辽宁省沈阳市第二中学2025届高三第五次模拟考试数学试题

1 沈阳二中 25 届高三第五次模拟考试 数 学 命题人、审校人：李志红 刘佳 宁冲 王立炜 王悦寒 周兆楠 说明： 1.测试时间：150分钟 总分：150分 2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时， 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合𝑈 = {1,2,3,4,5}，𝐴 = {1,3,5}，𝐵 = {1,2,3}，则(∁𝑈𝐴) ∩ 𝐵 =（ ） A．{1，2，3，4} B．{2} C．{1，2，3，5} D．{1,3} 2．设i是虚数单位，复数 𝑎+𝑖 1+𝑖 为纯虚数，则实数𝑎的值为（ ） A．−1 B．1 C．−2 D．2 3．已知向量?⃗? = (𝑚，4)，?⃗? = (1，𝑚)，若?⃗?与?⃗?反向共线，则|?⃗? − 2?⃗?|的值为 （ ） A．0 B．√13 C．4√5 D．5√6 4．若𝛼 ∈ ( 𝜋 2 , 𝜋)，则√1 − sin𝛼 + √1 + sin𝛼等于（ ） A．2cos 𝛼 2 B．2sin 𝛼 2 C．−2sin 𝛼 2 D．−2cos 𝛼 2 5．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺 旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，… 为边的正方形拼成长方形（斐波那契数列由 1和 1开始， 之后的数就是由之前的两数相加而得出），然后在每个正 方形中画一个圆心角为90𝑜的圆弧，这些圆弧所连起来的 弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波那契螺旋 2 线的图案，例如向日葵､鹦鹉螺等，如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来 的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面则该圆锥的高为（ ） A．2√15 B．4√15 C．5√15 D．6√15 6．若函数𝑓(𝑥)为𝑅上的奇函数，且当𝑥 ≥ 0时，𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 + 𝑚，则𝑓 (ln 1 3 ) = （ ） A．-2 B．-3 C．-4 D．2 7．函数𝑓(𝑥) = sin (𝜔𝑥 + 𝜋 3 ) (𝜔 > 0)，当𝑥 ∈ [0, 𝜋]时函数𝑓(𝑥)的值域为[ √3 2 , 1]， 则函数𝑓(𝑥)的最小正周期的取值范围是（ ） A．[𝜋, 3𝜋] B．[𝜋, 6𝜋] C．[3𝜋, 6𝜋] D．[6𝜋, 12𝜋] 8．在四棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸，𝐹分别是线段𝐴𝑃，𝐵𝐶上的点， 𝐴𝐸 𝐸𝑃 = 𝐵𝐹 𝐹𝐶 ，则下列 条件可以确定𝐸𝐹//平面𝑃𝐶𝐷的是（ ） A. 𝐴𝐵//𝐶𝐷 B. 𝐴𝐷//𝐵𝐶 C. 𝐵𝐶//平面𝑃𝐴𝐷 D. 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷, 𝐶𝐵 = 𝐶𝐷 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错 的得 0分． 9．下列结论正确的是（ ） A．数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的 70%分位数是 23. B．随机变量𝑋服从二项分布𝑋~𝐵 (3, 1 2 ) , 𝑌 = 2𝑋 + 1，则𝐷(𝑌) = 3 C．一组样本数据𝑥1, 𝑥2, ⋯ 𝑥20的方差𝑠 2 = 1 20 [(𝑥1 − 3) 2 + (𝑥2 − 3) 2 + ⋯ + (𝑥20 − 3) 2]，则这组样本数据的总和为 60. D．将总体划分为 2 层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差 分别为?̅?1，?̅?2和𝑠1 2，𝑠2 2，若?̅?1 = ?̅?2，则总体方差𝑠 2 = 1 2 (𝑠1 2 + 𝑠2 2) 10．已知𝛺为随机试验的样本空间，事件𝐴，𝐵满足𝐴 ⊆ 𝛺，𝐵 ⊆ 𝛺，则下列说法 正确的是（ ） A．若𝐴 ∩ 𝐵 = ∅，且𝑃(𝐴) = 1 2 ，𝑃(𝐵) = 1 3 ，则𝑃(𝐴 + 𝐵) = 5 6 3 B．若𝐵 ⊆ 𝐴，且𝑃(𝐴) = 1 2 ，𝑃(𝐵) = 1 3 ，则𝑃(𝐴 + 𝐵) = 5 6 C．若𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴|𝐵) = 1 2 ，𝑃(𝐵) = 1 3 ，则𝑃(?̅?|𝐴) = 2 3 D．若𝑃(𝐴) = 1 2 ，𝑃(?̅?|𝐵) = 3 4 ，𝑃(?̅?|?̅?) = 3 8 ，则𝑃(?̅?) = 2 3 11．曲线𝐸上任意一点𝑃(𝑥, 𝑦)，满足点𝑃到定点𝐹(0,5)的距离与到定直线𝑦 = 1的 距离之和为 6，则下列说法中正确的有（ ） A．曲线𝐸经过原点 B．曲线𝐸关于𝑦轴对称 C．曲线𝐸上点的横坐标的取值范围为[−√5, √5] D．直线𝑦 = 𝑥 + 3被曲线𝐸截得的线段长为8√5 − 8√2 三､填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12．(2𝑥 + 1)10 = 𝑎0 + 𝑎1(𝑥 + 1) + 𝑎2(𝑥 + 1) 2 + ⋯ 𝑎10(𝑥 + 1) 10,则𝑎3 =______ 13．