专题11 三角形的较复杂问题（高频易错必刷练）-2024-2025学年小升初数学重点难点专题真题汇编冲刺必刷练（全国通用）

2024-2025学年小升初数学高频易错真题冲刺必刷练（重点难点专题汇编） 专题11 三角形的较复杂问题 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.43 班级： 姓名： 学号： 试题编写说明 同学你好，该份检测卷优选2023-2024年全国各地名校真题，模拟题。重点强化小升初高频考察点，提升解题技能，优选常考易错题型，难度系数0-1，系数越小，难度越大。该份检测卷非常适合考前冲刺拔尖使用。题目整体难度偏上，适合成绩中上及拔尖的学生。试卷百分制，方便自我学习批改，检测学习能力。解析版思路清晰，理解全面，进一步优化解题过程，梳理考察点。相信你在2025年小升初正式考试中考出满意成绩！ 一．反复比较，慎重选择（将正确答案的序号填在括号里）（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（本题2分）（2024·河南开封·小升初真题）一个三角形其中两条边的长分别是12cm和8cm，第三条边的长度可能是（    ）。 A．20cm B．25cm C．9cm D．30cm 2．（本题2分）（2024·浙江宁波·小升初真题）下面不能用方程来表示的是（    ）。 A． B． C． D． 3．（本题2分）（2024·河南南阳·小升初真题）下面各题中的两个量成正比例关系的是（    ）。 A．全班人数一定，出勤人数与缺勤人数。 B．正方体的表面积与它的棱长。 C．三角形的底一定，它的面积与高。 D．圆的周长一定，直径和圆周率。 4．（本题2分）（2024·重庆丰都·小升初真题）用一根长84cm的铁丝按3∶4∶5的比例做一个直角三角形，这个直角三角形的面积一定是（    ）cm2。 A．588cm2 B．294cm2 C．980cm2 5．（本题2分）（2021·四川绵阳·小升初真题）下列说法正确的有（    ）个。 ①圆周率是圆的周长与直径的比。 ②小明与小强高度的比是5∶6，小明比小强矮。 ③3点15分，时针与分针的夹角为90°。 ④一个三角形中的最小角是46°，这个三角形一定是锐角三角形。 ⑤若数列：1、2、3、……m中，3和7的倍数共有189个，那么m最大是441。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．用心思考，认真填写（共8小题，满分16分） 6．（本题2分）（2024·浙江宁波·小升初真题）如图所示，四边形ABCD是长方形，点P从A出发沿顺时针方向运动，速度为1厘米/秒。如图是三角形PAD的面积随着时间的变化情况，当运动时间为3秒时，三角形PAD的面积为18平方厘米。AD长( )厘米，AB长( )厘米。 7．（本题2分）（2024·浙江金华·小升初真题）一个长方形和一个等边三角形的位置如图，若∠1＝82°，则∠2＝( )°。 8．（本题2分）（2024·河南驻马店·小升初真题）三根小棒首尾相连围成一个三角形，已知其中两根小棒分别长5cm和11cm，那么还有一根小棒最短可能是( )cm，最长可能是( )cm。（都取整厘米数） 9．（本题2分）（2024·重庆垫江·小升初真题）在长方形中，A、B分别是长和宽的中点（如图），阴影部分的面积与长方形的面积的比是( )。 10．（本题2分）（2024·河南漯河·小升初真题）一个三角形三个内角的度数比是2∶2∶5，那么这个三角形既是( )三角形，又是( )三角形。 11．（本题2分）（2024·浙江宁波·小升初真题）如图，正方形ABCD的边长是6dm，AE与ED的长度之比是1∶2，三角形BED的面积是( )dm2。 12．（本题2分）（23-24六年级下·安徽黄山·期末）如图所示，每个小正方形大小相同，若空白部分的面积是55cm2，则阴影部分面积为( )cm2。 13．（本题2分）（22-23四年级上·山东烟台·期中）一个等腰三角形的周长是56厘米，底边长24厘米，它的一条腰长( )厘米，如果这个三角形有一个内角为50°，那么它的最大的一个内角是( )°。 三．仔细斟酌，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（本题2分）（2024·河南驻马店·小升初真题）某三角形中最小的一个角是50°，那么它一定是锐角三角形。( ) 15．（本题2分）（2024·海南省直辖县级单位·小升初真题）用4厘米、5厘米和9厘米长的线段可以围成一个三角形。( ) 16．（本题2分）（2024·河北保定·小升初真题）用三根一样长的铁丝分别围成一个三角形、正方形和圆，圆的面积最小。( ) 17．（本题2分）（24-25六年级上·湖南邵阳·期末）一个三角形三个内角度数的比是，这个三角形最大的内角是60度，这是一个锐角三角形。( ) 18．（本题2分）（2019·江苏·小升初真题）一个三角形中最小的角不能大于60度。( ) 四、看图列式，用心计算（共8分） 19．（本题4分）（2024·四川绵阳·小升初真题）ABCD为直角梯形，AD＝6，DC＝10，三角形BEC的面积为6，求ABCD的面积。 20．