专题13 长方体和正方体的体积较复杂计算（高频易错必刷练）-2024-2025学年小升初数学重点难点专题真题汇编冲刺必刷练（全国通用）

2024-2025学年小升初数学高频易错真题冲刺必刷练（重点难点专题汇编） 专题13 长方体和正方体的体积较复杂计算 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42 班级： 姓名： 学号： 试题编写说明 同学你好，该份检测卷优选2023-2024年全国各地名校真题，模拟题。重点强化小升初高频考察点，提升解题技能，优选常考易错题型，难度系数0-1，系数越小，难度越大。该份检测卷非常适合考前冲刺拔尖使用。题目整体难度偏上，适合成绩中上及拔尖的学生。试卷百分制，方便自我学习批改，检测学习能力。解析版思路清晰，理解全面，进一步优化解题过程，梳理考察点。相信你在2025年小升初正式考试中考出满意成绩！ 一．反复比较，慎重选择（将正确答案的序号填在括号里）（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（本题2分）（2024·河南驻马店·小升初真题）把一个棱长是6cm的正方体木块加工成一个最大的圆锥体，体积比原来减少了（    ）cm3。 A．216 B．169.56 C．159.48 D．46.44 2．（本题2分）（2024·河南平顶山·小升初真题）如图是一个透明的密封容器，水深6厘米。如果把它的右面作为底面平放在桌上，这时水的高度是（    ）厘米。 A．4 B．8 C．6 D．10 3．（本题2分）（2024·河南郑州·小升初真题）下列图形经过折叠可以围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 4．（本题2分）（2024·浙江宁波·小升初真题）四个杯子中均装有一定量的开水，如果把100克糖融入水中，含糖率最高的是（    ）。 A． B． C． D． 5．（本题2分）（2022·河南郑州·小升初真题）如图，在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退。开始时骰子如图（1）那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图（2）所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的（    ）。 A．5 B．4 C．3 D．1 二．用心思考，认真填写（共8小题，满分16分） 6．（本题2分）（2024·河南三门峡·小升初真题）“母亲节”这天，张楠亲手为妈妈做了一个形状近似圆柱的蛋糕。蛋糕直径10cm，高8cm，这个蛋糕的体积是( )cm3。张楠想用包装纸制作一个长方体蛋糕盒，正好可以把蛋糕放进去，她至少需要准备( )cm2包装纸。（接头损耗忽略不计） 7．（本题2分）（2024·河南漯河·小升初真题）把一个底面半径是4cm的圆柱切拼成一个近似的长方体（如图），其表面积增加了48cm2，圆柱的高是( )cm，圆柱的体积是( )cm3。 8．（本题2分）（2024·河南郑州·小升初真题）把三个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体表面积是350平方厘米，每个正方体表面积是 平方厘米。 9．（本题2分）（2024·浙江金华·小升初真题）一个棱长是4分米的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是32平方分米，高是8分米的空圆柱体容器（容器厚度忽略不计），水的体积是圆柱体容器容积的( )。 10．（本题2分）（2024·浙江杭州·小升初真题）用32个棱长1cm的白色小正方体与32个棱长1cm的蓝色小正方体拼成一个大正方体。如果使蓝色的面向外露的面积最大，那么这个大正方体的6个面上有( )cm2是蓝色的。 11．（本题2分）（22-23五年级上·山东烟台·期中）将棱长是1.6分米的一个正方体石块浸没到一个长方体水槽中，水面上升了0.8分米，然后放入一个铁块并浸没，水面又上升了2.5分米（水没有溢出），铁块的体积是( )立方分米。 12．（本题2分）（2022·湖北省直辖县级单位·小升初真题）一个长60cm、宽20cm、高30cm的长方体玻璃缸里有一些水，现将一头抬高如图所示，AB＝4cm。这些水的体积是( )cm3。 13．（本题2分）（2022·浙江宁波·小升初真题）一个正方体的六个面标有6个数，把它展开后如图，若a是最小的质数，b是最小的合数，c既不是质数也不是合数，且相对两个面上标的数字与含有字母的式子刚好为倒数，则d＋e＋f＝( )。 三．仔细斟酌，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（本题2分）（2014·全国·小升初真题）棱长是6厘米的正方体，表面积和体积相等。( ) 15．（本题2分）（2023·陕西西安·小升初真题）把一个圆柱体切拼成一个近似的长方体，表面积和体积都不变。( ) 16．（本题2分）（2022·四川绵阳·小升初真题）用8个1立方分米的正方体堆成一个大正方体，大正方体的底面周长是16分米。( ) 17．（本题2分）（2016·全国·小升初真题）两个长方体体积相等，表面积也一定相等。( ) 18．（本题2分）（2022·陕西西安·小升初真题）用做成一个，数字“1”的对面是数字“2”。( ) 四、看图列式，用心计算（共8分） 19．