王先生今年初向银行申请个人住房贷款 80万元购买住房，按复利计算（复 利是指在计算利息时，将上一期的利息加入本金，一并计算下一期的利息， 也就是通常所说的“利滚利”），月初办理贷款，并从贷款后的次月初开始还 贷，分 10年还清。银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还 款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生 的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和 利息）．若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为 0.3％，则王先生 每月应还______元（结果保留整数，参考数据 1.003119≈1.428，1.003120≈ 1.433，1.003121≈1.437） 14．沈阳二中校园文化生活丰富多彩，开设了许多社团，让同学们在学习之余 可以放松，提升综合能力，还能助力职业生涯规划。现有模拟联合国、舞 蹈、天文、机器人、羽毛球五个社团纳新，现有𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸五名学生准 备报名，规定每名学生只能报名一个社团，已知这五名学生对这五个社团的 报名意愿如下表（表中打√的为喜欢的社团） 4 模拟联合国 舞蹈 天文 机器人 羽毛球 𝐴 √ √ √ 𝐵 √ √ 𝐶 √ √ 𝐷 √ √ √ 𝐸 √ √ √ √ 这五名学生都能报名自己喜欢的社团的不同报名方式种数为_________（用数字 作答）；若这五名学生都报名了自己喜欢的社团，𝐴报名了天文社，有且只有 2 个人报名了同一个社团，则不同的报名方式种数为_________（用数字作答）。 四､解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步 骤. 15．（13分）已知函数𝑓(𝑥) = (𝑥+𝑎) 𝑙𝑛 𝑥 2𝑥 + 𝑏 𝑥 − 1，且曲线 )(xfy = 在点𝐴(1, 1 2 )处的切 线与𝑥轴平行. (1)求𝑎, 𝑏； (2)求𝑓(𝑥)的极值点个数. 16．（15分）已知△ 𝐴𝐵𝐶内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为 𝑎，𝑏，𝑐，点𝐺是△ 𝐴𝐵𝐶的重心，且𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⋅ 𝐵𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 0． (1)若∠𝐺𝐴𝐵 = 𝜋 3 ，求tan∠𝐺𝐴𝐶的值; (2)求cos∠𝐴𝐶𝐵的取值范围． 17．（15分）如图，以𝐴1, 𝐵1, 𝐶1, 𝐴, 𝐵, 𝐶为顶点的六面 体中，四边形𝐴𝐴1𝐶1𝐶为菱形，𝐵1𝐶1//𝐵𝐶，𝐵1𝐶1 = 1 2 𝐵𝐶， ∠𝐶1𝐶𝐴 = 60°，𝐴𝐶 = 2，𝐴𝐵 = 2，∠𝐵𝐴𝐶 = 120° (1)求证：𝐴𝐶 ⊥ 𝐴1𝐵 (2)当𝐴1𝐵 = √6时，求二面角𝐴1 − 𝐴𝐵 − 𝐶的正弦值 5 18．（17分）已知抛物线𝐶: 𝑥2 = 2𝑝𝑦(𝑝 > 0)的焦点𝐹也是椭圆 𝑥2 𝑝 + 𝑦2 3 = 1的一个 焦点，过𝐹的直线交𝐶于𝐴, 𝐵两点. (1)求抛物线𝐶的方程； (2)求证：抛物线𝐶在𝐴, 𝐵两点处的切线互相垂直； (3)设𝑀为线段𝐴𝐵的中点，以线段𝐴𝑀为直径的圆交抛物线𝐶在𝐴处的切线于点 𝑃，试判断 |𝐴𝐵|⋅|𝐴𝐹| |𝐴𝑃|2 是否为定值，并证明你的结论. 19．(17分)设点集𝑀𝑛 = {(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ , 𝑎𝑛)|𝑎𝑖 = 0或1，1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛，𝑖 ∈ 𝑁 ∗}，从 集合𝑀𝑛中任取两个不同的点𝐴(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ , 𝑎𝑛)，𝐵(𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, ⋯ , 𝑏𝑛)，定义𝐴，𝐵 两点间的距离𝑑(𝐴, 𝐵) = 1 | | n i i i a b = − . (1)若𝐴(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ , 𝑎70) ∈ 𝑀70，当且仅当𝑛 = 3𝑘 − 2(𝑘 ∈ 𝑁 ∗, 𝑘 ≤ 24)时，𝑎𝑛 = 0，求数列{(−2)𝑛𝑎𝑛}的前 70项和； (2)从集合𝑀𝑛中任取两个不同的点𝐴，𝐵，用随机变量𝑋表示它们之间的距离 𝑑(𝐴, 𝐵)，求𝑋的分布列与期望𝐸(𝑋); (3)已知点𝐶(𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, ⋯ , 𝑐2𝑛) ∈ 𝑀2𝑛,且满足如下条件： ① 𝑐1 = 0；② 2 1 n i i c n = = ；③ 对于任意的1 ≤ k ≤ 2n − 1, 𝑘 ∈ 𝑁∗, 1 2 k i i k c =  . 证明：所有满足条件的点𝐶的个数为𝑁 = (2𝑛−2)! 𝑛!(𝑛−1)! . (“卡特兰数”可以帮助解决上述问题：将𝑛个 0和𝑛个 1排成一排，若对任意 的1 ≤ 𝑚 ≤ 2𝑛，𝑚 ∈ 𝑁∗，在前𝑚个数中，0 的个数都不少于 1的个数，则满足 条件的排列方式共有𝐶2𝑛 𝑛 − 𝐶2𝑛 𝑛−1种，其中𝐶2𝑛 𝑛 − 𝐶2𝑛 𝑛−1的结果被称为卡特兰数.） null