分类讨论与数形结合思想-【一战成名新中考】2025年中考数学中考必考知识点专题特训

分类讨论思想与数形结合思想 【题型汇总】 类型一 分类讨论思想 【考情分析】分类讨论作为一种重要的数学思想方法，近年来在中考数学中频繁出现，并逐渐成为考试的热点与难点. 从考情来看，分类讨论题在中考中往往占据较高的分值，且多出现在试卷的压轴题部分，对学生的逻辑思维能力和综合分析能力提出了较高的要求. 这类试题不仅能考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，还能有效地评估学生的思维深刻性和严谨性. 因此，命题者青睐于此，希望通过这类试题实现对学生能力的全面考查和区分.从解题策略方面来看，学生在面对分类讨论题时，首先需要明确分类的标准，确保分类的全面性和不重不漏. 其次，要熟练掌握各类数学概念和定理的分类形态，以便快速准确地确定分类依据.此外，培养良好的思维习惯，注重解题过程的条理性和逻辑性，也是成功解决分类讨论题的关键. 综上所述，分类讨论在中考数学中占据重要地位，考生应在平时的学习中加强对分类讨论思想的理解和应用，通过大量的练习提高解决此类问题的能力，以便在中考中取得优异成绩. 题型01 去绝对值，分类讨论 1．数轴上表示数的点到原点的距离，叫作数的绝对值，记作．如果，则的值为（    ） A．2024 B． C． D． 2．已知，，且，则的值为（　　） A． B．或 C．或 D．或 3．点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（    ） A．或1 B．或2 C． D．1 题型02 系数变化，分类讨论 4.已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为 ． 5．若关于的方程有实数根，则的取值范围为 ． 6．若函数的图象与 x 轴只有一个交点，那么m的值为 ． 题型03 取值范围变化，分类讨论 7．如果函数的自变量x的取值范围是，相应的函数值的范围是，求此函数的解析式是 ． 8．当自变量时，函数（k为常数）的最小值为，则满足条件的k的值为 ． 9．当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 10．已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ． 11．已知二次函数，在上有最大值6，则m的值为 ． 题型04 大小不明，分类讨论 12．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若，则x的值是（    ） A．5 B．5或 C．或 D．5或 13．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较大的数，例如．按照这个规定，方程的解为（    ） A． B．x=1 C．或 D． 题型05 题目中未给出图形，分类讨论 14．已知一条直线上有三点，线段的中点为，，线段的中点为，，则线段的长为 ． 15．已知，，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是______． 题型06 已知两个三角形全等/相似，分类讨论 16．已知正方形中，．动点P以每秒1个单位速度从点B出发沿线段方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从A点出发沿正方形的边方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．连接，当以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等时，则t为 ． 17．如图，在矩形中，，点P从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以的速度沿边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当点Q运动2秒时，的面积是 ；当v为 时，与全等． 18．如图，矩形中，，E是边上的点，，连接，P是边上的动点，过点P作交边于点Q (1)如图1，求证：； (2)如图2，若点H是线段上的点，P是的中点，连接，若平分，求证：； (3)如图3，当点P在边上运动时，设，若点H在直线的下方，线段经过点E，那么，是否存在实数x，使以P，Q，H为顶点的三角形与全等？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由． 19．如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ． 20．如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 21．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与y轴交于点，连接． (1)如图1，求的值及直线的解析式； (2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点．当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，且点的横坐标小于2，在坐标轴上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型07 已知等腰三角形两边/两角，分类讨论 22．等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 23．若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是 ． 24．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则此三角形顶角度数为 ． 题型08 已知圆中两弦的长度求两弦距离，分类讨论 25．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 26．在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm． 题型09 与图形变化有关的分类讨论问题 25．如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形的面积分别是1与2，正方形沿轴向右平移，若平移后正方形与正方形重叠部分的面积为，则点移动后的坐标是 ． 26．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D四个点都在格点上．若正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 27．如图，在平面直角坐标系中，是的一条直径，已知点和点，点是上的一个动点，当线段截所得的三角形与相似时，点的坐标为 ． 题型10 特殊三角形存在性问题 28．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图，过原点O的直线与反比例函数 的图象交于，两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点． (1)求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出x的取值范围； (2)在y轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．   30．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求直线及抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值． 题型11 特殊平行四边形存在性问题 31．如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 32．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 33．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． (1)求，，的值； (2)若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值； (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 类型二 数形结合思想 【考情分析】数形结合思想作为数学解题的重要方法，在中考数学中占据着举足轻重的地位. 它通过将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使复杂问题简单化，抽象问题直观化，从而有效考查学生的逻辑思维能力和解题技巧. 数形结合思想在中考数学中具有重要地位，它不仅是一种有效的解题方法，更是培养学生数学思维能力的重要手段. 因此，在中考备考过程中，学生应加强对数形结合思想的理解和应用，提高自己的综合解题能力.教师在教学过程中，也应注重对数形结合思想的渗透和训练，帮助学生掌握这一重要的数学思想方法. 题型01 绝对值转数轴 1．函数的最小值为3，则a的值为 ． 2．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 3．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．   ⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？ ⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，． ∵的几何意义是线段与的长度之和 ∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时 ∴的最小值是3． ⑶.解决问题： ①.的最小值是 ； ②.利用上述思想方法解不等式： ③.当为何值时，代数式的最小值是2． 4．阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点O的距离，叫做这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上有理数2的点到原点O的距离；另外观察数轴，容易发现有理数2表示的点到原点O的距离是2个单位长度，所以（如图1）．同样的，数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示；观察数轴，容易发现表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度，从而得到：（如图2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： (1)填空：数轴上表示3的点和表示的点之间的距离为______； (2)若，求所表示的有理数． (3)设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴解答下列问题： ①代数式有最小值吗？有最大值吗？若有，请求出相应的最值． ②若，求的值． 题型02 二次根式转勾股 5. 如图，一条河流的段长为，在B点的正北方处有一村正A，在D点的正南方处有一村庄E，计划在上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置； (2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求的最小值为___________； (3)结合（1）（2）问，请求出下列代数式的最小值： ①的最小值； ②的最小值． 6．阅读理解：如何根据坐标求出两点之间的距离？ 如图，在坐标系中，，构造，则，， ∴ 若，，则 ∴ 这就是两点间的距离公式，例如， ∴ (1)根据上述材料，老师让同学们求代数式的最小值． 小明同学的思路是：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离． 请完成如下填空： 作点B关于x轴的对称点（____，___），当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得=______________， ∴的最小值是_____________． (2)借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式： ①最小值． ②的最大值． 题型03 方程转函数图象 7．“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（  ） A． B． C．D． 9．“数形结合”是一种重要的数学思想．八上教材中，我们曾用函数观点看方程也就是利用一次函数的图像求解二元一次方程组．类似的，学习了一次函数和反比例函数之后，我们也可以将方程的解的研究转化为已学函数图像交点的问题． (1)方程的解可以转化为一次函数和反比例函数的图像交点问题，请直接写出一对符合要求的和的函数表达式； (2)利用“数形结合”，不解方程，借助下面平面直角坐标系，判断方程的解的个数； (3)关于的方程（为非零常数，其中）的根的情况，下列经论中正确的是（   ） A．一个实数根 B．二个实数根 C．三个实数根 D．无实数根 题型04 匹克公式的应用 10．皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，则内部的格点个数是（    ） A．266 B．270 C．271 D．285 11．定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；一个三角形的顶点若全是整点，这个三角形就叫做格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：（其中是三角形内部格点数目，是三角形边上格点数目） (1)如图1，边上共有个格点，内部有个格点，则______； (2)如图2，平面直角坐标系中，点，，，已知的内部比边上多个格点，求内部有多少个格点． 题型05 利用数形结合解决函数问题 12．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 13．【问题情境  建构函数】 （1）如图1，在矩形中，是的中点，，垂足为．设，试用含的代数式表示． 【由数想形  新知初探】 （2）在上述表达式中，与成函数关系，其图像如图2所示．若取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像． 【数形结合  深度探究】 （3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形．其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号） 【抽象回归  拓展总结】 （4） 若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是__________；一般地，当取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．   题型05 构建几何图形 14．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A． B．﹣1 C． D． 15．创新题推荐阅读理解题请阅读下列材料，完成相应的任务： 著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题．比如有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下： 如图①，在直线上任取两点，，分别过点，作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，，且点，位于直线的同侧，连接，，交于点，过点作直线，则线段的长度就是并联后的电阻值． 证明：，，， 又，∽（依据1），（依据2）． 同理可得：，，， ，即：． 任务：(1)上面证明过程中的“依据”和“依据”分别是谁： 依据1：______； 依据2：______． (2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表千欧）画出表示该电路图中总阻值的线段长． (3)受以上作图法的启发，小明提出了已知和，求的一种作图方法，如图④，作，使，，过点作的垂线，并在垂线上截取，使点与点在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． 16．［材料阅读] 用数形结合的方法，可以探究的值，其中． 例求的值． 方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知 的结果等于该正方形的面积， 即． 方法2：借助函数和的图象，观察图②可知 的结果等于，，，…，…等各条竖直线段的长度之和， 即两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为1， 所以，．    【实践应用】 任务一   完善的求值过程． 方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知______． 方法2：借助函数和的图象，观察图④可知 因为两个函数图象的交点的坐标为______， 所以，______． 任务二   参照上面的过程，选择合适的方法，求的值． 任务三   用方法2，求的值（结果用表示）． 【迁移拓展】 长宽之比为的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形． 观察图⑤，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 分类讨论与数形结合思想 【题型汇总】 类型一 分类讨论思想 【考情分析】分类讨论作为一种重要的数学思想方法，近年来在中考数学中频繁出现，并逐渐成为考试的热点与难点. 从考情来看，分类讨论题在中考中往往占据较高的分值，且多出现在试卷的压轴题部分，对学生的逻辑思维能力和综合分析能力提出了较高的要求. 这类试题不仅能考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，还能有效地评估学生的思维深刻性和严谨性. 因此，命题者青睐于此，希望通过这类试题实现对学生能力的全面考查和区分.从解题策略方面来看，学生在面对分类讨论题时，首先需要明确分类的标准，确保分类的全面性和不重不漏. 其次，要熟练掌握各类数学概念和定理的分类形态，以便快速准确地确定分类依据.此外，培养良好的思维习惯，注重解题过程的条理性和逻辑性，也是成功解决分类讨论题的关键. 综上所述，分类讨论在中考数学中占据重要地位，考生应在平时的学习中加强对分类讨论思想的理解和应用，通过大量的练习提高解决此类问题的能力，以便在中考中取得优异成绩. 题型01 去绝对值，分类讨论 1．（2024·云南红河·模拟预测）数轴上表示数的点到原点的距离，叫作数的绝对值，记作．如果，则的值为（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握这一意义是关键．