出 的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵点 是一次函数 图象上的点， ∴ ，即 ， ∴原式 ． SHAPE \* MERGEFORMAT 一次函数的图象 1．（23-24八年级下·广东·期末）一次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，由一次函数的图像得出 ， ，从而得到 ，进而得出一次函数 的图像经过一、二、三象限，即可得出答案，熟练掌握一次函数的图像与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由一次函数 的图像可得： ， ， ∴ ， ∴一次函数 的图像经过一、二、三象限，如图， ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）一次函数 不经过第三象限，则 的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考差了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键； 根据一次函数 在坐标平面内的位置关系先确定k，b的取值范围，再根据k，b的取值范围确定一次函数 在坐标平面内的位置关系，从而求解 【详解】 一次函数 不经过第三象限， 该函数经过第一、二、四象限， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 经过第一、三、四象限， 故选：A． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）已知一次函数 ，则该函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，先由 得该一次函数是过点 和点 的一条直线，由此对题目中给出的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：对于 ，当 时， ，当 时， ， ∴一次函数 是过点 和点 的一条直线， 对于选项A，符合题意； 对于选项B，函数的图象经过点 和点 ，故该选项不符合题意； 对于选项C，函数的图象经过点 和点 ，故该选项不符合题意； 对于选项D，函数的图象经过点 和点 ，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．（23-24八年级下·广东·期末）已知一次函数 （k，b为常数，且 ，y随着x的增大而减小，且 ，则该一次函数在平面直角坐标系内的大致图像是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据y随着x的增大而减小，得到 ，再根据 ，得到 ，进而得到直线过二，三，四象限，进行判断即可． 【详解】解：∵y随着x的增大而减小， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴一次函数 的图像过二，三，四象限， 故符合题意的只有B选项； 故选B． 【点睛】本题考查判断一次函数的图像．熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键． 5．（23-24八年级下·广东·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数 的图象过点 ，则该函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由函数 的图象过点 求出函数的解析式，再进行判断即可． 【详解】解：∵函数 的图象过点 ， ∴ ， ∴ ， ∴该函数的解析式是 ， ∴该直线与y轴交于点 ，且过点 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和图象上点的坐标特征，属于基础题型，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键． 6．（23-24八年级下·广东江门·期末）已知一次函数 经过 、 两点，则它的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数图像上点的坐标特征及一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，先根据题意得出一次函数的解析式是解本题的关键． 将 、 分别代入一次函数解析式 中，得到关于 与 的二元一次方程组，求出方程组的解得到 与 的值，确定出一次函数解析式，利用一次函数的性质即可得到一次函数图像不经过第三象限． 【详解】解：将 、 代入一次函数 中得： ， 把②代入①得， ， 解得 ， ， 一次函数解析式为 不经过第三象限． 故选：C． 7．（23-24八年级下·广东东莞·期末）一次函数 的图象经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数 （ 为常数， ）是一条直线，当 时，图象经过一、三象限， 随 的增大而增大，当 时，图象经过二、四象限， 随 的增大而减小，图象与 轴的交点坐标为 ，由一次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数 ∴ ， ， ∴一次函数 的图象经过第一、二、三象限， 故选：A． 8．（23-24八年级下·广东·期末）已知一次函数 的图像如图所示，则 ， 的取值范围是（   ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是数形结合．根据一次函数的图像所在的象限并结合一次函数的性质即可求解． 【详解】解： 一次函数 的图像过一、三象限， EMBED Equation.DSMT4 ， 一次函数 的图像与 轴交于负半轴， EMBED Equation.DSMT4 ， 故选：B． 9．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知一次函数 的图象不经过第四象限． (1)求 的取值范围； (2)当 时，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)在（2）的情况下，当 时，根据图象求出 的取值范围． 【答案】(1) 的取值范围是 (2)图见详解 (3) 的取值范围是 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意不等式组即可求解； （2）根据 ，求出一次函数解析式，然后画函数图像即可． （3）将 和 分别代入 中，分别求出 的值，即可求出 的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数 的图象不经过第四象限， ∴ ， 解得 ， ∴ 的取值范围是 ． （2）解：当 时，一次函数解析式为 即 ， 在图上画上该函数的图象如下： （3）解：将 和 分别代入 中， 可分别得出 和 ， ∴当 时， 的取值范围 ． 10．（23-24八年级下·广东湛江·期末）已知一次函数 的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、解一元一次不等式组，根据函数图象经过的象限列m的不等式组求解即可． 【详解】解：∵一次函数 的图象经过第一、二、四象限， ∴ ，解得 ， 即m的取值范围为 ． 故答案为： ． 11．（23-24八年级下·广东惠州·期末）已知函数 的图象不经过第二象限，且该函数图象经过点 ，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征即可判断． 【详解】解： 一次函数 的图象不经过第二象限，且经过点 ， ， ， ， ， ， ， 结论中A，B，D正确，不符合题意；错误的是C，符合题意； 故选：C． 12．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知直线 与直线 在同一直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，数形结合是本题的关键．根据两个一次函数的图象逐一分析系数符号即可解决． 【详解】解：A、直线 中 ， ， 中 ， ，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意； B、直线 中 ， ， 中 ， ，k、b的取值一致，故本选项符合题意； C、直线 中 ， ， 中 ， ，k的取值相矛盾，故本选项不符合题意； D、直线 中 ， ， 中 ， ，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意． 故选：B． 13．（23-24八年级下·广东汕头·期末）若一次函数 的图象（ 是常数）与 轴交于正半轴，则 的值可能是（   ） A．2 B．4 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质、解一元一次不等式，解题的关键是掌握一次函数常数项与函数图象的关系．根据一次函数图象与y轴的正半轴相交，可知常数项为正数，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解： 一次函数 的图象（ 是常数）与 轴交于正半轴， ， 解得： ， 在四个选项中只有B符合题意， 故选：B． 14．（23-24八年级下·广东湛江·期末）一次函数 与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，熟知一次函数图象上的点的坐标特征是解题的关键． 根据y轴上的点的横坐标为0，可令 ，求出y的值即可． 【详解】解：令 ，可得： ， ∴一次函数的图像与x轴的交点坐标是 ． 故答案为： ． 15．（23-24八年级下·广东韶关·期末）已知直线 与两坐标轴的交点分别为 、 ，则 的周长为 (   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理；先求出直线 与两坐标轴的交点，再求出 的长度，即可得出答案． 【详解】解：当 时， ， 当 时， ， ， 则 的周长为 ． 故选：A． 16．（23-24八年级下·广东汕头·期末）已知 与 成正比例关系，且当 时， ． (1)求 与 的函数关系式； (2)在平面直角坐标系中，请直接画出该函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查了求函数解析式和一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． （1）设 ，当 时， ．代入求出k的值即可得到答案； （2）根据一次函数图象是直线，经过两点作直线即可． 【详解】（1）解：∵ 与 成正比例关系， 设 ， ∵当 时， ． ∴ ，解得 ∴ （2）当 时， ，当 时， ． ∴直线 经过点 ， ，图象如下： 17．（23-24八年级下·广东广州·期末）函数 的图象为直线 ，函数 图象为直线 ，两直线相交于点C ． (1)求m、n的值； (2)在给出的直角坐标系中，画出直线 和直线 的图象； (3)求直线 、 与y轴围成的三角形面积． 【答案】(1) ， (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了一次函数解析式，一次函数图象，坐标与图形；熟练掌握一次函数解析式，一次函数图象，坐标与图形是解题的关键 （1）将C 分别代入 ， ，计算求解可得m、n的值； （2）由（1）可知 ， ，则 的图象与坐标轴的两个交点为 ； 的图象与坐标轴的两个交点为 ；然后作函数图象即可； （3）根据直线 、 与y轴围成的三角形面积为 ，计算求解即可． 【详解】（1）解：将C 代入 得， ， 解得， ， 将C 代入 得， ， 解得， ， ∴ ， ； （2）解：由（1）可知 ， ， ∴ 的图象与坐标轴的两个交点为 ； 的图象与坐标轴的两个交点为 ；作函数图象如下； （3）解：由题意知， ， ∴直线 、 与y轴围成的三角形面积为4． 18．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）已知一次函数 的图象经过点 ， 两点． (1)在平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)求一次函数 的表达式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，同时正确得到坐标与线段长度的转化． （1）根据两点法即可确定函数的图象； （2）由图象经过两点 、 根据待定系数法即得结果． 【详解】（1）解：函数图像如图： （2）解：∵一次函数 的图象经过两点 、 ∴ ，解得 ， ∴函数解析式为： ； SHAPE \* MERGEFORMAT 一次函数的解析式 1．（23-24八年级下·广东潮州·期末）已知一次函数的图象经过点 和 ，求这个函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，设一次函数的解析式为 ，把点 和 代入进行求解即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为 ，把点 和 代入得： ，解得： ， ∴一次函数的解析式为 ． 2．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 ，已知 ， ．    (1)求直线 的函数解析式； (2)若点 在坐标轴上，且 ，求点 的坐标； (3)点 在第一象限内，且纵坐标为4．若点 关于直线 的对称点 恰好落在 轴的正半轴上， 与 相交于点 ，求点 的坐标． 【答案】(1) (2)点 坐标为 或 或 或 (3) 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）由题意知，分点 在 轴上，点 在 轴上两种情况；当点 在 轴上，设 ，则 ， ，计算求解，进而可得点 坐标；点 在 轴上，设 ，则 ， ，计算求解，进而可得点 坐标； （3）由点 在第一象限内，且纵坐标为4， ，可得 ，则 ， ，由点 关于直线 的对称点 恰好落在 轴的正半轴上，可得 垂直平分 ，则 ， ，证明 ，则 ， ，设 ，则 ，由勾股定理得， ，即 ，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设直线 的函数解析式为 ， 将 ， 代入 得， ， 解得， ， ∴直线 的函数解析式为 ； （2）解：由题意知，分点 在 轴上，点 在 轴上两种情况； 当点 在 轴上，设 ，则 ， ∴ ， 解得， 或 ， ∴点 坐标为 或 ； 点 在 轴上，设 ，则 ， ∴ ， 解得， 或 ， ∴点 坐标为 或 ； 综上所述，点 坐标为 或 或 或 ； （3）解：∵点 在第一象限内，且纵坐标为4， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵点 关于直线 的对称点 恰好落在 轴的正半轴上， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， 由勾股定理得， ，即 ， 解得， ， ∴ 的坐标为 ． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，绝对值方程，坐标与图形，轴对称的性质，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握一次函数解析式，绝对值方程，坐标与图形，轴对称的性质，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 3．（23-24八年级下·广东湛江·期末）一次函数 的图象经过点 ，且与 轴交于负半轴，则一次函数的解析式可以是 （写出一个即可）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的图象，由一次函数 的图象经过点 ，且与x轴交于负半轴，可得 ，取满足条件的一个数 ，则可求得 ，即可得到一次函数的解析式． 【详解】解：∵一次函数 的图象经过点 ， ， ∵一次函数 的图象与x轴交于负半轴， ， 取 ，则 ， 解得 ， 所以一次函数的解析式可以是 ． 故答案为： （答案不唯一）． 4．（23-24八年级下·广东中山·期末）如图，直线 与x轴交于点 ，与y轴正半轴交于点B， 的面积等于4，求直线 的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，求一次函数解析式．熟练掌握坐标与图形，待定系数法是解题的关键． 由题意知， ，即 ，可求 ，则 ，待定系数法求直线 的解析式即可． 【详解】解：由题意知， ，即 ， 解得， ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ， 将 ， 代入得， ， 解得， ， ∴直线 的解析式为 ． 5．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知一次函数 ，当 时， ，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了一次函数的性质，求一次函数解析式，分两种情况，分别把 ， ； ， 和 ， ； ， 代入到函数解析式解答即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当 ， ； ， 时， ， 解得 ； 当 ， ； ， 时， ， 解得 ； ∴ 或 ， 故答案为： 或 ． SHAPE \* MERGEFORMAT 一次函数的性质 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系 中，点 在函数 的图像上，则 （   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，理解并掌握一次函数图象与性质，增减性是解题的关键．根据一次函数图像的增减性即可求解． 【详解】解：函数 在平面直角坐标系 中， 随 的增大而增大， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 2．（23-24八年级下·广东湛江·期末）已知一次函数 的图象经过点 ， ，则m与n的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数的增减性判断函数值的大小即可． 【详解】解：∵一次函数 中， ， ∴y随x的增大而减小， ∵该函数图象经过点 ， ，且 ， ∴ ， 故选：A． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）若函数 的图象经过第二、三、四象限，下列关于函数 的描述正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．图象不经过第三象限 C．必过定点 D．与x轴的交点坐标为 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．熟练掌握一次函数的图象和性质是解答本题的关键． 根据函数 的图象经过第二、三、四象限，可得 ，即可判断 的图象经过第一、三、四象限，即可判断 ；根据 求出 ，即可判断C；令 ，求出 ，即可判断 ． 【详解】解：∵函数 的图象经过第二、三、四象限， ∴ ， ∴ 的图象经过第一、三、四象限， ∴ 的图象不经过第二象限，故B错误，不符合题意； 的图象y随x的增大而增大，故A正确，符合题意； 当 时， ， ∴一次函数 的图象不一定过点 ，故C错误，不符合题意； 当 时，即 ， 解得： ， ∴一次函数 与 轴的交点是 ，故 错误，不符合题意． 故选：A． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）下列关于一次函数 的图象性质说法中，不正确的是（    ） A． 随 的增大而减小 B．直线经过第一、二、四象限 C．与两坐标轴围成的三角形面积为 D．