专题08 相似三角形（四大题型40题）（上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题08 相似三角形（四大题型40题） 目录 题型一：比例线段 1 题型二：相似三角形的性质 3 题型三：实数与向量相乘 24 题型四：向量的线性运算 27 题型一：比例线段 1．（23-24八年级下·上海青浦实验·期末）如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（   ） A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5 【答案】A 【分析】先由，求得的比，再由DE//BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，然后由EF//AB，根据平行线分线段成比例定理，可得，则可求得答案． 【详解】解：， ， ∵DE//BC， ， ∵EF//AB， ． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键． 2．（23-24八年级下·上海青浦实验·期末）在中，点分别在边、上，下列比例式中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：如图： A、当时，不能判定，故不符合题意； B、当时，能判定，故符合题意； C、当时，不能判定，故不符合题意； D、当时，不能判定，故不符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）已知是线段的黄金分割点，且，则下列比例式能成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，    ∵是线段的黄金分割点，且， ∴， A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，解决本题的关键是掌握黄金分割定义把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点)． 题型二：相似三角形的性质 4．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在中，，是边上一点，过作交边于点，交的延长线于点，连接．如果，，，那么的值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，由相似三角形的性质得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 5．（23-24八年级下·上海·期末）在中，点、分别在边、上，以下能推出的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定；画出图形，根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可． 【详解】解：画出图形如下： A、由，不能得出，故不能判定； B、由，不能得出，故不能判定； C、 ，则有， ，则， ，从而； D、由，不能得出，故不能判定； 故选：C． 6．（23-24八年级下·上海·期末）如图，将绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，连接，下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，根据旋转的性质得到，，，，，再根据相似三角形的判定定理判断求解即可． 【详解】解：根据旋转的性质得，， ∴， ∴，， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故B不符合题意； 又，， ∴，故C不符合题意； 根据题意，无法求解与相似， 故D符合题意； 故选：D． 7．（2018·上海宝山·一模）如果两个相似三角形的周长之比1：4，那么它们的某一对对应角的角平分线之比为 ． 【答案】1:4 【详解】分析：根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据对应角平分线的比等于相似比解答． 详解： ∵两个相似三角形的周长之比1：4， ∴它们的相似比是1：4， ∴它们的某一对对应角的角平分线之比为1：4． 故答案为1：4． 点睛：考查对相似三角形性质的理解：请理解和熟记以下知识点： （1）相似三角形周长的比等于相似比； （2）相似三角形面积的比等于相似比的平方； （3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 8．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）已知P点为线段的黄金分割点，，且，则 【答案】/ 【分析】如图，点P是线段上的黄金分割点，，则，再代入数据计算即可． 【详解】解：如图，点P是线段上的黄金分割点，且，， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是线段的黄金分割点，掌握“线段的黄金分割点的定义”是解题的关键． 9．（20-21九年级上·四川·阶段练习）已知点是线段的黄金分割点，如果，那么线段 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割比例为是解题的关键；因此此题可根据黄金分割比直接进行求解即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C、交直线于点D、E、F，如果，，那么 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，先由，运用平行线分线段成比例的内容可得，再进行变形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，已知，如果，，那么的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2021·上海松江·一模）如图正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知△ABC的边BC＝16cm，高AH为10cm，则正方形DEFG的边长为 cm． 【答案】 【分析】如图，由题意易得DG∥BC，DG=DE=MH，设MH=DG=xcm，则有△ADG∽△ABC，进而可得，即为，最后求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形DEFG是正方形，AH⊥BC， ∴DG∥BC，DG=DE=MH， ∴AM⊥DG， ∵DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， ∴， 设MH=DG=xcm，BC＝16cm，高AH为10cm， ∴，解得：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 13．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图．正方形的边长为，点是边上一点，与对角线交于点，如果，那么线段长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 先证明，得到，设，则，从而求得，，再用勾股定理求出x值，即可求解． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得：或， 经检验，是原方程的解也符合题意，是原方程的解，但不符合题意，舍去， ∴． 故答案为：． 14．