（本题4分）（2025·全国·小升初模拟）计算下图的体积。（单位：厘米） 20．（本题4分）（2024·浙江杭州·小升初真题）求如图的体积。（单位：厘米） 五、实际应用，解决问题。（56分） 21．（本题4分）（2024·浙江杭州·小升初真题）某小学建一个长方体游泳池，长80米，宽25米，深2米。 （1）在游泳池的底部和四周贴瓷砖，贴瓷砖的面积有多少平方米？ （2）如果在游泳池内注水到1.2米的高度，那么需要注入多少立方米的水？ 22．（本题4分）（2024·浙江杭州·小升初真题）如图所示，图①和图②是两块形状不同的铁皮，将每块铁皮弯折后焊接成一个无盖的长方体铁桶（②号焊接成的是一个底面为正方形的无盖长方体），哪个铁桶的容积更大？ 23．（本题5分）（2024·四川乐山·小升初真题）一个长方体的玻璃缸，长9分米，宽8分米，高6分米，水深4.5分米，如果投入一块棱长为5分米的正方体铁块，缸里的水会溢出吗？如果溢出，会溢出多少升？ 24．（本题5分）（2020·广西柳州·小升初模拟）一种液体饮料采用长方体塑封纸盒密封包装。从外面量盒子长6厘米，宽4厘米，高10厘米。盒面注明“净含量：250毫升”。请分析该项说明是否存在虚假。 25．（本题5分）（23-24六年级下·山东德州·期中）一个装有水的密封容器，如图所示。 （1）如果在一个长方体纸盒中装这个容器，那么这个长方体纸盒的容积至少是多少立方厘米（纸盒厚度忽略不计）？ （2）如果将这个容器倒置，那么从圆锥尖端到液面的高度是多少厘米？ 26．（本题5分）（22-23五年级下·浙江绍兴·期末）（1）六一节前夕，手工饼干店新推出一大一小两种包装的儿童饼干，盒子大小如图所示，小盒可装150克饼干，那么大盒大约能装多少克饼干？ （2）六一节这一天，店家搞促销，前100位顾客购买可享受“买一送二”活动（买一盒大饼干送两盒小饼干），店家准备了100个手袋（如图），这样一个手袋能装下一大两小的饼干盒吗？把你的想法用图或算式记录下来。 （3） 生产100个这样的手袋至少需要多少平方分米的包装纸（粘合处与拎环不计）？ 27． （本题5分）（21-22五年级下·山东东营·期末）在一个长8分米，宽6分米，高10分米的长方体玻璃容器中浸没着一个高为2分米的圆锥形铅锤，把铅锤从水中取出后，水面下降了5厘米，这个圆锥的底面积是多少平方分米？ 28．（本题5分）（23-24五年级上·山东淄博·期中）数学活动小组准备用一块长方形铁皮如图所示，制作一个长方体铁盒，活动步骤如下： 步骤一：剪掉四个角上所有阴影部分的正方形。（每个正方形都相同）。 步骤二：再沿虚线折起来，做成没有盖子的长方体铁盒。 （1）把这个铁盒的外面涂上防腐漆，每平方厘米用0.8克防腐漆，至少准备多少克防腐漆？ （2）要给这个铁盒配上一个盖子，至少需要多少平方厘米的铁皮？ （3）该铁盒能装多少立方厘米的物品？（铁皮厚度不计） 29．（本题6分）（2023·全国·小升初模拟）一个长方体木块体积是360立方厘米，长、宽、高都是整厘米数且两两互质，在这个长方体中截一个最大的圆柱体后，剩余的材料占了原材料的百分之几？（取3.14） 30．（本题6分）（2022·湖北省直辖县级单位·小升初真题）一个无盖的长方体玻璃缸，长48厘米，宽25厘米，高30厘米。有一个水龙头从8：00开始向玻璃缸内注水，水的流量为8立方分米/分。8：03关闭水管停止注水。接着在玻璃缸内放入一个高为16厘米的铁块，全部浸没水中。玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如图所示。 （1）左下图中，点（    ）的位置表示停止注水。（从、、中选择） （2）8：03分玻璃缸水面的高度为（    ）厘米。 （3）请列式计算，求出长方体铁块的底面积。 31．（本题6分）（2021·浙江·小升初真题）如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面部分分成了两部分。现在从左右两边同时向水槽里注水，已知左面每分钟注水2升，注水3分钟后，右面水面高度正好与隔板齐平，又经过1.5分钟后，左面水面高度也正好与隔板齐平。 （1）注满水槽共需多少分钟？ （2）水槽的容积是多少升？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年小升初数学高频易错真题冲刺必刷练（重点难点专题汇编） 专题13 长方体和正方体的体积较复杂计算 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42 班级： 姓名： 学号： 试题编写说明 同学你好，该份检测卷优选2023-2024年全国各地名校真题，模拟题。重点强化小升初高频考察点，提升解题技能，优选常考易错题型，难度系数0-1，系数越小，难度越大。该份检测卷非常适合考前冲刺拔尖使用。题目整体难度偏上，适合成绩中上及拔尖的学生。试卷百分制，方便自我学习批改，检测学习能力。解析版思路清晰，理解全面，进一步优化解题过程，梳理考察点。相信你在2025年小升初正式考试中考出满意成绩！ 一．反复比较，慎重选择（将正确答案的序号填在括号里）（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（本题2分）（2024·河南驻马店·小升初真题）把一个棱长是6cm的正方体木块加工成一个最大的圆锥体，体积比原来减少了（    ）cm3。 A．216 B．169.56 C．159.48 D．