第十一章不等式与不等式组——由一个已知不等式的解集求另一个不等式的解集讲义　　　2024—2025学年人教版（2024）数学七年级下册

第十一章不等式与不等式组——由一个已知不等式的解集求另一个不等式的解集讲义人教版（2024）初中数学七年级下册 一、知识点回顾 1.1 不等式的基本性质 1. 传递性：若且，则； 2. 加减法性质：若，则； 3. 乘除法性质： - 若且，则； - 若且，则（不等号方向改变）。 1.2 不等式的等价变形 - 核心思想：通过代数运算将不等式转化为已知解集的形式。 - 示例： 已知的解集为，则的解集可通过变形得到。 二、重难点讲解 2.1 利用已知解集进行代数变形 - 关键步骤： 1. 观察结构：比较目标不等式与已知不等式的关系（如系数、常数项）； 2. 逆向推导：通过已知解集反推变形后的不等式参数。 示例分析： 已知不等式的解集为，求不等式的解集。 解析： 1. 由得； 2. 目标不等式可变形为； 3. 若要求两不等式解集有公共部分，需满足。 2.2 参数替换与解集关联 - 核心规则：若两个不等式通过参数替换关联，需建立参数方程求解。 示例： 已知的解集为，求的值及不等式的解集。 解析： 1. 解原不等式： 2. 由题意（矛盾，因），故原题无解。 三、易错点与解题方法 3.1 常见易错点 1. 方向改变遗漏： - 错误：变形时未注意系数为负导致不等号方向未改变（如误解为）。 2. 参数符号混淆： - 错误：将的解集直接写为，忽略的情况。 3. 代数变形错误： - 错误：将变形为（正确应为）。 3.2 解题技巧与方法 1. 分步变形法： - 步骤： 1. 将目标不等式变形为与已知不等式类似的结构； 2. 对比系数与常数项，建立方程或不等式求解参数； 3. 验证解的合理性（如参数符号是否导致方向改变）。 示例： 已知不等式的解集为，求的值及不等式的解集。 解析： 1. 解原不等式： 2. 由题意； 3. 代入目标不等式： 1. 逆向验证法： · 将求得的解代入原不等式，确保变形正确。 示例： 若已知的解集为，求的解集是否包含。 解析： · 若要求解集包含，需。 一、 选择 1 .(单选)已知的解集为，则的解集为（   ）． A. B. C. D. 2 .(单选)关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ）． A. B. C. D. 3 .(单选)若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（   ）． A. B. C. D. 4 .(单选)下列说法中正确的有（   ）个． ①平移前后图形的形状与大小一定都不发生变化； ②不等式组的整数解有个； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④两点之间的线段就是这两点之间的距离； ⑤若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是． A. B. C. D. 5 .(单选)已知、为常数，若的解集为，则的解集是（  ）． A. B. C. D. 6 .(单选)若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（   ）． A. B. C. D. 7 .(单选)如果关于的不等式解集为，那么关于的不等式的解集是（   ）． A. B. C. D. 8 .(单选)已知、为常数，若的解集是，则的解集是(　　) A. B. C. D. 二、 填空 1 .如果关于的不等式的解集为，那么，关于的不等式的解集为           ． 2 .如果关于的不等式和的解集相同，那么的值为           ． 3 .若不等式的解集是，则不等式的解集是                     ． 4 .若，则关于的不等式的解集为           ． 5 .已知关于的不等式的解集，则关于的不等式的解集是           ． 6 .已知关于的不等式的解集是，关于的不等式的解集为           ． 7 .我们定义，对于含有同一个未知数的不等式和，若两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． ( 1 )若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，的值为           ． ( 2 )若关于的不等式：，不等式：是同解不等式，其中，是正整数，，的值分别为           ． 8 .已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为           ． 三、 解答 1 .请回答下列各题： ( 1 )在关于，的二元一次方程组中，，，求的取值范围． ( 2 )已知，且，，求的取值范围． ( 3 )已知，在关于，的二元一次方程组中，，，化简含有绝对值的式子，（结果用含的式子表示）． 2 .对于三个数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数，例如：；；． 解决下列问题： ( 1 )解答： ①          ． ② 如果，则的取值范围为                     ． ( 2 )填空： ① 如果，则          ． ② 根据①，你发现了结论“如果，那么           （填，，的大小关系）”． ③ 运用②的结论，填空： 若，并且，则          ． 3 .若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集． 4 .已知关于的不等式． ( 1 )当时，求该不等式的解集． ( 2 )当取何值时，该不等式有解，并求出解集． 5 .若不等式组的解集是，求不等式的解集． 6 .若关于的不等式的解集是，求的解集． 7 .如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．如：方程就是不等式组的“关联方程”． ( 1 )试判断方程①，②是否是不等式组的关联方程，并说明理由． ( 2 )若关于的方程（为整数）是不等式组的一个关联方程，求整数的值． ( 3 )若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 8 .用“”规定一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：． ( 1 )求的值． ( 2 )若，（其中为有理数），试比较、的大小． ( 3 )若的解集和关于的不等式的解集相同，求关于的不等式的解集． 9 .已知，求关于的不等式的解集． 10 .关于的不等式的解集为，求不等式的解集． 11 .若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集． 12 .关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $$