（3）对角互补模型-【一战成名新中考】2025年中考数学中考必考知识点专题特训

对角互补模型 1．如图，是的对角线，点在上，，，则是　　 A． B． C． D． 2．如图，为等边三角形，以为边向形外作，使，再以点为旋转中心把旋转到，则下列结论：①、、三点共线；②平分；③；④，其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，正方形，点是对角线上一点，连接，过作，交于，连接交于，若，为中点，则下列结论： ①；②；③；④正方形的面积是16； 其中正确结论的个数是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，点、分别是正方形的边，上的动点（不与，，重合），且始终保持，，分别交于点，，以下四个结论：①；②；③当时，；④．其中正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，为等边三角形，以为边向外侧作，使得，再以点为旋转中心把沿着顺时针旋转至，则下列结论： ①、、三点共线；②为等边三角形；③平分；④，其中正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．如图，已知是矩形的对角线，，，点，分别在边，上，连结，．将沿翻折，将沿翻折，若翻折后，点，分别落在对角线上的点，处，连结．则　　． 7．如图，正方形的面积为16，对角线，相交于点，点，分别在边，上运动，，平分，与边交于点．则下列结论： ①； ②四边形的面积保持4不变； ③； ④的最小值为． 其中正确说法的序号是 　　．（把你认为正确的序号都填上） 8．如图所示，一个四边形纸片，，把纸片按如图所示折叠，使点落在边上的点，是折痕．如果，求的度数． 9．如图，四边形中，，平分，平分，、交于点，求证： （1）； （2）． 10．如图，点在第一象限的角平分线上，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上． （1）求点的坐标． （2）当绕点旋转时， ①的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． ②请求出的最小值． 11．在四边形中，，对角线平分． （1）如图1，若，且，试探究边、与对角线的数量关系为 　　； （2）如图2，若将（1）中的条件“”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由； （3）如图3，若，若，，求线段的长和四边形的面积． 12．（10分）如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的2倍．连接，分别与对角线交于点，． （1）若，，求的长； （2）求证；； （3）若，，求的长． 13．（10分）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”． （1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 　　（请填序号）； （2）在“完美”四边形中，，，连接． ①如图1，求证：平分； 小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分 想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分； 想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分． 请你参考上面的想法，帮助小明证明平分； ②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 14．在中，弦平分圆周角，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，且是的中点，的直径是，求的长． （3）是弦下方圆上的一个动点，连接和，过点作于点，请探究点在运动的过程中， 的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值． 15．在四边形中，的两边，分别交直线，于点，，已知，且，． （1）如图1，当全部位于四边形的内部时，试探究与，之间的数量关系．为了引发同学的思考，数学刘老师给出了此题的部分解法作为提示：证明：如图2，将绕点旋转到处． ，，，， ， ， ，，三点共线． 请你将上述证明过程补充完整，并写出结论； （2）如图3，当旋转到如图所示的位置时，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；如若不成立，请写出正确的结论，并证明． 16．（1）结合图1中的四边形，证明四边形的外角和是； （2）图2中在四边形中，平分，，为中点，求证：． 17．四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． （1）四边形为对角互补四边形，且，则的度数为 　　； （2）如图1，四边形为对角互补四边形，，． 求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，还可以知道、、三者关系为：　　； （3）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，试证明： ①平分； ②； （4）如图3，四边形为对角互补四边形，且满足，，则、、三者关系为：　　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 对角互补模型 1．A【解析】，，，，，，，，设的度数为，则：，，，，，． 2．D【解析】①设度，则度，度，故度，度，、、三点共线，故①正确；②绕着点按顺时针方向旋转得到，，，为等边三角形，，，，平分，故②正确；③，，．