46.44 【答案】C 【思路点拨】把这个正方体木块加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据正方体的体积公式：V＝a3，圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出正方体与圆锥的体积差即可。 【规范解答】6×6×6－×3.14×（6÷2）2×6 ＝216－×3.14×32×6 ＝216－×3.14×9×6 ＝216－56.52 ＝159.48（cm3） 体积比原来减少了159.48 cm3。 故答案为：C 2．（本题2分）（2024·河南平顶山·小升初真题）如图是一个透明的密封容器，水深6厘米。如果把它的右面作为底面平放在桌上，这时水的高度是（    ）厘米。 A．4 B．8 C．6 D．10 【答案】A 【思路点拨】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出长是8厘米，宽是4厘米，高是6厘米水的体积；由于体积不变，再用水的体积除以长是12厘米，宽是4厘米的面的面积，即可解答。 【规范解答】8×4×6÷（12×4） ＝8×4×6÷48 ＝32×6÷48 ＝192÷48 ＝4（厘米） 水深6厘米。如果把它的右面作为底面平放在桌上，这时水的高度是4厘米。 故答案为：A 3．（本题2分）（2024·河南郑州·小升初真题）下列图形经过折叠可以围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。 【规范解答】 由分析可知：只有可以围成正方体，属于正方体展开图的“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个。 故答案为：B 4．（本题2分）（2024·浙江宁波·小升初真题）四个杯子中均装有一定量的开水，如果把100克糖融入水中，含糖率最高的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，长方体的体积公式：V＝abh，正方体的体积公式：V＝a3，圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出四杯水的体积，然后进行比较，水的体积少的则含糖率就高。据此解答。 【规范解答】×3.14×（6÷2）2×6 ＝×3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝56.52（立方厘米） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（立方厘米） 6×6×6＝216（立方厘米） 3.14×（4÷2）2×6 ＝3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝75.36（立方厘米） 56.52＜75.36＜96＜216 含糖率最高的是A。 故答案为：A 5．（本题2分）（2022·河南郑州·小升初真题）如图，在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退。开始时骰子如图（1）那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图（2）所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的（    ）。 A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】D 【思路点拨】根据正方体的特征可知，相对的面不相邻；因为骰子只能向前，不能后退，所以有四种翻转路径，分四种情况讨论。 【规范解答】如图： 路径一：骰子滚动到位置①处，1点在下，则6点在上；滚动到位置②处，2点在下，则5点在上；滚动到③处，3点在下，则4点在上。 路径二：骰子滚动到位置①处，1点在下，则6点在上；滚动到④处，3点在下，则4点在上；滚动到③处，2点在下，则5点在上。 路径三：骰子滚动到位置⑤处，3点在下，则4点在上；滚动到④处，1点在下，则6点在上；滚动到③处，4点在下，则3点在上。 路径四：骰子滚动到位置⑤处，3点在下，则4点在上；滚动到④处，1点在下，则6点在上；滚动到①处，5点在下，则2点在上；滚动到②处，4点在下，则3点在上；滚动到③处，1点在下，则6点在上。 所以最后朝上的可能性有3、4、5、6点，而不会出现1、2点。 故答案为：D 【考点评析】本题考查正方体的特征，学生可以动手进行实物操作，培养学生的空间观念。 二．用心思考，认真填写（共8小题，满分16分） 6．（本题2分）（2024·河南三门峡·小升初真题）“母亲节”这天，张楠亲手为妈妈做了一个形状近似圆柱的蛋糕。蛋糕直径10cm，高8cm，这个蛋糕的体积是( )cm3。张楠想用包装纸制作一个长方体蛋糕盒，正好可以把蛋糕放进去，她至少需要准备( )cm2包装纸。（接头损耗忽略不计） 【答案】 628 520 【思路点拨】①由题可知：蛋糕形状近似圆柱，求蛋糕的体积就是计算圆柱的体积，已知底面直径10厘米计算出半径，根据公式计算体积即可； ②要让长方体蛋糕盒正好装下圆柱蛋糕，长方体的长和宽得和圆柱底面直径一样，是10厘米，高得和圆柱的高一样，是8厘米，计算包装纸的大小就是计算长方体的表面积，根据公式长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2计算出表面积即可； 【规范解答】①3.14×（10÷2）2×8 ＝3.14×25×8 ＝78.5×8 ＝628（立方厘米） 所以这个蛋糕的体积是628立方厘米。 ②（10×10＋10×8＋10×8）×2 ＝（100＋80＋80）×2 ＝260×2 ＝520（平方厘米） 所以至少需要520平方厘米的包装纸。 7．（本题2分）（2024·河南漯河·小升初真题）把一个底面半径是4cm的圆柱切拼成一个近似的长方体（如图），其表面积增加了48cm2，圆柱的高是( )cm，圆柱的体积是( )cm3。 【答案】 6 301.44 【思路点拨】根据题意，把一个圆柱切拼成一个近似的长方体，增加的表面积等于2个长方形的面积，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径；用增加的表面积除以2，求出一个面的面积，再除以底面半径，即可求出圆柱的高； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱的体积。 【规范解答】圆柱的高： 48÷2÷4 ＝24÷4 ＝6（cm） 圆柱的体积： 3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝301.44（cm3） 圆柱的高是6cm，圆柱的体积是301.44cm3。 8．（本题2分）（2024·河南郑州·小升初真题）把三个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体表面积是350平方厘米，每个正方体表面积是 平方厘米。 【答案】150 【思路点拨】三个完全相等的正方体摆成一个长方体的方法是：一字排列，拼组后表面积减少了4个正方形面，那么拼组后的长方体的表面积就是6×3－4＝14个正方形面的面积，由此可以求出一个面的面积是：350÷14＝25平方厘米，正方体6个面是完全一样的正方形，用一个面的面积乘6即可解决问题。 【规范解答】6×3－4 ＝18－4 ＝14（个） 350÷14＝25（平方厘米） 25×6＝150（平方厘米） 所以每个正方体表面积是150平方厘米。 9．（本题2分）（2024·浙江金华·小升初真题）一个棱长是4分米的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是32平方分米，高是8分米的空圆柱体容器（容器厚度忽略不计），水的体积是圆柱体容器容积的( )。 【答案】25%/ 【思路点拨】已知棱长是4分米的正方体容器装满水，根据正方体的体积公式V＝a3，求出水的体积；把这些水倒入一个底面积是32平方分米，高是8分米的空圆柱体容器，根据圆柱的体积（容积）公式V＝Sh，求出圆柱体容器的容积；最后用水的体积除以圆柱体容器的容积，求出水的体积是圆柱体容器容积的百分之几。 【规范解答】水的体积：4×4×4＝64（立方分米） 圆柱体容器的容积：32×8＝256（立方分米） 64÷256 ＝0.25 ＝25% 水的体积是圆柱体容器容积的25%。 10．（本题2分）（2024·浙江杭州·小升初真题）用32个棱长1cm的白色小正方体与32个棱长1cm的蓝色小正方体拼成一个大正方体。如果使蓝色的面向外露的面积最大，那么这个大正方体的6个面上有( )cm2是蓝色的。 【答案】72 【思路点拨】大正方体顶点处小正方体有3个面露在外面，大正方体棱上（不含顶点处）小正方体有2个面露在外面，把32个棱长1厘米的蓝色小正方体放8个顶点处，剩下32－8＝24个放在大正方体的棱上（不含顶点处），由于一条棱可以放2个，那么12条棱可以放：12×2＝24个，正好放完，这样蓝色的面向外露的面积最大，据此进一步计算即可。 【规范解答】1×1×3×8＋1×1×2×（32－8） ＝1×1×3×8＋1×1×2×24 ＝24＋48 ＝72（cm2） 用32个棱长1cm的白色小正方体与32个棱长1cm的蓝色小正方体拼成一个大正方体。如果使蓝色的面向外露的面积最大，那么这个大正方体的6个面上有72cm2是蓝色的。 11．（本题2分）（22-23五年级上·山东烟台·期中）将棱长是1.6分米的一个正方体石块浸没到一个长方体水槽中，水面上升了0.8分米，然后放入一个铁块并浸没，水面又上升了2.5分米（水没有溢出），铁块的体积是( )立方分米。 【答案】12.8 【思路点拨】根据题意，把一个正方体石块浸没到长方体水槽中，水面上升了0.8分米，那么水面上升部分的体积等于这个正方体石块的体积； 根据正方体的体积公式V＝a3，求出这个石块的体积，也是水面上升部分的体积；再根据长方体的底面积S＝V÷h，求出长方体水槽的底面积； 又已知放入一个铁块，水面又上升了2.5分米，水面上升部分的体积等于铁块的体积，根据长方体的体积公式V＝Sh，求出这个铁块的体积。 【规范解答】正方体的体积： 1.6×1.6×1.6 ＝2.56×1.6 ＝4.096（立方分米） 长方体水槽的底面积： 4.096÷0.8＝5.12（平方分米） 铁块的体积： 5.12×2.5＝12.8（立方分米） 【考点评析】本题考查不规则物体的体积求法，明确将物体放入或取出水中，水面上升或下降部分的体积等于这个物体的体积，灵活运用正方体、长方体的体积公式求解。 12．（本题2分）（2022·湖北省直辖县级单位·小升初真题）一个长60cm、宽20cm、高30cm的长方体玻璃缸里有一些水，现将一头抬高如图所示，AB＝4cm。这些水的体积是( )cm3。 【答案】15600 【思路点拨】通过观察图形可知，长方体玻璃缸的高是30cm，AB＝4cm，那么左面的水的高是（30－4）cm，可以求出玻璃缸内水的高是（30－4）cm的体积，然后除以2即可。 