真实情境题-【一战成名新中考】2025年中考数学中考必考知识点专题特训

真实情境题 1．杭州湾跨海大桥是跨越杭州湾的便捷通道，大桥建成后宁波至上海的陆路距离缩短了约．其中的数学道理是　　 A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．线与线相交得到点 D．点动成线 2．为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为　　（结果精确到，参考数据：，， A． B． C． D． 3．荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形，，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是　　 A． B． C． D． 4．如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架，交于它们的中点，液压杆．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．某公司有四个部门：、、、，需要选择会议室，部门、、、需要的会议室数量分别为2、3、4、5个．会议室的编号为1至15号，电梯口左右两侧分别是单数编号的会议室和双数编号的会议室，如图所示．每个部门在选择会议室时，只能选择相邻的会议室，并且所选会议室的编号之和尽可能小．如果部门先选，它选择了1号和2号会议室，接着部门选择了3号、5号、7号会议室，要使部门、都能选到会议室，则接下来应该让　　（填或者部门选．如果部门首先选择会议室，要使其他三个部门都能选到会议室，写出一种满足条件的选择会议室的先后顺序　　． 6．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点是运行轨道的最低点，则点到弦的距离为 　　． 7．如图1，新移栽的树苗需要用木杆支撑，这种做法应用的数学知识为　　，如图2，笔直的树苗，支撑木杆长为1.3米，已知支撑木杆与地面的夹角为时支撑效果最好，此时木杆底端离树苗根部的距离应为　　米． 8．如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径为5米，则圆心到水面的距离为 　　米． 9．建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升2米后水面宽度为　　米． 10．问题背景：数轴是解决数学问题很好的工具，数形结合的方法可以直观解决很多问题．如图（1），将一根木棒放在数轴（单位长度为上，木棒左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合，若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端点移动到点时，它的右端点在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端点移动到点时，它的左端点在数轴上所对应的数为6，由此可以直观发现这根木棒的长度为． 问题解决：一天，丽丽去问奶奶的年龄，奶奶说：”我若是你现在这么大，你还要32年才出生；你若是我现在这么大，我就106岁啦”根据对话请你用数轴直观求得奶奶现在的岁数为　　岁． 11．簪花在我国已有两、三千年的历史．热爱传统文化的涵涵购买了若干支丁香花、海棠花、玉兰花用于手工制作三款簪花头饰各一套（每款均用到三种花）．已知每款簪花中海棠花的用量等于玉兰花用量．款丁香花用量为3枝，款丁香花用量比款丁香花用量少2枝；款中玉兰花的用量为2枝，款玉兰花的用量是它的丁香花用量的3倍；制作完成后统计发现，三款簪花丁香花的总用量与玉兰花总用量比为．已知每款簪花成本等于所用花朵成本之和．若每枝丁香花、海棠花、玉兰花的成本分别是元、元、元，则款簪花的成本是 　　元（用含、、的代数式表示）．若款簪花的成本为49元，款簪花的成本为63元，则款簪花的成本是 　　元． 12．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的点固定，点从向处滑动，压柄可绕着转轴旋转．已知，．当托板与压柄夹角时，如图，点从点滑动了，此时连接杆的长度是 　　．（参考数据：，，（结果保留根号） 13．周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有、、、、、六个展馆，各展馆参观所需要的时间如表，其中展馆和展馆设有特定时间段的专业讲解，若明明准备进科技馆，离开（各展馆之间转换时间忽略不计）． （1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完　　个展馆； （2）若、展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序 　　． 展馆 专业讲解 无 每半小时一场，共3场 无 无 每1小时一场，共2场 无 参观所需时间（分钟） 60 30 45 15 60 90 14．珠海市某中学举行秋季校运动会．如图1，跑道内圈是由长为87米的两条直道和半径为36米的两条半圆弧跑道组成．内道第1跑道长：米．跑道分为8道，每条跑道宽1.2米．（注跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度） （1）400米分跑道划线时，终点线设置在分界线处（如图1和图．为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上（如图中，，，，那么各外圈跑道起跑线较相邻内圈跑道起跑线依次应向前延伸多少米？（结果保留 （2）米接力赛的第三接力区一般都在弯道上，画接力区线的方法通常用固定基准点放射式丈量法，此方法需要用到圆心角的相关量（如图1和图．已知第六跑道内侧线米，试计算的大小（结果保留． 15．如图1，商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套，方便拿取．