（本题4分）（2024·河南郑州·小升初真题）已知直角三角形ABC，分别以三边为直径作三个半圆。求阴影部分的周长和面积（π取3.14）。 五、动手动脑，实践操作。（共12分） 21．（本题6分）（2024·河南驻马店·小升初真题）（1）过顶点B作三角形的高，标出垂足O。 （2）若三角形的∠A＝52°，则三角形的顶点A在顶点C的（    ）偏（    ）（    ）°方向上。 （3）画出三角形绕点B顺时针方向旋转90°后的图形；点C旋转后的位置可用数对（    ）表示。 22．（本题6分）（2024·浙江温州·小升初真题）按要求画一画，算一算。 （1）如果点O的位置是（6，5），那么点A的位置是 ，点B的位置是 。 （2）先画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的图形①，并算出点B在旋转过程中经过路线的长度是 cm。 （3）画出△AOB按2∶1放大后的图形②。 （4）请你设计一个图形③，使图形③的面积是△AOB面积的2倍。 23．（本题4分）（2020·江苏苏州·小升初模拟）（1）把三角形按2∶1的比放大，画出放大后的图形。 （2）把梯形绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （3）画一个与梯形面积相等的三角形和长方形。 六、实际应用，解决问题。（共40分） 24．（本题5分）（2024·浙江金华·小升初真题）一个等边三角形的边长缩短到原来的，得到的等边三角形周长是18分米，原三角形边长是多少分米？ 25．（本题5分）（24-25五年级上·浙江杭州·期末）如图中长方形ABCD长与宽分别为8厘米和5厘米，将BC边延长x厘米到E点后，阴影①的面积恰好比阴影②大10平方厘米。求CE长度是多少？ 26．（本题6分）（24-25五年级上·山东济南·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术。在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分。如图，王阳计划用一张长方形绿色卡纸剪一棵“小树”，他是这样设计的：小树的树干（图中长方形部分）和树冠（由两个完全相同的三角形组成）一样长，树干宽4厘米。请你帮王阳算一算，这棵“小树”的面积是多少平方厘米？ 27．（本题6分）（24-25五年级上·四川凉山·期末）下图中平行四边形ABCD的面积是24.8平方厘米，F是AD上的任意一点，E是BC的中点，则阴影部分三角形EFC的面积是多少平方厘米？ 28．（本题6分）（23-24六年级下·广西河池·期末）如图，平行四边形的面积是84平方厘米。 （1）阴影部分的面积是多少平方厘米？ （2）丙三角形的面积是甲三角形面积的几分之几？（列式计算） 29．（本题6分）（2023·四川·小升初真题）如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10平方厘米和12平方厘米，已知梯形上、下底的比是2∶3，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 30．（本题6分）（2022·河南郑州·小升初真题）根据新华社资料显示，在疫情防控常态背景下，旅游消费呈现出显著的本地化、小半径特征，周边游、本地游、露营成为今年“微度假”主流。 假期，奇奇随爸爸妈妈和朋友一起去郊区露营，并策划了一个定向越野活动。 （1）通过实地考察，越野项目是从帐篷的位置出发，向北偏东45°方向跑210米，到一棵大树下插上小红旗，记为点A，请在如图中标出点A；再跑到点B（L，6），拍照打卡，请在如图中标出点B。最后按原路返回帐篷的位置。（小正方形的边长为1个单位长度，代表实际距离50米，对角线是1.4个单位长度，代表实际距离70米。） （2）请在横线上描述出从点B返回帐篷位置的路线： 。 （3）奇奇发现很多帐篷从侧面观察都近似于三角形，这是因为三角形具有（              ）性。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年小升初数学高频易错真题冲刺必刷练（重点难点专题汇编） 专题11 三角形的较复杂问题 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.43 班级： 姓名： 学号： 试题编写说明 同学你好，该份检测卷优选2023-2024年全国各地名校真题，模拟题。重点强化小升初高频考察点，提升解题技能，优选常考易错题型，难度系数0-1，系数越小，难度越大。该份检测卷非常适合考前冲刺拔尖使用。题目整体难度偏上，适合成绩中上及拔尖的学生。试卷百分制，方便自我学习批改，检测学习能力。解析版思路清晰，理解全面，进一步优化解题过程，梳理考察点。相信你在2025年小升初正式考试中考出满意成绩！ 一．反复比较，慎重选择（将正确答案的序号填在括号里）（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（本题2分）（2024·河南开封·小升初真题）一个三角形其中两条边的长分别是12cm和8cm，第三条边的长度可能是（    ）。 A．20cm B．25cm C．9cm D．