【规范解答】60×20×（30－4）÷2 ＝1200×26÷2 ＝31200÷2 ＝15600（cm3） 【考点评析】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 13．（本题2分）（2022·浙江宁波·小升初真题）一个正方体的六个面标有6个数，把它展开后如图，若a是最小的质数，b是最小的合数，c既不是质数也不是合数，且相对两个面上标的数字与含有字母的式子刚好为倒数，则d＋e＋f＝( )。 【答案】 【思路点拨】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数。1既不是质数也不是合数；最小的质数是2，最小的合数是4，据此可确定a、b、c的值；根据正方体展开图的类型，此图属于2－3－1型，a与2d相对，c与e÷2相对，b与f－1相对，利用倒数的定义，a×2d＝1，c×（e÷2）＝1，b×（f－1）＝1，即可确定d、e、f的值，然后即可求出d＋e＋f的和。 【规范解答】根据分析得，a＝2，b＝4，c＝1。 根据a×2d＝1 2×2d＝1 4d＝1 d＝ 根据c×（e÷2）＝1 1×（e÷2）＝1 e÷2＝1 e＝2 根据b×（f－1）＝1 4×（f－1）＝1 f－1＝ f＝ 所以d＋e＋f＝＋2＋＝ 【考点评析】此题主要明确质数、合数、倒数的定义以及掌握正方体展开图的基本类型。 三．仔细斟酌，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（本题2分）（2014·全国·小升初真题）棱长是6厘米的正方体，表面积和体积相等。( ) 【答案】× 【思路点拨】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，表面积的单位是面积单位，体积的单位是体积单位，面积和体积不是同类量，二者无法比较大小，据此解答。 【规范解答】表面积：6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 体积：6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 所以，棱长是6厘米的正方体，表面积是216平方厘米，体积是216立方厘米，二者计量单位不相同无法比较大小。 故答案为：× 15．（本题2分）（2023·陕西西安·小升初真题）把一个圆柱体切拼成一个近似的长方体，表面积和体积都不变。( ) 【答案】× 【思路点拨】长方体的高等于圆柱的高，长方体的长等于圆柱底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱体的底面半径，设圆柱的底面半径是r，然后表示出拼成的长方体的长与宽，高是h，再根据长方形的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方形体积＝长×宽×高，圆柱的表面积＝2πr2＋2πrh，圆柱体积＝πr2h ，列式表示出长方体的表面积和体积与原来圆柱的表面积和体积，由此即可进行比较选择。 【规范解答】设圆柱的底面半径是r，长方体的高等于圆柱的高是h，则长方形的长为πr，宽为r。 圆柱的表面积为： 2πr2＋2πrh 圆柱的体积为：πr2h 长方体的表面积为：（πr2＋πrh＋rh）×2＝2πr2＋2πrh＋2rh 长方体的体积为：πr2h 2πr2＋2πrh＋2rh＞ 2πr2＋2πrh πr2h＝πr2h 所以这个长方体和原来的圆柱体比较表面积变大了，体积没变。题干说法错误。 故答案为：× 16．（本题2分）（2022·四川绵阳·小升初真题）用8个1立方分米的正方体堆成一个大正方体，大正方体的底面周长是16分米。( ) 【答案】× 【思路点拨】8个1立方分米的正方体一共有8立方分米，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，可知大正方体的棱长是2分米，根据底面周长公式，用2×4即可求出大正方体的底面周长。 【规范解答】8×1＝8（立方分米） 8＝2×2×2 2×4＝8（分米） 用8个1立方分米的正方体堆成一个大正方体，大正方体的底面周长是8分米。原题干说法错误。 故答案为：× 17．（本题2分）（2016·全国·小升初真题）两个长方体体积相等，表面积也一定相等。( ) 【答案】× 【思路点拨】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，据此解答。 【规范解答】根据题意，若一个长方体的长宽高为6厘米，8厘米，10厘米，另一个长宽高为4厘米，10厘米，12厘米； 体积分别为： 6×8×10 ＝48×10 ＝480（立方厘米） 4×10×12 ＝40×12 ＝480（立方厘米） 表面积分别为： （6×8＋8×10＋6×10）×2 ＝（48＋80＋60）×2 ＝（128＋60）×2 ＝188×2 ＝376（平方厘米） （4×10＋10×12＋4×12）×2 ＝（40＋120＋48）×2 ＝（160＋48）×2 ＝208×2 ＝416（平方厘米） 两个长方体的体积都是480立方厘米，体积相等，表面积不相等。 故答案为：× 【考点评析】本题考查了长方体的体积和表面积公式。 18．（本题2分）（2022·陕西西安·小升初真题）用做成一个，数字“1”的对面是数字“2”。( ) 【答案】√ 【思路点拨】根据正方体展开图的11种特征，图形属于正方体展开图的“1-4-1”型，折叠成正方体后，数字1与2相对。 