小欣同学深受启发，准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套．（说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度）． （1）小欣家直身杯的杯口直径为，她要制作高度为的杯套，则此杯套的面积 为　　（结果保留； （2）小欣发现阔口杯近似为圆台形状（即一个大圆锥截去一个小圆锥后余下的部分），如图3①所示，通过测量，杯子上口径，下底面直径，母线长、均为．为了制作此杯套，小欣进行了以下探究： ①如图3②，小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分，且，请证明这个结论，并求出所对的圆心角的度数； ②现有一张矩形杯套材料，如图4②所示，，，为了充分利用材料，请在图4②的矩形中画出杯套侧面展开图示意图（杯套示意图无拼接），并直接写出用该材料制作此阔口杯套的母线的最大长度． 16．淇淇在商场买了一块机械手表，爱钻研的淇淇发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型（点和点是表带的两端，点，，，在同一条线段上）． （1）已知表盘直径为，，若是中点，求的长度； （2）在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”（此时与重合）．时针为，淇淇一看现在正好是，如图3所示． ①求时分针和时针夹角的度数； ②作射线，使，求此时的度数； （3）如图4所示．自之后，始终是的角平分线（分针还是，在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，的度数是． 17．生活中经常需要测量一些不可直接测量的距离、长度问题，例如下面的两个问题．在教材例题的学习中，我们可以体会到数学知识和“转化”思想在指导生活、解决生活中的重要应用价值，这也启发我们在数学学习中需要注意挖掘例题、习题的教育价值、应用价值，从例题中总结出解决问题的思想方法．如图，为了求出位于湖两岸两个特殊位置之间的距离，两名观测者给出了两种测量方案． 方案1：构造直角三角形．一名观测者在岸边点处设桩，使△恰好为直角三角形．请计算的长度； 方案2：构造全等三角形．另一名观测者在岸边取一个可以直接到达和的点，连结并延长到，使．连结并延长到，使．连结．请证明． 18．为响应眉山市委市政府创建“全国卫生城市”的工作，某乡镇拟在两个村庄、与两条公路、附近修建一个垃圾中转站，要求垃圾中转站到两条公路、的距离相等，到两个村庄、的距离也相等并且运送距离和最短，那么点应选在何处？请在图中，用尺规作图作出符合条件的点．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 19．北京天坛，原名“天地坛”，是中国现存最大的古代祭祀性建筑群．天坛内坛由圜丘、祈谷坛、斋宫三组古建筑群组成，某数学兴趣小组想测量圜丘坛（图最下层圆形石坛的直径，先画出直径再直接测量不太可能，先测量周长再计算直径也比较麻烦，研讨后他们自制了一个直角曲尺，制定了测算方案并画出了示意图． 直角曲尺的短边长为，在测量时，用直角曲尺的长边贴紧圆形石坛的边缘，并使短边与圆形石坛的边缘接触，此时长边与圆形石坛的接触点记为点，量得的长为，示意图如图2所示． 请根据以上信息计算圜丘坛最下层圆形石坛的直径． 20．【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，，，且，，，在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． （1）求，两点间的距离； （2）求该条待建环山路的长度（结果保留． 21．日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线上，△为等边三角形，，与分别交于，两点．点，是上两点，，过作于点，交于点，交于点．已知，，． （1）求的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 22．根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买保洁物品 问题背景 自《义务教育劳动课程标准年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套． 素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元． 素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 23．为了保护视力，某人购买了可升降夹书阅读架（图，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图，测得面板长为，底座高为，，支架为，为．（厚度忽略不计） （1）求支点离桌面的高度（结果保留根号）； （2）通过查阅资料，当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，， 24．综合与探究 问题情境：迎泽大桥位于汾河之上，被誉为“华北第一桥”．2024年迎泽大桥维修加固，于9月份正式通车，谱写了新太原汾河建桥史上光辉的乐章．周末，小晋、小阳和小韵相约打卡迎泽大桥． 已知迎泽大桥全长970米．如图，小晋从迎泽大桥的东端（记为点出发向迎泽大桥西端（记为点方向匀速行走，速度为100米分，同时小阳从点出发向点方向匀速行走，速度为94米分，设小阳行走的时间为分钟． 数学思考：（1）在上述行走过程中，小晋距点的距离为 　　米，小阳距点的距离为 　　水（均用含的式子表示）； 解决问题：（2）求小晋与小阳相遇时的值； （3）小韵在小阳出发2分钟时，骑自行车以188米分的速度从点出发向点骑行，到达点后立即停止． ①小韵能否在小晋和小阳相遇前追上小阳？