（1）一线三等角模型-【一战成名新中考】2025年中考数学中考必考知识点专题特训

一线三等角模型 1．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积为（　　） A．4 B．5 C．9 D． 2．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，这样AD：CD＝1：3，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（　　） A． B． C． D． 4．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD＝1，BD＝2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕EF，点E、F分别在AC和BC上，若BF＝1.25，则AE＝（　　） A． B． C． D． 5．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为（　　） A．12 B．10 C．8 D．8+4 6．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，则AF的最小值是（　　） A．5 B． C． D．3 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，点E在∠C内部，且△ADE是等边三角形，∠CBE＝60°．若BC＝5，BE＝3，则△ABD的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知在四边形ABED中，点C是线段AB的中点，且∠A＝∠B＝∠DCE，BE＝2，AD＝8，那么AC＝　 　． 9．如图，等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D，E分别落在AB，BC上，AD＝5，连结CF，若CF平分∠ACB，则BE的长度为 　 　． 10．已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC上一点，CE⊥AD于E，若CE＝2，则S△BEC＝　 　． 11．如图，点M、N是边长为6的正△ABC的边AB、AC上的动点，将△AMN沿MN折叠，恰好使A点落在BC边上的D点处．若BD：CD＝2：3，则AM：AN的值为 　 　． 12．如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF． 应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和． 13．如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，CE垂直y轴于点E． （1）求证：△CDE∽△DAO； （2）直接写出点B和点C的坐标． 14．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，过点C（2，0）作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分． （1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式； （2）若△ACE的面积为11，求点E的坐标； （3）当∠CBE＝∠ABO时，点E的坐标为　 　． 15．如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点， 连接AP、PD，∠APD＝60°． （1）求证：①△ABP∽△PCD；②AP2＝AD•AC； （2）若PC＝2，求CD和AP的长． 16．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q． （1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE； （2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ． 17．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G． （1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； （2）连接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FC和FG的长． 18．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，点P在BC边上，当∠APD＝90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明） 探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B＝∠C＝∠APD时，求证：△ABP∽△PCD． 拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，BC＝6，BD＝4，则DE的长为　 　． 19．【模型建立】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，易证明△BEC≌△CDA（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB与y轴交点D，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B，D两点坐标； （2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l函数关系式为：y＝4x+4，它交y轴于点A，交x轴于点C，在x轴上是否存在点B，使直线AB与直线l的夹角为45°？