【规范解答】 用做成一个，数字“1”的对面是数字“2”。 故答案为：√ 【考点评析】此题是考查正方体展开图的特征，正方体图折叠成正方体后哪此面相对是有规律的，自己可以找找看，记住，能快速解答此类题。 四、看图列式，用心计算（共8分） 19．（本题4分）（2025·全国·小升初模拟）计算下图的体积。（单位：厘米） 【答案】2607.5立方厘米 【思路点拨】观察图形可知，立体图形的体积＝长方体的体积－圆柱的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出立体图形的体积。 【规范解答】30×5×20＝3000（立方厘米） 3.14×（10÷2）2×5 ＝3.14×52×5 ＝3.14×25×5 ＝392.5（立方厘米） 3000－392.5＝2607.5（立方厘米） 立体图形的体积是2607.5立方厘米。 20．（本题4分）（2024·浙江杭州·小升初真题）求如图的体积。（单位：厘米） 【答案】560立方厘米 【思路点拨】依据题意结合图示可知，几何体的体积等于长10厘米、宽8厘米、高10厘米的长方体的体积减去长8厘米、宽5厘米、高6厘米的长方体的体积，由此根据长方体的体积＝长×宽×高，V＝abh，列式计算。 【规范解答】10×10×8－8×5×6 ＝100×8－40×6 ＝800－240 ＝560（立方厘米） 体积是560立方厘米。 五、实际应用，解决问题。（56分） 21．（本题4分）（2024·浙江杭州·小升初真题）某小学建一个长方体游泳池，长80米，宽25米，深2米。 （1）在游泳池的底部和四周贴瓷砖，贴瓷砖的面积有多少平方米？ （2）如果在游泳池内注水到1.2米的高度，那么需要注入多少立方米的水？ 【答案】（1）2420平方米；（2）2400立方米 【思路点拨】（1）游泳池是无盖的，所以贴瓷砖的面积是这个长方体的一个底面和4个侧面的总面积，根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把数据代入公式求出这5个面的总面积即可。 （2）根据长方体的容积（体积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【规范解答】（1）80×25＋80×2×2＋25×2×2 ＝2000＋320＋100 ＝2420（平方米） 答：贴瓷砖的面积有2420平方米。 （2）80×25×1.2＝2400（立方米） 答：需要注入2400立方米的水。 22．（本题4分）（2024·浙江杭州·小升初真题）如图所示，图①和图②是两块形状不同的铁皮，将每块铁皮弯折后焊接成一个无盖的长方体铁桶（②号焊接成的是一个底面为正方形的无盖长方体），哪个铁桶的容积更大？ 【答案】②号 【思路点拨】根据题意，结合图形，先分别求出图①和图②每个长方体的长、宽、高，再根据：长方体的体积（容积）＝长×宽×高，分别求出两个长方体铁桶的容积，然后进行比较，即可得出结论。 【规范解答】图①：110－60＝50（厘米） 120－50－50＝20（厘米） 60×20×50 ＝1200×50 ＝60000（立方厘米） 图②：120÷4＝30（厘米） 100－30＝70（厘米） 30×30×70 ＝900×70 ＝63000（立方厘米） 因为63000立方厘米＞60000立方厘米 所以②号铁桶的容积更大。 答：②号铁桶的容积更大。 23．（本题5分）（2024·四川乐山·小升初真题）一个长方体的玻璃缸，长9分米，宽8分米，高6分米，水深4.5分米，如果投入一块棱长为5分米的正方体铁块，缸里的水会溢出吗？如果溢出，会溢出多少升？ 【答案】会溢出；17升 【思路点拨】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；先求出高是（6－4.5）分米空白体积，再根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体铁块的体积，再用高是（6－4.5）分米空白部分体积与正方体铁块的体积比较，如果高是（6－4.5）分米空白部分的体积大于正方体铁块的体积，水不会溢出；如果高是（6－4.5）分米空白部分的体积小于正方体铁块的体积，水会溢出，再用正方体铁块的体积－高是（6－4.5）分米空白部分的体积，即可求出溢出的水的体积，注意单位名数的换算。据此解答。 【规范解答】9×8×（6－4.5） ＝72×1.5 ＝108（立方分米） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 125＞108 125－108＝17（立方分米） 17立方分米＝17升 答：缸里的水会溢出，溢出17升。 24．（本题5分）（2020·广西柳州·小升初模拟）一种液体饮料采用长方体塑封纸盒密封包装。从外面量盒子长6厘米，宽4厘米，高10厘米。盒面注明“净含量：250毫升”。请分析该项说明是否存在虚假。 【答案】存在虚假 【思路点拨】要知道是否存在虚假就要知道该纸盒的容积是否等于250毫升，要知道纸盒容积就要算出纸盒的体积，已知纸盒为长方体，且外围的长，宽、高已经量出，可以求出纸盒外围的体积，但是因为纸盒有厚度，所以纸盒容积要小于纸盒体积，据此解答即可。 【规范解答】纸盒体积：6×4×10 ＝24×10 ＝240立方厘米 240立方厘米＝240毫升＜250毫升 纸盒的容积是小于250毫升的，因此存在虚假。 答：存在虚假。 【考点评析】本题考查长方体的体积和容积，解答本题的关键是掌握容积的概念。 25．