海南省创新中学协作校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

海南省创新中学协作校联考试题 2024-2025学年度下学期期中高二数学 (考试时间：120分钟满分：150分) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为() A.12种 B.7种 C.4种 D.3种 2.已知函数f(x)=x+nx,则f'(白)的值为() D. 1 A.1-e B.1 C.1+e e 3.在等差数列{an}中，a=8,2a3=a2+6,则公差等于（) A.1 B.2 C.3 D.4 4.函数f(x)=e-ex的最小值为() A.-e B.-1 C.0 D.1 5.现要用4种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地 区不能用同一种颜色.已知这4个区县的连接关系如下：区A与区B、区C相邻：区 B与区A、区D相邻：区C与区A、区D相邻：区D与区B、区C相邻则共有( ) D 种不同的着色方法 A.72 B.84 C.96 D.180 6.甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且 两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关扰战，否则挑战结束已知在第一关中甲乙两人通 过的概率分别为，，若两人有资格挑战第三关，则在第一关中，甲通过的概率为〔) 7 A.12 c D.8 7.已知函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x-1,且f(0)=1,设数列{a。}满足a=1,当n≥2时， 1 an= F@)fa+可，则数列a,}的前n项和的表达式为() 方 c.1-1 D.2- n 8.定义在(0，+∞)的函数f(x)的导函数为f'(x),已知f'(x)-f(x)=x且f(0)=0,则下列结论正确的是 () A,(x)在(0.+o)单调递增 B.f(x)在(0，+0)单调递减 C.f(x)在(0，+o)上有极小值 D.f(x)在(0+∞)上有极大值 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目 要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.x+F 的展开式中，下列结论正确的是()， A.展开式共7项 B.含x项的系数为480 C.无常数项 D.所有项的二项式系数之和为128 10.设函数f(xr)=c'-c-2x,xeR,则下列说法正确的是() A,f(x)是奇函数 B.f(x)在R上是单调函数 C.f(x)的最小值为1 D.当x>0时，fx)>0 1.设函数/)=x+ ， 2x+3 数列{x}满足=2x=f（x,),则（） A.为=12 13 B.)/为定值 C.数列+ 1 x-1 为等比数列 D.x<1+ 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 2.已知随机变量5满是P(5=小=1名6=12，则E(写)-一D(5- 13,已知曲线y=山(x+)在点(0,0)处的切线与曲线y=x2+a相切，则常数k= 14.已知等差数列{an}的公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列46，ab·ab,“,a6为等比数 列，若b=1,b2=3,=7,则数列bn}的前6项之和为 四、解答趣（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本题满分13分)己知等差数列{a}的公差为-2，也，}是等比数列，a24=2a,4=26=4. (1)求{an}和色}的通项公式： (2)求数列{a,+b}的前n项和S 16.(本题满分15分)为普及学生对A1工具的使用，某枚开展了关于A1运用知识的竞赛活动，经过多轮比 拼，甲乙两人进入决赛，在决赛中有两道题：一道为枪答题，且只能被一人艳到，甲、乙两人抢到的概率均 为分：另一道为必答题，甲、乙两人都要回答，已知甲能正确回答每道题的概率均为子· 乙能正确回答每道 题的概率均为}、且甲、乙两人各题是否答对互不影响。 (1)求抢答题被回答正确的概率： (2)记正确回答必答题的人数为X,求X的分布列和数学期望 17.(本愿满分15分)已知函数f(x)=ax+ (1)当a=1时，讨论∫(x)的单调性： (2)若方程f(x)+x2=0恰有一个实数根，求实数a的取值范围. 18.(本题满分17分)已知数列{an}满足a,=2,a1=2an+3:21. (1)证明： 数列 为等差数列： (2)设6.=？+8，记数列也，}的前n项和为S,. 3n-2 (i)求Sn (i)若n∈N,Sn<m3+'成立，求m的取值范围. 1设（体愿满分17分）若涵数了(d)的号福数了满足了（创+x(x+)了(）>0对x∈径：+栖恒成 立，则称f(x)为T函数. (1)试问g(x)=山x是否为T函数？说明你的理由 (2)若f(x)=x2-ax为T函数，求a的取值范围。 (3)若f(x)为T函数，证明：f(2)>∫)海南省创新中学协作校联考试题 2024-2025学年度下学期期中高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 B B C B D 0 CD ABD 题号 11 答案 ACD 1.B【详解】由分步加法计数原理4+3-7 2c【详解1f(=1+上将x=。代入，得了已 1+e. 3.B【详解】设等差数列的首项为4，公差为d,因为4=8,2a=a+6, a+4d=8 所以 =0 2(a+2d)=a+d+6解得 d=2 4.C【详解】f'(x)=e-e,令'(x)>0,则x>1,令f'(x)<0,则x<1, 所以函数∫()的单调增区间为(1，+D),单谓减区间为(o,1),所以f(s)m=f)=0. 5.B【详解】两种情况：①A和D颜色相同，有C种，B和C需选择与A或D不同的颜 色，各有C种，则有C!CC=36种；②A和D颜色不同，A有C种，D有C种（不 同于A),B和C需选择与A和D均不同的颜色，各有C种选择，则有C·CC·C=48 种，若色总数36+48=84种. 6.D【详解】在第一关中甲乙两人通过的事件分别为A,B,两人有资格挑战第二关的事件 为M,则0-P=高P0=1丽1-Q-0高受P0=0-号 所以若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率PAM0=PL12。三- P0186 25 7.D【详解】由题意可知f(n+1)-f(m)=21-1,则f(m-f(n-1)=21-3,, 111 f(2)-f0)=1,f=0累加可得，f)=(u-1,22时，am-m高元 所以和}的前n项和的表达式为2-】 11 答案第1页，共8页 8.c【详解1令g=f但，则g=国-，即g)+C且c为常数， x' 又0=0=0，则时c=0c=子放四-分所以f0-式，则 f闭-r-号8r-)当0<时f)0,即f在o马上单调道减， 当号时四>0，即因在9上单得超，所以5处因取极小值 gD【详解】对FA:由=项式(+ 的展开式共有8项：所以A选项错误. 对于B:由二项式x+ 2 可得展开式的通项为：工1=C2号，k=01,27. 令143=1，可得k=4,则x项的系数为2'C=560,所以B选项错误 2 对于C:令4，张-0，可得=号N,所以无常数项，所以C选项正确 2 对于D:二项式系数和为27=128，所以D选项正确. l0.ABD【详解】A选项，fx)定义域为R,且f(-)=e-e+2x=-f(x), 故f(x)为奇函数，A正确： B选项，()=e+e-2≥2e·e-2=0,故f()在R上单调递增，B正确： C选项，由B选项知，f(x)在R上单调递增，无最小值，C错误： D选项，由B选项知，f(x)在R上单调递增，当x>0时，f)>f(O)=0,D正确. 1L.ACD【详解】由=fk)+名. 213,飞3，则x=35+23×2+213 2%+32x3+312 3 故A正 2 确：由f(x)+了 3x+2+3+2x=(3x+2+(2x+313x2+24x+13 则显然 2.x,+32+3x。(2x,+3)(2+3x.) 6x2+13xn+6 3x.+2 非常数，故B错误： +1 2x+3 3x+2 股器斗又 2x.+3 1+1 +1 =5,则数列 x-1 是以5为首项，以5为公比的等比数列，故C正 +1 x-1 答案第2页，共8页 确： 则x。<1+ 5可，故D正确 三，三【详解1随机变量5满足PG=0=4G=123引 6 3 2 15 E(5)=1x后+2× +3× ，(2分) 6 63 .(3分) 131【样都】由y=h(+)程了一动则=儿=1，六线y=x+在点 (0,0)处的切线方程为：y=x,该切线与曲线y=x2+x也相切， 联立得产+(k-)x=0,所以该方程有两个相等的实数根，那么△=0，即 (k-1)=0,解得k=1. 14.120【详解】由题意可得a,4,a,成等比数列，即有aG=a,4,由等差数列的通项 公式可得a,+2d=aa+6d,解得a=2d,则a,=a+(0n-1)d=(0n+l)d,由{a2}的 公比g=2=及=2，则a=421=d2=(6.+10d,可得6=2-1，则数 aa 列{b}的前6项之和为S。=(2-1)+(22-1)+…+(26-1)=120. 15.【详解】(1)设{b}的公比为9.因为a,b=2a,b=4,所以9= =22分 b 故b=b9-3=2-2. 4分 又b,=1a2=4,所以a=a+(n-2)d=8-2n. 6分 (2)记{4}和b}的前n项和分别为A,B.,则S.=A+B 又4=6m+0,-Dx(←2)=-r+7m, 2 9分 -1+2 …12分 1-2 2 所以8=2-i2+7m- 13分 16.【详解】(1)设“甲抢到抢答题为事件M,“抢答题被回答正确”为事件N,1分 答案第3页，共8页 由E意可知：P00=P)=号P0=子P-} 4分 由全概率公式可得PW)=P(M0PM+PBN网P()=号 7分 所以必答思被回答正确的概率为 24 (2)由题意可知：X的可能取值有：0,1,2，则有： 8分 px=o叭--引aPx=-引}高 P(X=2)= 3_1 *42 11分 所以X的分布列为 13分 X 0 2 1 12 1-2 2*2x17 期塑8)=0合+小高 212 15分 7【详解1a)当a=1时.)