30cm 【答案】C 【思路点拨】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，解答此题即可。 【规范解答】12＋8＝20（cm） 12－8＝4（cm） 4cm＜第三边＜20cm A．20cm＝20cm，不符合题意； B．25cm＞20cm，不符合题意； C．4cm＜9cm＜20cm，符合题意； D．30cm＞20cm，不符合题意。 所以，第三条边的长度可能是9cm。 故答案为：C 2．（本题2分）（2024·浙江宁波·小升初真题）下面不能用方程来表示的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据分数的意义；两个三角形高相等时，小三角形是大三角形的几分之几，则小三角形的面积就是大三角形面积的几分之几；等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的；逐项分析各个选项中的数量关系即可得出答案。 【规范解答】A.一个小格为x平方米，总面积是80平方米，可得x＋x＝80； B．小三角形的底是大三角形底的，高相等，则小三角形面积＝x，梯形的面积＝大三角形的面积＋小三角形的面积，即x＋x＝80； C．等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，即圆锥体积是x，所以x＋x＝80； D：一个小格是x，则x＋x＝80； 故答案为：A 3．（本题2分）（2024·河南南阳·小升初真题）下面各题中的两个量成正比例关系的是（    ）。 A．全班人数一定，出勤人数与缺勤人数。 B．正方体的表面积与它的棱长。 C．三角形的底一定，它的面积与高。 D．圆的周长一定，直径和圆周率。 【答案】C 【思路点拨】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【规范解答】A．出勤人数＋缺勤人数＝全班人数（一定），和一定，那么出勤人数与缺勤人数不成比例； B．正方体的表面积÷棱长＝棱长×6（不一定），商不一定，那么正方体的表面积与它的棱长不成比例； C．三角形的面积÷高＝三角形的底×2（一定），商一定，那么三角形的面积与高成正比例关系； D．圆的周长＝πd，π是定值，所以直径和圆周率不成比例。 故答案为：C 4．（本题2分）（2024·重庆丰都·小升初真题）用一根长84cm的铁丝按3∶4∶5的比例做一个直角三角形，这个直角三角形的面积一定是（    ）cm2。 A．588cm2 B．294cm2 C．980cm2 【答案】B 【思路点拨】根据比的意义，可知直角三角形的三条边分别占这根铁丝的长的、、，再根据直角三角形的特征，斜边最长可确定两条短边是直角边，即三角形的底和高，根据三角形面积公式：S＝ah÷2，代入数据计算即可。 【规范解答】（cm） （cm） （cm2） 用一根长84cm的铁丝按3∶4∶5的比例做一个直角三角形，这个直角三角形的面积一定是294cm2。 故答案为：B 5．（本题2分）（2021·四川绵阳·小升初真题）下列说法正确的有（    ）个。 ①圆周率是圆的周长与直径的比。 ②小明与小强高度的比是5∶6，小明比小强矮。 ③3点15分，时针与分针的夹角为90°。 ④一个三角形中的最小角是46°，这个三角形一定是锐角三角形。 ⑤若数列：1、2、3、……m中，3和7的倍数共有189个，那么m最大是441。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】①根据圆的周长公式进行判断； ②已知小明与小强高度的比是5∶6，把小明的高度看作5份，小强的高度看作6份；求小明比小强矮几分之几，先用减法求出小明比小强矮的份数，再除以小强的份数； ③找出3点15分时，时针与分针的位置，再结合角的分类进行判断； ④三角形的内角和是180°，已知一个三角形中的最小角是46°，假设另一个角也是46°，求出第三个角的度数，再根据三角形按角的分类进行判断； ⑤分别求出1～441里3的倍数的个数，7的倍数的个数，以及3和7的最小公倍数的个数，然后用3的倍数的个数＋7的倍数的个数－3和7的最小公倍数的个数，即是1～441里3和7的倍数的总个数，据此判断。 【规范解答】①根据C＝πd可知，C∶d＝π，所以圆周率是圆的周长与直径的比，原题说法正确； ②（6－5）÷6 ＝1÷6 ＝ 小明与小强高度的比是5∶6，小明比小强矮，原题说法正确； ③3点15分，时针指向3和4的中间，分针指向3，时针与分针的夹角小于90°，原题说法错误； ④一个三角形中的最小角是46°，假设另一个角也是46°，那么第三个角是： 180°－46°－46°＝88° 这个三角形一定是锐角三角形，原题说法正确； ⑤3的倍数有：441÷3＝147（个） 7的倍数有：441÷7＝63（个） 3和7的最小公倍数：3×7＝21 21的倍数有：441÷21＝21（个） 3和7的倍数共有：147＋63－21＝189（个） 441后面还有442、443，都不会影响3和7的倍数共有189个，所以m最大是443；原题说法错误。 综上所述，正确的有①②④，共有3个。 故答案为：C 【考点评析】本题考查圆的周长公式、比的应用、钟面上时针与分针所成的夹角、三角形的分类、倍数知识。 