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，点在矩形的边上，过点作的垂线，与边交于点，若，，，点分别是、的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理，连接，证明，由相似三角形的性质得出，推出，由勾股定理得出，最后再由三角形中位线定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵点分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在中，是上一点，若，．则 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，由平行四边形的性质得出，，证明，得出，由相似三角形的性质得出，再求出，结合计算即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（23-24八年级下·上海·期末）定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，如图1中正方形即为线段的“对角线正方形”．如图2，在中，，，，点在边上，如果线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．设正方形的边长为，则，，由，可得，根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：当线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上时， 设正方形的边长为，则，， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 17．（23-24八年级下·上海·期末）如图，点、分别是梯形的腰、的中点，连接、，交于点，如果，，则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了梯形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关的知识．根据题意得出，，进而得到，设和的高为，，根据相似三角形的性质可得，进而得到，，，即可求解． 【详解】解：在梯形中，，点、分别是、的中点，，， ，， ， 设和的高为，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 18．（23-24八年级下·上海青浦·期末）点是线段上的一点，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，由题意得出点是的黄金分割点，得到，结合，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴点是的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：． 19．（16-17九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，将绕点C旋转得到，点A的对应点恰好与的重心重合，与相交于点E，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形重心的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，旋转的性质．熟练掌握三角形重心的性质和三角形相似的判定理与性质定理是解题关键．延长交于点D，根据三角形重心的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得出．根据旋转的性质得出，，从而得出，并可证，再结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点D， ∵点恰好与的重心重合， ∴． ∵， ∴， ∴． 由旋转得：，， ∴，即． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在四边形中，，点在边上，连接、，满足，且． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求证；． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰梯形的判定、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，从而推出，得到，即可得证； （2）证明，得出，证明，再由相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形； （2）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．（23-24八年级下·上海·期末）如图：已知在中，是边上一点，连结、，延长、相交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的判定定理是本题的关键． （1）通过证明，可得结论； （2）通过证明，可得，可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 22．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴、y轴交于点A、B，直线BC与x轴交于点，点D在x轴的负半轴上且． (1)求证：； (2)已知点E在x轴上，点F在坐标平面内，如果以C、B、F、E为顶点的四边形是菱形，直接写出符合条件的点E坐标； (3)在直线上是否存在一点G，使与相似？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点E的坐标为或或 (3)点G的坐标为或 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）先求出，，的长，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； （2）根据菱形的性质，分为为菱形的边和为菱形的对角线，两种情况分别解题计算即可； （3）设G点坐标为，然后可以得到，分为和两种情况，根据相似三角形的对应边成比例求出的长，再利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵点B的坐标为，， ∴， 若为菱形的边，则， ∴点E的坐标为或； 当为菱形的对角线时，设点E的坐标为， ∵， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为， 综上所述，点E的坐标为或或； （3）解：存在，如图，当时 设G点坐标为， 令，则，解得， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴点D的坐标为， ∵， ∴，， ∴，， 则， 则，即，解得：， 过点G作轴于点P， 即，即， 解得：（舍去），， ∴点G的坐标为； 当时，则， 则，即，解得：， 过点G作轴于点P， 即，即， 解得，（舍去） ∴点G的坐标为， 综上所述，点G的坐标为或． 23．（23-24八年级下·上海·期末）在直角梯形中，，，，，，点是射线上的动点（不与点重合）    (1)将沿者直线翻折，点落在处，射线交边于点． ①如图，当点在边上时，求证：； ②当中有一条边平行于时，求的长； (2)当点在的延长线上时，连接，射线与射线交于点，且，求的值． 【答案】(1)①见解析；②或 (2) 【分析】（1）①根据折叠的性质和，可推出，即可证明；②分情况讨论，当时，可推出四边形为平行四边形，得到，设，则，，，根据，推出，最后利用勾股定理，即可得到；当时，连接，作，可得四边形是平行四边形，结合勾股定理得到，然后证明，可设，则，，最后利用，即可求得； （2）连接，作于点，证明，，，，设，则，，，，由得到值，再由和得到，最后由得到答案． 【详解】（1）①证明：根据折叠的性质， 又 ②解：第一种情况：根据题意，当时，如图 ， 四边形为平行四边形 设，则， 又 ， 由题意可知， ，即 解得：，（舍去负值） 第二种情况：根据题意，当时，连接，作，如图所示： ，， ，， 又 四边形是平行四边形 又， 又， ， 又根据折叠的性质，可知 设，则， 由①可知， 由题意可知，， ，即 综上所述，或． （2）解：连接，作于点，如图 由（1）可知， 又 ， 又 设，则， ， 又 ， ，即 解得： ， ，即 又， 的值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 题型三：实数与向量相乘 24．