如果能，请求出相应的的值；如果不能，请说明理由； ②小晋与小阳相遇后，小晋立即调头以小阳原来的速度与小阳一起向点行走，到达点时立即停止行走．在小韵骑行的整个过程中，当小韵与小晋或小阳之间的距离为141米时，的值为 　　． 25．在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂．从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． （1）如图1，在正方形中，为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与相切； （2）如图2，在正方形中，，，，分别与相切于点，，，且，，求的半径； （3）如图3，半径为1的在边长为4的正方形内任意移动，在其任意移动的过程中，所移动过的最大区域面积为 　　． 26．为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图．为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（其中，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米．以为原点建立平面直角坐标系，解决问题： （1）求水柱所在抛物线的解析式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处安装护栏，若护栏高度为1.25米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； （3）河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上； ①河水离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ ②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为米，喷水口离地平面的最小高度随着的变化而变化，直接写出与的关系式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 真实情境题 1．A【解析】大桥建成后宁波至上海的陆路距离缩短了约．其中的数学道理是两点之间线段最短． 2．A【解析】如图，作于，地面于，，，车轮半径为，，，，坐垫离地面高度约为． 3．B【解析】由题知，，，所以，即该环形荷花装饰挂画的面积是． 4．D【解析】等长的支架，交于它们的中点，，，，，，，． 5．D【解析】（1）如果部门先选，它选择了1号和2号会议室，接着部门选择了3号、5号、7号会议室，若接下来让部门选，它会选择4号、6号、8号、10号会议室，此时剩下的会议室没有5个相邻的，则部门不能选上会议室，不符合题意；若接下来让部门选，它会选择4号、6号、8号、10号、12号会议室，最后让部门选，它会选择9号、11号、13号、15号会议室，则部门、都能选到会议室，符合题意； （2）如果部门首先选择会议室，由题意可知，它会选择1号、2号、4号、6号会议室， 下面分3种情况讨论：①接下来让部门选，它会选择3号、5号会议室，若接下来让部门选，它会选择7号、9号、11号会议室，此时剩下的会议室没有5个相邻的，则部门不能选上会议室，不符合题意；若接下来让部门选，它会选择7号、9号、11号、13号、15号会议室，最后让部门选，它会选择8号、10号、12号会议室，则部门、、都能选到会议室，符合题意；②接下来让部门选，它会选择3号、5号、7号会议室，此时剩下的会议室没有5个相邻的，则部门不能选上会议室，不符合题意；③接下来让部门选，它会选择3号、5号、7号、9号、11号会议室，若接下来让部门选，它会选择8号、10号会议室，此时剩下的会议室没有3个相邻的，则部门不能选上会议室，不符合题意； 若接下来让部门选，它会选择8号、10号、12号会议室，最后让部门选，它会选择13号、15号会议室，则部门、、都能选到会议室，符合题意；综上所述，满足条件的选择会议室的先后顺序为或． 6．2米【解析】如图，连接、，交于点，由题意得：米，，（米，，（米，（米． 7．三角形的稳定性，0.65【解析】新移栽的树苗需要用木杆支撑，这种做法应用的数学知识为三角形的稳定性，由题意得，，米，，，米. 8．3【解析】过作于，连接，如图所示，则（米，在△中，由勾股定理得：（米，即圆心到水面的距离为3米． 9．【解析】当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，将点代入得：，解得，抛物线解析式为，当时，，解得，当水面上升2米后水面宽度为（米． 10．60【解析】将奶奶与丽丽的年龄差看成是木棒的长，丽丽出生对应数轴的原点，则奶奶与丽丽的年龄差为，丽丽年龄为（岁，奶奶年龄为（岁． 11．，79【解析】设款簪花中丁香花用量为枝，款簪花中海棠花用量为枝．款簪花中三种花的用量分别为：丁香花3枝，海棠花2枝，玉兰花2枝；款簪花中三种花的用量分别为：丁香花枝，海棠花枝，玉兰花枝；款簪花中三种花的用量分别为：丁香花枝，海棠花枝，玉兰花枝．三款簪花丁香花的总用量为（枝，三款簪花玉兰花总用量为枝，根据题意，得，经整理，得，和均为正整数，，，款簪花中丁香花3枝、海棠花9枝、玉兰花9枝，款簪花中丁香花5枝、海棠花2枝、玉兰花2枝．款簪花的成本是元；根据题意，得，②①，得，解得③，将③代入①，得，解得，款簪花的成本是（元． 12．【解析】如图，过点作于点．在△中，，，，，，，，在直角三角形中，由勾股定理得：． 13．（1）4；（2）【解析】（1）准备进科技馆，离开，共有3个小时时间参观，分钟，分钟，明明最多可以参观完4个展馆； （2）根据、展馆必须参观，时间为90分钟，还有90分钟，所以可以选择．请给出最合理的参观顺序：． 14．解：（1） ； 答：各外圈跑道起跑线较相邻内圈跑道起跑线依次应向前延伸米； （2）（米， ． 答：的大小为． 15．