直线与 轴交点的坐标是 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，由 ， ，可判断 ；把 ， 和 ， 代入函数解析式，求出直线与 轴和 轴的交点坐标即可判断 ；掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ， ∴ 随 的增大而减小，直线经过第一、二、四象限，故 正确，不合题意； 当 时， ；当 时， ， ∴直线与 轴的交点坐标是 ，与 的轴交点坐标是 ， ∴与两坐标轴围成的三角形面积为 ，故 正确， 错误； 故选： ． 5．（23-24八年级下·广东·期末）对于函数 ，下列结论正确的是（    ） A．它的图象必经过点 B．y的值随x值的增大而增大 C．当 时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，据此逐一分析各选项的情况，进行作答即可． 【详解】解：A、当 时， ， 函数 的图象经过点 ，选项A不符合题意； B、 ， 的值随 值的增大而减小，选项B不符合题意； C、当 时， ，解得： ， 当 时， ，选项C符合题意； D、 ， ， 函数 的图象经过第一、二、四象限，选项D不符合题意； 故选：C． 6．（23-24八年级下·广东汕头·期末）当 时，一次函数 的最大值为18，则 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据系数得出函数的增减性是解题关键．由一次函数的系数判断函数的增减性，可知当 时，函数值最大，列出关于 的方程，解之即可． 【详解】解：一次函数 ， ，即 随 的增大而减小， 当 时，函数值最大， 由题意可知： ， 解得： ． 故答案为： ． 7．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知一次函数 ，其中 ． (1)若点 在 的图象上，求 的值； (2)当 时，若函数有最大值2，求 的函数表达式； 【答案】(1) (2) 或 【分析】本题考查了一次函数图象上的点，一次函数的性质； （1）将点 代入关系式 ，求出 ，即可求解； （2）①当 时，即： ，利用一次函数的增减性得当 时， ，将此代入即可求解；②当 时，即： ，利用一次函数的增减性得当 时， ，将此代入即可求解； 掌握一次函数的性质，并利用其确定取得最值的条件是解题的关键． 【详解】（1）解：把 代入 得 ， 解得： ； （2）当 时，即 随x的增大而增大， ∴当 时， ，即 ， 解得： ， ∴函数表达式为 ； 当 时，即 随x的增大而减小， ∴当 时， ，即 ， 解得： ， ∴函数表达式为 ； 综上所述，函数表达式为 或 ． 8．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知一次函数 图象上两点 和 ，下列结论：①图象过定点 ；②若一次函数 图象与函数 的图象平行，则 ；③若 ，则 ；④若函数图象与x轴的交点在正半轴，则 或 ．正确的是 （填写正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 根据一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系——判断即可. 【详解】解：当 时, ∴图象过定点 , 故①正确, ∵一次函数 图象与函数 的图象平行， ， ，故②正确， ， ∴ 随 的增大而减小， ， 故③错误， ∵函数图象与 轴的交点在正半轴， 令 ，则 或 ， 或 ，故④正确， 故答案为：①②④. 9．（23-24八年级下·广东东莞·期末）已知 与 成正比例，当 时， ． (1)求 与 之间的函数解析式； (2)请判断点 是否在这个函数的图象上，并说明理由； (3)如果 ， 是这个函数图象上的两点，请比较 与 的大小． 【答案】(1) ； (2)不在，理由见解析； (3) ． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出答案； （2）把 代入 ，求出 的值，比较即可得出答案； （3）根据一次函数的性质比较即可得出答案． 【详解】（1）解：设函数解析式为 ． 由题意得 ． 解得 ． ∴函数解析式为 ； （2）解：把 代入 ，得 ． ∵ ， ∴点 不在这个函数的图象上． （3）解：∵ 随 的增大而减小， ∴当 时， ． SHAPE \* MERGEFORMAT 一次函数图象的平移 1．（23-24八年级下·广东惠州·期末）将直线 沿 轴正方向平移 个单位长度，得到的直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移．直接根据“上加下减”的原则即可求解． 【详解】解：把直线 沿 轴正方向平移 个单位长度，得到的直线的解析式为 ． 故答案为： ． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）将直线 向下平移3个单位后，所得直线的表达式是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了一次函数图象的平移．熟练掌握一次函数图象平移规则是解题的关键．根据一次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”求解作答即可． 【详解】解：由题意知，平移后的直线表达式为 ， 故答案为： ． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）在学习《图形的平移》后，某数学兴趣小组开展了在平面直角坐标系中研究直线平移的探究活动． 素材 两点确定一条直线 素材 图形平移的本质就是点的平移 素材 平移不改变直线的倾斜程度 任务 一次函数 ，与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ，若该函数图象向左平移 个单位长度，此时点 的对应点 的坐标为______，点 的对应点为 的坐标为______，并求出平移后的函数表达式； 任务 一次函数 ，与 轴的交点为 ，与 轴的交点 ，将该函数向右平移 个单位长度，线段 扫过的图形面积为 ，请求出平移后的函数表达式． 【答案】任务 ： ， ；平移后的函数表达式为 任务 ：平移后的函数表达式为 【分析】任务 ：由 得 ， ，再由函数图象向左平移 个单位长度得 ， ， ； 任务 ：当 时， ，则 ，由线段 扫过的图形面积为 ，可得 ，最后由一次函数的平移即可求解； 本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】任务 ：由 得， 当 时， ；当 时， ， ∴ ， ， ∵该函数图象向左平移 个单位长度， ∴ ， ， 平移后的函数表达式为 ， 故答案为： ， ； 任务 ：当 时， ， ∴ ，则 ， ∵线段 扫过的图形面积为 ， ∴ ， ∴ ， ∵平移不改变直线的倾斜程度， ∴设平移后的函数表达式为 ， 将 代入得 ，解得 ， ∴设平移后的函数表达式为 ． 4．（23-24八年级下·广东惠州·期末）已知点 ， ，将直线 沿 轴向上平移 个单位长度后，与线段 有交点，则 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移和性质，设平移后直线的解析式为 ，分别把 ， 代入解析式求出 的值，即可得到 的取范围，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设平移后直线的解析式为 ， 当直线经过点 时， ， 解得 ； 当直线经过点 时， ， 解得 ； ∴将直线 沿 轴向上平移 个单位长度后，与线段 有交点， 的取范围为 ， 故答案为： ． 5．（23-24八年级下·广东广州·期末）下列一次函数的图象中，与直线 平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题，属于基础题，关键掌握当 相同，且 不相等，图象平行． 根据 相同，且 不相等判断即可． 【详解】解：直线 与直线 平行， 故选：A． SHAPE \* MERGEFORMAT 一次函数与方程 1．（23-24八年级下·广东珠海·期末）一次函数 (k、b为常数， 且 )中的x与y的部分对应值如下表： x 1 0 y m( ) 下列四个结论：①方程 的解在0和1之间：②若点 , 在直线 上， 则 ； ③ ； ④不等式 的解集为 时， ．其中正确的结论有（       ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程． 根据图象可对①进行判断；根据图象可得函数 的增减性，即可对②进行判断；由题意 ， ，解得 ，可对③进行判断；由 ， ，将不等式 化为 ，得到 ，根据不等式的解集得到 ，解得 ，可对④进行判断． 【详解】解：根据题意可画出图象为： 由图可得一次函数 的图象与x轴的交点横坐标在0和1之间， ∴方程 的解在0和1之间，故①正确； 由图可得一次函数 的图象从左向右上升，即y随x的增大而增大， ∵点 , 在直线 上，且 ， ∴ ，故②正确； ∵一次函数 的图象经过点 、 ，其中 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故③正确； ∵ ， ， ∴不等式 化为 ， ∴ ， ∵不等式 的解集为 ， ∴ ， 解得 ，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②③④． 故选：D 2．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与直线 相交于点 ，与 轴、 轴分别交于 两点． (1)若点 的坐标分别为 ．直接写出下列各小题答案． 方程 的解是______． 方程组 的解是______． 不等式 的解集是______． 不等式 的解集是______． (2)若点 的坐标分别为 ，直线 的表达式为 ，求 的面积； (3)在（ ）的基础上，点 是 轴上的一点，且使得 是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点 的坐标． 【答案】(1) EMBED Equation.DSMT4 ； EMBED Equation.DSMT4 ； EMBED Equation.DSMT4 ； EMBED Equation.DSMT4 ； (2) ； (3) 或 或 或 ． 【分析】（ ）根据交点坐标及函数图象即可求解； （ ）利用待定系数法求出 的解析式，再联立函数解析式求出点 坐标，最后根据三角形面积公式计算即可求解； （ ）设点 的坐标为 ，可得 ，分点 分别为顶点三情况解答即可求解； 本题考查了一次函数与一元一次方程和不等式，一次函数的交点问题，勾股定理，等腰三角形的定义，坐标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解： ∵直线 与 轴的交点为 ， ∴方程 的解为 ， 故答案为： ； ∵直线 与直线 的交点为 ， ∴方程组 的解为 ， 故答案为： ； 由图象可得，当 时， ， ∴不等式 的解集是 ， 故答案为： ； 由函数图象可得，当 时， ， ∴不等式 的解集是 ， 故答案为： ； （2）解：把 代入 得， ， 解得 ， ∴直线 的函数解析式为 ， 由 得， ， ∴ ， ∴ ； （3）解：设点 的坐标为 ∵ ， ∴ ， 当点 为顶点时， ， ∴ ， ∴ 或 ， ∴点 的坐标为 或 ； 当点 为顶点时， ， ∴点 的坐标为 ； 当点 为顶点时，则 ， ∴ ， 解得 ， ∴点 的坐标为 ； 综上，点 的坐标为 或 或 或 ． 3．（23-24八年级下·广东·期末）一次函数 和 的图象如图所示，三位同学根据图象得到了下面的结论： 甲：关于x，y的二元一次方程组 的解是 ； 乙：关于x的一元一次方程 的解是 ； 丙：关于x的一元一次方程 的解是 ． 丁：关于x的一元一次不等式 的解集是 ； 四人中，判断正确的是(    ) A．甲，丙 B．甲，丙，丁 C．乙，丙 D．乙，丙，丁 【答案】B 【分析】根据 和 的图象的交点坐标即为 的解，可判定甲说法；根据丙直线交点横坐标为方程 的解，可判定乙说法；根据直线与 轴交点的横坐标即为 的解，可判定丙说法；根据两直线交点，结合图象可得不等式 的解集，可判定丁说法． 【详解】解： 一次函数 和 的图象相交于 ， 关于 ， 的二元一次方程组 的解是 ，故甲说法正确； ∴关于 的一元一次方程 的解是 ，故乙说法错误； ∵直线 与x轴交点坐标是 ， ∴关于 的一元一次方程 的解是 ，故丙说法正确； 一次函数 和 的图象相交于 ， ∴关于x的一元一次不等式 的解集是 ，故丁说法正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了两直线交点问题，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与不等式的关系，掌握一次函数与方程（组）、不等式的关系是解题的关键． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）若 是方程 的解， 则直线 的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程 的解就是一次函数 与 轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为 （ ， 为常数， ）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线 确定它与 轴交点的横坐标即可得答案． 【详解】解： 一元一次方程 的解是 ， 当 时， ， 故直线 的图像与x轴的交点坐标是 ． 故选：A． 5．（23-24八年级下·广东·期末）如图，直线 与 相交于点 ，则关于 的方程 的解是 ． 【答案】 【分析】根据方程 的解，即为直线 与 的交点的横坐标的值解答即可． 【详解】解：∵直线 与 相交于点 ， ∴方程 的解，即为直线 与 的交点的横坐标的值， ∴方程 的解为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一元一次方程与一次函数的关系，利用数形结合的思想解题是解答本题的关键． SHAPE \* MERGEFORMAT 一次函数与不等式 1．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，直线 与x轴交于点 ，则关于x的不等式 的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与 轴的交点问题，根据直线 与x轴交于点 并结合图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵直线 与x轴交于点 ， ∴由图象可得，关于x的不等式 的解集为 ， 故答案为： ． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，已知一次函数 的图象经过点 和点 ，一次函数 的图象经过点 ，则关于 的不等式组 的解集为 ．    【答案】 / 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．利用函数图象，写出在 轴上方且函数 的函数值小于函数 的函数值对应的自变量的范围即可． 【详解】解：当 时， ； 当 时， ， 所以不等式组 的解集为 ． 故答案为：： ． 3．（23-24八年级下·广东河源·期末）如表所示，取一次函数 的部分自变量 的值和对应的函数值 ，根据信息，下列说法正确的个数是（    ） 0 2024 ① ；②当 时 ；③ ；④不等式 的解集是 ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系及一次函数的增减性是解决本题的关键．根据表格数据逐项判定即可求解． 【详解】解：①由表格可知， 时， ， ∴ ， 即 ．故本选项说法正确，符合题意； ②由表格可知， 时， ，且y随x的增大而增大， ∴当 时 ，故本选项说法正确，符合题意； ③由表格可知， 时， ，即 ， ∴ ，故本选项说法错误，不符合题意； ④由表格可知， 时， ，且y随x的增大而增大， ∴不等不等式 的解集是 ，故本选项说法正确，符合题意； 综上所述，说法正确的有3个． 故选：C 4．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图．一次函数 的图像交 轴于点 ， ，与正比例函数 的图像交于点 ，点 的横坐标为1．    (1)求一次函数 的解析式． (2)请直接写出 时自变量 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据 得到 ，根据点 的横坐标为1，结合 ，确定 ，解方程求解即可． （2）根据 ，结合 ，写出解集即可． 【详解】（1）∵ ， ∴ ， ∵点 的横坐标为1， ， ∴ ， ∵ ， ∴解得 ， 故一次函数的解析式为 ． （2）∵一次函数 与正比例函数 的图像交于点 ，且 ， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了一次函数的交点，一次函数与不等式，数形结合思想，熟练掌握一次函数的交点，一次函数与不等式的解法是解题的关键． 5．（23-24八年级下·广东·期末）如图，一次函数 与 的图象交于点 ，下列结论正确的是（） A．方程 的解是 B．不等式 和不等式 的解集相同 C．不等式组 的解集是 D．方程组 的解为 【答案】C 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组的关系，利用函数图象解不等式，数形结合是解题的关键． 根据图象可直接判断A，B，D，求出 与 轴的交点可判断C． 【详解】A．由图象可得直线 与 的图象交于点 ， ∴方程 的解是 ，故A不符合题； B．由图象可知，不等式 的解集是 ，不等 式 的解集是 ，故B不符合题意； C．将 代入 得 ， 解得 ， ， 将 代入 得 ， 解得 ， ∴ 时，直线 在 轴下方且在直线 上方， ∴ 的解集是 ，故C符合题意； D．方程组 的解为 ，故D不符合题． 故选：C． 6．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，直线 与直线 交于点 ，则不等式 的解集为（       ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到直线 的图象在直线 的图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，直线 的图象在直线 的图象下方时，自变量的取值范围为 ， ∴不等式 的解集为 ， 故选：A． 7．（23-24八年级下·广东湛江·期末）如图，一次函数 的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数 的图象交于点 ． (1)求m，n的值； (2)当 时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) ， (2) 【分析】本题考查两个一次函数图象的交点问题，熟练运用数形结合思想是解题的关键． （1）把点 代入 可得m的值，把B点坐标代入 可得n的值； （2） 的图象在 的图象上方部分对应的x的范围即可所求． 【详解】（1）解：把点 代入 得， ， ∴ ， 把点 代入 得， ， 解得 ； （2）解：由图可得，当 时， ． 8．（23-24八年级下·广东汕头·期末）直线 ： 与直线 ： 在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于 的不等式 的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线 在 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．利用函数图象，直线 在直线 下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象可知，直线 和直线 的交点为 ，直线 中 随 的增大而减小， 关于 的不等式 的解集是 ， 故答案为： SHAPE \* MERGEFORMAT 求图形的面积 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点B，且与直线 交于点 ． (1)求出k和b的值； (2)若D是射线 上的点，且 的面积为6，求点D的坐标． 