（23-24八年级下·上海松江·期末）下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．买一张彩票，没有中奖 B．平面内任意画一个三角形，内角和是 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．向量与向量是平行向量 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、随机事件的概念理解，要注意到必然事件是在一定条件下一定会发生的事件，随机事件是在一定条件下可能会发生的事件．根据必然事件就是在一定条件下一定会发生的事件进行判断即可． 【详解】解：A.、购买一张彩票，没有中奖是随机事件，不符合题意； B、任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，符合题意； C.、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意； D、向量与向量是平行向量是随机事件，不符合题意； 故选：B． 25．（23-24八年级下·上海静安·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．平行向量的方向相同 B．方向相反的向量是相反向量 C．平行向量的方向相反 D．方向相反的向量是平行向量 【答案】D 【分析】本题考查向量的相关知识点，向量是一个抽象的概念，我们要仔细揣摩向量的含义及规律，认真读懂题干所给的条件，好好运用所给的已知条件，即可求得答案．根据平行向量可能同向或反向进行解答即可． 【详解】解：平行向量的方向相同或相反，方向相反的向量是平行向量，方向相同的向量是平行向量；相反向量的方向相反且长度相同，因此方向相反的向量不一定是相反向量，故D正确． 故选：D． 26．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在梯形中，，点是边的中点，连接，，下列向量中，不是的相反向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面向量，平行四边形的性质，平行向量，相反向量等知识，解题的关键是平行向量，相反向量的定义，属于中考常考题型．根据相反向量，平行向量的定义一一判断即可． 【详解】解：A、与是相反的向量，本选项不符合题意； B、与是相反的向量，本选项不符合题意． C、与互为相反向量，本选项不符合题意． D、与是平行向量，方向相同，不是相反向量，本选项符合题意． 故选：D． 27．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）下列命题中，真命题是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】该题主要考查了零向量、向量的模，解题的关键是掌握以上知识点． 根据零向量、向量的模，判断即可； 【详解】A．若，则，故原说法是假命题，该选项不符合题意； B．若，则，故原说法是假命题，该选项不符合题意； C．若，则，故原说法是真命题，该选项符合题意； D．若，则，故原说法是假命题，该选项不符合题意； 故选：C． 28．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）下列关于向量说法错误的是（    ） A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．向量的大小叫做向量的模 C．长度为零的向量叫做零向量 D．零向量是没有方向的 【答案】D 【分析】根据向量的相关定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】A. 既有大小，又有方向的量叫做向量，故该选项正确，符合题意；     B. 向量的大小叫做向量的模，故该选项正确，符合题意； C. 长度为零的向量叫做零向量，故该选项正确，符合题意；     D. 零向量有方向的，但方向不是确定的，故该选项不正确，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了向量的相关定义，熟练掌握向量的定义是解题的关键． 29．（22-23八年级下·上海长宁·期末）下列关于向量的等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的模的定义，以及零向量的定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了向量的模的定义，以及零向量的定义，熟练掌握平面向量的相关定义是解题的关键． 题型四：向量的线性运算 30．（23-24八年级下·上海宝山·期末）化简： ． 【答案】 【分析】此题考查了向量的线性运算，根据向量的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 31．（23-24八年级下·上海静安·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了向量的线性运算，根据向量的运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 32．（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，在梯形中，，点E是的中点，，设，，那么 ．（用、表示） 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，向量的运算，根据题意证明四边形为平行四边形，得到，，进而得到，即有，，最后根据即可解题． 【详解】解： ，， 四边形为平行四边形， ，， 点E是的中点， ， ，， ，， ， 故答案为：． 33．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上． (1)填空：＝ ，＝ ； (2)图中与相等的向量是 ，与相反的向量是 ； (3)求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）． 【答案】(1)，； (2)；或 (3)详见解析 【分析】（1）根据向量的和的定义求解即可； （2）根据相等向量，相反向量的定义判断即可； （3）分别以E，C为圆心，为半径作弧，两弧交于点F，连接，即为所求． 本题考查了平面向量，平行四边形的性质，向量的问题，熟练掌握平行四边形法则和三角形法则是解题的关键． 【详解】（1）解：＝， ； 故答案为：，； （2）解：∵是平行四边形， ∴， ∴图中与相等的向量是，与相反的向量是或； 故答案为：；或； （3）如图，即为所求； 34．（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知在梯形中，，点在边上，连接，． (1)填空： ； ； (2)在图中求作：．（不要求写作法，但要写出结论） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了平面向量，三角形法则； （1）利用三角形法则和多边形法则求解即可； （2）作交于T，连接即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）如图，作交于T，连接，则即为所求． 35．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，四边形是平行四边形，点E在边上，交于点F，    (1)写出图中所有与互为相反向量的向量：_______； (2)已知，则_______． (3)在图中求作：．