二．用心思考，认真填写（共8小题，满分16分） 6．（本题2分）（2024·浙江宁波·小升初真题）如图所示，四边形ABCD是长方形，点P从A出发沿顺时针方向运动，速度为1厘米/秒。如图是三角形PAD的面积随着时间的变化情况，当运动时间为3秒时，三角形PAD的面积为18平方厘米。AD长( )厘米，AB长( )厘米。 【答案】 12 5 【思路点拨】结合两幅图可知，点P运动到BC段时，三角形PAD的高不变，此时三角形PAD的面积最大是30平方厘米； 那么点P运动3秒，三角形PAD的面积为18平方厘米时，点P是在AB段上运动，形成的三角形PAD是一个直角三角形； 先根据“路程＝速度×时间”求出点P运动3秒的路程，也就是直角三角形PAD的高；再根据三角形的面积＝底×高÷2可知，三角形的底＝面积×2÷高，据此求出AD的长度； 因为点P运动到BC段时，三角形PAD的面积最大是30平方厘米，底是AD，高是AB，根据三角形的高＝面积×2÷底，求出AB的长度。 【规范解答】1×3＝3（厘米） AD长： 18×2÷3 ＝36÷3 ＝12（厘米） AB长： 30×2÷12 ＝60÷12 ＝5（厘米） AD长12厘米，AB长5厘米。 7．（本题2分）（2024·浙江金华·小升初真题）一个长方形和一个等边三角形的位置如图，若∠1＝82°，则∠2＝( )°。 【答案】38 【思路点拨】三角形的内角和是180°；等边三角形的特征：等边三角形的三条边相等，三个内角相等。 从图中可知，∠1、∠2和等边三角形的一个内角组成平角，用平角的度数减去∠1的度数，再减去等边三角形的一个内角的度数，即可求出∠2的度数。 【规范解答】等边三角形的内角是：180°÷3＝60° ∠2＝180°－82°－60°＝38° 则∠2＝38°。 8．（本题2分）（2024·河南驻马店·小升初真题）三根小棒首尾相连围成一个三角形，已知其中两根小棒分别长5cm和11cm，那么还有一根小棒最短可能是( )cm，最长可能是( )cm。（都取整厘米数） 【答案】 7 15 【思路点拨】根据三角形的特征，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合边长取整厘米数进行解答。 【规范解答】5＋11＝16（厘米） 11－5＝6（厘米） 所以另一根小棒的长度要大于6厘米，小于16厘米，最短7厘米，最长15厘米。 9．（本题2分）（2024·重庆垫江·小升初真题）在长方形中，A、B分别是长和宽的中点（如图），阴影部分的面积与长方形的面积的比是( )。 【答案】3∶8 【思路点拨】 如图所示，长方形的长为2a，宽为2b，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数值分别计算出空白部分的面积之和；再根据长方形的面积＝长×宽，代入数值计算出长方形的面积；阴影部分的面积＝长方形面积－空白部分的面积之和，计算出阴影部分的面积；最后用阴影部分的面积比长方形的面积，化简比，据此解答。 【规范解答】长方形的面积：2a×2b＝4ab 阴影部分的面积：4ab－a×b÷2－b×2a÷2－a×2b÷2 ＝4ab－ab－ab－ab ＝ab ab∶4ab ＝（ab×2）∶（4ab×2） ＝3ab∶8ab ＝（3ab÷ab）∶（8ab÷ab） ＝3∶8 因此阴影部分的面积与长方形的面积的比是3∶8。 10．（本题2分）（2024·河南漯河·小升初真题）一个三角形三个内角的度数比是2∶2∶5，那么这个三角形既是( )三角形，又是( )三角形。 【答案】 钝角 等腰 【思路点拨】三角形三个内角之和是180°，把180°平均分成（2＋2＋5）份，先用除法求出1份的度数，再用乘法分别求出2份、5份的度数，然后根据三角形按边分类、按角分类的方法，即可对了此三角形类型； 等腰三角形：有两条边相等的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形；据此解答。 【规范解答】根据分析： 180°÷（2＋2＋5） ＝180°÷9 ＝20° 20°×2＝40° 20°×5＝100° 这个三角形的三个内角是40°、40°、100°。 这个三角形的最大角是钝角，按角分是钝角三角形；这个三角形有两个角相等，根据等腰三角形的特征，是等腰三角形。 所以，这个三角形既是钝角三角形，又是等腰三角形。 11．（本题2分）（2024·浙江宁波·小升初真题）如图，正方形ABCD的边长是6dm，AE与ED的长度之比是1∶2，三角形BED的面积是( )dm2。 【答案】12 【思路点拨】三角形ABD的底和高都等于正方形的边长，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形ABD的面积； 已知AE与ED的长度之比是1∶2，且AE＋ED＝AD，则ED的长度是AD的； 因为三角形BED和三角形ABD等高，那么它们的面积之比等于它们的底边长度之比，即三角形BED的面积是三角形ABD面积的，根据求一个数的几分之几是多少，用三角形ABD的面积乘，即可求出三角形BED的面积。 【规范解答】三角形ABD的面积：6×6÷2＝18（dm2） 三角形BED的面积： 18× ＝18× ＝12（dm2） 所以，三角形BED的面积是12dm2。 12．