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【模型拓展】（3）如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AC上，点E在BC上，CD＝2，分别连接BD，AE交于F点．若∠BFE＝45°，请直接写出CE的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一线三等角模型 1．B【解析】作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠AED＝∠DFC＝90°．∵ABCD为正方形，∴∠ADC＝90°．∴∠ADE+∠CDF＝90°．又∵∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠CDF＝∠DAE．在△ADE和△DCF中，∴△ADE≌△DCF（AAS），∴CF＝DE＝1．∵DF＝2，∴CD2＝12+22＝5，即正方形ABCD的面积为5． 2．A【解析】如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，∵直线l1∥l2∥l3，AD：CD＝1：3，∴AG：EG＝1：3，设AG＝1，EG＝3，∵∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACE＝90°，∵∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴CE＝BF，CF＝AE，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴AG＝1，BG＝EF＝CF+CE＝7，∴AB＝＝5，∵l2∥l3， ∴＝，∴DG＝CE＝，∴BD＝BG﹣DG＝7﹣＝，∴＝． 3．A【解析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠EBC＝∠ACF，∠BCE＝∠CAF，在△BCE与△CAF中，，∴△BCE≌△CAF（ASA），∴CF＝BE，CE＝AF，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴CF＝BE＝3，CE＝AF＝3+1＝4，在Rt△ACF中，∵AF＝4，CF＝3，∴AC＝＝＝5，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，∴＝，＝，解得CD＝，在Rt△BCD中，∵CD＝，BC＝5，∴BD＝＝＝． 4．C【解析】∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝3，∠A＝∠B＝∠C＝60°．由翻折的性质可知：∠EDF＝60°．∴∠FDB+∠EDA＝120°．∵∠EDA+∠AED＝120°，∴∠AED＝∠FDB．∴△AED∽△BDF．∴，即＝，解得：AE＝． 5．C【解析】∵小正方形的面积为1，∴小正方形的边长也为1，设BE＝x，CE＝y，∵∠AEB+∠CEF＝90°，而∠EFC+∠CEF＝90°，∴∠AEB＝∠EFC，又∵∠B＝∠C＝90°，AE＝EF＝4，∴△ABE≌ECF（AAS），∴AB＝EC＝y，BE＝CF＝x，∴由勾股定理可得x2+y2＝42，而同理可得∠EFC＝∠FGD，且∠C＝∠D＝90°，∴△ECF∽△FDG，∴，∴FD＝EC＝，∵AB＝CD，∴y＝x+y，∴y＝2x，将其代入x2+y2＝42中，于是可得x＝，y＝，而矩形ABCD的周长＝2（x+y）+2y＝5y＝5×＝8． 6．A【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，设BE＝x，则EC＝BC﹣BE＝4﹣x，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝180°﹣∠AEF＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECF，∴＝，∴＝，∴CF＝＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1，∴当x＝2时，CF最大＝1，此时DF最小＝DC﹣CF＝3，在Rt△ADF中，AF＝＝，∴当DF最小＝3时，AF取最小值，∴AF最小＝＝5，∴AF的最小值是5． 7．C【解析】如图，在BC的延长线上取点F，使∠AFD＝60°，∵△ADE是等边三角形，∴AD＝DE＝AE，∠ADE＝60°，∵∠ADB＝∠AFD+∠DAF＝∠ADE+∠EDB，∴∠DAF＝∠EDB，又∠CBE＝60°，∴∠AFD＝∠DBE＝60°，∴△AFD≌△DBE（AAS），∴FD＝BE＝3，AF＝BD，设CF＝x，则CD＝3﹣x，BD＝5﹣（3﹣x）＝x+2，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝90°，∴∠CAF＝90°﹣60°＝30°，∴AF＝2CF＝2x，∴2x＝x+2，∴x＝2，∴CF＝2，∴AC＝2，AF＝BD＝4，∴S＝4． 8．4【解析】∵∠A＝∠B＝∠DCE，∵∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD，∠BCE＝180°﹣∠DCE﹣∠ACD，∴∠ADC＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴＝，∵点C是线段AB的中点，∴AC＝BC，∴AC2＝AD•BE＝16，∴AC＝4． 