根据几何意义知，在原点左右两边的两个数，到原点的距离均为2024，从而可得x的值． 【详解】解：由于， 则原点左右两边的两个数，到原点的距离均为2024， 所以； 故选：C． 2．（2024益阳市三模）已知，，且，则的值为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的绝对值，有理数的减法法则，绝对值的非负性，正确理解绝对值的含义是解题的关键．由绝对值的意义可得，由绝对值的非负性可知，于是可得x，y的值，再计算即可求解． 【详解】解：，， ， 又 ， 则或， 或， 故选：D． 3．（2020·内蒙古·中考真题）点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（    ） A．或1 B．或2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据绝对值的几何意义列绝对值方程解答即可． 【详解】解：由题意得：|2a+1|=3 当2a+1＞0时，有2a+1=3，解得a=1 当2a+1＜0时，有2a+1=-3，解得a=-2 所以a的值为1或-2． 故答案为A． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义列出绝对值方程并求解是解答本题的关键． 题型02 系数变化，分类讨论 4．（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为 ． 【答案】或 【分析】直接利用完全平方公式求解． 【详解】解：∵代数式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：或 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键． 5．（2023·安徽宿州·一模）若关于的方程有实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分当时和当两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当，即时，此时关于的方程为， 解得，方程有实数根； 当，即时，此时关于的方程若有实数根， 则有， 解得． 综上所述，当时，关于的方程有实数根． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和一元二次方程的根的判别式，利用分类讨论的思想分析问题是解题关键． 6．（2024商丘市会考）若函数的图象与 x 轴只有一个交点，那么m的值为 ． 【答案】0,2,-2 【分析】当m=0时，函数为一次函数满足题意，当m≠0时，函数为二次函数，此时△=0，可求得m的值. 【详解】解:①当m=0时,函数为y=2x+1，此时图象与x轴有一个交点； ②当m≠0时,函数y=mx+ (m+2)x+m+1的图象是抛物线, 若抛物线的图象与x轴只有一个交点,则方程mx+ (m+2)x+m+1=0只有一个根, 即△=0，可得△=(m+2)-4m(m+1)=0, 解得=2，=-2. 综上可得m的值为0,2,-2. 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识,解答本题的关键是对函数中m的值进行分类讨论,此题难度不大,但是很容易出现错误. 题型03 取值范围变化，分类讨论 7．如果函数的自变量x的取值范围是，相应的函数值的范围是，求此函数的解析式是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，分时，根据一次函数的增减性得到当时，，当时，，当时，根据一次函数的增减性得到当时，，当时，，据此利用待定系数法讨论求解即可． 【详解】解：当时，则y随x增大而增大， ∵当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴此函数解析式为； 当时，y随x增大而减小， ∵当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴此函数解析式为； 综上所述，此函数解析式为或， 故答案为：或． 8．（2021·四川自贡·中考真题）当自变量时，函数（k为常数）的最小值为，则满足条件的k的值为 ． 【答案】 【分析】分时，时，时三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：①若时，则当时，有，故， 故当时，有最小值，此时函数， 由题意，， 解得：，满足，符合题意； ②若，则当时，， 故当时，有最小值，此时函数， 由题意，， 解得：，不满足，不符合题意； ③若时，则当时，有，故， 故当时，有最小值，此时函数， 由题意，，方程无解，此情况不存在， 综上，满足条件的k的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，绝对值的性质，分类讨论是解题的关键． 9．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 当即时，一次函数y随x的增大而减小， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 综上，或， 故选：A 10．（2022·吉林长春·中考真题）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解． 【详解】解：， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 若，当时，y随x的增大而减小， 此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意， 若，当时，函数值y最小，最小值为1， ∴， 解得：或（舍去）； 综上所述，a的值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 11．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数，在上有最大值6，则m的值为 ． 【答案】0 【分析】分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到关于m的方程，解方程求得m的值，看是否符合题意即可． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为：，抛物线开口向上， ①当，即时， 可得时，y取最大值6， ∴ ∴（舍去）； ②当，即， 若，y取最大值6， ∴， 解得； 若时，y取最大值6， ∴， 解得：； ③当，即时， 可得时，y取最大值6， ∴， 解得：（舍去）， 综上：m的值为0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键． 题型04 大小不明，分类讨论 12．（2023·贵州遵义·二模）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若，则x的值是（    ） A．5 B．5或 C．或 D．5或 【答案】B 【分析】根据题意进行分类讨论，当时，可得，求出x的值即可；当时，可得求出x的值即可． 【详解】解：当时，则， ∴，即， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时，则， ∴，即， 解得：（不符合题意，舍去），， 综上：x的值是5或， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． 13．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较大的数，例如．按照这个规定，方程的解为（    ） A． B．x=1 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤是：去分母（含有分母的一元一次方程），去括号，移项，合并同类项，系数化1．分大于，小于两种情况化简方程，求出解即可． 【详解】解：当，即时，方程变形得：， 解得； ， 符合题意； 当，即时，方程变形得：， 解得， ， 不符合题意； 方程，的解为1， 故选：B． 题型05 题目中未给出图形，分类讨论 14．已知一条直线上有三点，线段的中点为，，线段的中点为，，则线段的长为 ． 【答案】80 或20 【分析】根据题意画出图形，①C在AB中间，②C在AB外，再利用中点的知识可求出答案． 【详解】解：①由题意得：PB＝AB＝50，BQ＝BC＝30， ∴PQ＝PB＋BQ＝80； ②CQ＝BC＝30，CP＝BC－BP＝60－50＝10， ∴PQ＝CQ－CP＝20． 故答案为80或20． 【点睛】本题考查线段中点的知识，有一定难度，关键是讨论C点的位置． 15．已知，，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是______． 【答案】或(25°或45°) 【分析】分①在的外部，②在的内部两种情况，利用角平分线的定义、角的和差进行求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： ①如图，当在的外部时， 平分，且， ， 同理可得：， 则； ②如图，当在的内部时， 同理可得：，， 则； 综上，的度数是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，正确分两种情况讨论是解题关键． 题型06 已知两个三角形全等/相似，分类讨论 16．（2024·江苏·模拟预测）已知正方形中，．