（本题2分）（23-24六年级下·安徽黄山·期末）如图所示，每个小正方形大小相同，若空白部分的面积是55cm2，则阴影部分面积为( )cm2。 【答案】25 【思路点拨】假设每个小正方形的边长是1，根据长方形面积＝长×宽，三角形面积＝底×高÷2，分别计算出大长方形和空白部分的面积，将大长方形面积看作单位“1”，空白部分的面积÷大长方形面积＝空白部分占大长方形的几分之几，空白部分的实际面积÷对应分率＝大长方形面积，大长方形面积－空白部分的面积＝阴影部分面积。 【规范解答】（1×1÷2＋3×2÷2＋4×1÷2）÷（4×2） ＝（0.5＋3＋2）÷8 ＝5.5÷8 ＝ ＝ 55÷－55 ＝55×－55 ＝80－55 ＝25（cm2） 阴影部分面积为25cm2。 【考点评析】关键是确定单位“1”，先求出空白部分的对应分率。 13．（本题2分）（22-23四年级上·山东烟台·期中）一个等腰三角形的周长是56厘米，底边长24厘米，它的一条腰长( )厘米，如果这个三角形有一个内角为50°，那么它的最大的一个内角是( )°。 【答案】 16 80 【思路点拨】根据等腰三角形两腰相等的特征，已知等腰三角形的周长是56厘米，底边长24厘米，则用周长56厘米减去底边24厘米，得到两条腰的长度和，再除以2即得到一条腰的长度； 再根据等腰三角形两底角相等，三个内角和是180°的特征，其一个内角是50°，根据三条边的长度关系，可以确定50°的角应为底角，用180°减去两个底角，即得到顶角的度数，从而找到最大的一个内角。 【规范解答】（56－24）÷2 ＝32÷2 ＝16（厘米） 180°－50°×2 ＝180°－100° ＝80° 所以，这个等腰三角形的一条腰长16厘米；它的最大的一个内角是80°。 【考点评析】本题主要考查等腰三角形的周长和内角和的应用。要熟悉等腰三角形的边和角的特征，正确判断已知边和已知角的位置。 三．仔细斟酌，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（本题2分）（2024·河南驻马店·小升初真题）某三角形中最小的一个角是50°，那么它一定是锐角三角形。( ) 【答案】√ 【思路点拨】根据三角形的内角和等于180°，用180°减去50°，求出三角形中另外两个内角的和，再根据最小的内角是50°来判断其它两个内角的情况，据此得出这个三角形的类型。 【规范解答】另外两个内角的和是：180°－50°＝130° 假设另外两个内角中还有一个内角是50°，则最大的内角是： 130°－50°＝80° 80°＜90° 所以，这个三角形一定是锐角三角形。 原题说法正确。 故答案为：√ 15．（本题2分）（2024·海南省直辖县级单位·小升初真题）用4厘米、5厘米和9厘米长的线段可以围成一个三角形。( ) 【答案】× 【思路点拨】根据三角形的三边关系：任意两边之和必须大于第三边，用给出的三条线段中较短的两条长度之和和第三条边比较，若大于第三条边，则可以围成三角形，若小于或等于，则不能围成三角形。 【规范解答】因为4＋5＝9（厘米），所以用4厘米、5厘米和9厘米长的线段不可以围成一个三角形。原题表述错误。 故答案为：× 16．（本题2分）（2024·河北保定·小升初真题）用三根一样长的铁丝分别围成一个三角形、正方形和圆，圆的面积最小。( ) 【答案】× 【思路点拨】根据题意，用同样长的铁丝围成正三角形、正方形和圆，那么正三角形、正方形和圆的周长都等于铁丝的长度，可以设铁丝长18.84米； ①用铁丝围成正三角形，正三角形的3条边相等，则正三角形的边长＝周长÷3；又因为正三角形的高在直角三角形中，根据“直角三角形中斜边最长”可知，正三角形的高要小于边长；根据三角形的面积＝底×高÷2，可以求出三角形面积的范围； ②根据正方形的周长＝边长×4可知，正方形的边长＝周长÷4；再根据正方形的面积＝边长×边长，求出正方形的面积； ③根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆的半径；再根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； 最后比较三个图形的面积大小，得出哪个图形的面积最大。 【规范解答】设三根一样长的铁丝都是18.84米。 ①正三角形的边长：18.84÷3＝6.28（米） 正三角形的高小于边长6.28米； 则三角形的面积小于：6.28×6.28÷2＝19.7192（平方米） ②正方形的边长：18.84÷4＝4.71（米） 正方形的面积：4.71×4.71＝22.1841（平方米） ③圆的半径：18.84÷3.14÷2＝3（米） 圆的面积：3.14×3×3＝28.26（平方米） 28.26＞22.1841＞19.7192 圆的面积＞正方形的面积＞正三角形的面积 所以，用三根一样长的铁丝分别围成一个三角形、正方形和圆，圆的面积最大。原题说法错误。 故答案为：× 17．（本题2分）（24-25六年级上·湖南邵阳·期末）一个三角形三个内角度数的比是，这个三角形最大的内角是60度，这是一个锐角三角形。( ) 【答案】× 【思路点拨】三角形内角和180°，将比的各项看成份数，最大内角÷对应份数＝一份数，一份数×总份数＝内角和，是180°即可；锐角三角形：三个角都是锐角的三角形；据此解答。 