【答案】(1) ， (2) 【分析】本题考查一次函数的解析式和三角形的面积，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）求出点 的坐标，然后设点D的坐标为 ，根据 ，解题即可． 【详解】（1）解：把 ， 代入 得： ，解得 ， ∴ ； （2）解：令 ，则 ， ∴点B的坐标为 ， 设点D的坐标为 ， 则 ， 解得： ， ∴点D的坐标 ． 2．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于点B，C，与直线 相交于点 ．    (1)求点B的坐标． (2)求 的面积． (3)在直线 上是否存在一点M，使 的面积是 面积的 ？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为 或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，根据一次函数解析式，求三角形的面积，解题的关键是数形结合． （1）把 代入 ，求出点B的坐标即可； （2）先求出点 ，然后求出 的面积即可； （3）设点M的坐标为 ，根据 ，得出 ，求出a的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：在 中，令 ，得： ， 解得： ， 点B的坐标为 ． （2）解：在 中，令 ，则 ， 点 ， ． （3）解：存在．设点M的坐标为 ． ， ， ． 当 时，点 的坐标是 ； 当 时，点 的坐标是 ． 综上所述，点M的坐标为 或 ． 3．（23-24八年级下·广东湛江·期末）如图，一次函数 交 轴于点 ，一次函数 交 轴于点 ，一次函数 与 的图象交于点 ． (1)求出 ， 的值． (2)直接写出 的解集． (3)求出 的面积． 【答案】(1)m，n的值分别为 ， ； (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数解析式，两直线交点求不等式解集． （1）将 代入 ，求解n的值，再代入 ，求解m的值即可； （2）根据图象求解即可； （3）求得A、B的坐标，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：将 代入 得， ， 解得 ， 将 代入 得， ， 解得 ， ∴m，n的值分别为 ， ； （2）解：由（1）可得 ， ∴由图象知，不等式的解集为 ； （3）解：令 ，则 ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 的面积为 ． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标中，直线 与x轴相交于点B，与直线 相交于点A．    (1)求 的面积； (2)点P为y轴上一点，当 取最小值时，求点P的坐标， 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两直线相交问题，一次函数的性质以及轴对称 最短线路问题，解题的关键是掌握待定系数法． （1）先求出点B的坐标，联立两直线解析式构成方程组，得 ，解方程组求出 即可求解； （2）直线 与 轴的交点 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，利用待定系数法求出 的解析式并令函数值为0即可求出点 的坐标． 【详解】（1）解： EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， 联立 ， 解得： ， 点 的坐标为 ， EMBED Equation.DSMT4 的面积为： ； （2）解：作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交y轴于点 ，    ， ， 此时， 三点共线， 有最小值， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 设直线 的解析式为 ， 代入 ， ，的坐标得 ， 解得： ， 直线 的解析式为 ， 令 ，得 ， 点 使 最小． 5．（23-24八年级下·广东湛江·期末）如图，已知一次函数 的图象与 轴交于点A，一次函数 的图象与 轴交于点 ，且与 轴以及一次函数 的图象分别交于点 、 ．    (1)求一次函数 的函数解析式； (2)直接写出不特式 的解集； (3)求 的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的性质以及交点问题， （1）根据一次函数求得点D，将点D和点C代入利用待定系数法求解析式即可； （2）结合函数图像的交点和位置关系即可求得其取值范围； （3）利用一次函数与坐标轴的交点求点A和点B，结合点D到直线 的距离即可求得三角形面积． 【详解】（1）解：由题意，将点 代入一次函数 得： ， 故点D的坐标为 ； 将点 代入一次函数 得： ， 解得 ， 故一次函数 的函数解析式为 ； （2）∵ 的交点为 ， ∴ ； （3）对于 ， 当 时， ， 即点A的坐标为 ， 对于 ， 当 时， ， 即点B的坐标为 ， 则 ， 点D的坐标为 ， 的 边上的高为 ， 则 的面积为 ． SHAPE \* MERGEFORMAT 一次函数的实际应用——分配问题 1．（23-24八年级下·广东江门·期末）坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某中学为丰富学生的第二课堂，准备购买一批每副售价60元的羽毛球拍和每筒售价10元的羽毛球．购买时，发现商场正在进行两种优惠促销活动． 活动甲：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 活动乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种羽毛球拍10副，羽毛球 筒． (1)写出每种优惠办法实际付款金额 （元）， （元）与x（筒）之间的函数关系式． (2)比较购买同样多的羽毛球时，按哪种优惠办法付款更省钱？ (3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种羽毛球拍10副和羽毛球60筒设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1) ， ； (2)当 时，按活动甲付款更省钱；当 时，两种活动付款一样；当 时，按活动乙付款更省钱； (3)同时用两种优惠办法购买最省钱，即按甲活动方案购买10副羽毛球拍，其余按乙活动方案购买． 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握分类讨论的思想和函数的数学思想解决问题是解题的关键． （1）根据题意，即可列出 （元）， （元）与x（筒）之间的函数关系式即可； （2）根据（1）得出的函数关系式，分三种情况讨论进行解答即可； （3）根据题意计算三种方案的花费，再比较大小即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知， ， ， 即 ， ； （2）解：分三种情况讨论： 当 时， ，解得： ； 当 时， ，解得： ； 当 时， ，解得： ； ∵ ， ∴当 时，按活动甲付款更省钱；当 时，两种活动付款一样；当 时，按活动乙付款更省钱； （3）解：由题意可知，购买这种羽毛球拍10副和羽毛球60筒，即 ， ∴甲活动方案： （元）； 乙活动方案： （元）； 两种活动方案买： （元）， ∴同时用两种优惠办法购买最省钱，即按甲活动方案购买10副羽毛球拍，其余按乙活动方案购买． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）某学校计划在总费用 元的限额内租用 辆汽车送 名师生集体外出活动．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 租金/（元/辆） (1)设租用 辆甲种客车，租车费用为 元．用含有 的式子表示 ．并指出随 的增大而增大还是减小？ (2)一共有哪几种租车方案？哪种方案的租车费用最少？ 【答案】(1) ， 随 的增大而增大 (2)有“租用 辆甲种客车和 辆乙种客车”或“租用 辆甲种客车和 辆乙种客车”两种租车方案，“租用 辆甲种客车和 辆乙种客车”租车费用最少． 【分析】本题考查了一次函数的应用与方案问题、一元一次不等式的应用，理解题意、正确列出一次函数、一元一次不等式求解是解题的关键． （1）根据租用 辆汽车，设租用 辆甲种客车，租车费用为 元，则租用 辆乙种客车，表示出 ，根据一次函数的性质，判定出 随 的增大而增大即可； （2）根据总费用 元的限额内，得出 求解，根据租用 辆汽车送 名师生集体外出活动，得出 求解，根据应避免空车，得出 求解，根据 为正整数，综合得出有“租用 辆甲种客车和 辆乙种客车”或“租用 辆甲种客车和 辆乙种客车”两种租车方案，根据 随 的增大而增大，得出“租用 辆甲种客车和 辆乙种客车”租车费用最少即可． 【详解】（1）解：∵租用 辆汽车，设租用 辆甲种客车，租车费用为 元， ∴租用 辆乙种客车， ∴ ， ∵ ， ∴ 随 的增大而增大； （2）解：∵总费用 元的限额内， ∴ ， 解得： ， ∵租用 辆汽车送 名师生集体外出活动， ∴ ， 解得： ， 又∵应避免空车， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ∵ 为正整数， ∴ ，则 ， 或 ，则 ， ∴有“租用 辆甲种客车和 辆乙种客车”或“租用 辆甲种客车和 辆乙种客车”两种租车方案， ∵ 随 的增大而增大， ， ∴“租用 辆甲种客车和 辆乙种客车”租车费用最少， 答：有“租用 辆甲种客车和 辆乙种客车”或“租用 辆甲种客车和 辆乙种客车”两种租车方案，“租用 辆甲种客车和 辆乙种客车”租车费用最少． 3．（23-24八年级下·广东韶关·期末）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人 台，乙型机器人 台，共需7万元；购买甲型机器人 台，乙型机器人 台，共需 万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元? (2)已知 台甲型和 台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是 件和 件，该公司计划最多用 万元购买 台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人 台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小时的分拣量最大? 【答案】(1)甲型机器人的单价是 万元，乙型机器人的单价是 万元 (2)有购买甲型机器人 台，乙型机器人 台；购买甲型机器人 台，乙型机器人 台，这两种购买方案．方案二能使每小时的分拣量最大 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出式子． （1）设甲型机器人的单价是 万元，乙型机器人的单价是 万元，根据“购买甲型机器人 台，乙型机器人 台，共需7万元；购买甲型机器人 台，乙型机器人 台，共需 万元”，即可得出关于 的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买甲型机器人 台，则购买乙型机器人 台，根据题意，即可得出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出 的取值范围 ，故有两种购买方案，购买甲型机器人 台，乙型机器人 台；购买甲型机器人 台，乙型机器人 台．设 台机器人每小时的分拣量为 ，则 ．得出 关于 的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是 万元，乙型机器人的单价是 万元， 依题意，得 ， 解得 ， 答：甲型机器人的单价是 万元，乙型机器人的单价是 万元． （2）解：设购买甲型机器人 台，则购买乙型机器人 台． 依题意，得 ， 解得 ． 故整数 可以为 和 ， 可以为 和 ， 故有两种购买方案，方案一，购买甲型机器人 台，乙型机器人 台； 方案二，购买甲型机器人 台，乙型机器人 台． 设 台机器人每小时的分拣量为 ，则 ． ∵ ， ∴ 随 的增大而增大， ∴当 时， 取得最大值，此时 ， ∴方案二：购买甲型机器人 台，乙型机器人 台时，才能使每小时的分拣量最大． 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）五一长假期间，4位家长计划带领若干名学生去北京参观升旗礼． 他们联系了两家旅行社，报价均为每人 2000元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：4位家长全额收费，学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八五折收费．假设这4位家长带领x名学生去旅游，甲、乙两家旅游行社的收费分别是 元和 元． (1)分别求甲、乙两家旅行社的收费 和 关于x的关系式； (2)4名家长选择哪家旅行社会更划算，请说明理由． 【答案】(1)甲、乙旅行社的收费分别为： 元， 元； (2)当学生数多于12人时，选择甲旅行社，当学生数少于12人时，选择乙旅行社，当学生数为12人时，甲乙均可． 【分析】（1）根据甲旅行社的收费 名家长的全额费用 学生的八折费用，可得到 与 的函数关系式；再根据乙旅行社的收费 名家长的八折费用 学生的八折费用，可得到 与 的函数关系式； （2）首先分三种情况讨论：① ，② ，③ ，针对每一种情况，分别求出对应的 的取值范围，然后比较哪种情况下选谁更合适，即可判断选择哪家旅行社． 【详解】（1）根据题意得：甲旅行社收费 元， 乙旅行社收费 元， 答：甲、乙旅行社的收费分别为： 元， 元； （2）若 ，即 ，解得 ； 若 ，即 ，解得 ； 若 ，即 ，解得 ； 答：当学生数多于12人时，选择甲旅行社，当学生数少于12人时，选择乙旅行社，当学生数为12人时，甲乙均可． 【点睛】本题考查了一次函数、一元一次不等式的应用以及解一元一次方程，根据数量关系，找出 、 关于 的函数关系式是解题的关键． SHAPE \* MERGEFORMAT 一次函数的实际应用——利润问题 1．（23-24八年级下·广东·期末）请根据以下素材，完成探究任务． 关于出票问题的探究 素材1 为提升市民审美品味和高雅文化消费，位于坪山文化聚落的坪山大剧院，每月都会在综合剧场（可容纳1200名观众）上演高品质的若干场剧目．按文化和旅游部的相关规定，剧院等演出场所的上座率（ ）原则上不得超过 ． 素材2 “每月一剧”惠民计划：为进一步提升辖区居民的幸福感，丰富居民群众的精神文化生活，坪山街道新和社区通过民生微实事项目平台，联合坪山大剧院联手推出惠民观剧活动，辖区居民只需40元即可购买一张当月上演的一场剧目前往观剧，数量有限，先购先得！ 素材3 2024年11月的一场话剧推出 、 两种观赏票价，并参与“每月一剧”惠民购票活动．已知 种票10张、 种票5张、惠民票5张，共需3900元；购买2张 种票比购买1张 种票多出的费用，可购得惠民票2张 问题解决 任务1 据悉，该话剧深受广大市民欢迎，上座人数恰好达到相关规定的上限，则观剧人数有______人． 任务2 设该话剧 种票价 元， 种票价 元，求出该话剧的 种、 种票价． 任务3 若 种票的持票人数 与 种票的持票人数 满足如图所示函数图象（其中 取正整数）．请写出该场话剧票务收入 与 的函数表达式，求出该场话剧的最大票务收入． 【答案】任务1：900，任务2：该话剧的 种票价为280元、 种票价为180元，任务3：该场话剧票务收入 与 的函数表达式为 ，该场话剧的最大票务收入174000元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用等知识点，熟练掌握待定系数法和函数的性质是解决此题的关键． 任务1：根据“原则上不得超过 ”列式计算即可； 任务2：根据 “ 种票10张、 种票5张、惠民票5张，共需3900元；购买2张 种票比购买1张 种票多出的费用，可购得惠民票2张”列方程组求解即可； 任务3：先根据待定系数法求出 与 的关系，再根据“票务收入 、 和惠民三种票的总收入”列出函数解析式，再根据函数的性质求解即可． 【详解】任务1：解：设观剧人数为 人， ∴ ，解得： ， 的最大值为：900， 故答案为：900； 任务2：解：由题意得： ，解得： ， 答：该话剧的 种票价为280元、 种票价为180元； 任务3：解：设函数图象关系式为 （ ）， 解得： ， ， ， ， 随 的增大而减小， ， 当 时， 取最大值，为 (元)， 答：该场话剧票务收入 与 的函数表达式为 ，该场话剧的最大票务收入174000元． 2．（23-24八年级下·广东清远·期末）某汽车销售公司经销某品牌A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年 5月份A 款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A 款汽车， 去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． (1)今年5月份A 款汽车每辆售价多少万元? (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B 款汽车，已知A款汽车每 辆进价为7.5万元，B 款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于102万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案?其中哪种进货方案所需资金最少? 【答案】(1)今年5月份A款汽车每辆售价9万元 (2)所以有3种方案：方案一：A款汽车购进8辆；B款汽车购进7辆；方案二：A款汽车购进9辆；B款汽车购进6辆；方案三：A款汽车购进10辆；B款汽车购进5辆，方案一所需资金最小 【分析】（1）设今年5月份A款汽车每辆售价x万元，根据题意可得，去年销售额100万元与今年销售额90万元所卖的车辆数量相等，据此列方程求解； （2）设A款汽车购进y辆．则B款汽车每辆购进 辆．关系式为： 款汽车总价+B款汽车总价 ，设所需总资金为 万元， ，据此求解． 【详解】（1）解：设今年5月份A款汽车每辆售价x万元．根据题意得： ， 解得： ， 经检验知， 是原方程的解且符合题意． 所以今年5月份A款汽车每辆售价9万元； （2）设A款汽车购进y辆．则B款汽车每辆购进 辆．根据题意得： ， 解得： ， 所以有3种方案： 方案一：A款汽车购进8辆，B款汽车购进7辆； 方案二：A款汽车购进9辆，B款汽车购进6辆； 方案三：A款汽车购进10辆，B款汽车购进5辆． 设所需总资金为w万元， ， ∵ ， ∴当y最小时，w最小，即 时， 最大为102， 所以方案一所需资金最小． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用和一次函数的应用．关键是根据题意找到数量关系，列出方程与不等式组． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【项目式学习】：根据以下素材，探索完成任务． 销售材料 素材1 某商场推出了两款运动鞋：运动鞋A和运动鞋B．一双运动鞋A的售价比一双运动鞋B的售价贵20元，购买1双A运动鞋和2双B运动鞋共需560元． 素材2 商场销售A运动鞋共获利润1800元，B运动鞋共获利润2000元，其中一双A运动鞋的利润是一双B运动鞋的 倍，A运动鞋比B运动鞋少卖10双． 问题解决 任务1 确定运动鞋的 一双A运动鞋售价是 元；一双B运动鞋的售价是 元． 任务2 确定运动鞋的进价 一双A运动鞋和一双B运动鞋的进价各是多少？（一双鞋利润＝一双鞋售价﹣一双鞋进价＝ ） 任务3 拟定最佳销售方案 该商场打听到某企业欲购买运动鞋500双，购买A运动鞋的数量不超过B运动鞋数量的三倍，该商场销售部如何配置运动鞋的数量，可以使得该笔交易获利最大？此时购买的金额为多少元？ 