（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据相反向量的定义解答即可； （2）利用三角形法则求解即可； （3）如图，作，，则四边形是平行四边形，即,连接即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴与互为相反向量的向量：． 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解：如图，作，，则四边形是平行四边形，即, 所以,即向量即为所求．    36．（23-24八年级下·上海·期末）如图，在四边形中，，点是对角线的中点，的延长线与相交于点，设，，． (1)试用向量、、表示向量：______； (2)写出图中所有与互为相反向量的向量：______； (3)求作： ．（画出所求向量，并直接写出结论） 【答案】(1) (2)和 (3)见详解 【分析】 （1）由，，，，代入即可； （2）由，可知，因此图中与互为相反向量的向量有和； （3）如图，作，，则向量即为所求． 【详解】（1） 解：∵，，， ． 故答案为：； （2） 解：∵， ∴， ∵点是对角线的中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴图中与互为相反向量的向量有和， 故答案为：和； （3） 如图， 向量即为所求 作，， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 则向量即为所求． 【点睛】本题考查平面向量三角形法则、四边形法则，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相反向量的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念． 37．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，中，D、E、F分别是、、三边的中点，连接、，交于点G，设，． (1)试用向量表示______； (2)在图中求作：、．（不要写出过程，只需写出结论即可） 【答案】(1) (2)，，画图见解析 【分析】此题考查了向量的线性运算，三角形中位线的性质， （1）首先根据中点的性质得到，，然后表示出，得到，然后利用向量的三角形法则求解即可； （2）由题意得到；根据中位线和中点的性质得到，进而得到，然后画图即可． 【详解】（1）∵E、F分别是、边的中点，， ∴， ∴ ∵D是的中点， ∴ ∴； （2）如图所示， ； ∵E、F分别是、边的中点， ∴， ∵D是的中点， ∴ ∴ ∴． 38．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，平行四边形中，点E为中点，把图中的线段都画成有向线段．    (1)填空：在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是_______，与互为相反向量的向量是______； (2)求作：（不作法，保留作图痕迹，写出结论）． 【答案】(1)， (2)见详解 【分析】本题考查作图-复杂作图，平面向量、平行四边形的判定与性质、相等向量、互为相反向量等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则解决问题，属于中考常考题型． （1）根据平行四边形的判定可知，四边形为平行四边形，则，结合相等向量的定义，即与长度相等，方向相同，可得出答案．与互为相反向量即与长度相等，方向相反，即可得答案． （2）如图，延长到，使得，连接．推出即为所求． 【详解】（1）解：∵点E为中点， ， ∴与相等的向量为，与互为相反向量的向量是． 故答案为：，； （2）如图，延长到，使得，连接． 根据（1）可得与相等的向量为， 结合图象可得 ， ∵四边形为平行四边形， ， ∴， ∴， ∴ ． ∴即为所求． 39．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，已知梯形中，，点在上，． (1)填空： ， (2)填空： ； (3)在图中直接作出．（不写作法，写结论） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查向量计算，熟练掌握平行四边形法则是解题的关键． （1）连接，先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形法则计算即可； （2）根据平行四边形法则计算即可； （3）连接，则即为所求． 【详解】（1）解：∵梯形 ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， 连接， ∴， ∴ （2）解：如图， ∵ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：如图，即为所求， ∵ ∴ ∵， ∴． 40．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，在梯形 中，，与交于点O，且． (1)求证：； (2)设，，当时，试用向量、表示向量． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查平面向量、全等三角形的判定与性质， （1）由题意可得，根据对应边相等可得答案． （2）由题意得，，，进而可得答案． 【详解】（1）证明：， ，， ∵ ∴ ∵ ， ． （2）∵，， ∴ ∵， ∴ 试卷第34页，共35页 试卷第35页，共35页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题08 相似三角形（四大题型40题） 目录 题型一：比例线段 1 题型二：相似三角形的性质 3 题型三：实数与向量相乘 24 题型四：向量的线性运算 27 题型一：比例线段 1．（23-24八年级下·上海青浦实验·期末）如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（   ） A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5 2．（23-24八年级下·上海青浦实验·期末）在中，点分别在边、上，下列比例式中能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）已知是线段的黄金分割点，且，则下列比例式能成立的是(    ) A． B． C． D． 题型二：相似三角形的性质 4．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在中，，是边上一点，过作交边于点，交的延长线于点，连接．如果，，，那么的值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．（23-24八年级下·上海·期末）在中，点、分别在边、上，以下能推出的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（23-24八年级下·上海·期末）如图，将绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，连接，下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 7．（2018·上海宝山·一模）如果两个相似三角形的周长之比1：4，那么它们的某一对对应角的角平分线之比为 ． 8．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）已知P点为线段的黄金分割点，，且，则 9．（20-21九年级上·四川·阶段练习）已知点是线段的黄金分割点，如果，那么线段 ． 10．（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C、交直线于点D、E、F，如果，，那么 ．    11．