【规范解答】根据分析： 60°÷6×（1＋3＋6） ＝10°×10 ＝100° 内角和不是180°，说明这个三角形最大内角不是60°，原题说法错误。 故答案为：× 18．（本题2分）（2019·江苏·小升初真题）一个三角形中最小的角不能大于60度。( ) 【答案】√ 【思路点拨】根据三角形的内角和等于180°，然后运用假设法，即可得出结论。 【规范解答】假设三角形的最小内角大于60°，所以三角形的内角和一定大于180°，所以不符合三角形内角和定理，所以一个三角形中最小的角不能大于60度。 故答案为：√ 【考点评析】解答此题的关键是：熟记三角形内角和是180°。 四、看图列式，用心计算（共8分） 19．（本题4分）（2024·四川绵阳·小升初真题）ABCD为直角梯形，AD＝6，DC＝10，三角形BEC的面积为6，求ABCD的面积。 【答案】67.5 【思路点拨】观察图形可知，梯形ABCD的面积是长10厘米，宽6厘米的长方形的面积、三角形BEC的面积与三角形BEF的面积之和；这里只要再求出三角形BEF的面积即可；根据高一定时，两个三角形的面积的比就是两个底边长度的比，求出CE与EF的比即可解答。 【规范解答】三角形DEC的面积为： 10×6÷2－6 ＝60÷2－6 ＝30－6 ＝24 所以CE的长度是：24×2÷10 ＝48÷10 ＝4.8 则EF的长度是：6－4.8＝1.2 则CE∶EF＝4.8∶1.2＝4∶1 即三角形BEC面积∶三角形BEF面积＝4∶1 则三角形BEF的面积是：6×1÷4 ＝6÷4 ＝1.5 ABCD的面积为：10×6＋6＋1.5 ＝60＋7.5＋1.5 ＝67.5 直角梯形ABCD的面积是67.5。 20．（本题4分）（2024·河南郑州·小升初真题）已知直角三角形ABC，分别以三边为直径作三个半圆。求阴影部分的周长和面积（π取3.14）。 【答案】周长：75.36；面积：96 【思路点拨】阴影部分的周长等于以16为直径的圆周长的一半加上以12为直径的圆的周长的一半，再加上以20为直径的圆周长的一半，根据圆的周长＝×直径，分别求出三个以16为直径的圆周长的一半、以12为直径的圆的周长的一半、以20为直径的圆周长的一半，再相加即可； 阴影部分的面积等于以16为直径的半圆的面积加上以12为直径的半圆的面积，再加上底为16、高为12的直角三角形的面积，再减去以20为直径的半圆的面积，根据圆的面积＝×半径的平方，列式解答即可。 【规范解答】3.14×16÷2＋3.14×12÷2＋3.14×20÷2 ＝50.24÷2＋37.68÷2＋62.8÷2 ＝25.12＋18.84＋31.4 ＝75.36 16÷2＝8 12÷2＝6 20÷2＝10 3.14×÷2＋3.14×÷2＋16×12÷2－3.14×÷2 ＝3.14×64÷2＋3.14×36÷2＋16×12÷2－3.14×100÷2 ＝100.48＋56.52＋96－157 ＝96 五、动手动脑，实践操作。（共12分） 21．（本题6分）（2024·河南驻马店·小升初真题）（1）过顶点B作三角形的高，标出垂足O。 （2）若三角形的∠A＝52°，则三角形的顶点A在顶点C的（    ）偏（    ）（    ）°方向上。 （3）画出三角形绕点B顺时针方向旋转90°后的图形；点C旋转后的位置可用数对（    ）表示。 【答案】（1）图见详解 （2）南；西；38 （3）图见详解；（8，3） 【思路点拨】（1）根据三角形高的意义，在三角形ABC中，从顶点B向它的对边AC画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，由此作图即可； （2）已知三角形的内角和是180°，那么直角三角形中两个锐角的度数之和是90°，减去已知的一个锐角，即可求出另一个锐角的度数； 以顶点C为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准，结合方向、角度确定顶点A与顶点C的位置关系。 （3）根据旋转的特征，将三角形绕点B顺时针方向旋转90°，点B位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示点C旋转后的位置。 【规范解答】（1）过顶点B作三角形的高，标出垂足O，如下图。 （2）∠C＝90°－52°＝38° 三角形的顶点A在顶点C的南偏西38°（或西偏南52°）方向上。 （3）画三角形绕点B顺时针方向旋转90°后的图形，如下图。 点C旋转后的位置可用数对（8，3）表示。 如下图所示： 22．（本题6分）（2024·浙江温州·小升初真题）按要求画一画，算一算。 （1）如果点O的位置是（6，5），那么点A的位置是 ，点B的位置是 。 （2）先画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的图形①，并算出点B在旋转过程中经过路线的长度是 cm。 （3）画出△AOB按2∶1放大后的图形②。 （4）请你设计一个图形③，使图形③的面积是△AOB面积的2倍。 