【答案】任务1：200，180；任务2：一双A运动鞋进价是140元，一双B运动鞋进价是130元；任务3：商场销售部配置A运动鞋375双，B运动鞋125双，可以使得该笔交易获利最大，此时购买的金额为97500元 【分析】本题主要考查了分式方程、一次函数和一元一次不等式组的应用等知识点，读懂题意、找出关键描述语句，进而找到所求量的相等关系和不等关系是解题的关键． 任务1：设一双A运动鞋售价是x元，则一双B运动鞋的售价是 元，根据，购买1双A运动鞋和2双B运动鞋共需560元得： ，即可解得答案； 任务2：设一双A运动鞋进价是m元，一双B运动鞋进价是n元，根据题意得： ，解方程组并检验即可解答； 任务3：设商场销售部配置A运动鞋t双，该笔交易获利w元，由购买A运动鞋的数量不超过B运动鞋数量的三倍，得 ，故 ，而 ，再根据一次函数性质求解即可． 【详解】解：任务1：设一双A运动鞋售价是x元，则一双B运动鞋的售价是 元， 根据题意得： ，解得： ， ∴ ， ∴一双A运动鞋售价是200元，一双B运动鞋的售价是180元， 故答案为：200，180； 任务2：设一双A运动鞋进价是m元，一双B运动鞋进价是n元， 根据题意得： ，解得 ， 经检验， 是原方程组的解，也符合题意， ∴一双A运动鞋进价是140元，一双B运动鞋进价是130元； 任务3：设商场销售部配置A运动鞋t双，该笔交易获利w元， ∵购买A运动鞋的数量不超过B运动鞋数量的三倍， ∴ ，解得： ， 而 ， ∵ ， ∴w随t的增大而增大， ∴当 时，w取最大值，最大值为 （元）， 此时 ， ∵ （元）， ∴此时购买的金额为97500元， ∴商场销售部配置A运动鞋375双，B运动鞋125双，可以使得该笔交易获利最大，此时购买的金额为97500元． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）某建筑公司现有 ， 两工地需要租车运土， 工地需要12台， 工地需要18台；租车公司现有甲型车10台，乙型车20台可供选择，每天租金价格如右表． 甲型车租金 乙型车租金 工地 800元/台 600元/台 工地 600元/台 300元/台 (1)设 工地租甲型车 台，租乙型车______台；则 工地租甲型车______台，租乙型车______台（用含 的式子表示）． (2)设该公司每天的总租金为 元，请求出 与 的函数解析式并写出 的取值范围． (3)在（2）条件下，公司如何租车才能使得每天总租金最少？最少租金是多少？请说明理由． 【答案】(1) ； ； (2) (3) 工地租甲型车10台，租乙型车2台；则 工地租乙型车18台，才能使得每天总租金，最少租金是14600元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）根据A，B两工地租车方案，即可求解； （2）根据租金等于每天的租金价格乘以车的数量，列出函数的关系式，即可求解； （3）根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设 工地租甲型车 台，租乙型车 台；则 工地租甲型车 台，租乙型车 台； 故答案为： ； ； （2）解： ， 即 与 的函数解析式为 ； （3）解：∵ ， ∴y随x的增大而减小， ∵ ， 当 时，y取得最小值，最小值为14600， 即 工地租甲型车10台，租乙型车2台；则 工地租乙型车18台，才能使得每天总租金，最少租金是14600元． 5．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）某玩具厂每天生产 两种玩具共60件，成本和售价如下表： 成本/（元/件） 售价/（元/件） 种玩具 40 60 种玩具 35 45 设每天生产 种玩具 件，每天获得的总利润为 元． (1)应用你学的函数知识，求 与 之间的函数关系式； (2)如果该玩具厂每天最多投入的成本为2200元，那么每天生产多少件 种玩具，所获得的利润最大？并求出这个最大利润． 【答案】(1)y与x之间的函数关系式为 (2)每天生产20件A种玩具，所获得的利润最大，最大利润是800元 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）根据表格可得： ； （2）根据玩具厂每天最多投入的成本为2200元，得 ， ，再由一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ； ∴y与x之间的函数关系式为 （2）解：∵玩具厂每天最多投入的成本为2200元， ∴ ， 解得 ， 在 中，y随x增大而增大， ∴当 时，y取最大值 ， ∴每天生产20件A种玩具，所获得的利润最大，最大利润是800元． 6．（23-24八年级下·广东潮州·期末）湘桥区政府大力实施“百千万工程”，推动乡村振兴特色产业．湘桥区某水果生产基地在政府的支持下种植了 、 两个品种的“潮州柑”共50亩，两种品种的“潮州柑”成本和售价如下表所示．设种植 品种“潮州柑” 亩，若50亩地全部种植两种“潮州柑”共获得利润 万元． 品种 成本（万元/亩） 售价（万元/亩） 1.1 2.2 1.3 2.7 (1)求 与 之间的函数关系式； (2)若A品种“潮州柑”的种植亩数不少于 品种“潮州柑”种植亩数的1.5倍，则种植A品种“潮州柑”多少亩时，该水果生产基地利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)种植A品种“潮州柑”30亩时，该水果生产基地利润最大，利润最大为61万元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． （1）根据题意，可以写出 与 的函数关系式； （2）根据 品种“潮州柑”的种植亩数不少于 品种“潮州柑”种植亩数的1.5倍，可以求得 的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到种植 品种“潮州柑”种植多少亩时利润最大，并求出此时的最大利润． 【详解】（1）解： ， 答： 与 之间的函数关系式 ． （2）解：由题可知： ， 解得： ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 随x的增大而减小， ∴当 时， 最大为 ． 答：种植A品种“潮州柑”30亩时，该水果生产基地利润最大，利润最大为61万元． SHAPE \* MERGEFORMAT 一次函数的实际应用——行程问题 1．（23-24八年级下·广东云浮·期末）“跑中山翠亨，访伟人故里，到湾区新城，见世纪荣光”，2024年4月21日，中山·翠亨环岛马拉松鸣枪开跑．在赛程为 的半程马拉松比赛过程中，乙选手匀速跑完全程，甲选手 后的速度为 ，甲、乙两选手的部分行程 随起跑的时间 变化的图象如图所示．有下列说法：①起跑后半小时内甲的速度为 ； ②第 两人都跑了 ； ③图中记录的两人所跑路程都为 ；④图中所示的截止时间点处乙比甲早到 ．其中正确的有 ．(填序号) 【答案】①②③ 【分析】本题考查了一次函数的图象，观察函数图象的横坐标，可得时间，观察函数图象的纵坐标，可得相应的路程，解题的关键是采用数形结合的方法． 【详解】解：①起跑后半小时内甲的速度为： 千米/小时，故①正确； ②根据函数图象的交点坐标，可得第1小时两人都跑了10千米，故②正确； ③根据乙1小时跑 ，可得2小时跑 ，故两人都跑了20千米，故③正确； ④根据 小时内，甲半小时跑的路程为： ，可得1小时跑 ，故1.5小时跑了 ，剩余的 需要的时间为： 小时，则甲跑完全程的时间为： ，可得乙比甲早到 小时，故④错误． 故答案为：①②③． 2．（23-24八年级下·广东中山·期末）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，准备从厨房门口出发，给相距 的客人送餐．聪聪先出发，且速度保持不变．慧慧待聪聪出发 后出发， 后将速度提高到原来的 倍．设聪聪行走的时间为 ，聪聪和慧慧行走的路程分别为 ． ， 与x之间的函数图象如图所示． (1)求慧慧提速后的速度； (2)求图中的 与 的值． 【答案】(1) (2) ， 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，函数图象，速度与时间的关系，从函数图象获取信息是解题关键． （1）由图像可得，慧慧走 ，用了 ，利用路程与时间关系，求出提速前的速度，从而得出提速后的速度． （2）在线段 的过程中，利用路程与速度关系，即可得出慧慧所用的时间，从而得出 的值，结合图像可得聪聪行走到了 ，用了 ，利用路程与时间关系，即可得出慧慧的速度，从而得出慧慧行走 用的时间，即可求出 ． 【详解】（1）解：由图像可得，慧慧从 走到了 时，总共用了 ， 故提速前的速度为 ， ∵慧慧提速后将速度提高到原来的 倍， ∴慧慧提速后的速度为 ， （2）解：由图象可得线段 的过程中，慧慧从 处行走到了 ， 由（1）可得慧慧在线段 的过程中的速度为 ， ∴慧慧在线段 的过程中所用的时间为 ， ∴ 的值为 ， 结合图像可得 点坐标为 ， 即聪聪从 处行走到了 时，用了 ， ∴慧慧的速度为 ， ∴慧慧行走 用的时间为 ， 即 ， 故 ， ． 3．（23-24八年级下·广东·期末）在抗击新冠肺炎疫情期间，司机小张开车免费将志愿者从 市送到 市，到达 市放下志愿者后立即按原路原速返回 市（志愿者下车时间忽略不计），而快递员小李则骑摩托车从 市向 市运送快递，他们出发时间相同，均沿两市间同条公路匀速行驶，设两人行驶的时间为 （h），两人相距 （km），如图表示 随 变化而变化的情况，根据图象解决以下问题： （1） 、 两市之间的路程为 km；点 表示的实际意义是 ； （2）小张开车的速度是 km/h；小李骑摩托车的速度是 km/h． （3）试求出发多长时间后，两人相距60km． 【答案】（1）240；出发2小时小张与小李相遇；（2）80；40；（3）出发1.5，2.5，4.5小时，两人相距60km． 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据解答即可； （2）根据题意和函数图象中的数据可以求得小张开车的速度和小李骑摩托车的速度； （3）由（2）的结论分情况列方程解答即可． 【详解】解：（1）根据函数图象中的数据可得A、B两市之间的路程为240km，M表示的实际意义是出发2小时小张与小李相遇； 故答案为：240；出发2小时小张与小李相遇； （2）小张开车的速度为：240÷3＝80（km/h），小李骑摩托车的速度为：240÷2−80＝40（km/h）． 故答案为：80；40； （3）设出发x小时两人相距60km．有三种情况： 相遇前：80x＋40x＋60＝240，解得x＝1.5； 相遇后小张未到达B市前：80x＋40x−60＝240，解得x＝2.5； 小张返回途中：40x−80（x−3）＝60，解得x＝4.5； 答：出发1.5，2.5，4.5小时，两人相距60km． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）阅读下列材料，根据材料回答下列问题 材料一 夏欢全家端午期间从井冈山出发自驾游匀速行驶返回深圳(中途在一个服务区停留)，右图是汽车行驶过程中距离深圳的路程y(千米)与汽车行驶的时间x(小时)之间的关系图． 材料二 课本67面排碳计算公式 家居用电的二氧化碳排放量 耗电量 开私家车的二氧化碳排放量 耗油量 耗油量 1 2 4 n 10 11 私家车二氧化碳排放量 m 27 材料三 一般情况下，新能源电动汽车的百公里耗电量 左右 一般情况下，燃油汽车的百公里耗油量 左右 根据以上材料解决下列问题 (1)井冈山与深圳之间的距离为 千米，返回途中在服务区逗留了 小时． (2)表格中 ， ； (3)若同样行驶x(百公里)，记新能源电动汽车的二氧化碳排放量为 (千克)、燃油汽车的二氧化碳排放量为 (千克)，直接写出 与x(百公里)之间的关系式： ， ． (4)从井冈山驾车返回深圳时，新能源电动汽车比燃油车少减排 千克碳排放． (备注：新能源电动汽车的碳排放量计算公式可参照材料二家居用电的二氧化碳排放量) 【答案】(1) ， ； (2) ， ； (3) ， ； (4) ． 【分析】本题考查了一次函数的应用，等定系数法求一次函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）先由图象计算出汽车行驶的速度，现算出前两小时行驶的路程即可求解； （2）根据材料二给出的信息可直接求解； （3）由材料二和三给出的信息即可得到 与x(百公里)之间的关系式； （4）由井冈山与深圳之间的距离为 千米，得到 ，即可求解； 【详解】（1）解：∵由材料一可知，夏欢全家端午期间从井冈山出发自驾游匀速行驶返回深圳， ∴汽车行驶的速度为： ， ∴汽车前两小时行驶的路程为： （千米）， ∴井冈山与深圳之间的距离为： （千米）， 返回途中在服务区逗留的时间为： （小时）， 故答案为： ， ； （2）解：由材料二可知， （千克）， ， 故答案为： ， ； （3）解：由材料二和三可知，家居用电的二氧化碳排放量 耗电量 ， 新能源电动汽车的百公里耗电量 左右， ∴ ， ∵开私家车的二氧化碳排放量 耗油量 ，燃油汽车的百公里耗油量 左右， ∴ ， 故答案为： ， ； （4）解：∵井冈山与深圳之间的距离为 千米，即 ， ∴ （千克）， （千克）， ∴新能源电动汽车比燃油车少减排： （千克）， 故答案为： ． 5．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）甲、乙两地相距210千米，一辆货车将货物由甲地运至乙地，卸货后返回甲地．若货车距乙地的距离 y（千米）与时间 t（时）的关系如图所示，根据所提供的信息，回答下列问题： (1)货车在乙地卸货停留了 小时； (2)在货车往返速度中，哪个速度更快些?请说明理由． 【答案】(1) (2)货车返回速度快 【分析】本题主要考查了函数图象的实际应用. （1）根据函数图象信息可知， 小时到 小时之间，到乙地的距离是 ，由此可以得出货车在乙地卸货停留的时间； （2）从函数图象上得到甲乙两地的距离 千米，去的时间为 小时，返回的时间为 小时，根据行驶路程和行驶时间，分别求出往返速度并进行比较即可. 【详解】（1）解：∵ (小时) ∴货车在乙地卸货停留了 小时， 故答案为： ． （2）解：货车返回速度快 货车由甲地至乙地的速度为 (千米/小时)， 货车返回速度为 (千米/小时) ∵ 千米/小时 千米/小时， ∴货车返回速度快． SHAPE \* MERGEFORMAT 一次函数与几何综合 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 的坐标为 ，点 ， 分别是线段 ， 上的动点，且 ，则 的长为 ；当 的值取最小值时，点 的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，待定系数法求解析式，两点之间线段最短，由一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 和点 ，求出 ， ，作 轴于 ，使得 ，连接 ， ，证明 ，则 ，由 ，当 在 上时， 最小，在求出直线 为 ，直线 为 ，联立得 ，求出 ，然后由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 和点 ， ∴令 ，则 ；令 ，则 ， ∴ ， ， 又∵点 的坐标为 ，， ∴ ， ， ∴ ， 如图，作 轴于 ，使得 ，连接 ， ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴当 在 上时， 最小， 设直线 解析式为 ， ∵ ， ， ∴ ，解得： ， ∴直线 为 ， 同理可得：直线 为 ， ∴联列方程组 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的纵坐标为： ． ∴ ， 答案为： ； ． 2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且 面积为40． (1)求点C的坐标及直线 的解析式； (2)如图2，已知点 ，连接 并延长与 交于点F，求线段 的长度． (3)如图3，将直线 向右平移 个单位，交x轴于点M，交y轴于点N，在直线 或 上是否存在一点P，使得以点M，N，O，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3) 或 【分析】（1）先根据直线 ，求出 、B两个点的坐标，然后根据 面积为40求出点C的坐标，最后根据待定系数法求出直线 的解析式即可； （2）先求作直线 的解析式，然后求作点F的坐标，根据两点间距离公式求出 的长即可； （3）根据平移设直线 的解析式为 ，求出 ， ，分两种情况：当点P在 上时，此时是 ，当点P在 上时，此时是 ，分别求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：把 代入 得： ， 把 代入 得 ，解得： ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ ， 解得： ， ∴ ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得： ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ； （2）解：设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得： ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ； 联立 ， 解得： ， ∴点F的坐标为 ， ∴ ； （3）解：根据平移设直线 的解析式为 ， 把 代入 得： ， 把 代入 得： ，解得： ， ∴ ， ， 当点P在 上时，此时是 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 轴， 把 代入 得： ， ∴ ， 解得： ， ∴ ； 当点P在 上时，此时是 ， ∴ ， ， 即 轴， ∴点N的纵坐标为 ， 把 代入 得： ， 解得： ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ， ∴此时点P的坐标为 ． 综上分析可知：点P的坐标为： 或 ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，平行四边形的性质，求一次函数解析式，求两条直线的交点坐标，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图1，矩形 的一边 在 轴上，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． (1)求证：四边形 为正方形； (2)如图2，若点 为 中点，连接 ，直线 交 于点 ，交 轴于点 ． ①求 的面积； ②点 在 轴的正半轴上，平面内是否存在点 ，使以点 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)① ②存在，N的坐标为 ， 或 【分析】（1）由矩形的性质得出 ， 先证明四边形 是矩形，再证明 ，再由 ，即可证明四边形 为正方形． （2）①分别求出直线 ， 的解析式，再求出两直线的交点坐标 ，再求出点H的坐标，再根据 计算即可．②设 ， ，而 ， ，利用菱形的性质分三种情况，分别列式计算即可得出答案． 【详解】（1）证明∶∵ ， ∴ ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ∴四边形 是矩形 ∵ ， ∴ ， ∴ ∵ ， ∴四边形 为正方形； （2）①由(1)知， ，四边形 为正方形， ∴ ， ∵点F为 中点 ∴ ， 设由 ， 的直线 解析式为 ， 把 代入，可得出 ， ∴ 解析式为 设 ， 得直线 解析式为 ， 则 ， 解得： ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 解析式为 ， 联立 解得： ， ∴ ， 在 中， 另 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ． ②平面内存在点N，使以点A，H，M，N为顶点的四边形是菱形，理由如下∶ 设 ， ，而 ， ， 当 ， 为对角线时， ， 的中点重合，且 ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 当 ， 为对角线时， ， 的中点重合，且 ， ∴ ， 解得： 此时，点A、M重合，舍去，或 （此时，M不在x轴正半轴上，舍去）， 当 ， 为对角线时， ， 的中点重合，且 ， ∴ 解得： 或 （舍去）， ∴ ， 综上：N的坐标为 或 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及矩形，萎形，正方形的判定以及性质，一次函数的应用等，坐标与图形，解题的关键是分类讨论思想，方程思想的应用． 