（1）解：根据题意得； （2）证明：①设与所对的圆心角为， 的长，， ， 杯子上口径，下底面直径， 的长，的长，， ， 解得，， ， 解得， 即所对的圆心角的度数为； ②如图，， 连接，作于点，交于点，交于点， 则，，， ，， ， ， ， ， ， 母线的最大长度为． 16．解：（1）是中点， ， ； ； ； ； ， 即的长度为； （2）①分针的速度为（每分）； 时针的速度为（每分）； 30分钟时针走的路程为，即时针从8点到分走的路程为， ， 即时分针和时针夹角的度数为； ②当在内部时，， ； 当在外部时，． 即的度数为或； （3）设经过时间为分钟，时针与分针得速度差为， ， 平分， ， 或， 解得或． 17．方案1，解：由勾股定理得到：； 方案2，证明：在△和△中，， △△， ． 18．解：如图所示：点即为中转站． 作线段的垂直平分线， 两条公路的夹角的平分线， 两条线相交于点． 19．解：如图，连接，过点作于点．设 ． 是的切线， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， 在△中，， ， 解得． 所以圆形石坛的直径． 20．解：（1）如图，连接，过点作，垂足为点． ， ，， 在△中，， ， ， ， 所以，两点之间的距离为； 答：，两点之间的距离为； （2）如图，连接， ，， ， 在△中，， 的长， 答：待建环山路的长度为． 21．解：（1），， ， ， ， ， 如图，连接， 设的半径， ， 在△中，， 解得， 即的半径为； （2）△为等边三角形， ，， ， ，， ， 在△中，， 解得（负值舍去）， ， ， ． 22．解：任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元． 根据题意得：，解得， 所以毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元， 答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元； 任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条， 购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元， 方案一：， 解得， 由题意得， ， ， 方案二：， 解得， 方案二不符题意，舍去． 所以学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条， 答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条． 23．解：（1）如图2，作于点，于点， ，， 在△中，， ， 支点离桌面的高度为； （2）当面板与桌面夹角从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度随之增加，增加了，理由如下： 如图3，延长交于点，，过作于点， ，， ， ①当时，在△中， ， ， ， ； ②当时，在△中， ， ， ， ， ， 答：当面板与桌面夹角从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度随之增加，增加了． 24．解：（1）根据题意可知小晋距点的距离为米； 迎泽大桥全长970米，小阳从点出发，速度为94米分，行走时间为分钟， 小阳距点的距离为米， 故答案为：；； （2）当小晋与小阳分钟相遇时， 可得， 整理得， 解得； （3）①小韵能在小晋和小阳相遇前追上小阳，理由如下： 小韵在小阳出发2分钟时才从点出发，此时小阳已经走了 188（米， 设小韵出发分钟后追上小阳，此时小阳行走的时间为分钟， 小韵的速度为188米分，小阳速度为94米分， 得， ， 188， ， 解得， 小阳行走的总时间分钟， 小晋与小阳相遇时分钟，， 小韵能在小晋和小阳相遇前追上小阳，此时； ②分情况讨论： 情况一：小韵在未追上小阳时，与小阳距离为141米， 小阳先走2分钟，走了米，设小韵出发分钟后与小阳距离为141米， 则， ， 解得， 此时； 情况二：小韵追上小阳后，与小阳距离为141米， 设小韵出发分钟后与小阳距离为141米， 则， 141， 解得， 此时， 故答案为：2.5或5.5． 25．（1）证明：过点作于点，如图， 四边形为正方形， ，， 为等腰直角三角形， ， ． 的半径为正方形边长的一半， 为的半径， 点到的距离等于圆的半径， 与相切； （2）解：连接，如图， 四边形为正方形，， ，． ，，分别与相切于点，，， ，，， ， ， 是的垂直平分线， ， 点在的垂直平分线上， 点，，在一条直线上， ， ， ， 的半径为1； （3）解：设与正方形的切于点，与切于点，连接，，如图， 与正方形的切于点，与切于点， ，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 半径为1的在边长为4的正方形内任意移动， 所移动过的最大区域面积为正方形的面积减去4个直角顶点处的空白部分的面积， 所移动过的最大区域面积． 26．解：（1）由题意得，二次函数的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为，二次函数经过原点， ， 解得， 该二次函数的解析式为； （2）水柱不能喷射到护栏上，理由如下： 当时， ， 水柱不能喷射到护栏上； （3）①河道坝高米，坝面的坡比为（其中， ， 即， 则点与原点的水平距离为， 点的坐标为， 又点的坐标为， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 解得（不合题意，舍去），， 当，时，， 即河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上； ②将抛物线向上平移米，则可得新的抛物线解析式为， 当坝中水面离地平面距离为米，则坝面截线与水面截线的交点的纵坐标为，如图， 结合坝面的坡比为， 根据①中求解点坐标的方法同理可求出点的坐标为，， 点在抛物线的图象上， ， 整理得， 即与的关系式为． 学科网（北京）股份有限公司 $$