【答案】（1）（6，8）；（8，5） （2）3.14　 （3）（4）见详解 【思路点拨】（1）用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，据此可知如果点O的位置是（6，5），那么点A的位置是（6，8），点B的位置是（8，5）； （2）根据旋转的方法，以点O为旋转中心，按照时针旋转的方向，旋转的角度90°，点O不动，图形的各个部分点O顺时针旋转90°后的图形①，点B在旋转过程中经过路线的长度是半径是2cm的圆周长的，据此解答即可； （3）根据图形放大的方法，△AOB按2：1放大，各边扩大到原来的2倍，形状不变，画出放大后的图形②； （4）三角形的面积＝底×高÷2，长方形面积＝长×宽，设计一个图形③，使图形③的面积是△AOB面积的2倍，可以画一个长方形，长等于三角形高，宽等于三角形的底。（画法不唯一） 【规范解答】（1）如果点O的位置是（6，5），那么点A的位置是（6，8），点B的位置是（8，5）。 （2）先画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的图形①，如下图所示。 2×3.14×2× ＝12.56× ＝3.14（cm） 即点B在旋转过程中经过路线的长度是3.14cm。 （3）画出△AOB按2∶1放大后的图形②，如下图所示。 （4）△AOB的底是2cm，高是3cm，可以设计一个长是3cm，宽是2cm的长方形，长方形的面积是△AOB面积的2倍。如图： 2×3÷2＝3（cm2） 2×3＝6（cm2） （图形③画法不唯一） 23．（本题4分）（2020·江苏苏州·小升初模拟）（1）把三角形按2∶1的比放大，画出放大后的图形。 （2）把梯形绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （3）画一个与梯形面积相等的三角形和长方形。 【答案】 【规范解答】说明：第三小题答案不唯一。 （1）按比例放大，先把三角形两条直角边同时扩大2倍画好，再连接第三条边。 （2）先把梯形与O相连的两条边顺时针旋转90°，再画另两条边。 （3）三角形和长方形的面积都是18。 六、实际应用，解决问题。（共40分） 24．（本题5分）（2024·浙江金华·小升初真题）一个等边三角形的边长缩短到原来的，得到的等边三角形周长是18分米，原三角形边长是多少分米？ 【答案】18分米 【思路点拨】三条边相等的三角形叫做等边三角形。先用等边三角形的周长18分米除以3，求出缩小后等边三角形的边长为6分米；已知原来等边三角形的边长缩短到原来的是6分米，把原来等边三角形的边长看作单位“1”，单位“1”未知，用缩小后等边三角形的边长除以，求出原等边三角形的边长。 【规范解答】缩小后的等边三角形的边长： 18÷3＝6（分米） 原等边三角形的边长： 6÷ ＝6×3 ＝18（分米） 答：原三角形边长是18分米。 25．（本题5分）（24-25五年级上·浙江杭州·期末）如图中长方形ABCD长与宽分别为8厘米和5厘米，将BC边延长x厘米到E点后，阴影①的面积恰好比阴影②大10平方厘米。求CE长度是多少？ 【答案】7.5厘米 【思路点拨】从图中可知，阴影①的面积＋空白部分的面积＝三角形ABE的面积，阴影②的面积＋空白部分的面积＝长方形的面积；已知阴影①的面积恰好比阴影②大10平方厘米，即三角形ABE的面积比长方形的面积大10平方厘米。 根据长方形的面积＝长×宽，求出长方形的面积，再加上10平方厘米，即是三角形ABE的面积； 根据三角形的面积＝底×高÷2，可知三角形的高＝面积×2÷底，求出BE的长度； 用BE的长度减去5厘米，即是CE的长度。 【规范解答】长方形的面积：8×5＝40（平方厘米） 三角形ABE的面积：40＋10＝50（平方厘米） BE的长度： 50×2÷8 ＝100÷8 ＝12.5（厘米） CE的长度：12.5－5＝7.5（厘米） 答：CE长度是7.5厘米。 【考点评析】本题考查长方形、三角形面积公式的灵活运用，把阴影①的面积比阴影②大10平方厘米转化成三角形ABE的面积比长方形的面积大10平方厘米是解题的关键。 26．（本题6分）（24-25五年级上·山东济南·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术。在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分。如图，王阳计划用一张长方形绿色卡纸剪一棵“小树”，他是这样设计的：小树的树干（图中长方形部分）和树冠（由两个完全相同的三角形组成）一样长，树干宽4厘米。请你帮王阳算一算，这棵“小树”的面积是多少平方厘米？ 【答案】149.5平方厘米 【思路点拨】分析题目，先用26÷2算出长方形的长，长方形的长也等于这两个三角形的高之和，除以2即可得到一个三角形的高；“小树”的面积等于1个长方形的面积加上2个三角形的面积，三角形的面积＝底×高÷2，长方形的面积＝长×宽，据此代入数据列式计算即可。 【规范解答】26÷2＝13（厘米） 13÷2＝6.5（厘米） 13×4＋15×6.5÷2×2 ＝52＋97.5×2÷2 ＝52＋195÷2 ＝52＋97.5 ＝149.5（平方厘米） 答：这棵“小树”的面积是149.5平方厘米。 27．（本题6分）（24-25五年级上·四川凉山·期末）下图中平行四边形ABCD的面积是24.8平方厘米，F是AD上的任意一点，E是BC的中点，则阴影部分三角形EFC的面积是多少平方厘米？ 