（本题5分）（23-24六年级下·山东德州·期中）一个装有水的密封容器，如图所示。 （1）如果在一个长方体纸盒中装这个容器，那么这个长方体纸盒的容积至少是多少立方厘米（纸盒厚度忽略不计）？ （2）如果将这个容器倒置，那么从圆锥尖端到液面的高度是多少厘米？ 【答案】（1）2700立方厘米 （2）15厘米 【思路点拨】（1）根据题意可知，长方体纸盒的长和宽应该等于容器底面圆的直径，高等于容器的高，则这个长方体纸盒的长等于10厘米，宽等于10厘米，高等于（15＋12）厘米；根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出这个长方体纸盒的容积； （2）根据圆柱的容积公式：容积＝底面积×高，代入数据，求出液体部分的容积；再根据圆锥的容积公式：容积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥部分的容积；再用液体部分的容积－圆锥部分的容积，求出圆柱形剩余部分的容积，再除以圆柱的底面积，求出剩余部分圆柱形的高，再加上圆锥形部分的高，即可解答。 【规范解答】（1）长方体的长是10厘米，宽是10厘米，高是15＋12＝27（厘米）。 10×10×27 ＝100×27 ＝2700（立方厘米） 答：这个长方体纸盒的容积至少是2700立方厘米。 （2）3.14×（10÷2）2×7－3.14×（10÷2）2×12× ＝3.14×52×7－3.14×52×12× ＝3.14×25×7－3.14×25×12× ＝78.5×7－78.5×12× ＝549.5－942× ＝549.5－314 ＝235.5（立方厘米） 235.5÷3.14×（10÷2）2＋12 ＝235.5÷3.14×52＋12 ＝235.5÷78.5＋12 ＝3＋12 ＝15（厘米） 答：从圆锥尖端到液面的高度是15厘米。 26．（本题5分）（22-23五年级下·浙江绍兴·期末）（1）六一节前夕，手工饼干店新推出一大一小两种包装的儿童饼干，盒子大小如图所示，小盒可装150克饼干，那么大盒大约能装多少克饼干？ （2）六一节这一天，店家搞促销，前100位顾客购买可享受“买一送二”活动（买一盒大饼干送两盒小饼干），店家准备了100个手袋（如图），这样一个手袋能装下一大两小的饼干盒吗？把你的想法用图或算式记录下来。 （3）生产100个这样的手袋至少需要多少平方分米的包装纸（粘合处与拎环不计）？ 【答案】（1）600克 （2）能（图见详解） （3）2430平方分米 【思路点拨】1）用大盒子的体积除以小盒子的体积计算大盒子的体积是小盒子的几倍，大盒子能装的饼干也就是小盒子可装饼干的几倍，据此解答； （2）礼品袋用的长是3分米＝30厘米，宽0.7分米＝7厘米，高3分米＝30厘米，分析大盒子和小盒子的长、宽、高可知，大盒子的高等于2个小盒子上下叠放以后的高，15＋15＝30厘米，小盒子的宽度和大盒子相等，如果左边放一个大盒子，右边叠放两个小盒子，组合以后的立体图形长为20＋10＝30厘米，宽为6厘米，高为30厘米，所以这样一个手袋能装下一大两小的饼干盒； （3）手袋是一个长方体，一个手袋需要的包装纸是不需要上表面的长方体表面积，100个手袋就是100个这样的表面积，由此可解答。 【规范解答】（1）小盒子体积：10×6×15 ＝60×15 ＝900（立方厘米） 大盒子体积：20×6×30 ＝120×30 ＝3600（立方厘米） 3600÷900＝4 4×150＝600（克） 答：大盒大约能装600克饼干。 （2）3分米＝30厘米，0.7分米＝7厘米 手提袋的长为30厘米，宽为7厘米，高为30厘米； 一个大盒子和两个小盒子按照如图方式组合，组合以后的立体图形如下： 长为20＋10＝30（厘米） 宽：7厘米＞6厘米 高为15＋15＝30（厘米） 答：这样一个手袋能装下一大两小的饼干盒。 （3）3×0.7＋3×3×2＋3×0.7×2 ＝2.1＋18＋4.2 ＝20.1＋4.2 ＝24.3（平方分米） 24.3×100＝2430（平方分米） 答：生产100个这样的手袋至少需要2430平方分米的包装纸。 27．（本题5分）（21-22五年级下·山东东营·期末）在一个长8分米，宽6分米，高10分米的长方体玻璃容器中浸没着一个高为2分米的圆锥形铅锤，把铅锤从水中取出后，水面下降了5厘米，这个圆锥的底面积是多少平方分米？ 【答案】36平方分米 【思路点拨】由题意可知，水面下降的那部分水的体积等于圆锥形铅锤的体积，先根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出下降的水的体积，即铅锤的体积；根据“圆锥的体积＝×底面积×高”可推导出：圆锥的底面积＝圆锥的体积÷÷高，据此求出这个圆锥的底面积。 【规范解答】5厘米＝0.5分米 8×6×0.5÷÷2 ＝24×3÷2 ＝72÷2 ＝36（平方分米） 答：这个圆锥的底面积是36平方分米。 【考点评析】从盛水的容器中取出物体（物体完全浸入水中），取出物体的体积等于容器中下降的那部分水的体积。 28．（本题5分）（23-24五年级上·山东淄博·期中）数学活动小组准备用一块长方形铁皮如图所示，制作一个长方体铁盒，活动步骤如下： 步骤一：剪掉四个角上所有阴影部分的正方形。（每个正方形都相同）。 步骤二：再沿虚线折起来，做成没有盖子的长方体铁盒。 （1）把这个铁盒的外面涂上防腐漆，每平方厘米用0.8克防腐漆，至少准备多少克防腐漆？ （2）要给这个铁盒配上一个盖子，至少需要多少平方厘米的铁皮？ （3）该铁盒能装多少立方厘米的物品？