2.1认识一元二次方程 （第1课时）课件2024-2025学年 北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 第1课时 （一）情景导入 （二）自主探究 （三）总结归纳 （四）学以致用 （五）课堂小结 （六）作业 目录 一起探索一元二次方程 1.理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能确定二次项系数、一次项系数及常数项； 2.经历从具体问题抽象出一元二次方程的完整过程，理解方程作为刻画现实世界数量关系的一个有效模型； 3.在探究方程特征和建立数学模型的过程中，培养数学抽象思维和逻辑推理能力。 学习目标 解: 1.设剩余区域的宽度为 x 米。 2.建立方程：（10-2x）(6-2x)=32 活动：根据下列情境列出相应的方程. “某小区要在一块长为10米、宽为6米的矩形空地上修建一个面积为32平方米的花坛，花坛四周剩余区域的宽度相同。请问剩余区域的宽度是多少？” 情景导入 （一）情景导入 问题1:幼儿园活动教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18 m2的地毯（如图1），四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？ 解:设所求宽度为x m，∴(8-2x)(5-2x)=18 图1 图2 提问： （1）教室地面的长和宽分别是多少？ （2）地毯的面积是多少？ （3）四周未铺地毯的条形区域的宽度相同，如何表示这个宽度？ 自主探究 （二）自主探究 问题2:你能找到关于10²，11²，12²，13²，14²这五个数之间的等式吗？得到等式10²+11²+12²=13²+14²之后你的猜想是什么？根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和.能否找到其他五个连续整数满足这一规律？ 解: 设第一个数为x，其余四个分别为x+1，x+2，x+3，x+4， ∴x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2. （二）自主探究 【游戏环节】：数字探秘擂台赛 （1）竞赛环节： ①第一轮：快速计算10²+11²+12²与13²+14²的值 ②第二轮：小组竞赛寻找新的连续五数组合（限时3分钟） ③第三轮：方程建模速度赛（用白板展示推导过程） （2）积分规则： ①正确列式得1分 ②最快化简得2分 ③创意解法额外加1分 问题3:如图3，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m.那么梯子的底端滑动多少米？ 解: 2.设梯子的底端滑行x m，下滑前梯子底端离墙 ∴(x+6)2+72=102 （二）自主探究 提问： 梯子顶端下滑1米后，底端滑动的距离如何表示？ 图3 任务二：能指出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项 解:去括号，得3x2-3x=5x+10， 移项，得3x2-8x-10=0， 二次项是3x2,系数是3； 一次项是-8x,系数是-8； 常数项是-10 注意：系数和项均包含前面的符号. 易错点：漏写“-” 活动：指出方程3x(x-1)=5(x+2)二次项、一次项和常数项及它们的系数. 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式（标准形式）： ax2 +bx +c =0 (a≠0) 常数项 一次项 二次项 二次项系数：a； 一次项系数：b. （三）归纳总结 归纳总结 想一想:为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c可以为零吗？ 当a=0时 bx＋c=0 当a≠0，b=0时 ax2＋c=0 当a≠0，c=0时 ax2＋bx=0 当a≠0，b=c=0时 ax2=0 综上所述：一元二次方程只要满足a≠0，b、c可以为任意实数. 一元一次方程 一元二次方程 一元二次方程 一元二次方程 （1）火眼金睛（概念辨析题） ① 2x³ + 3x - 1 = 0 ② (y+1)(y-2) = y² ③ ④ ⑤ (m-1)x² + 3x = 0（讨论m取值的影响） 1.基础巩固：下列等式中是一元二次方程的有哪些？ 想一想一元二次方程需要满足哪些条件？ （四）学以致用 学以致用 （2）变形大师（一般形式转化） ①将方程(2x+1)² = 3(x-2)化为一般形式后： A. 二次项系数是___ B. 常数项是___ C. 一次项系数是___ 1.基础巩固：下列等式中是一元二次方程的有哪些？ （四）学以致用 ②将方程3x(x−1)=2(x+2)化为一般形式后： A. 二次项系数是___ B. 常数项是___ C. 一次项系数是___ 课堂小结 课堂小结 一元二次方程满足条件： 注意事项：(1)若二次项的系数是参数，要保证二次项的系数不为0； (2)当给出的不是一般式，先进一步化简整理后再作判断. ①整式方程； ②只含一个未知数； ③未知数的最高次数为2. 练一练 下列选项中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x2-3x+2=0 少了限制条件 a≠0 注：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 练一练 填表： 方程 一般形式 二次项 一次项系数 常数项 x2+3x-2=0 3y2+1=2y 4x2=5 (2-x)(3x+4)=3 x2+3x-2=0 3y2-2y+1=0 4x2-5=0 3x2-2x-5=0 x2 3y2 4x2 3x2 3 -2 0 -2 -5 -5 1 -2 √ × √ × × √ 3x+2=5x-2 x2=0 (x+3)(2x-4)=x2 3y2=(3y+1)(y-2) x2=x3+x2-1 3x2=5x-1 1.下列哪些是一元二次方程？是的打“ ”，不是的打“ ”. √ × 2.关于x的方程(k2－4)x2 ＋(k+2)x－1＝0, 当k　 　时，是一元一次方程； 当k　 　时，是一元二次方程． ≠±2 =2 3.根据题意,列方程，并化成一元二次方程的一般形式.一个直角三角形的三条边长是三个相连的整数，求斜边的长. 解：直角边最短边长为x，则另一条直角边长为x+1，故斜边长为x+2. 由勾股定理可得： x2+(x+1)2=(x+2)2. 整理得x2-2x-3=0. 解:(1)去括号，得x2-10x+25=36， 移项，得x2-10x-11=0， 二次项系数：1， 一次项系数：-10， 常数项：-11. (2)去括号，得3y2+3y=2y+2， 移项，得3y2+y-2=0， 二次项系数：3， 一次项系数：1， 常数项：-2. 二次项系数、一次项系数为1时在一般形式中省略不写. 4.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项. (1)(x-5)2=36 (2)3y(y+1)=2(y+1) 1.习题2.1 ：第1、2、3题。 2.选做题：设计一个实际问题，列出对应的一元二次方程。 作业 自主探究 情景导入 归纳总结 学以致用 课堂小结 针对本节课所学内容，说说你都学到了哪些知识？ 一元二次方程 只含有一个未知数x的整式方程，并且 都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数, a≠0)的形式. 概念 ax2+bx+c=0(a , b , c为常数, a≠0) ax2 称为二次项,a 称为二次项系数. bx 称为一次项,b 称为一次项系数. c 称为常数项. 一般式 谢谢 $$