【答案】6.2平方厘米 【思路点拨】从图中可知，阴影三角形EFC的底EC是平行四边形的底BC的一半，高与平行四边形ABCD的高相等；根据平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，可知阴影三角形EFC的面积是平行四边形面积的一半的一半，据此解答。 【规范解答】24.8÷2÷2 ＝12.4÷2 ＝6.2（平方厘米） 答：阴影部分三角形EFC的面积是6.2平方厘米。 28．（本题6分）（23-24六年级下·广西河池·期末）如图，平行四边形的面积是84平方厘米。 （1）阴影部分的面积是多少平方厘米？ （2）丙三角形的面积是甲三角形面积的几分之几？（列式计算） 【答案】（1）18平方厘米 （2） 【思路点拨】（1）将平行四边形面积看作单位“1”，乙丙的面积是平行四边形面积的，平行四边形面积×乙丙对应分率＝乙丙的面积；再将乙丙的面积看作单位“1”，乙丙合起来的大三角形和乙三角形等高，三角形的面积＝底×高÷2，因此乙的底÷乙丙合起来的大三角形的底＝乙的面积占乙丙面积的几分之几，乙丙的面积×乙的对应分率＝乙的面积，即阴影部分的面积； （2）将甲的面积看作单位“1”，甲的面积＝乙丙的面积，1－乙的面积占乙丙面积的几分之几＝丙三角形的面积是甲三角形面积的几分之几。 【规范解答】（1）6÷（6＋8） ＝6÷14 ＝ 84×× ＝42× ＝18（平方厘米） 答：阴影部分的面积是18平方厘米。 （2）1－＝ 答：丙三角形的面积是甲三角形面积的。 【考点评析】关键是确定单位“1”，并明确乙的对应分率。 29．（本题6分）（2023·四川·小升初真题）如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10平方厘米和12平方厘米，已知梯形上、下底的比是2∶3，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】23平方厘米 【思路点拨】已知梯形上、下底的比是2∶3，根据比的意义，可假设上底为2厘米，下底为3厘米，又已知两个空白的三角形面积分别为10平方厘米和12平方厘米，根据三角形的面积×2÷底＝高，用10×2÷2即可求出上面空白三角形的高，也就是10厘米，用12×2÷3即可求出下面空白三角形的高，也就是8厘米；进而可知梯形的高是（10＋8）厘米，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，用（2＋3）×（10＋8）÷2即可求出梯形的面积；再用梯形的面积减去两个空白三角形的面积，即可求出阴影部分的面积。 【规范解答】假设上底为2厘米，下底为3厘米， 10×2÷2＝10（厘米） 12×2÷3＝8（厘米） （2＋3）×（10＋8）÷2 ＝5×18÷2 ＝45（平方厘米） 45－10－12＝23（平方厘米） 答：阴影部分面积是23平方厘米。 【考点评析】本题主要考查了比的应用以及三角形、梯形面积公式的灵活应用，可用假设法解决问题。 30．（本题6分）（2022·河南郑州·小升初真题）根据新华社资料显示，在疫情防控常态背景下，旅游消费呈现出显著的本地化、小半径特征，周边游、本地游、露营成为今年“微度假”主流。 假期，奇奇随爸爸妈妈和朋友一起去郊区露营，并策划了一个定向越野活动。 （1）通过实地考察，越野项目是从帐篷的位置出发，向北偏东45°方向跑210米，到一棵大树下插上小红旗，记为点A，请在如图中标出点A；再跑到点B（L，6），拍照打卡，请在如图中标出点B。最后按原路返回帐篷的位置。（小正方形的边长为1个单位长度，代表实际距离50米，对角线是1.4个单位长度，代表实际距离70米。） （2）请在横线上描述出从点B返回帐篷位置的路线： 。 （3）奇奇发现很多帐篷从侧面观察都近似于三角形，这是因为三角形具有（              ）性。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）稳定 【思路点拨】（1）以图上方向“上北下南，左西右东”为准，以帐篷的位置为观测点，即可确定大树的方向；根据帐篷与大树相距210米，每条小方格的对角线为70米，则画（210÷70）个对角线的长度，即可确定大树的位置。根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，即可确定拍照打卡的位置。 （2）以点B的位置为观测点，即确定点A的方向，根据点B到点A的格数及每格代表的实际距离计算出点B与点A的距离；根方向的相对性质，以帐篷的位置为观测点看A与以A的位置看帐篷的位置方向完全相反，所偏的度数及距离不变。 （3）帐篷从侧面观察都近似于三角形，是因为三角形具有稳定性质。 【规范解答】（1）210÷70＝3（个） 如图： （2）50×3＝150（米） 从点B返回帐篷位置的路线：从点B向西走150米到达点A，再向南偏西45°方向走210米到达帐篷。 （3）奇奇发现很多帐篷从侧面观察都近似于三角形，这是因为三角形具有稳定性。 【考点评析】本题考查用数对表示位置、根据方向和距离确定物体的位置、描述路线图、三角形的稳定性。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$