（铁皮厚度不计） 【答案】（1）560克 （2）300平方厘米 （3）1500立方厘米 【思路点拨】（1）观察图形可知，这个铁盒所需铁皮的面积＝长方形的面积－4个小正方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可求出这个无盖铁盒的表面积；再用每平方厘米需防腐漆的质量乘这个无盖铁盒的表面积，即可求出至少需准备防腐漆的质量。 （2）要给这个铁盒配上一个盖子，求至少需要铁皮的面积，就是求这个无盖长方体铁盒上面的面积，根据长方形的面积＝长×宽，其中长是（40－5－5）厘米，宽是（20－5－5）厘米，代入数据计算即可求解。 （3）这个无盖长方体纸盒的长是（40－5－5）厘米，宽是（20－5－5）厘米，高是5厘米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据计算即可求解。 【规范解答】（1）40×20－5×5×4 ＝800－100 ＝700（平方厘米） 0.8×700＝560（克） 答：至少准备560克防腐漆。 （2）（40－5－5）×（20－5－5） ＝30×10 ＝300（平方厘米） 答：至少需要300平方厘米的铁皮。 （3）（40－5－5）×（20－5－5）×5 ＝30×10×5 ＝1500（立方厘米） 答：该铁盒能装1500立方厘米的物品。 【考点评析】本题考查无盖长方体的表面积、体积（容积）公式的灵活运用，以及长方形、正方形面积公式的运用，找出无盖长方体铁盒的长、宽、高是解题的关键。 29．（本题6分）（2023·全国·小升初模拟）一个长方体木块体积是360立方厘米，长、宽、高都是整厘米数且两两互质，在这个长方体中截一个最大的圆柱体后，剩余的材料占了原材料的百分之几？（取3.14） 【答案】30% 【思路点拨】根据长、宽、高都是整厘米数且两两互质，把360拆成3个两两互质的数的乘积，据此找出长宽高，再根据圆柱的特征，找出最大的圆柱体的底面直径和高，再求出在这个长方体中截一个最大的圆柱体后剩余的材料是多少，再除以长方体的体积，据此求出剩余的材料占了原材料的百分之几即可。 【规范解答】 则最大圆柱体的底面直径是8厘米，高是5厘米 圆柱体积： （立方厘米） 剩余材料体积：（立方厘米） 答：剩余的材料占了原材料的30%。 【考点评析】本题考查长方体、圆柱的体积，解答本题的关键是掌握长方体、圆柱的体积计算公式。 30．（本题6分）（2022·湖北省直辖县级单位·小升初真题）一个无盖的长方体玻璃缸，长48厘米，宽25厘米，高30厘米。有一个水龙头从8：00开始向玻璃缸内注水，水的流量为8立方分米/分。8：03关闭水管停止注水。接着在玻璃缸内放入一个高为16厘米的铁块，全部浸没水中。玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如图所示。 （1）左下图中，点（    ）的位置表示停止注水。（从、、中选择） （2）8：03分玻璃缸水面的高度为（    ）厘米。 （3）请列式计算，求出长方体铁块的底面积。 【答案】（1）B；（2）20；（3）300平方厘米 【思路点拨】（1）观察折线统计图可知，从B点开始，线段的倾斜度开始变化，代表水面高度上升的速度变化，说明停止注水。 （2）根据水每分钟的流量×时间＝水的体积，用水的体积÷容器的底面积＝水面的高度。 （3）铁块的体积＝容器的底面积×水面上升高度，铁块的底面积＝体积÷高，据此解答。 【规范解答】（1）点B的位置表示停止注水。 （2）8×3＝24（立方分米） 24立方分米＝24000立方厘米 24000÷（48×25） ＝24000÷1200 ＝20（厘米） 8：03分玻璃缸水面的高度为20厘米。 （3）48×25×（24－20）÷16 ＝4800÷16 ＝300（平方厘米） 答：长方体铁块的底面积是300平方厘米。 【考点评析】此题考查了折线统计图和长方体体积的综合运用，牢记长方体体积公式并能灵活运用是解题关键。 31．（本题6分）（2021·浙江·小升初真题）如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面部分分成了两部分。现在从左右两边同时向水槽里注水，已知左面每分钟注水2升，注水3分钟后，右面水面高度正好与隔板齐平，又经过1.5分钟后，左面水面高度也正好与隔板齐平。 （1）注满水槽共需多少分钟？ （2）水槽的容积是多少升？ 【答案】（1）7.5分钟 （2）60升 【思路点拨】本题可以先解答第（2）小题，求出水槽的容积，根据“水槽正中间有一块高6厘米的隔板”可知，长方体水槽被隔板分成容积相同的两部分，可设右面的注水速度是每分钟x升，根据左右两部分容积相同列出方程，求出右边的注水速度，进而求出长方体水槽的长和容积，最后用长方体水槽容积除以左右两面注水的速度和，即可求出注满水槽共需的时间。 【规范解答】解：设右面每分钟注水x升，根据分析列方程如下： 3×2＋1.5×（2＋x）＝3x 6＋3＋1.5x＝3x 1.5x＝9 x＝6 3x＝3×6＝18（升）＝18000（立方厘米） 18000÷6÷40＝75（厘米） 长方体水槽长：75×2＝150（厘米） （2）长方体水槽容积：150×40×10＝60000（立方厘米）＝60（升） （1）60÷（2＋6） ＝60÷8 ＝7.5（分钟） 答：注满水槽共需7.5分钟，水槽的容积是60升。 【考点评析】本题考查长方体体积（容积）的应用，关键是根据右边的注水速度，进而求出长方体水槽的长和容积。 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