9．2.5【解析】如图，在BC上截取EG＝BD，连接FG，∵△ABC和△DEF是等边三角形，∴DE＝EF，AB＝BC，∠DEF＝∠B＝∠ACB＝60°，∵∠DEC＝∠BDE+∠B＝∠DEF+∠FEG，∴∠BDE＝∠FEG，在△BED和△GFE中，，∴△BED≌△GFE（SAS），∴∠B＝∠EGF＝60°，BE＝FG，∵FC平分∠ACB，∴∠ACF＝∠ECF＝30°，∵∠EGF＝∠GFC+∠FCG，∴∠GFC＝∠GCF＝30°，∴FG＝CG＝BE，∵AB＝BC，BD＝EG，∴AD＝BE+CG＝2BE＝5，∴BE＝2.5． 10．2【解析】如图，过点B作BH⊥CE交CE的延长线于点H，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCH＝90°，∵BH⊥CE，∴∠BHC＝90°，∴∠HBC+∠BCH＝90°，∴∠HBC＝∠ACE，在△BHC与△CEA中，，∴△BHC≌△CEA（AAS），∴BH＝CE＝2，． 11．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，由翻折可知：∠MDN＝∠A＝60°，∴∠MDB+∠NDC＝120°，在△BDM中，∠MDB+∠BMD＝120°，∴∠BMD＝∠NDC，∴△BDM∽△CND，∵△ABC是边长为6的等边三角形，BD：CD＝2：3，∴BD＝2.4，CD＝3.6，∵△BDM∽△CND，∴BM：CD＝BD：CN＝DM：DN，∵AM＝MD，AN＝ND，BM＝6﹣AM，CN＝6﹣AN，∴（6﹣AM）：3.6＝2.4：（6﹣AN）＝AM：AN，∴3.6AM＝6AN﹣AN•AM①，2.4AN＝6AM﹣AM•AN②，①﹣②得，3.6AM﹣2.4AN＝6AN﹣6AM，即9.6AM＝8.4AN，∴AM：AN＝（8.4）：（9.6）＝7：8． 12．证明：（1）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC， ∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，且AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（ASA） （2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC， ∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，且AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（ASA） ∴S△ABE＝S△CAF， ∵CD＝2BD，△ABC的面积为15， ∴S△ACD＝10＝S△ABE+S△CDF． 13．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB，∠ADC＝90°， ∴∠ADO+∠CDE＝∠CDE+∠DCE＝90°， ∴∠DCE＝∠ADO， ∴△CDE∽△ADO． （2）解：∵△CDE∽△DAO， ∴＝＝， ∵OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1， ∴OA＝3，CD：AD＝， ∴CE＝OD＝2，DE＝OA＝1， ∴OE＝7， ∴C（2，7）， 利用平移的性质可得B（5，1）． 14．解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点， ∴，∴， ∴一次函数y＝kx+b的表达式为y＝x+6； （2）如图，设点E到x轴的距离为h， ∵A（﹣9，0），C（2，0）， ∴S△ACE＝AC•h＝×11h＝11， ∴h＝2，即点E的纵坐标为2， 记直线l与y轴的交点为D， ∵BC⊥l， ∴∠BCD＝90°＝∠BOC， ∴∠OBC+∠OCB＝∠OCD+∠OCB， ∴∠OBC＝∠OCD， ∵∠BOC＝∠COD， ∴△OBC∽△OCD， ∴， ∵B（0，6），C（2，0）， ∴OB＝6，OC＝2， ∴， ∴OD＝， ∴D（0，﹣）， ∵C（2，0）， ∴直线l的解析式为y＝x﹣， 当y＝2时，x﹣＝2， ∴x＝8， ∴E（8，2）； （3）如图，过点E作EF⊥x轴于F，连接BE， ∵∠ABO＝∠CBE，∠AOB＝∠BCE＝90° ∴△ABO∽△EBC， ∴， ∵∠BCE＝90°＝∠BOC， ∴∠BCO+∠CBO＝∠BCO+∠ECF， ∴∠CBO＝∠ECF， ∵∠BOC＝∠EFC＝90°， ∴△BOC∽△CFE， ∴， ∴， ∴CF＝9，EF＝3， ∴OF＝11， ∴E（11，3）． 15．（1）证明：①在等边三角形△ACB中，∠B＝∠C＝60°， ∵∠APD＝60°，∠APC＝∠PAB+∠B， ∴∠DPC＝∠PAB， ∴△ABP∽△PCD； ②∵∠PAC＝∠DAP，∠C＝∠APD＝60°， ∴△ADP∽△APC， ∴， ∴AP2＝AD•AC； （2）解：∵△ABP∽△PCD，AB＝AC＝3， ∴， ∴CD＝＝， ∴AD＝3﹣＝， ∵等边三角形△ACB的边长为3，PC＝2，AP2＝AD•AC， ∴AB＝3，BP＝1， ∴AP＝， ∴CD＝． 16．证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC． ∵AP＝AQ， ∴BP＝CQ． ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE． 在△BPE和△CQE中，， ∴△BPE≌△CQE（SAS）； （2）∵∠BEF＝∠C+∠CQE，∠BEF＝∠BEP+∠DEF，且∠C＝∠DEF＝45°， ∴∠CQE＝∠BEP， ∵∠B＝∠C， ∴△BPE∽△CEQ， 17．