4．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，矩形 的顶点 、 分别在 、 轴的正半轴上，点 的坐标为 ，一次函数 的图像与边 、 分别交于点 、 ，并且满足 ，点 是线段 上的一个动点． (1)求得 ____； (2)连接 ，若 的面积与四边形 的面积之比为 ，求点 的坐标； (3)设点 是 轴上方平面内的一点，以 、 、 、 为顶点的四边形为菱形时，请求出点 的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点 的坐标为 或 【分析】本题主要考查一次函数的性质与菱形的判定与性质，矩形的性质，正确根据菱形的性质进行分类讨论求得 的坐标是解决本题的关键． （1）根据 ，可得点 ，将 代入解析式，即可求解； （2）由（1）知一次函数的解析式为 ， ， ，根据 的面积与四边形 的面积之比为 ，可得 ， ，设点 的横坐标为 ，则 ，即可求解； （3）分两种情况：若以 为对角线，得到菱形 ；若以 为对角线，得到菱形 讨论，结合图形，利用菱形的性质即可求解． 【详解】（1） 四边形 是矩形， EMBED Equation.DSMT4 轴， 轴， 一次函数 的图像与边 、 分别交于点 、 ，并且满足 ， 当 时， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 点 的坐标为 ， EMBED Equation.DSMT4 ，点 的横坐标为 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 点 ，将点 代入 得： ， 解得： ， 故答案为： ； （2）由（1）知：一次函数的解析式为： ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 的面积与四边形 的面积之比为 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 设点 的横坐标为 ，则 ， 即 ， 解得： ， 将 代入 ，得： ， EMBED Equation.DSMT4 ； （3）如图所示，若以 为对角线，得到菱形 ， 则 垂直平分 ， 和 关于 轴对称， EMBED Equation.DSMT4 ， 点 和 的纵坐标均是 ， 将 代入 得： ， 解得： ， 点 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 点 ； 如图所示，若以 为对角线，得到菱形 ，则 ，线段 与线段 的中点重合，过点 作 轴于点 ， 设点 的横坐标为 ，则纵坐标为 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 解得： （不能构成菱形，舍去）或 ， 将 代入 得： ， 点 ， 菱形 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 点 ， 综上所述，以 、 、 、 为顶点的四边形为菱形时，点 的坐标为 或 ． 5．（23-24八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，已知三个点的坐标分别为 、 、 ． (1)求直线 的解析式； (2)以 为边在x轴上方作矩形 ，且 ，若过点A的直线l平分该矩形的面积，求直线l与矩形的边的交点坐标； (3)以 为边作 ，且四边形的一个内角为 ，一条边长为 ，若过点A的直线 与 有两个交点时，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) ， (3) 或 【分析】（1）由待定系数法设直线 的解析式为 ，将 、 的坐标代入即可求解； （2）由矩形的性质得直线 平分矩形 的面积，直线 经过点对角形的交点 ，由待定系数法可求直线 的解析式，即可求解； （3）①当平行四边形在 轴上方， 时，由待定系数法同理可求直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，结合图象即可求解； ②当平行四边形在 轴上方， 时，同理可求；③当平行四边形在 轴下方， 时，同理可求；④当平行四边形在 轴下方， 时，同理可求． 【详解】（1）解：设直线 的解析式为 ，则有 ， 解得 ， 直线 的解析式为 ； （2）解：如图，连接 与 交于 ，直线l与矩形的边的分别交点为 、 ， EMBED Equation.DSMT4 、 ， ， ， ， 直线 平分矩形 的面积， 直线 经过点 ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 设直线 的解析式为 ，则有 ，解得： ， 直线 的解析式为 ， 当 时， ， 解得： ， ， 当 时， ， 解得： ， ， 直线l与矩形的边的交点坐标为 ， ； （3）解：①当平行四边形在 轴上方， 时，如图，过 作 轴， 四边形 是平行四边形， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． ， 由待定系数法同理可求： 直线 的解析式为 ， 直线 的解析式为 ， 过点A的直线 与 有两个交点， 或 ； ②当平行四边形在 轴上方， 时， 同理可求： ，直线 的解析式为 ， 或 ； ③当平行四边形在 轴下方， 时， 同理可求： ，直线 的解析式为 ， 或 ； ④当平行四边形在 轴下方， 时， 同理可求： ，直线 的解析式为 ， 或 ； 综上所述： 或 ． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的性质，掌握相关的性质，能根据不同角取 进行分类讨论是解题的关键． 6．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线 经过点B，且与x轴交于点 ． (1)求直线 的表达式； (2)求 的面积； (3)点E为射线 上一点，过点E作 轴交 于点F，且 ，设点E的横坐标为m． ①求m的值； ②在y轴上取点M，在直线 上取点N，在平面内取点Q，使得点E，M，N，Q构成的四边形是以 为对角线的正方形，直接写出此正方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)① ；② 或450 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等： （1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A的坐标，再求出 的长，最后根据三角形面积计算公式求解即可； （3）①分别表示出 ， 的坐标，再根据 建立方程，可求得 的值．②由 ， 两点在直线 上，且点 为定点作为突破口，以 为对角线分两类讨论，再结合正方形的性质，可解决问题． 【详解】（1）解；在 中，当 时， ，则 ， 把 ， 代入 中得： ， 解得 ． 直线 的表达式： ； （2）解：在 中，当 时， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ； （3）解：① 点 为射线 上一点， ， ∵ 轴交 于点 ， ∴ ． EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 又 ， ， 解得： ； ②由①知： ． 当 为正方形的对角线，点 在点 的右上方时，如图， 分别过点 ， 作 轴垂线，垂足为 ， ． ∴ ， ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 令 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ ； 当 为正方形的对角线，点 在点 的左下方时，如图， 分别过点 ， 作 轴垂线，垂足为H，K． 同理可得 ， ∴ ， ， 方法同上，令 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ． 即 ． 综上所述：正方形的面积为 或450． 1．（23-24八年级下·广东佛山·期末）已知，如图，平面直角坐标系内的矩形 ，点 在 轴上，点 在 轴上，点 坐标为 ， 为 边上一点，将 沿直线 折叠，得到 ，点 的对应点 落在线段 上． (1)求 的长； (2)点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向运动，设运动时间为 ， 的面积为 ，求 关于 的关系式； (3)在（2）的条件下，点 为直线 上一点，是否存在 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出 的值，并直接写出点 、点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， ， ， 或 ， ， 或 ， ， 时，以点 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形 【分析】（1）先求出 ，由折叠的性质可知 ，再利用勾股定理求解即可． （2）过 作 交直线 于 ，分 在线段 上和在 的延长线上两种情况讨论求解即可． （3）分当 以点 、 、 、 为顶点的平行四边形的对角线时，当四边形 是平行四边形的边时，当四边形 是平行四边形的边时三种情况利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解： 四边形 是矩形，点 坐标为 ， ， ， 由折叠的性质得： ， ． （2）过 作 交直线 于 ，则 ， 由题意得： ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， 由折叠的性质得： ， ， ， ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得： ， 即 ， 解得： ， ． ①当点 在线段 上时，如图 所示： 的面积 的面积 的面积 ； ②当点 在线段 的延长线上时，如图 所示： 的面积 的面积 的面积 ； 综上所述， ． （3）存在 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 由（1）（2）得： ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， 设直线 的解析式为 ， 由题意得： ， 解得： ， 直线 的解析式为 ， 设 ， ①当 是以点 、 、 、 为顶点的平行四边形的对角线时，连接 ， 则对角线 与 互相平分，如图 所示： 平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得： ， ∴ ， ； ②当 为平行四边形 的边时，如图 所示： 则 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得： ， ∴ ， ； ③当 为平行四边形 的边时，如图 所示： 则 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得： ， ， ； 综上所述，存在， ， ， 或 ， ， 或 ， ， 时，以点 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，矩形的性质，平行四边形的性质，含 角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中， 、 、 三点坐标分别为 、 、 ，把 沿 翻折，点 恰好落在 轴的点 处， 为折痕． (1)求直线 的解析式； (2)在平面直角坐标系中，有一个动点 使得 ，动点 的纵坐标 是否为横坐标 的函数？若是，求出 关于 的函数解析式；若否，请说明理由； (3)连接 、 ，点 为边 的中点， ，且 交 外角的平分线 于点 ，求证 ． 【答案】(1) (2)是， 或 (3)见解析 【分析】（1）由翻折的性质可得， ，待定系数法求直线 的解析式即可； （2）由题意知， ，则 ，由勾股定理得， ，设 到 的距离为 ，依题意得， ，可求 ，即点 在距离 为 的直线 上运动，如图1，记 与 轴的交点为 ， 与 轴的交点为 ，作 于 ，则 ，可求 ，由勾股定理得， ，则 ， ，设直线 的解析式为 ；将 代入，可求 ，则直线 的解析式为 ；同理，直线 的解析式为 ； （3）如图2，延长 交 的延长线于 ，记 与 轴的交点为 ，则 ，证明四边形 是正方形， ，证明 ，则 ，由 ，可得 ，如图2，作 于 ， 轴于 ，证明四边形 是正方形，则 ， ， ，证明 ，则 ，证明 ，进而可证 ． 【详解】（1）解：由翻折的性质可得， ， 设直线 的解析式为 ， 将 ， 代入得， ， 解得， ， ∴直线 的解析式为 ； （2）解：由题意知， ， ∴ ， 由勾股定理得， ， 设 到 的距离为 ， 依题意得， ， 解得， ， ∴点 在距离 为 的直线 上运动，如图1，记 与 轴的交点为 ， 与 轴的交点为 ，作 于 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 由勾股定理得， ， ∴ ， 同理可得， ， 设直线 的解析式为 ； 将 代入得， ， 解得， ， ∴直线 的解析式为 ； 同理，直线 的解析式为 ； ∴动点 的纵坐标 是横坐标 的函数， 关于 的函数解析式为 或 ； （3）证明：如图2，延长 交 的延长线于 ，记 与 轴的交点为 ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是正方形， ， ∴ 外角为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 如图2，作 于 ， 轴于 ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴ ，即 ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了翻折的性质，一次函数解析式，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行线间的距离，正方形的判定与性质，角平分线，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握翻折的性质，一次函数解析式，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行线间的距离，正方形的判定与性质，角平分线，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（23-24八年级下·广东珠海·期末）如图1， 在平面直角坐标系中， 直线l： 与x轴、y轴分别交于点A和点B， 点 是直线l上的一个动点． (1)求 的面积； (2)记点P到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ，当 时，求点 P的坐标； (3)如图2，连接 ， 过点P作 交y轴于点C，当点C在点B上方， 且满足 时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 (3) 或 【分析】（1）分别把 ， 代入函数 ，即可求得点A，B的坐标，从而求出 ， 的长，根据三角形的面积公式即可解答； （2）由点 在直线l上得到 ，表示出 和 ，根据 列出方程，求解即可； （3）分两种情况，点P在第二象限，点P在第一象限分别讨论求解． 【详解】（1）解：把 代入函数 ，得 ，解得 ， ∴ ， ∴ ； 把 代入函数 ，得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵点 是直线l： 上的一个动点， ∴ ， ∵P到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 或 ， 解得： 或 ， 当 时， ， 当 时， ， ∴点P的坐标为 或 ； （3）解：①若点P在第二象限，则 如图，当点C与点B重合时， ∵ ， , ∴在 中， ， ∵ ，即 ，且 ∴ ， 即 ， ∴ ， ∵点P的坐标为 ， ∴根据两点间距离公式可得 ， 即 ∵ ， ∴ ， 解得 ； 在y轴上点B的上方取点D，使得 ，则 ， 如图，当点C与点D重合时， 在直线l上异于点P处取点E，使得 ， ∴ ， ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴ 是矩形， ∴ ， ∴根据两点间距离公式可得 ， 即 ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∵点P在第二象限，即 ， ∴ ． ∴当点C在点B上方，且满足 时，m的取值范围是 ②若点P在第一象限， 当点C与点B重合时，点P也与点B重合，此时 ， 在y轴上点B的上方取点D，使得 ，当点C与点D重合时， 同理可得 ， ∴当点C在点B上方，且满足 时，m的取值范围是 ． 综上所述，满足要求的m的取值范围是 或 ． 【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，三角形的面积，点到坐标轴的距离与点与点之间的距离，解方程的应用，矩形的判定及性质等，综合运用相关知识，正确作出辅助线，熟悉分类讨论思想是解题的关键． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)若 ， ①直接写出线段 的长度； ②如图1，过点A作直线 ，点M在直线l上，满足 ，求点M的坐标； (2)如图2，以 为边，在其右侧作正方形 ，在线段 上截取 ，连接 并延长，交y轴于点F，当 时，试探究 的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)①   ②点M的坐标为 或 (2)不变，值为 【分析】本题考查一次函数与几何图形，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）①先根据 轴上点的特点求出 长，即可求出 长； ②分两种情况作图，然后利用三角形全等即可解题； （2）设点E的坐标为 ，根据 可得 ，解得 ，然后求出直线 的解析式，即可得到 ， 和 的长，代入求比值即可． 【详解】（1）①解：当 时， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ； ②解：如图，当 时，则 ， ∴ ， 过M点作 轴于点N， 则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴点M的坐标为 ； 如图，当 时，则 ， 同理可得 ， ， ∴ ， ∴点M的坐标为 ； 综上所述，点M的坐标为 或 ； （2）解：∵ 是正方形， ∴ ， 则点C的坐标为 ， 设点E的坐标为 ， ∵ ， ∴ ，解得 或 （舍去）， ∴点E的坐标为 ， 设直线 的解析式为 ， ∴ ，解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 当 时，y= ， ∴ ， 令y=0，则 解得： ， ∴ ， ， ∴ ． 5．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在矩形 中，点 在 轴上，点 在 轴上，点 的坐标是 ．将矩形 沿直线 折叠，使点 落在对角线 上的点 处，折痕所在直线与 轴分别交于点 ． (1)求线段 的长； (2)求直线 的解析式； (3)若点 是平面内任意一点，在 轴上是否存在点 ，使以 为顶点的四边形是菱形，且该菱形的一边为 ？