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，已知，如果，，那么的长等于 ． 12．（2021·上海松江·一模）如图正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知△ABC的边BC＝16cm，高AH为10cm，则正方形DEFG的边长为 cm． 13．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图．正方形的边长为，点是边上一点，与对角线交于点，如果，那么线段长为 ． 14．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，点在矩形的边上，过点作的垂线，与边交于点，若，，，点分别是、的中点，则线段的长为 ． 15．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在中，是上一点，若，．则 ．    16．（23-24八年级下·上海·期末）定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，如图1中正方形即为线段的“对角线正方形”．如图2，在中，，，，点在边上，如果线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上，那么的长是 ． 17．（23-24八年级下·上海·期末）如图，点、分别是梯形的腰、的中点，连接、，交于点，如果，，则与的面积比为 ． 18．（23-24八年级下·上海青浦·期末）点是线段上的一点，如果，，那么 ． 19．（16-17九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，将绕点C旋转得到，点A的对应点恰好与的重心重合，与相交于点E，那么的值为 ． 20．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在四边形中，，点在边上，连接、，满足，且． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求证；． 21．（23-24八年级下·上海·期末）如图：已知在中，是边上一点，连结、，延长、相交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 22．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴、y轴交于点A、B，直线BC与x轴交于点，点D在x轴的负半轴上且． (1)求证：； (2)已知点E在x轴上，点F在坐标平面内，如果以C、B、F、E为顶点的四边形是菱形，直接写出符合条件的点E坐标； (3)在直线上是否存在一点G，使与相似？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（23-24八年级下·上海·期末）在直角梯形中，，，，，，点是射线上的动点（不与点重合）    (1)将沿者直线翻折，点落在处，射线交边于点． ①如图，当点在边上时，求证：； ②当中有一条边平行于时，求的长； (2)当点在的延长线上时，连接，射线与射线交于点，且，求的值． 题型三：实数与向量相乘 24．（23-24八年级下·上海松江·期末）下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．买一张彩票，没有中奖 B．平面内任意画一个三角形，内角和是 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．向量与向量是平行向量 25．（23-24八年级下·上海静安·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．平行向量的方向相同 B．方向相反的向量是相反向量 C．平行向量的方向相反 D．方向相反的向量是平行向量 26．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在梯形中，，点是边的中点，连接，，下列向量中，不是的相反向量的是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）下列命题中，真命题是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 28．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）下列关于向量说法错误的是（    ） A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．向量的大小叫做向量的模 C．长度为零的向量叫做零向量 D．零向量是没有方向的 29．（22-23八年级下·上海长宁·期末）下列关于向量的等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：向量的线性运算 30．（23-24八年级下·上海宝山·期末）化简： ． 31．（23-24八年级下·上海静安·期末）化简： ． 32．（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，在梯形中，，点E是的中点，，设，，那么 ．（用、表示） 33．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上． (1)填空：＝ ，＝ ； (2)图中与相等的向量是 ，与相反的向量是 ； (3)求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）． 34．（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知在梯形中，，点在边上，连接，． (1)填空： ； ； (2)在图中求作：．（不要求写作法，但要写出结论） 35．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，四边形是平行四边形，点E在边上，交于点F，    (1)写出图中所有与互为相反向量的向量：_______； (2)已知，则_______． (3)在图中求作：．（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论） 36．（23-24八年级下·上海·期末）如图，在四边形中，，点是对角线的中点，的延长线与相交于点，设，，． (1)试用向量、、表示向量：______； (2)写出图中所有与互为相反向量的向量：______； (3)求作： ．（画出所求向量，并直接写出结论） 37．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，中，D、E、F分别是、、三边的中点，连接、，交于点G，设，． (1)试用向量表示______； (2)在图中求作：、．（不要写出过程，只需写出结论即可） 38．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，平行四边形中，点E为中点，把图中的线段都画成有向线段．    (1)填空：在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是_______，与互为相反向量的向量是______； (2)求作：（不作法，保留作图痕迹，写出结论）． 39．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，已知梯形中，，点在上，． (1)填空： ， (2)填空： ； (3)在图中直接作出．（不写作法，写结论） 40．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，在梯形 中，，与交于点O，且． (1)求证：； (2)设，，当时，试用向量、表示向量． 试卷第8页，共9页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$