动点P以每秒1个单位速度从点B出发沿线段方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从A点出发沿正方形的边方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．连接，当以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等时，则t为 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质．分五种情况，结合全等三角形的性质得到关于t的方程，即可求解． 【详解】解：当Q在上时，如图所示： 此时， ∴，即， 解得； 当Q在边上时，有两个位置，如图所示： 若Q靠近点D，则， ∴，即， 解得； 若Q靠近点C，则， ∴，即， 解得； 当Q在边上时，如图所示： 此时， ∴，即，解得， 因为当点P与点Q相遇时停止运动， 所以，所以不合题意； 当P、Q在上重合时，和全等，如图所示： ∴此时． 故答案为：或或或． 17．（2024·海南·模拟预测）如图，在矩形中，，点P从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以的速度沿边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当点Q运动2秒时，的面积是 ；当v为 时，与全等． 【答案】 16 2或 【分析】根据题意可得，再利用三角形面积公式求解即可；分两种情况：当，时，，当，时，，先分别求得t的值，进而求解即可求解． 【详解】解：由题意得，当点Q运动2秒时，， ∴； 当，时，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 解得， 当，时，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 解得， 综上所述，当或时，与全等， 故答案为：16；2或． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 18．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，矩形中，，E是边上的点，，连接，P是边上的动点，过点P作交边于点Q (1)如图1，求证：； (2)如图2，若点H是线段上的点，P是的中点，连接，若平分，求证：； (3)如图3，当点P在边上运动时，设，若点H在直线的下方，线段经过点E，那么，是否存在实数x，使以P，Q，H为顶点的三角形与全等？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或4 【分析】本题主要考查了相似三角形的证明、相似三角形的判定于性质、矩形的性质、解直角三角形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据矩形的性质、平行线的性质即可证明结论； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义可得，则，再说明，最后运用即可证明结论； （3）先说明，再分和两种情况分别运用全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点解得即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴， ∵P是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵是直角三角形，要使以 P，Q，H 为顶点的三角形与全等，则是公共的对应边，与是对应角， ∴， ①当时， 对应，对应， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 在 中， ， ∴，解得：； ②当时， 对应，对应，则， ∴.， ∴四边形是矩形， ∵线段经过点E， ∴点Q与点B 重合，此时，， ∴． 综上所述，当或4时，以 P，Q，H 为顶点的三角形与全等． 19．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ． 【答案】8或 【分析】本题考查相似三角形的判定，正方形的性质，关键是要分两种情况讨论．由余角的性质推出，当时，，当时，，两种情况下，分别求出的长，即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ． 当时，， ， ， 当时，， ， ， 以点，，为顶点的三角形与相似，那么的长是8或． 故答案为：8或． 20．（22-23九年级上·河南漯河·期末）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【答案】3或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是分或两种情况运用相似三角形的判定定理解题即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 综上，或， 故答案为：3或． 21．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与y轴交于点，连接． (1)如图1，求的值及直线的解析式； (2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点．当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，且点的横坐标小于2，在坐标轴上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2)点坐标为或 (3)存在，理由见解析 【分析】（1）由待定系数法求解即可得到答案； （2）证明，得到，即可求解； （3）当点在轴时，以、、为顶点的三角形与相似，存在、两种情况，利用解直角三角形的方法即可求解；当点在轴上时，同理可解． 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点， 把代入得，即抛物线的解析式为； 抛物线与轴交于点（点在点左侧），， 当时，，解得或 ， 直线过、， 设直线 ， 将、代入得：，解得：， 直线的解析式为； （2）解：分别过点、点作轴的平行线，交直线于点和点，如图所示： 设点，，则， 当时，， ，， ， ， ， ，则， ，解得，， 点坐标为或； （3）解：存在， 理由如下： 由题意得，点；由点、、的坐标得，，， ∴ 则，则，，， 当点在轴时，如图所示： 以、、为顶点的三角形与相似， 当时，则，得，则点； 当时，此时，点、重合且符合题意，故点； 当点在轴上时，只有，则，则点， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、三角形相似的判定与性质、解直角三角形、面积的计算等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合题型解法，尤其注意分类求解是解题的关键． 题型07 已知等腰三角形两边/两角，分类讨论 22．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 23．（2024·江苏·模拟预测）若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是 ． 【答案】17 【分析】根据偶次方、算术平方根的非负性可得：，从而可得，然后分两种情况：当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时；当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时，从而进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时， ∴的周长； 当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时， ∵， ∴不能组成三角形； 综上所述：的周长是17， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，偶次方，算术平方根的非负性，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 24．（2024·四川达州·模拟预测）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则此三角形顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的内容，要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解．解决等腰三角形的问题时分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， ， 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即，    此时， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 题型08 已知圆中两弦的长度求两弦距离，分类讨论 25．（2020·青海·中考真题）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【答案】7或1． 【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案． 