=，则=产， 】分 由f(x)>0得x<0,则f(x)在(-0,0)上单调递增， 2分 由f(x)'<0得x>0,则f(x)在(0，+o)上单调递减， 3分 综上所述，f(x)在(-0,0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减. …4分 (2)f(冈)+=0恰有一个实数根，a+山+x=0恰有一个实数根， e -a(x+1)=x2e恰有一个实数根，当x=-1时，e1=0,不成立. 5分 当x≠-1时，-a=C恰有一个实数根， x+1 6分 则y=-a与g)=g恰有一个交点， 7分 x+1 则gx)=e+2r+2 2(x≠-1) (x+1)月 9分 x2+2x+2=(x+1)+1>0,(x+1>0,e>0, 10分 .由g(x)>0得x>0,则g(x)在(0，+o)上单调递增， 11分 答案第4页，共8页 由g(x)<0得x<-1或-1<x<0,则g(x)在(-0，-1)和(-1,0)上单调递 减，且当x<-1时，g(x)<0, 12分 如图所示，当-a≤0即a≥0时，y=-a与g)= -恰有一个交 x+ 点， 14分 综上所述，a的取值范围是[0，+∞). 15分 注：（第2问若不画图象） f(x)+x2=0恰有一个实数根， a(x+山+x=0恰有一个实数根 e -a(x+1)=x2e恰有一个实数根，当x=-1时，e1=0,不成立. 5分 当x-1时，-a=0恰有个实数根， …6分 x+1 则y=a与g(y=女拾有一个交点. 7分 x+1 则g(x)= e(x+2x+2) (x+1明 (x≠-1) 9分 x2+2x+2=(x+1)+1>0,(x+1'>0,e>0, 10分 .由g(x)>0得x>0,则g(x)在(0，+o)上单调递增， 11分 由g'(x)<0得x<-1或-1<x<0,则g(x)在（-m,-1)和（-l,0)上单调递 减， 12分 当x<-1时，g(x)<0,而x→-1时，g(x)→+0，当x→+0时 g(x)→+0， 13分 又g(0)=0,所以当-a= C恰有一个实数根，有-a≤8(0)=0， 14分 x+1 所以满足条件的a的取值范围是[0，+o): 15分 18.【详解】(1)因为a=20,+3.2“,即9-=3， 2m20 2分 所以数列 号}是以号1为首项3为公差的等差数列 2 3分 (2①由)知经=1+u-3=n-2, 4分 所以a=(3-2)2”, 5分 答案第5页，共8页 所以6=+D6=+1）2, 3n-2 6分 所以S=22+3.22+423++n2-+(n+1)2, 2Sn=222+3.23+42+-+h-2”+(+1)2m, 7分 所以-Sn=22+22+23++2-(n+121=2+22+22++2”-(n+1)21+2 21-2" -(n+1)-21+2=-2+2"1-(n+1)-2"1+2=-n-21, 9分 1-2 所以S=n.2+1 10分 (因为vmeN,3<m3”,所以neN,n <, 12分 M+ 令c=n 3 不妨设{C}的第n项取得最大值， ≥-[) 所以 14分 ≥a) 解得2≤n≤3，所以{cm}的最大值为c,=c,= 16 27 16分 所以>苧。印加的取植范围是 1 7+ 17分 19【详解】1)令h(x)=g(x)+x(x+1)g'e)=nx+xK+1)x+nx+1, 1分 x号因为y=1y-hx到 上为增函数，故函数h(x)在 为增函数， 2分 所以h(x)>h 1 3分 2 所以，函数g(x)=nx是T函数 4分 答案第6页，共8页 (2)因为f(x)=x2-x,则f(x)=2x-a, 5分 p(x)=f(x)+x(x+1)f(x)=x-ax+xx+l)(2x-q=x2x+3-gx-2a. 6分 设q(x)=2x2+(3-a)x-2a, 因为函数f(x)为T函数，则对任意的x∈ p(x)>0,即q(x)>0, 7分 因为二次函数q(x)的图象开口向上，对称轴为直线x= 0-3 4 当a-3≤时，即当a≤5时，则函数g()在区同 4 2 ,+00 上为增函数， .8分 只需q )-加=2-30，解aa号 5 4 .9分 当a-31 4>2时，即当a>5时，只需△=(3-a}+16a=a2+10a+9<0, 解得-9<a<-1(舍去) 10分 综上所述，实数a的取值范围是 11分 第2问解法2： (2)因为f(x)=x2-a,则f(x)=2x-a, 5分 由题意知r-+Xx+1训2-a小>0对xe行+恒说立， .6分 即a<2 7分 x+2 答案第7页，共8页 因为p(x) 2x+8x+6_2(x+1x+30 (x+2) (x+2 9分 所以p)在行+上单调递，故p>P号 10分 所烈as号 所以实数a的取值范围是 11分 3)令p(y=f田 13分 x+1 p国=9+Xx+D-f田-f国+f+x+)f)-寸四 (x+1) (x+1) =f)+(x+1)f'(x) (x+1)2 14分 已班高数f(到为7数，国清是：fe)+x+f到>0xe行+） 所以 p闲>0，国此p()在}和上格通路 15分 又因为1<2，所以：p)<(2,即：0<2，f2-f0<2y②，所以 1+12+1 2 3 f@-i/0. 17分 答案第8页，共8页