解：（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM， ∵∠AMD＝∠B+∠D，∠BGM＝∠DMG+∠D 又∠B＝∠A＝∠DME＝α ∴∠AMF＝∠BGM， ∴△AMF∽△BGM， （2）连接FG， 由（1）知，△AMF∽△BGM， ∴， ∵M是线段AB中点， ∴AB＝4，AM＝BM＝2， ∵BG＝，∠α＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AC＝BC＝4，CF＝AC﹣AF＝1， ∴CG＝4﹣， ∴由勾股定理得FG＝． 18．解：感知：∵∠APD＝90°， ∴∠APB+∠DPC＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠APB+∠BAP＝90°， ∴∠BAP＝∠DPC， ∵AB∥CD，∠B＝90°， ∴∠C＝∠B＝90°， ∴△ABP∽△PCD． 探究：∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠CPD， ∴∠BAP+∠B＝∠APD+∠CPD． ∵∠B＝∠APD， ∴∠BAP＝∠CPD． ∵∠B＝∠C， ∴△ABP∽△PCD， 拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE， ∴， ∵点P是边BC的中点， ∴BP＝CP＝3， ∵BD＝4， ∴， ∴CE＝， ∵∠B＝∠C＝45°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°， 即AC⊥AB且AC＝AB＝6， ∴AE＝AC﹣CE＝6﹣＝，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2， 在Rt△ADE中，DE＝＝＝． 故答案为：． 19．解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于E， ∵点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0）， ∴OC＝2，OA＝4， ∵等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC， 又∵BE⊥y轴，y轴⊥x轴， ∴∠BEC＝∠AOC＝∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACO＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ACO＝∠CBE， 在△CEB和△AOC中，， ∴△CEB≌△AOC（AAS）， ∴BE＝OC＝2，CE＝AO＝4， ∴OE＝CE﹣OC＝4﹣2＝2， ∴B（﹣2，2）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵A（4，0），B（﹣2，2）， ∴，∴， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+， ∵AB与y轴交点D， ∴D（0，）； （2）存在符合条件的点B．理由如下： ①点B在x轴负半轴上，如图2， 过点C作CD⊥AC，交AB于点D，过点D作DE⊥x轴于点E， ∵∠BAC＝45°，∠ACD＝90°， ∴CA＝CD， ∵∠DEC＝∠ACD＝∠ACO＝90°， ∴∠BCD+∠ACO＝90°，∠BCD+∠CDE＝90°， ∴∠ACO＝∠CDE， ∴△CED≌△AOC（AAS）， ∴DE＝OC＝1，CE＝AO＝4， ∴OE＝5， ∴D（﹣5，1）， 设直线AD的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0）， ∵A（0，4），D（﹣5，1）， ∴，解得：， ∴直线AD的解析式为y＝x+4， ∴B（﹣，0）； ②点B在x轴正半轴上，如图3， 过点C作CD⊥AC交AD于点D，过点D作DE⊥x轴于点E， ∵∠BAC＝45°，∠ACD＝90°， ∴CA＝CD， ∵∠DEC＝∠ACD＝∠AOC＝90°， ∴∠BCD+∠ACO＝90°，∠BCD+∠CDE＝90°， ∴∠ACO＝∠CDE， ∴△CED≌△AOC（AAS）， ∴DE＝OC＝1，CE＝AO＝4， ∴OE＝3， ∴D（3，﹣1）， 设直线AD的解析式为y＝k2x+b2（k2≠0）， ∵A（0，4），D（3，﹣1）， ∴，解得：， ∴直线AD的解析式为y＝﹣x+4， ∴B（，0）； 综上所述，B（﹣，0）或（，0）； （3）如图4，过点E作EG∥BD，过点A作AG⊥EG于G，过点G作GH⊥x轴于H，过点A作AM⊥GH于M， 则∠AMG＝∠AGE＝∠EHG＝90°， ∵EG∥BD， ∴∠AEG＝∠BFE＝45°， ∴△AEG是等腰直角三角形， ∴AG＝GE， ∵∠GEH+∠EGH＝90°，∠AGM+∠EGH＝90°， ∴∠AGM＝∠GEH， 在△AGM和△GEH中，， ∴△AGM≌△GEH（AAS）， ∴AM＝GH，GM＝EH， ∵∠AMG＝∠EHG＝∠ACH＝90°， ∴四边形ACHM是矩形， ∴AM＝CH，MH＝AC＝6， ∴GH＝CH＝AM， 设AM＝CH＝GH＝t，则GM＝EH＝6﹣t， ∴CE＝EH﹣CH＝6﹣2t， ∴E（6﹣2t，0），G（﹣t，t）， 设直线EG的解析式为y＝mx+n， 则，解得：， ∴直线EG的解析式为y＝x+， 设直线BD的解析式为y＝m′x+n′， ∵BC＝8，CD＝2， ∴B（8，0），D（0，2）， ∴，解得：， ∴直线BD的解析式为y＝﹣x+2， ∵EG∥BD， ∴＝﹣， 解得：t＝， 经检验，t＝是原方程的解， 当t＝时，6﹣2t＝6﹣2×＝， ∴E（，0）， ∴CE＝． 学科网（北京）股份有限公司 $$