【详解】解：分两种情况考虑： 当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，    过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA， ∵AB∥CD，∴OE⊥AB， ∴E、F分别为CD、AB的中点， ∴CE=DE=CD=3cm，AF=BF=AB=4cm， 在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm， 根据勾股定理得：OF=3cm， 在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm， 根据勾股定理得：OE═4cm， 则EF=OEOF=4cm3cm=1cm； 当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示， 同理可得EF=4cm+3cm=7cm， 综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm． 故答案为：7或1． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 26．（2022·黑龙江牡丹江·二模）在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm． 【答案】或 【分析】根据题意，分析两种AB的位置情况进行求解即可； 【详解】解：①如图，AB//CD，过点O作 在中 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵AB//CD ∴AB与CD之间的距离即GH ∴AB与CD之间的距离为 ②如图，作，连接AD 则有四边形PEFD是矩形， ∴EF=PD ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：或 【点睛】本题主要圆的性质、三角形的全等，勾股定理，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键． 题型09 与图形变化有关的分类讨论问题 25．（22-23七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形的面积分别是1与2，正方形沿轴向右平移，若平移后正方形与正方形重叠部分的面积为，则点移动后的坐标是 ． 【答案】或 【分析】先由题意得出两个正方形的边长，然后再由平移后的正方形沿x轴向右平移与正方形重叠部分的面积为，分两种情况进行讨论，即可得出所求点的坐标． 【详解】∵正方形与正方形的面积为1和2 ， ∴ 设平移后的正方形为 分两种情况： 如图1， 当在正方形中点时，重叠部分的面积为 此时，则 如图2，当在中点时，重叠部分的面积为 此时，则 故答案为：或 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化平移，运用分类讨论、数形结合是解题的关键． 26．（2024·山西大同·二模）如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D四个点都在格点上．若正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了中心位似图形，根据正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，即可得出答案，掌握中心位似图形的定义是解题的关键． 【详解】解：如图：    由图可知，点， ∵正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴点或， 故选：C． 27．（2024·江西上饶·二模）如图，在平面直角坐标系中，是的一条直径，已知点和点，点是上的一个动点，当线段截所得的三角形与相似时，点的坐标为 ． 【答案】，或 【分析】本题考查了圆的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、坐标与图形，由题意得出，半径，分三种情况：作轴于点交于，此时；作轴于，交于，此时；作交轴于，交于，此时；分别利用相似三角形的性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：点和点，是的一条直径， ，，， ， 半径， 如图，作轴于点交于， ， 则，， ， ，， ， ； 作轴于，交于，则，， ， ，， ， ； 作交轴于，交于，则，， ， 作于，则， ，， ， ， ， ，， ，， ，， ； 综上所述，点的坐标为，或， 故答案为：，或． 题型10 特殊三角形存在性问题 28．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：    此时； ②当在第一象限，在第四象限时，   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 29．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，过原点O的直线与反比例函数 的图象交于，两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点．    (1)求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出x的取值范围； (2)在y轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，或 (2)点M的坐标为或或或 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式及等腰三角形，熟知待定系数法及利用分类讨论的数学思想是解题的关键． （1）将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k，利用数形结合的思想即可求出x的取值范围． （2）先求出点C坐标，再根据分类讨论的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，将A点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数的解析式为． 由函数图象可知，在直线和之间的部分及直线右侧的部分， 反比例函数的图象在一次函数的图象的上方，即． 所以x的取值范围是：或． （2）将代入反比例函数解析式得， 所以点C的坐标为． 则． 如图：    当时， ， 所以点坐标为(或． 当时，点在的垂直平分线上， 又因为点C坐标为， 所以点坐标为． 当时，点M在OC的垂直平分线上， 过点作轴于点， 令，则，， 在N中， 即， 解得． 所以点M的坐标为． 综上所述：点M的坐标为或或或． 30．（2023·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．    (1)求直线及抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】(1)直线的解析式为；抛物线解析式为 (2)存在，点M的坐标为或 或 (3) 【分析】（1）根据对称轴，，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可； （2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；②当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标； （3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，， ∴， 将代入直线，得， 解得， ∴直线的解析式为； 将代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）存在点， ∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点． ∴当时，， ∴， ①当时， 设直线的解析式为，将点A坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组， 得或， ∴点M的坐标为； ②当时， 设直线的解析式为，将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组， 解得或， ∴点M的坐标为 或 综上，点M的坐标为或 或； （3）如图，在上取点，使，连接， ∵， ∴， ∵，、 ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长， ∵， ∴， ∴的最小值为．    【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键． 题型11 特殊平行四边形存在性问题 31．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形 (3)存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或． 