故③正确；④由旋转可知，又，．为等边三角形，．故④正确． 3．A【解析】四边形是正方形，，，，，、、、四点共圆，，，①正确；③正确；过作于，于，于，则、、三点共线，四边形是正方形，，，，，，四边形是正方形，，，在中，由勾股定理得：，解得：，，设， 则，，，，，在和中，，，，②正确；，为中点，，正方形的面积是，④正确. 4．A【解析】四边形是正方形，，，，，、、、四点共圆，，，故①正确，，，，故②正确，补充不用四点共圆的方法：由，推出，即，即可推出，推出，由此即可解决问题．当时，易证，，，，，故③正确，将绕点逆时针旋转至，，，，，，△，，，；故④正确． 5．A【解析】为等边三角形，，，，点为旋转中心把沿着顺时针旋转至，，即旋转角等于，，，，即，、、三点共线，所以①正确；，，为等边三角形，所以②正确；为等边三角形，，，平分，所以③正确；为等边三角形，，而点为旋转中心把沿着顺时针旋转至，，，，所以④正确． 6．2【解析】是矩形的对角线，，，，，，将沿翻折，将沿翻折，若翻折后，点，分别落在对角线上的点，处，，，． 7．①②③④【解析】正方形的对角线，相交于点，，，，又，，，，故①正确；与的面积相等，四边形的面积与的面积相等，又的面积等于正方形面积的四分之一，四边形的面积保持4不变，故②正确；如图所示，连接，平分，，又，，，，，，中，，，故③正确；，， 是等腰直角三角形，，当有最小值时，的值最小，是等腰直角三角形，当时，的最小值等于的一半，即的最小值等于2，的最小值为，故④正确． 8．解：由折叠可知：，， ， ，，， ， ， ， ，， ． 9．证明（1）四边形的内角和是， ， ， ； （2）平分，平分， ，， ， ， ， ． 10．解：（1）点在第一象限的角平分线上， ， ， ； （2）①不变． 过点作轴于，于． ，， 四边形是正方形， ， ． 在和中，， ， ， ， ②连接， ， ， ， ， ，当最小时，也最小． 根据垂线段最短原理，最小值为2， 的最小值为8． 11．解：（1），， ， 对角线平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）（1）中结论成立，理由如下： ， 以为顶点，为一边作，的另一边交延长线于点， 由（1）可得：， ， ， ， 为等边三角形， ， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）过点作交延长线于点， 对角线平分，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在中： ， ， ， ， ， ． 12．解：（1）正方形的周长是周长的2倍， ， ， 若，， 则； （2）如图，在的延长线上取点，使得， 在正方形 中，，， 在和中，， ， ，，， ， ， 在和中， ， ，，， ， ， ，， 即； （3）作于点，连接，， 在和中， ， 同理， ， ，，， 点，关于对称轴，， 关于对称， ，，，， ， 即是直角三角形， 若，则， ， ， ， 由轴对称可得， ， ， ， ； ， 由轴对称可得， ， ， ， ， 由勾股定理可得：， ，解得：． 13．解：（1）由“完美四边形”的定义可得正方形是“完美四边形”． （2） ①想法一：延长使，连接 ，， ， ， ． ． 即平分； 想法二：将绕点顺时针旋转，使边与边重合，得到， ． ； ； ． ， ． 点，，在一条直线上． ， 即平分 ② 理由如下： 延长使，连接， 由 ①得为等腰三角形． ， ， ． ． 14．证明：（1）如图1，连接交于点，连接，，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． 解：（2）如图2，连接，，，过点作于点， ， ，， ， ， 设，， 的直径是， ， ， ， 解得：， ，， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ． （3）解法一：如图3，延长至使得，连接，，连接，，连接交于点，连接， ，，，四点共圆， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ，，，四点共圆， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 解法二：如图4，在上截取，连接，，，， 弦平分圆周角， ， ， ， ， ，， ， 为的中线， ， ， ， ． 解法三：如图：连接，，，，将沿翻折得到△， ，， ， ， 由翻折得△， ，， ， ，，三点共线， ， ， ， 又， ， ， 比值不变，恒为． 15．（1）证明：如图2，将绕点旋转到处． ，，，， ， ， ，，三点共线． ， ， 即， ， ， 在和中，， ， ， 即与，之间的数量关系为． （2）当旋转到如图3所示的位置时，（1）中的结论不成立． 正确的结论为：． 证明：如图3，将绕点旋转到处． ，，，， ， ， ， ，，三点共线． ， ， 即， ， ． 在和中，， ， ， 即与，之间的数量关系为． 16．证明：（1），，，， ， 四边形的内角和是， ， 四边形的外角和是； （2）过点作交于点，过点作交延长线于点， ，， ， 平分， ， ， ， ， 为中点， ． 17．解：（1）四边形为对角互补四边形， ， ， ， ， ； （2）， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：； （3）①延长至，使，连接， 四边形为对角互补四边形， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 平分； ②，， ， ； （4）延长至，使，连接， 四边形为对角互补四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 过点作交于点， 为的中点， ， 在中，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$