（4）半角模型-【一战成名新中考】2025年中考数学中考必考知识点专题特训

半角模型 1．如图，在△中，，．点、都在边上，．若，则的长是　　 A．1 B． C． D． 2．如图，在△和△中，，，，．连接，交于点，连接．下列结论： ①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有　　个． A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，在正方形中，点、分别是边、上的点，，，，则正方形的面积为 　　． 4．如图，在四边形中，点是直线上一点，将射线绕点逆时针旋转度交直线于点． （1）如图①，若四边形为菱形，点在线段上．，，求证：； （2）如图②，若四边形为正方形，点在线段的延长线上，，连接，试猜想线段，与之间的数量关系，并加以证明； （3）若四边形为正方形，，，，连接，请直接写出的长． 5．（1）阅读理解：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到，把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 　　； （2）问题解决：如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 6．如图，是边长为1的等边三角形，是等腰三角形，，，点、分别在，上，连接，求周长． 7．（1）【探究】如图1，正方形中，、分别在边、上，且．我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图1，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．求证：． （2）【拓展】如图2，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点且，求五边形的周长． 8．（1）阅读理解． 如图1，在正方形中，若，分别是，边上的点，，则我们常常会想到：把绕点顺时针旋转，得到．易证　　，得出线段，，之间的关系为　　； （2）类比探究 如图2，在等边中，，为边上的点，，，．求线段的长； （3）拓展应用 如图3，在中，，，点，在边上，，若是等腰的腰，请直接写出线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 半角模型 1．C【解析】△中，，，，，把△绕点旋转到△，使和重合，连接．则，，，，，，在△和△中，，△△，，，设，则，，，，，，． 2．B【解析】，，即，在△和△中，，△△，，，故②正确；，由三角形的外角性质得，，故①正确；法一：作于，于，如图所示，则，△△，，平分，故④正确；法二：△△，，、、、四点共圆，，同理可得：、、、四点共圆，，平分，故④正确；假设平分，则，在△与△中，，△△，，，，而，故③错误；正确的个数有3个． 3．36【解析】如图，延长至点，使，并连接，在和中，，，，，，，，在和中，，，，设正方形边长为，则，，，在中，，解得：，正方形的面积为：． 4．（1）证明：如图1中，连接，． 四边形是菱形， ，， ，是等边三角形， ，， ， ， ， ； （2）解：．理由如下： 在线段上截取线段，使得． ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图③中，当点在线段上时， 延长到，使得，同理可得：，， ，， ， 设，则，， 在中，， ， ， ． 如图③中，当点在的延长线上时，同理得：． 设，则， 在中，， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或10． 5．（1）解：如图①，延长到点使，再连接， ，，， ， ， ， ， ； （2）证明：如图②，延长至，使，连接，， ，，， ， ， ，， ， 在中，，即； （3）解：，理由如下： 延长至使，连接， ，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 6．延长至，使得并连接． 是正三角形，且是顶角为的等腰三角形， ， ， 则， 在与中，， ， ， ， ， ， 则， 即， 在与中，， ， ，即， 的周长． 7．（1）证明：将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， 四边形是正方形， ，， ， 点、、三点共线， ， ， ， 在和中，， ， ； （2）解：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， ，， ， ， ， 五边形的周长． 8．解：（1）由图象的旋转知，，， ， ， ，， ， ， 即， 即； （2）将围绕点旋转到的位置，连接， 由（1）知，，则，， ， ，， ， ，， 在中，，，，则， 过点作交的延长线于点， 在中，，则，， 则； （3）①当时，则，则， 在等腰中，，则， 将围绕点旋转到所在的位置（点对应点，连接， 由（2）同理可得：， ， ，故， ， 设，则，则， 过点作交的延长线于点，则， 在中，，， 设，则，， 由得：， 将代入上式并解得：； 在中，，， 同理可得：， ，，故， 在中，，即， 解得（舍去负值），故， 则， ； ②当时， 对应①中的， 故； 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司 $$