第十一章不等式与不等式组——由一个已知不等式的解集求另一个不等式的解集讲义　　　2024—2025学年人教版（2024）数学七年级下册

第十一章不等式与不等式组——由一个已知不等式的解集求另一个不等式的解集讲义人教版（2024）初中数学七年级下册

一、知识点回顾

1.1 不等式的基本性质
1. 传递性：若且，则；
2. 加减法性质：若，则；
3. 乘除法性质：
- 若且，则；
- 若且，则（不等号方向改变）。

1.2 不等式的等价变形
- 核心思想：通过代数运算将不等式转化为已知解集的形式。
- 示例：
已知的解集为，则的解集可通过变形得到。

二、重难点讲解

2.1 利用已知解集进行代数变形
- 关键步骤：
1. 观察结构：比较目标不等式与已知不等式的关系（如系数、常数项）；
2. 逆向推导：通过已知解集反推变形后的不等式参数。

示例分析：
已知不等式的解集为，求不等式的解集。

解析：
1. 由得；
2. 目标不等式可变形为；
3. 若要求两不等式解集有公共部分，需满足。

2.2 参数替换与解集关联
- 核心规则：若两个不等式通过参数替换关联，需建立参数方程求解。
示例：
已知的解集为，求的值及不等式的解集。
解析：
1. 解原不等式：
 

2. 由题意（矛盾，因），故原题无解。

三、易错点与解题方法

3.1 常见易错点
1. 方向改变遗漏：
- 错误：变形时未注意系数为负导致不等号方向未改变（如误解为）。
2. 参数符号混淆：
- 错误：将的解集直接写为，忽略的情况。
3. 代数变形错误：
- 错误：将变形为（正确应为）。

3.2 解题技巧与方法
1. 分步变形法：
- 步骤：
1. 将目标不等式变形为与已知不等式类似的结构；
2. 对比系数与常数项，建立方程或不等式求解参数；
3. 验证解的合理性（如参数符号是否导致方向改变）。

示例：
已知不等式的解集为，求的值及不等式的解集。
解析：
1. 解原不等式：
 

2. 由题意；
3. 代入目标不等式：
 

2. 逆向验证法：
   • 将求得的解代入原不等式，确保变形正确。
     示例：
     若已知的解集为，求的解集是否包含。
     解析：