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，可得a=-1，再把点代入，即可求解； （2）先求出，设点N（m，-m+3），可得，，再分三种情况讨论：当AC=AN时，当AC=CN时，当AN=CN时，即可求解； （3）设点E（1，n），点F（s，t），然后分两种情况讨论：当BC为边时，当BC为对角线时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得：a=-1， ∵抛物线过点， ∴，解得：c=3， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下： 令y=0，则， 解得：， ∴点A的坐标为（-1，0）， ∴OA=1， 当x=0时，y=3， ∴点C的坐标为（0，3），即OC=3， ∴， 设直线BC的解析式为， 把点B（3，0），C（0，3）代入得： ，解得：， ∴直线BC的解析式为， 设点N（m，-m+3）， ∴MN=-m+3，AM=m+1， ∴，， 当AC=AN时，， 解得：m=2或0（舍去）， ∴此时点N（2，1）； 当AC=CN时，， 解得：或（舍去）， ∴此时点N； 当AN=CN时，， 解得：， ∴此时点N； 综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形； （3）解：存在，理由如下： ∵点B（3，0），C（0，3）， ∴OB=OC， ∴BC， 设点E（1，n），点F（s，t）， 当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图， ∴或， 解得：或， ∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）； 当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图， ，解得：或， ∴此时点F的坐标为或； 综上所述，存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键是解题的关键． 32．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）存在； 当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 33．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． (1)求，，的值； (2)若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值； (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，根据平行四边形的性质，分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况，分别利用中点坐标公式列方程组求解即可； （3）设点，则，，利用相似三角形的性质得，进而解方程得，则，利用待定系数法求得直线的表达式为，联立方程组得，根据题意，方程有且只有一个实数根，利用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入中，得，则， 将代入中，得，则， ∴， 将代入中，得，则； （2）解：设，由（1）知， 若，，，为顶点的四边形为平行四边形，分以下情况： 当为对角线时，则，解得， ∴，则； 当为对角线时，则，解得， ∴，则； 当为对角线时，依题意，这种情况不存在， 综上所述，满足条件的点的坐标为或，； （3）解：如图，设点，则，， 若，则，即， ∴，即， 解得， ∵，∴，则， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组，得， ∵有且只有一点， ∴方程有且只有一个实数根， ∴，解得； 由题意，不存在， 故满足条件的k值为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合、反比例函数与几何的综合，涉及待定系数法、相似三角形的性质、平行四边形的性质、坐标与图形、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论思想求解是解答的关键． 类型二 数形结合思想 【考情分析】数形结合思想作为数学解题的重要方法，在中考数学中占据着举足轻重的地位. 它通过将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使复杂问题简单化，抽象问题直观化，从而有效考查学生的逻辑思维能力和解题技巧. 数形结合思想在中考数学中具有重要地位，它不仅是一种有效的解题方法，更是培养学生数学思维能力的重要手段. 因此，在中考备考过程中，学生应加强对数形结合思想的理解和应用，提高自己的综合解题能力.教师在教学过程中，也应注重对数形结合思想的渗透和训练，帮助学生掌握这一重要的数学思想方法. 题型01 绝对值转数轴 1．（2024·四川成都·三模）函数的最小值为3，则a的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的定义，是指一个数到0的距离，根据函数的最小值为3，得出在和的之间，且是和的之间的距离为3，列式，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴根据绝对值的意义，是指到和到的距离之和 ∵函数的最小值为3， ∴此时在和的之间，且是和的之间的距离为3 即 ∴ ∴或 故答案为：或． 2．（2022·贵州黔东南·中考真题）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由题意画出数轴，然后根据数轴上的两点距离可进行求解． 【详解】解：如图，由可得：点、、分别表示数、2、，． 的几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，． 取得最小值时，的取值范围是； 故选C． 【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离，解题的关键是利用数形结合思想进行求解． 3．（2020·四川自贡·中考真题）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．   ⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？ ⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，． ∵的几何意义是线段与的长度之和 ∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时 ∴的最小值是3． ⑶.解决问题： ①.的最小值是 ； ②.利用上述思想方法解不等式： ③.当为何值时，代数式的最小值是2． 【答案】①6；②或；③或 【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值； ②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可； ③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可． 【详解】解：(3)①设A表示的数为4，B表示的数为-2，P表示的数为x， ∴表示数轴上的点P到4的距离，用线段PA表示， 表示数轴上的点P到-2的距离，用线段PB表示， ∴的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值为AB， 且线段AB的长度为6， ∴的最小值为6. 故答案为：6. ②设A表示-3，B表示1，P表示x， ∴线段AB的长度为4，则， 的几何意义表示为PA+PB， ∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB， ∴P不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧， 即不等式的解集为或． 故答案为：或． ③设A表示-a，B表示3，P表示x， 则线段AB的长度为， 的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值， ∴ ∴或， 即或； 故答案为：或. 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，以及数学常识，掌握绝对值的几何意义，学会分类讨论是解决本题的关键． 4．（2025福田区一模）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点O的距离，叫做这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上有理数2的点到原点O的距离；另外观察数轴，容易发现有理数2表示的点到原点O的距离是2个单位长度，所以（如图1）．同样的，数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示；观察数轴，容易发现表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度，从而得到：（如图2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： (1)填空：数轴上表示3的点和表示的点之间的距离为______； (2)若，求所表示的有理数． (3)设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴解答下列问题： ①代数式有最小值吗？有最大值吗？若有，请求出相应的最值． ②若，求的值． 【答案】(1)8 (2)1或5 (3)①5②或 【分析】本题考查数轴上的两点间的距离，绝对值的意义，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）直接根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）求出数轴上与3距离为2的点表示的数即可； （3）①根据绝对值的意义，得到表示数轴上数到数和数的距离之和，进而得到当在和4之间时，距离和最小为到4的距离，计算即可； ②分在的左侧和在的右侧，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：8； （2）解：所表示的有理数为或； （3）①因为表示数轴上数到数和数的距离之和， 所以当在和4之间时最小为：； 数表示的点在数表示的点的左侧或数表示的点的右侧时，数表示的点到数和数表示的点的距离和大于5， 所以有最小值5； ②当在的左侧时，，解得：； 当在右侧时，，解得：； 综上：或． 题型02 二次根式转勾股 5. 如图，一条河流的段长为，在B点的正北方处有一村正A，在D点的正南方处有一村庄E，计划在上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置； (2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求的最小值为___________； (3)结合（1）（2）问，请求出下列代数式的最小值： ①的最小值； ②的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①25；② 【分析】本题考查了勾股定理的应用，考查了数形结合的思想，读懂题意，将已知式子转换为相应的图形进行解答是本题的关键． （1）直接根据两点之间线段最短，连接，交于点即可； （2）如图所示，过点作，交延长线与点，连接交于，根据平行线间间距相等得到，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）①仿照（2）构造，设 则，同理求出的长即可得到答案；②将转换为，构造，设 则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，点即为所作： 根据两点之间线段最短可知，连接交于点C，点C即为所求； （2）解：如图所示，过点作，交延长线与点，连接交于， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴由（1）的结论可知的最小值为， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）解：①如图所示，，过点作，交延长线与点，连接交于， 设 则， 同理可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴由（1）的结论可知的最小值为， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴， ∴的最小值为； ②如图所示，，过点作，交延长线与点，连接交于， 设 则， 同理可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴由（1）的结论可知的最小值为， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴， ∴的最小值为； ∵， ∴的最小值为． 6．阅读理解：如何根据坐标求出两点之间的距离？ 如图，在坐标系中，，构造，则，， ∴ 若，，则 ∴ 这就是两点间的距离公式，例如， ∴ (1)根据上述材料，老师让同学们求代数式的最小值． 小明同学的思路是：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离． 请完成如下填空： 作点B关于x轴的对称点（____，___），当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得=______________， ∴的最小值是_____________． (2)借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式： ①最小值． ②的最大值． 【答案】(1)0，；13；13 (2)①10；② 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题． （1）根据题目提供的思路解答即可； （2）①按照（1）的思路解答即可； ②若不在同一条直线上可构成一个三角形，则有，当在同一条直线上则有故可得结论 【详解】（1）解：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离． 作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得， ∴的最小值是13． 故答案为：0，；13；13； （2）解：①如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离． 作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于， 由两点间的距离公式得， ∴的最小值是10． ②表示, 若点不在直线上，则在中，有， 若点在直线上时，有， 故原代数式的最大值即为线段的长度，当且仅当点在直线上， 此时，, 即的最大值为 题型03 方程转函数图象 7．（2025·上海徐汇·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 根据抛物线只经过两个象限，且抛物线开口向上，得出最小值大于等于，即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为， 拋物线只经过两个象限， ， ， 故选：A． 8．（2024·云南昆明·模拟预测）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方， ∴关于的不等式的解集是． 在数轴上表示的解集，只有选项C符合， 故选：C． 9．（2024·江苏淮安·模拟预测）“数形结合”是一种重要的数学思想．八上教材中，我们曾用函数观点看方程也就是利用一次函数的图像求解二元一次方程组．类似的，学习了一次函数和反比例函数之后，我们也可以将方程的解的研究转化为已学函数图像交点的问题． (1)方程的解可以转化为一次函数和反比例函数的图像交点问题，请直接写出一对符合要求的和的函数表达式； (2)利用“数形结合”，不解方程，借助下面平面直角坐标系，判断方程的解的个数； (3)关于的方程（为非零常数，其中）的根的情况，下列经论中正确的是（   ） A．一个实数根B．二个实数根 C．三个实数根D．无实数根 【答案】(1)， (2)个 (3)A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题， （1）将方程两边同时除以得：即可； （2）将方程方程两边同时除以得：，分情况画图即可得出结论； （3）将方程方程转化为，结合图形即可得出结论； 能正确的将方程转化为两个函数表达式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵且， ∴方程两边同时除以得：， ∴，； （2）∵且， ∴方程两边同时除以得：， 令，， 画图可得： ∴由此可知：方程的解有个； （3）∵（为非零常数，其中） ∴方程两边同时除以得：， ∴， 令，， ∵为非零常数，其中 ∴，， ∴一次函数的图像是一条直线，经过一、二、四或二、三、四象限， 画图可得： 或 ∴关于的方程只有一个实数根． 故选：A． 题型04 匹克公式的应用 10．（2023·湖北武汉·中考真题）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，则内部的格点个数是（    ） A．266 B．270 C．271 D．285 【答案】C 【分析】首先根据题意画出图形，然后求出的面积和边界上的格点个数，然后代入求解即可． 【详解】如图所示，    ∵，， ∴， ∵上有31个格点， 上的格点有，，，，，，，，，，共10个格点， 上的格点有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19个格点， ∴边界上的格点个数， ∵， ∴， ∴解得． ∴内部的格点个数是271． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握数形结合的数学思想． 11．定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；一个三角形的顶点若全是整点，这个三角形就叫做格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：（其中是三角形内部格点数目，是三角形边上格点数目） (1)如图1，边上共有个格点，内部有个格点，则______； (2)如图2，平面直角坐标系中，点，，，已知的内部比边上多个格点，求内部有多少个格点． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，坐标与图形的性质，格点三角形的面积公式，解题的关键是掌握相关的知识． （1）由题意得，，再代入中计算即可； （2）由点，，可求出，再根据内部比边上多个格点，和格点三角形的面积公式列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解： 边上共有个格点，内部有个格点， ，， ， 故答案为：； （2）， 由题意得：， 解得：， 内部有个格点． 题型05 利用数形结合解决函数问题 12．（2023·云南·中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 【分析】（1）分与两种情况讨论论证即可； （2）当时，不符合题意，当时，对于函数，令，得，从而有或，根据整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，从而有或或或或或或或，解之即可． 