若存在，请求出满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，满足条件的点 的坐标为 或 或 【分析】（1）根据点 的坐标，结合勾股定理即可求解； （2）根据折叠可得 ，设 ，在直角 中，根据勾股定理可得点 的坐标，再根据待定系数法即可求解； （3）如图所示，分类讨论，根据菱形的性质，等面积法求三角形的高的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ； （2）解：根据折叠可得， ， ， ， 设 ，则 ，且 ， 在 中， ， ∴ ， 解得， ， ∴ ， ∴ ，且 ， 设直线 的解析式为： ， ∴ ， 解得， ， ∴ ； （3）解：①如图所示，四边形 为菱形，即 ， 由（2）可得， ， ∴ ； ②如图所示，四边形 是菱形， ， ∴ ； ③如图所示，四边形 是菱形， ，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ， ∴ 是等腰三角形，四边形 是矩形， ∴ ， ， 由（2）可得， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 综上所述，存在，满足条件的点 的坐标为 或 或 ． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握矩形的性质，菱形的判定和性质，待定系数法求解析式，勾股定理，等面积法求高的计算，折叠的性质等知识的综合运用是解题的关键． 6．（23-24八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，矩形 的边 与x轴正半轴重合，点B的坐标为 ，且满足 ， 与 相交于点D，E为 的中点，点P为线段 上的一点，连接 ，点A关于直线 的对称点为点 ，连接 ．    (1)请直接写出点B的坐标，并求出直线 的解析式； (2)求线段 长度的取值范围； (3)若直线 与 相交于点Q，在x轴负半轴有一动点 ，在y轴正半轴上有一动点 ，分别连接 ，且 ，请求出用与n之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的性质和绝对值非负性算出 ，从而得出 ，根据四边形 为矩形，即可求出 ，根据待定系数法即可求出 ； （2）如图，连接 ，得出 ，勾股定理算出 ，根据对称可知 ，根据图象可得 ，当点P在点A 时，点 在点A处，此时 最大，最大为 ，即可求解； （3）联立解析式求出 ，根据 ，运用勾股定理即可求解 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ， ∵四边形 为矩形， ， ， 设 ， ∴ ，解得： ， ； （2）解：如图，连接 ，    ∵ 为 中点， 则 ， ， 则对称可知 ， ， 当点P在点A 时，点 在点A处， 此时 最大，最大为 ， ； （3）解：如图，    联立 ，得 ， ， 令 ， ， ， ， ， ． 【点睛】该题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数解析式求解，一次函数与正比例函数交点，勾股定理，折叠的性质，矩形的性质以及绝对值的非负性等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出图象． 7．（23-24八年级下·广东·期末）在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ． (1)如图1，连接 ，求 的面积； (2)如图2，在直线 上存在点 ，使得 ，求点 的坐标； (3)如图3，在（2）的条件下，连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ，点 在直线 上，在平面中存在一点 ，使得 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，请求出点 的坐标． 【答案】(1)11 (2) (3)点 的坐标为 【分析】（1）对于直线 ，令 ，则 ，故点 ，同理可得点 的面积 ，此题得解； （2）证明 ，则 ，得等式 ，解答即可得到 点坐标； （3）设 的坐标为 ，分别求得 ，利用 求得点 的坐标为 ，求出直线 的表达式为 ；分点 在点 的上方、点 在点 的下方两种情况，利用平移的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：直线 ， 令 ，则 ， 故点 ； ，令 ，则 ，令 ，即 ， 解得： ， 故点 ， 则 ， ∴ 的面积 ； （2）解：由题意， ， 观察图象可知，点 只能直线在 的右侧，过点 作 的垂线交 于点 ，过点 作 轴的平行线交过点 与 轴的平行线于点 ，交过点 与 轴的平行线于点 ， 设点 ，点 ， ∵ ，故 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故 ， 解得 ， 故点 ； （3）解：设 的坐标为 ， ∵ ， ∴ ， 设 的坐标为 ， 则： ， 化简得： ， 解得： ， ∴点 的坐标为 ， 设直线 的表达式为 ， 将点 的坐标代入得： ， 解得： ， 故直线 的表达式为 ， 当 在 上方时，点 向右平移2个单位向上平移 个单位得到 ， ∴ 右平移2个单位向上平移 个单位得到 ， ∵ 在直线 上，故满足条件， 当 在 点下方时，同理得 ，此时 不在直线 上，不满足条件， 综上，点 的坐标为 ． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、三角形全等、面积的计算等，解答本题的关键是熟练掌握数形结合思想的运用． 8．（23-24八年级下·广东深圳·期末）先阅读下列材料，然后解决问题： 【阅读感悟】 在平面直角坐标系中，已知点 ，当t的值发生改变时，点Q的位置也会发生改变，为了求点Q运动所形成的图象的解析式，令点Q的横坐标x，纵坐标y，得到了方程组 消去t，得 ，即 ，可以发现，点 随t的变化而运动所形成的图象的解析式是 ． 【尝试应用】 （1）观察下列四个点的坐标，不在函数 图象上的是（    ） A．             B．             C．             D． （2）求点 随t的变化而运动所形成的图象的解析式； 【综合运用】 （3）如图，在平面直角坐标系中，点P在一次函数 的图象上运动．已知点 为定点，连接 ，过点A作直线 ，且 ，求点B随点P的变化而运动所形成的图象的解析式． 【答案】B； ； 或 【分析】（1）将点代入函数解析式，即可得到答案； （2）令 ，消去 即可得到答案； （3）当点B在第一象限时，过点P作 轴于点E，过点B作 轴于点D，证明 ，设 ，将 用含 的式子表示，设 ，得到 ，即可得到答案．当点B在第三象限时，同理可求得点B的坐标，进而即可求得答案． 【详解】（1）解：将 代入函数 ， EMBED Equation.DSMT4 ，成立，故 在函数 图象上，选项A不符合题意； 将 代入函数 ， EMBED Equation.DSMT4 ，不成立，故 不在函数 图象上，选项B符合题意； 将 代入函数 ， ，成立，故 在函数 图象上，选项C不符合题意； 将 代入函数 ， ，成立，故 在函数 图象上，选项D不符合题意； 故选：B． （2）令 ， 消去 得 ， 故解析式为 ； （3）设 ， 如图1，当点B在第一象限时，过点P作 轴于点E，过点B作 轴于点D， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 易知 ， ， ， ， ， ， 设 ， ， 消去 得 ； 当点B在第三象限时，过点A作直线 轴于点A，过点P作 于点G，过点B作 于点H，设 与y轴交于点M， 同理可得 ， ， ， 设 ， ， 消去 得 ； 综上所述，点B随点P的变化而运动所形成的图象的解析式为 或 ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合题，用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，添加K型全等图形的辅助线是解答本题的关键． 9．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线 的图象分别交 ， 轴于 ， 两点，直线 的图象分别交 ， 轴于 ， 两点，且两条直线相交于点 ，已知点 的坐标为 ． (1) ______，点 的坐标为______； (2)若点 为 轴正半轴上一点，且 的面积为20，请求出点 的坐标； (3)如图2，直线 过点 且垂直于 轴，点 是直线 上的一个动点，连接 ，是否存在点 使得 ？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3， (2) (3) 或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数与坐标轴的交点问题、等腰三角形的性质，勾股定理的运用、面积的计算等，注意分类讨论求解，避免遗漏． （1）将点 的坐标为 代入 即可求出m的值，联立两条直线解析式，即可求出点 的坐标； （2）先求出点D的坐标，设 ，根据 ，即可求解； （3）过点E作 ，垂足为M，由 ，得到 ，分两种情况讨论：当 时，当 时，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点 的坐标为 代入 ，得 ， 解得： ， 联立两条直线解析式得 ， 解得： ， ， 故答案为：3， ； （2）解：令 ，则 ， ， 设 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 解得： 或 ， ∵点 为 轴正半轴上一点， ∴ ， 点 的坐标为 ； （3）解：存在，点F的坐标为 或 ， 如图，过点E作 ，垂足为M， EMBED Equation.DSMT4 轴， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 当 时， ，则 ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 当 时， ，则 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 综上，点F的坐标为 或 ． 10．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图，点 ， ， ，…， 在x轴上，点 ， ， ，…， 在直线 上．已知 ， 轴， …， ，若 ，则点 的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与图形规律的综合，解题的关键是掌握一次函数的性质，等腰三角形的性质，根据图形得到规律： ，根据 ，求出 ，在根据点 在 ，即可． 【详解】∵ ， ∴ 是等腰三角形， ∵ 轴， ∴ ， 同理可知： ， ∴ ， ∵ ， ， ， ， ∴ ； ∵点 在 ， ∴当 时，即 是， ， ∴点 ． 故选：D． 11．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数 和 的图象分别为直线 ， ，过点 作 轴的垂线交 于点 ， 过点 作 轴的垂线交 于点 ， 过点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作y轴的垂线交 于点 ， ，依次进行下去，则点 的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数图象上的点的坐标，以及点的坐标的变化规律，根据题意可得点 与 的横坐标相同， 与 的纵坐标相同，再根据 可求出 ， ， ， ， ， ， ， ，通过观察这些点的坐标可得出 的横坐标为 ，然后根据 可得出答案，找出点的坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：依题意得： 与 的横坐标相同， 与 的纵坐标相同， ∵ ， ∴对于 ，当 时， ， ∴点 ， 对于 ，当 时， ， ∴点 ， 同理可得： ， ， ， ， ， ， 观察这些点的坐标可得出： 的横坐标为 ， ∵ ， ∴点 的横坐标为 ， 故选： ． 12．（23-24八年级下·广东韶关·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，以O为圆心， 的长为半径画弧，交直线 于点 ；过点 作 轴交直线 于点 ，以O为圆心， 长为半径画弧，交直线 于点 ；过点 作 轴交直线 于点 ，以点O为圆心， 长为半径画弧，交直线 于点 ，…，按如此规律进行下去，点 的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标的变化规律以及两点之间的距离公式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标． 根据题意可以求得点 的坐标，点 的坐标，点 的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点 的坐标． 【详解】解：由题意可得，点 的坐标为 ， 设点 的坐标为 ， ， ， 解得： ， ∴点 的坐标为 ， 同理可得，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 以此类推可得，点 的坐标为 ∴点 的坐标为 ， 故选：D． 题型01 题型02 题型03 题型04 题型05 题型06 题型07 题型08 题型09 题型10 题型11 题型12 题型13 题型14 题型15 题型16 题型17 题型18 144 / 144 _1808768231.unknow$$ 专题04 一次函数 题型概览 题型01函数的概念 题型02函数解析式 题型03函数的三种表示 题型04函数图象的识别 题型05函数图象的应用 题型06正比例函数 题型07一次函数的概念 题型08一次函数的图象 题型09一次函数的解析式 题型10一次函数的性质 题型11一次函数图象的平移 题型12一次函数与方程 题型13一次函数与不等式 题型14求图形的面积 题型15一次函数的实际应用——分配问题 题型16一次函数的实际应用——利润问题 题型17一次函数的实际应用——行程问题 题型18一次函数与几何综合 ( 题型01 )函数的概念 1．（23-24八年级下·广东·期末）王司机到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中的常量是（    ） A．金额 B．数量 C．金额和数量 D．单价 2．（23-24八年级下·广东·期末）当圆的半径由小到大变化时，圆的面积也随之发生变化．在这一变化过程中，以下说法错误的是（    ） A．，是变量 B．是的函数 C．是的函数 D．随的增大而增大 3．（23-24八年级下·广东·期末）肥料的施用量与产量之间有一定的关系．研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量 土豆产量 根据表格可知，下列说法正确的是（    ） A．氮肥施用量是时，土豆产量为 B．氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量 C．土豆产量为时，氮肥的施用量一定是 D．氮肥施用量越大，土豆产量越高 4．（23-24八年级下·广东·期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 2 )函数解析式 1．（23-24八年级下·广东汕头·期末）檀香具有镇静安神、调理脾胃等功效，已知某品牌檀香线每支长，每分钟燃烧的长度是，檀香线剩余长度与燃烧时间x（分钟）之间的关系为 （不需要写出自变量的取值范围）. 2．（23-24八年级下·广东河源·期末）已知等腰三角形的底为3，腰长为x，则周长y关于腰长x的关系式为 ． 3．（23-24八年级下·广东·期末）长方形的周长为，其中一边长为，面积为，则与的关系可表示为 . 4．（23-24八年级下·广东·期末）王大爷要围成一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长恰好为米，要围成的菜园是如图所示的长方形，设边的长为米，边的长为米，则与的关系式是 ． 5．（23-24八年级下·广东中山·期末）函数 中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·广东·期末）在函数中，自变量的取值范围是 ． 7．（23-24八年级下·广东·期末）在函数中，自变量的取值范围是 ． ( 题型0 3 )函数的三种表示 1．（23-24八年级下·广东·期末）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料--纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ． 温度 100 150 200 250 300 350 导热率 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 2．（23-24八年级下·广东佛山·期末）在一次实验中，把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，所挂物体的质量与弹簧长度的对应值如下： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 18 20 22 24 26 28 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系，并指出哪个是自变量，哪个是因变量； (2)不挂物体时，弹簧长_________； (3)求当所挂物体的质量为（在弹性限度内）时弹簧的长度； (4)求当弹簧长度为（在弹性限度内）时所挂物体的质量． 3．（23-2八年级下·广东佛山·期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下： (1)上图反映哪两个变量之间的关系？ (2)根据上图，补全表格： 0 1 2 5 7 12 16 (3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？ 0 1 2 4 5 7 8 10 12 16 18 18 4．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）清明假期，刘老师乘车从学校到井冈山观赏映山红，缅怀革命先烈．已知学校距离井冈山，车行驶的平均速度为，后刘老师距离井冈山，则与之间的关系式是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广东深圳·期末）根据以下信息，探索完成任务： 如何选择合适的话费套餐 素材1 中国移动A套餐：月租费为58元/月，套餐内每月可拨打国内电话150分钟，超出套餐部分拨打国内电话0.19元/分钟． 素材2 中国移动B套餐：月租费为88元/月，套餐内每月可拨打国内电话350分钟，超出套餐部分拨打国内电话0.19元/分钟． 素材3 中国移动推出的A，B两种套餐都在全国范围内接听免费，含来电显示． 套餐收费说明：如A套餐计费方法中，若拨打国内电话时长小于等于150分钟，则只收月租费58元/月；若拨打国内电话时长为180分钟，则该月计费为元． 任务一 某用户选择中国移动B套餐： 若该月拨打国内电话时长为200分钟，则该用户的月缴费为 元； 若该月拨打国内电话时长为380分钟，则该用户的月缴费为 元． 任务二 若选择A套餐计费方法，设某用户一个月的拨打国内电话时长为x分钟，该月话费为元，则与x的关系式是 ；若选择B套餐计费方法，设某用户一个月的拨打国内电话时长为x分钟，该月话费为元，则与x的关系式是 ． 任务三 若某用户某月拨打国内电话总时长为250分钟，你认为他应该选择上述两种套餐中的哪一种较为合算？请说明你的理由． 6．（23-24八年级下·广东·期末）某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：，则下列说法错误的是（    ） A．时间是自变量，水位高度是因变量 B．y是变量，它的值与x有关 C．当时， D．当时， 7．（23-24八年级下·广东深圳·期末）2024深圳市梧桐山第九届毛棉杜鹃花会正式拉开帷幕，小明决定登梧桐山赏花．如图1，他以一定的速度沿路线“梧桐山北门—万花屏—好汉坡—大梧桐—深外高中站”步行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他到达深外高中站时，共用去．