【详解】（1）解：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得， ∴一次函数与轴的交点为； 当时，，函数为二次函数， ∵， ∴ ， ∴当时，与轴总有交点， ∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点； （2）解：当时，不符合题意， 当时，对于函数， 令，则， ∴， ∴或 ∴或， ∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数， ∴或或或或或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去）， ∴或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是解题的关键． 13．（2023·江苏连云港·中考真题）【问题情境  建构函数】 （1）如图1，在矩形中，是的中点，，垂足为．设，试用含的代数式表示．    【由数想形  新知初探】 （2）在上述表达式中，与成函数关系，其图像如图2所示．若取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．    【数形结合  深度探究】 （3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形．其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号） 【抽象回归  拓展总结】 （4）若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是__________；一般地，当取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）． 【答案】（1）；（2）取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称，见解析；（3）①④；（4），见解析 【分析】（1）证明，得出，进而勾股定理求得，即，整理后即可得出函数关系式； （2）若为图像上任意一点，则．设关于原点的对称点为，则．当时，可求得．则也在的图像上，即可得证，根据中心对称的性质补全函数图象即可求解； （3）根据函数图象，以及中心对称的性质，逐项分析判断即可求解； （4）将（1）中的4换成，即可求解；根据（2）的图象探究此类函数的相关性质，即可求解． 【详解】（1）在矩形中，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴，∴． ∵，点是的中点，∴． 在中，， ∴．∴． ∴关于的表达式为：． （2）取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称． 理由如下： 若为图像上任意一点，则． 设关于原点的对称点为，则． 当时， ． ∴也在的图像上． ∴当取任意实数时，的图像关于原点对称． 函数图像如图所示．    （3）根据函数图象可得①函数值随的增大而增大，故①正确， ②由(1)可得函数值，故函数值的范围为，故②错误； ③根据中心对称的性质，不存在一条直线与该函数图像有四个交点，故③错误； ④因为平行四边形是中心对称图形，则在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形，故④正确； 故答案为：①④． （4）关于的函数表达式为； 当取任意实数时，有如下相关性质： 当时，图像经过第一、三象限，函数值随的增大而增大，的取值范围为； 当时，图像经过第二、四象限，函数值随的增大而减小，的取值范围为； 函数图像经过原点； 函数图像关于原点对称； 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，中心对称的性质，根据函数图象获取信息，根据题意求得解析式是解题的关键． 题型05 构建几何图形 14．（2020·贵州遵义·中考真题）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A． B．﹣1 C． D． 【答案】B 【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝， 故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形. 15．（2024·四川乐山·模拟预测）创新题推荐阅读理解题请阅读下列材料，完成相应的任务： 著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题．比如有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下： 如图①，在直线上任取两点，，分别过点，作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，，且点，位于直线的同侧，连接，，交于点，过点作直线，则线段的长度就是并联后的电阻值． 证明：，， ， 又， ∽（依据1）， （依据2）． 同理可得：， ， ， ， 即：． 任务： (1)上面证明过程中的“依据”和“依据”分别是谁： 依据1：______； 依据2：______． (2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表千欧）画出表示该电路图中总阻值的线段长． (3)受以上作图法的启发，小明提出了已知和，求的一种作图方法，如图④，作，使，，过点作的垂线，并在垂线上截取，使点与点在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)依据1：两组角对应相等的两个三角形相似；依据2：相似三角形的对应边成比例 (2)见解析 (3)小明的方法正确，证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由相似三角形的判定与性质可得出答案； 在上取点，使，在上取点使，连接，交于点，过点作于点，则可得出答案； 证明 ，得出，求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）证明：，， ， 又， （两组角对应相等的两个三角形相似， （相似三角形的对应边成比例． 故答案为：两组角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例； （2）解：如图，线段表示的长． 在上取点，使，在上取点，使，连接，交于点，过点作于点， 则线段为所求线段； （3）解：小明的方法正确． 理由：， ， ， ， ， ， 由题意可知，，， ， ， ， ， ． 16．（2023·山东潍坊·中考真题）［材料阅读] 用数形结合的方法，可以探究的值，其中． 例求的值． 方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知 的结果等于该正方形的面积， 即． 方法2：借助函数和的图象，观察图②可知 的结果等于，，，…，…等各条竖直线段的长度之和， 即两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为1， 所以，．    【实践应用】 任务一   完善的求值过程．    方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知______． 方法2：借助函数和的图象，观察图④可知 因为两个函数图象的交点的坐标为______， 所以，______． 任务二   参照上面的过程，选择合适的方法，求的值． 任务三   用方法2，求的值（结果用表示）． 【迁移拓展】 长宽之比为的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形． 观察图⑤，直接写出的值．    【答案】任务一，方法1：；方法2：，；任务二，；任务三，；[迁移拓展] 【分析】任务一，仿照例题，分别根据方法1，2进行求解即可； 任务二，借助函数和得出交点坐标，进而根据两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为2，即可得出结果； 任务三  参照方法2，借助函数和的图象，得出交点坐标，即可求解； [迁移拓展]观察图⑤第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，……进而得出则的值等于长宽之比为的矩形减去1个面积为的正方形的面积，即可求解． 【详解】解：任务一，方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知 故答案为：． 方法2：借助函数和的图象，观察图④可知 因为两个函数图象的交点的坐标为， 所以， ． 故答案为：，． 任务二：参照方法2，借助函数和的图象，， 解得： ∴两个函数图象的交点的坐标为， ． 任务三  参照方法2，借助函数和的图象，两个函数图象的交点的坐标为， ∴ [迁移拓展]根据图⑤，第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，…… 则的值等于长宽之比为的矩形减去1个面积为1的正方形的面积， 即 【点睛】本题考查了一次函数交点问题，正方形面积问题，理解题意，仿照例题求解是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$