小明步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示．根据图回答下列问题： (1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为 ，因变量为 ； (2)他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 千米/时； (3)小明在景点好汉坡处逗留的时间是 小时； (4)图2中点A表示 ． 8．（23-24八年级下·广东清远·期末）人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘，德国心理学家艾宾浩斯第一个发现了记忆遗忘规律．他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线，观察图象并回答下列问题： (1)其中自变量是__________，因变量是__________； (2)在以下哪个时间段内遗忘的速度最快？填序号__________ ①    ②    ③    ④ (3)图中B点表示的意义是__________； (4)老师要求我们“堂堂清”、“日日清”，请结合艾宾浩斯遗忘曲线谈谈你的看法？ 9．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，可以近似的刻画下列哪种实际情境中的变化关系（    ） A．一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系） B．一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系） C．足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系） D．匀速行驶的汽车（速度与时间的关系） 10．（23-24八年级下·广东河源·期末）如图为一蓄水池的横断面示意图，若以固定的水流量往这个蓄水池注水，下列图象中能大致表示在蓄水池中水的深度h和时间t之间关系的是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )函数图象的识别 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）下列各曲线中，不是关于的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为，水位高度为，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东中山·期末）李明周末去菜市场买菜，从家中走分钟到一个离家米的菜市场，买菜花了分钟，之后用分钟返回家里．如图表示李明离家距离(米)与外出时间(分)之间关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   4．（23-24八年级下·广东·期末）小丽从甲地开车去乙地，先加速行驶，后匀速行驶，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后开始加速行驶，然后又匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（    ） A．   B．   C．   D．   5．（23-24八年级下·广东惠州·期末）“1000米跑”是体育中考男生必考项目，体育老师一声令下，小明立即开始慢慢加速，途中一直保持匀速，最后400米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小明跑步时的速度（单位：米／分）与时间（单位：分）之间的大致图象的是（    ） A． B． C． D． ( 题型 05 )函数图象的应用 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）小红和小明从甲地出发，骑自行车沿同一条路到距甲地24千米的乙地参加活动．如图，折线和线段分别表示小红和小明离甲地的距离（单位：）与时间（单位：）之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，当小明到达乙地时，小红距乙地 千米． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家．小丽离家距离与时间之间的关系如图所示． 下列结论错误的是（   ）． A．小丽家到便利店距离500米 B．小丽在便利店停留了5分钟 C．小丽步行的速度是 D．小丽骑自行车的速度是步行速度的1.5倍 3．（23-24八年级下·广东江门·期末）周末，小明出去购物；如图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的关系图象，根据图示信息，下列说法不正确的是（　　） A．小明去时的速度为6千米/小时 B．小明在超市停留了10分钟 C．小明去时花的时间大于回家所花的时间 D．小明去时走下坡路，回家时走上坡路 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图1，在中，，点是的中点，动点从点出发沿运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的图象如图2所示，则的面积为（   ）    A．10 B．16 C．20 D．40 ( 题型 06 )正比例函数 1．（23-24八年级下·广东惠州·期末）已知y与x成正比例，且时，，则y与x的函数解析式为 ． 2．（23-24八年级下·广东惠州·期末）下列函数是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知正比例函数的图象过点，则该函数的解析式为 ． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小 5．（23-24八年级下·广东云浮·期末）一个正比例函数的图象经过点，，求的值． 6．（23-24八年级下·广东广州·期末）关于函数，下列结论错误的是（    ） A．它是正比例函数 B．图象是一条直线 C．图象经过 D．图象经过第二、四象限 7．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数的大小关系是 ．（填“”、“”或“”） ( 题型 07 )一次函数的概念 1．（23-24八年级下·广东汕头·期末）下列函数中，是一次函数有（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东汕头·期末）下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东·期末）已知函数是关于x的一次函数，则m的值是 ． 4．（23-24八年级下·广东·期末）若函数y=(m-2)x+5是一次函数，则m满足的条件是 ． 5．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）若点在函数的图象上，则的值为（    ） A． B． C． D．8 6．（23-24八年级下·广东汕尾·期末）下列各点中，在一次函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·广东广州·期中）已知：． (1)化简A； (2)若点是一次函数图象上的点，求A的值． ( 题型 08 )一次函数的图象 1．（23-24八年级下·广东·期末）一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）一次函数不经过第三象限，则的大致图象是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）已知一次函数，则该函数的图象是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广东·期末）已知一次函数（k，b为常数，且，y随着x的增大而减小，且，则该一次函数在平面直角坐标系内的大致图像是（        ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广东·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象过点，则该函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·广东江门·期末）已知一次函数经过、两点，则它的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（23-24八年级下·广东东莞·期末）一次函数的图象经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 8．（23-24八年级下·广东·期末）已知一次函数的图像如图所示，则，的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 9．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知一次函数的图象不经过第四象限． (1)求的取值范围； (2)当时，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)在（2）的情况下，当时，根据图象求出的取值范围． 10．（23-24八年级下·广东湛江·期末）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围为 ． 11．（23-24八年级下·广东惠州·期末）已知函数的图象不经过第二象限，且该函数图象经过点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知直线与直线在同一直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级下·广东汕头·期末）若一次函数的图象（是常数）与轴交于正半轴，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C．0 D． 14．（23-24八年级下·广东湛江·期末）一次函数与y轴的交点坐标是 ． 15．（23-24八年级下·广东韶关·期末）已知直线 与两坐标轴的交点分别为、，则的周长为 (   ) A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·广东汕头·期末）已知与成正比例关系，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)在平面直角坐标系中，请直接画出该函数的图象． 17．（23-24八年级下·广东广州·期末）函数的图象为直线，函数图象为直线，两直线相交于点C． (1)求m、n的值； (2)在给出的直角坐标系中，画出直线和直线的图象； (3)求直线、与y轴围成的三角形面积． 18．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）已知一次函数的图象经过点，两点． (1)在平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)求一次函数的表达式． ( 题型 09 )一次函数的解析式 1．（23-24八年级下·广东潮州·期末）已知一次函数的图象经过点和，求这个函数的解析式． 2．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，已知，．    (1)求直线的函数解析式； (2)若点在坐标轴上，且，求点的坐标； (3)点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，与相交于点，求点的坐标． 3．（23-24八年级下·广东湛江·期末）一次函数的图象经过点，且与轴交于负半轴，则一次函数的解析式可以是 （写出一个即可）． 4．（23-24八年级下·广东中山·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴正半轴交于点B，的面积等于4，求直线的解析式． 5．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知一次函数，当时，，则 ． ( 题型 10 )一次函数的性质 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点 在函数的图像上，则 （   ） A． B． C． D．无法判断 2．（23-24八年级下·广东湛江·期末）已知一次函数的图象经过点，，则m与n的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，下列关于函数的描述正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．图象不经过第三象限 C．必过定点 D．与x轴的交点坐标为 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）下列关于一次函数的图象性质说法中，不正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．直线经过第一、二、四象限 C．与两坐标轴围成的三角形面积为 D．直线与轴交点的坐标是 5．（23-24八年级下·广东·期末）对于函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象必经过点 B．y的值随x值的增大而增大 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 6．（23-24八年级下·广东汕头·期末）当时，一次函数的最大值为18，则 7．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知一次函数，其中． (1)若点在的图象上，求的值； (2)当时，若函数有最大值2，求的函数表达式； 8．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知一次函数图象上两点和，下列结论：①图象过定点；②若一次函数图象与函数的图象平行，则；③若，则；④若函数图象与x轴的交点在正半轴，则或．正确的是 （填写正确结论的序号）． 9．（23-24八年级下·广东东莞·期末）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)请判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由； (3)如果，是这个函数图象上的两点，请比较与的大小． ( 题型 11 )一次函数图象的平移 1．（23-24八年级下·广东惠州·期末）将直线沿轴正方向平移个单位长度，得到的直线的解析式为 ． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）将直线向下平移3个单位后，所得直线的表达式是 ． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）在学习《图形的平移》后，某数学兴趣小组开展了在平面直角坐标系中研究直线平移的探究活动． 素材 两点确定一条直线 素材 图形平移的本质就是点的平移 素材 平移不改变直线的倾斜程度 任务 一次函数，与轴的交点为，与轴的交点为，若该函数图象向左平移个单位长度，此时点的对应点的坐标为______，点的对应点为的坐标为______，并求出平移后的函数表达式； 任务 一次函数，与轴的交点为，与轴的交点 ，将该函数向右平移个单位长度，线段扫过的图形面积为，请求出平移后的函数表达式． 4．（23-24八年级下·广东惠州·期末）已知点，，将直线沿轴向上平移个单位长度后，与线段有交点，则的取值范围是 ． 5．（23-24八年级下·广东广州·期末）下列一次函数的图象中，与直线平行的是（   ） A． B． C． D． ( 题型 12 )一次函数与方程 1．（23-24八年级下·广东珠海·期末）一次函数(k、b为常数， 且)中的x与y的部分对应值如下表： x 1 0 y m() 下列四个结论：①方程的解在0和1之间：②若点,在直线上， 则； ③； ④不等式的解集为 时， ．其中正确的结论有（       ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点． (1)若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案． 方程的解是______． 方程组的解是______． 不等式的解集是______． 不等式的解集是______． (2)若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积； (3)在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标． 3．（23-24八年级下·广东·期末）一次函数和的图象如图所示，三位同学根据图象得到了下面的结论： 甲：关于x，y的二元一次方程组的解是； 乙：关于x的一元一次方程的解是； 丙：关于x的一元一次方程的解是． 丁：关于x的一元一次不等式的解集是； 四人中，判断正确的是(    ) A．甲，丙 B．甲，丙，丁 C．乙，丙 D．乙，丙，丁 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广东·期末）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是 ． ( 题型 13 )一次函数与不等式 1．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，直线与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，已知一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象经过点，则关于的不等式组的解集为 ．    3．（23-24八年级下·广东河源·期末）如表所示，取一次函数的部分自变量的值和对应的函数值，根据信息，下列说法正确的个数是（    ） 0 2024 ①；②当时；③；④不等式的解集是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图．一次函数的图像交轴于点，，与正比例函数的图像交于点，点的横坐标为1．    (1)求一次函数的解析式． (2)请直接写出时自变量的取值范围． 5．（23-24八年级下·广东·期末）如图，一次函数与的图象交于点，下列结论正确的是（） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解为 6．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，直线与直线 交于点，则不等式 的解集为（       ）    A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·广东湛江·期末）如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m，n的值； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围． 8．（23-24八年级下·广东汕头·期末）直线：与直线：在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ． ( 题型 14 )求图形的面积 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，且与直线交于点． (1)求出k和b的值； (2)若D是射线上的点，且的面积为6，求点D的坐标． 2．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，与直线相交于点．    (1)求点B的坐标． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在一点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（23-24八年级下·广东湛江·期末）如图，一次函数交轴于点，一次函数交轴于点，一次函数与的图象交于点． (1)求出，的值． (2)直接写出的解集． (3)求出的面积． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标中，直线与x轴相交于点B，与直线相交于点A．    (1)求的面积； (2)点P为y轴上一点，当取最小值时，求点P的坐标， 5．（23-24八年级下·广东湛江·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点A，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点、．    (1)求一次函数的函数解析式； (2)直接写出不特式的解集； (3)求的面积． ( 题型 15 )一次函数的实际应用——分配问题 1．（23-24八年级下·广东江门·期末）坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某中学为丰富学生的第二课堂，准备购买一批每副售价60元的羽毛球拍和每筒售价10元的羽毛球．购买时，发现商场正在进行两种优惠促销活动． 活动甲：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 活动乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种羽毛球拍10副，羽毛球筒． (1)写出每种优惠办法实际付款金额（元），（元）与x（筒）之间的函数关系式． (2)比较购买同样多的羽毛球时，按哪种优惠办法付款更省钱？ (3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种羽毛球拍10副和羽毛球60筒设计一种最省钱的购买方案． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）某学校计划在总费用元的限额内租用辆汽车送名师生集体外出活动．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 租金/（元/辆） (1)设租用辆甲种客车，租车费用为元．用含有的式子表示．并指出随的增大而增大还是减小？ (2)一共有哪几种租车方案？哪种方案的租车费用最少？ 3．（23-24八年级下·广东韶关·期末）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元? (2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小时的分拣量最大? 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）五一长假期间，4位家长计划带领若干名学生去北京参观升旗礼． 他们联系了两家旅行社，报价均为每人 2000元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：4位家长全额收费，学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八五折收费．假设这4位家长带领x名学生去旅游，甲、乙两家旅游行社的收费分别是元和元． (1)分别求甲、乙两家旅行社的收费和关于x的关系式； (2)4名家长选择哪家旅行社会更划算，请说明理由． ( 题型 16 )一次函数的实际应用——利润问题 1．（23-24八年级下·广东·期末）请根据以下素材，完成探究任务． 关于出票问题的探究 素材1 为提升市民审美品味和高雅文化消费，位于坪山文化聚落的坪山大剧院，每月都会在综合剧场（可容纳1200名观众）上演高品质的若干场剧目．按文化和旅游部的相关规定，剧院等演出场所的上座率（）原则上不得超过． 素材2 “每月一剧”惠民计划：为进一步提升辖区居民的幸福感，丰富居民群众的精神文化生活，坪山街道新和社区通过民生微实事项目平台，联合坪山大剧院联手推出惠民观剧活动，辖区居民只需40元即可购买一张当月上演的一场剧目前往观剧，数量有限，先购先得！ 素材3 2024年11月的一场话剧推出、两种观赏票价，并参与“每月一剧”惠民购票活动．已知种票10张、种票5张、惠民票5张，共需3900元；购买2张种票比购买1张种票多出的费用，可购得惠民票2张 问题解决 任务1 据悉，该话剧深受广大市民欢迎，上座人数恰好达到相关规定的上限，则观剧人数有______人． 任务2 设该话剧种票价元，种票价元，求出该话剧的种、种票价． 任务3 若种票的持票人数与种票的持票人数满足如图所示函数图象（其中取正整数）．请写出该场话剧票务收入与的函数表达式，求出该场话剧的最大票务收入． 2．（23-24八年级下·广东清远·期末）某汽车销售公司经销某品牌A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年 5月份A 款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A 款汽车， 去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． (1)今年5月份A 款汽车每辆售价多少万元? (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B 款汽车，已知A款汽车每 辆进价为7.5万元，B 款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于102万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案?其中哪种进货方案所需资金最少? 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【项目式学习】：根据以下素材，探索完成任务． 销售材料 素材1 某商场推出了两款运动鞋：运动鞋A和运动鞋B．一双运动鞋A的售价比一双运动鞋B的售价贵20元，购买1双A运动鞋和2双B运动鞋共需560元． 素材2 商场销售A运动鞋共获利润1800元，B运动鞋共获利润2000元，其中一双A运动鞋的利润是一双B运动鞋的倍，A运动鞋比B运动鞋少卖10双． 问题解决 任务1 确定运动鞋的 一双A运动鞋售价是 元；一双B运动鞋的售价是 元． 任务2 确定运动鞋的进价 一双A运动鞋和一双B运动鞋的进价各是多少？（一双鞋利润＝一双鞋售价﹣一双鞋进价＝） 任务3 拟定最佳销售方案 该商场打听到某企业欲购买运动鞋500双，购买A运动鞋的数量不超过B运动鞋数量的三倍，该商场销售部如何配置运动鞋的数量，可以使得该笔交易获利最大？此时购买的金额为多少元？ 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）某建筑公司现有，两工地需要租车运土，工地需要12台，工地需要18台；租车公司现有甲型车10台，乙型车20台可供选择，每天租金价格如右表． 甲型车租金 乙型车租金 工地 800元/台 600元/台 工地 600元/台 300元/台 (1)设工地租甲型车台，租乙型车______台；则工地租甲型车______台，租乙型车______台（用含的式子表示）． (2)设该公司每天的总租金为元，请求出与的函数解析式并写出的取值范围． (3)在（2）条件下，公司如何租车才能使得每天总租金最少？最少租金是多少？请说明理由． 5．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）某玩具厂每天生产两种玩具共60件，成本和售价如下表： 成本/（元/件） 售价/（元/件） 种玩具 40 60 种玩具 35 45 设每天生产种玩具件，每天获得的总利润为元． (1)应用你学的函数知识，求与之间的函数关系式； (2)如果该玩具厂每天最多投入的成本为2200元，那么每天生产多少件种玩具，所获得的利润最大？并求出这个最大利润． 6．（23-24八年级下·广东潮州·期末）湘桥区政府大力实施“百千万工程”，推动乡村振兴特色产业．湘桥区某水果生产基地在政府的支持下种植了、两个品种的“潮州柑”共50亩，两种品种的“潮州柑”成本和售价如下表所示．设种植品种“潮州柑”亩，若50亩地全部种植两种“潮州柑”共获得利润万元． 品种 成本（万元/亩） 售价（万元/亩） 1.1 2.2 1.3 2.7 (1)求与之间的函数关系式； (2)若A品种“潮州柑”的种植亩数不少于品种“潮州柑”种植亩数的1.5倍，则种植A品种“潮州柑”多少亩时，该水果生产基地利润最大？并求出最大利润． ( 题型 17 )一次函数的实际应用——行程问题 1．（23-24八年级下·广东云浮·期末）“跑中山翠亨，访伟人故里，到湾区新城，见世纪荣光”，2024年4月21日，中山·翠亨环岛马拉松鸣枪开跑．在赛程为的半程马拉松比赛过程中，乙选手匀速跑完全程，甲选手后的速度为，甲、乙两选手的部分行程随起跑的时间变化的图象如图所示．有下列说法：①起跑后半小时内甲的速度为； ②第两人都跑了； ③图中记录的两人所跑路程都为；④图中所示的截止时间点处乙比甲早到．其中正确的有 ．(填序号) 2．（23-24八年级下·广东中山·期末）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，准备从厨房门口出发，给相距的客人送餐．聪聪先出发，且速度保持不变．慧慧待聪聪出发后出发，后将速度提高到原来的倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为 ．，与x之间的函数图象如图所示． (1)求慧慧提速后的速度； (2)求图中的与的值． 3．（23-24八年级下·广东·期末）在抗击新冠肺炎疫情期间，司机小张开车免费将志愿者从市送到市，到达市放下志愿者后立即按原路原速返回市（志愿者下车时间忽略不计），而快递员小李则骑摩托车从市向市运送快递，他们出发时间相同，均沿两市间同条公路匀速行驶，设两人行驶的时间为（h），两人相距（km），如图表示随变化而变化的情况，根据图象解决以下问题： （1）、两市之间的路程为 km；点表示的实际意义是 ； （2）小张开车的速度是 km/h；小李骑摩托车的速度是 km/h． （3）试求出发多长时间后，两人相距60km． 4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）阅读下列材料，根据材料回答下列问题 材料一 夏欢全家端午期间从井冈山出发自驾游匀速行驶返回深圳(中途在一个服务区停留)，右图是汽车行驶过程中距离深圳的路程y(千米)与汽车行驶的时间x(小时)之间的关系图． 材料二 课本67面排碳计算公式 家居用电的二氧化碳排放量耗电量 开私家车的二氧化碳排放量耗油量 耗油量 1 2 4 n 10 11 私家车二氧化碳排放量 m 27 材料三 一般情况下，新能源电动汽车的百公里耗电量左右 一般情况下，燃油汽车的百公里耗油量左右 根据以上材料解决下列问题 (1)井冈山与深圳之间的距离为 千米，返回途中在服务区逗留了 小时． (2)表格中 ， ； (3)若同样行驶x(百公里)，记新能源电动汽车的二氧化碳排放量为 (千克)、燃油汽车的二氧化碳排放量为 (千克)，直接写出与x(百公里)之间的关系式： ， ． (4)从井冈山驾车返回深圳时，新能源电动汽车比燃油车少减排 千克碳排放． (备注：新能源电动汽车的碳排放量计算公式可参照材料二家居用电的二氧化碳排放量) 5．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）甲、乙两地相距210千米，一辆货车将货物由甲地运至乙地，卸货后返回甲地．若货车距乙地的距离 y（千米）与时间 t（时）的关系如图所示，根据所提供的信息，回答下列问题： (1)货车在乙地卸货停留了 小时； (2)在货车往返速度中，哪个速度更快些?请说明理由． ( 题型 18 )一次函数与几何综合 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为，点，分别是线段，上的动点，且，则的长为 ；当的值取最小值时，点的坐标为 ． 2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且面积为40． (1)求点C的坐标及直线的解析式； (2)如图2，已知点，连接并延长与交于点F，求线段的长度． (3)如图3，将直线向右平移个单位，交x轴于点M，交y轴于点N，在直线或上是否存在一点P，使得以点M，N，O，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图1，矩形的一边 在轴上，点 的坐标为，点的坐标为 ． (1)求证：四边形 为正方形； (2)如图2，若点 为 中点，连接 ，直线 交 于点 ，交 轴于点 ． ①求 的面积； ②点在轴的正半轴上，平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图像与边、分别交于点、，并且满足，点是线段上的一个动点． (1)求得____； (2)连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标； (3)设点是轴上方平面内的一点，以、、、为顶点的四边形为菱形时，请求出点的坐标． 5．（23-24八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，已知三个点的坐标分别为、、． (1)求直线的解析式； (2)以为边在x轴上方作矩形，且，若过点A的直线l平分该矩形的面积，求直线l与矩形的边的交点坐标； (3)以为边作，且四边形的一个内角为，一条边长为，若过点A的直线与有两个交点时，请直接写出k的取值范围． 6．（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，且与x轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点E为射线上一点，过点E作轴交于点F，且，设点E的横坐标为m． ①求m的值； ②在y轴上取点M，在直线上取点N，在平面内取点Q，使得点E，M，N，Q构成的四边形是以为对角线的正方形，直接写出此正方形的面积． 1．（23-24八年级下·广东佛山·期末）已知，如图，平面直角坐标系内的矩形，点在轴上，点在轴上，点坐标为，为边上一点，将沿直线折叠，得到，点的对应点落在线段上． (1)求的长； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动时间为，的面积为，求关于的关系式； (3)在（2）的条件下，点为直线上一点，是否存在，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出的值，并直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，、、三点坐标分别为、、，把沿翻折，点恰好落在轴的点处，为折痕． (1)求直线的解析式； (2)在平面直角坐标系中，有一个动点使得，动点的纵坐标是否为横坐标的函数？若是，求出关于的函数解析式；若否，请说明理由； (3)连接、，点为边的中点，，且交外角的平分线于点，求证． 3．（23-24八年级下·广东珠海·期末）如图1， 在平面直角坐标系中， 直线l： 与x轴、y轴分别交于点A和点B， 点是直线l上的一个动点． (1)求的面积； (2)记点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，当时，求点 P的坐标； (3)如图2，连接， 过点P作交y轴于点C，当点C在点B上方， 且满足时，直接写出m的取值范围． 4．（23-24八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)若， ①直接写出线段的长度； ②如图1，过点A作直线，点M在直线l上，满足，求点M的坐标； (2)如图2，以为边，在其右侧作正方形，在线段上截取，连接并延长，交y轴于点F，当时，试探究的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由． 5．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．将矩形沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，折痕所在直线与轴分别交于点． (1)求线段的长； (2)求直线的解析式； (3)若点是平面内任意一点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形，且该菱形的一边为？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（23-24八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴正半轴重合，点B的坐标为，且满足，与相交于点D，E为的中点，点P为线段上的一点，连接，点A关于直线的对称点为点，连接．    (1)请直接写出点B的坐标，并求出直线的解析式； (2)求线段长度的取值范围； (3)若直线与相交于点Q，在x轴负半轴有一动点，在y轴正半轴上有一动点，分别连接，且，请求出用与n之间的函数关系式． 7．（23-24八年级下·广东·期末）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点． (1)如图1，连接，求的面积； (2)如图2，在直线上存在点，使得，求点的坐标； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点作的垂线交轴于点，点在直线上，在平面中存在一点，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形，请求出点的坐标． 8．（23-24八年级下·广东深圳·期末）先阅读下列材料，然后解决问题： 【阅读感悟】 在平面直角坐标系中，已知点，当t的值发生改变时，点Q的位置也会发生改变，为了求点Q运动所形成的图象的解析式，令点Q的横坐标x，纵坐标y，得到了方程组消去t，得，即，可以发现，点随t的变化而运动所形成的图象的解析式是． 【尝试应用】 （1）观察下列四个点的坐标，不在函数图象上的是（    ） A．            B．            C．            D． （2）求点随t的变化而运动所形成的图象的解析式； 【综合运用】 （3）如图，在平面直角坐标系中，点P在一次函数的图象上运动．已知点为定点，连接，过点A作直线，且，求点B随点P的变化而运动所形成的图象的解析式． 9．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线的图象分别交，轴于，两点，直线的图象分别交，轴于，两点，且两条直线相交于点，已知点的坐标为． (1)______，点的坐标为______； (2)若点为轴正半轴上一点，且的面积为20，请求出点的坐标； (3)如图2，直线过点且垂直于轴，点是直线上的一个动点，连接，是否存在点使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图，点，，，…，在x轴上，点，，，…，在直线上．已知，轴，…，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数和 的图象分别为直线，，过点 作轴的垂线交 于点， 过点作轴的垂线交于点， 过点作轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·广东韶关·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以O为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以O为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以点O为圆心，长为半径画弧，交直线于点，…，按如此规律进行下去，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 34 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$