直线型（三角形、四边形、多边形）几何综合题-【一战成名新中考】2025年中考数学中考必考知识点专题特训

直线型（三角形、四边形、多边形）几何综合题 1．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向左平移，得到三角形，与交于点，连接． （1）分别求和的度数； （2）若，，求图中阴影部分的面积； （3）已知点在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 2．如图，在矩形中，，连接，过点作，垂足为，延长交于点，连接． （1）若，求的长； （2）若，求的值； （3）过点作且，连接交射线于点，若△为等腰三角形，求此时的长． 3．【提出问题】 如图1，在中，于点，于点．求证：△△； 【问题探究】 如图2，在四边形中，，是的中点，是上的一点，连接，．若，．求证：； 【拓展延伸】 如图3，在四边形中，，是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出的长为 　　． 4．已知△，延长到，使，是上方一点，连接，，且有，连接． （1）如图1，求证：△为等腰三角形； （2）若，已知，，在直线下方作，并有，连接交，于点，点． ①如图2，若，请猜想并证明线段与的数量关系； ②如图3，若，，求线段的长度（用含、的式子表示）． 5．【阅读理解】如图1，在△中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决思路： 延长到点，使，连接． 根据可判定△△，得， 进而，在△中利用三角形的三边关系求得的取值范围． 感悟：当条件中出现“中点”条件时，可以考虑作“辅助线”，构造以中点分成的两条等线段为边的全等三角形，把分散的已知条件重新“集中”，以解决问题． 【问题解决】 （1）上述问题中，的取值范围是　　； （2）如图2，△中，，是中点，连接，求证：． （3）如图3，在△中，，是边的中点．，交于点，交于点，连接，若，，求的长度． 6．（1）【课本再现】课本习题13.3中有这样一道题，如图1，，平分，求证． （2）【类比分析】小文同学发现，当角平分线与平行线结合，可以得到等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系． 请用小文的发现解决问题： 如图2，在△中，，点在上，、分别平分，，线段与、有什么数量关系？请说明理由； （3）【学以致用】如图3，在△外，，且平分，平分，过点作分别交、于、两点，直接写出线段与、数量关系为　　． 7．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：正方形透明纸片，点在边上，如图1，连接，沿经过点的直线折叠，使点的对应点落在上，如图2，把纸片展平，得到折痕，如图3，折痕交于点． 根据以上操作，请直接写出图3中与的位置关系 　　，与的数量关系 　　； （2）迁移探究 小华将正方形透明纸片换成矩形透明纸片，继续探究，过程如下： 将矩形透明纸片按照（1）中的方式操作，得到折痕，折痕交于点， 如图4，若，改变点在上的位置，那么的值是否能用含，的代数式表示？如果能，请推理的值，如果不能，请说明理由； （3）拓展应用 如图5，已知正方形纸片的边长为4，动点在边上由点向终点匀速运动，动点在边上由点向终点匀速运动，动点，同时开始运动，且速度相同，连接，，交于点，连接，则线段长度的最小值为 　　，点的运动路径长度为 　　（直接写出答案即可）． 8．数学活动课上，老师让同学们以“折纸与证明”为主题开展数学活动． 【引入概念】 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【概念理解】 （1）如图1，在△中，，对折△，使点落在边上的点处，得到折痕，把纸片展平，得到四边形，则四边形 　　筝形（填“是”或“不是” ； 【性质探究】 （2）如图2，已知四边形是筝形，连接，相交于点．请你写一个正确的结论 　　，除外）； 【拓展应用】 如图3，是锐角△的高，将△沿边翻折后得到△，将△沿边翻折后得到△，延长，交于点． （3）求证：四边形是筝形； （4）若，，，，如图4，则的长为 　　； 【方法提炼】通过问题解决，发现翻折是解决问题的有效办法之一，它可以将问题中的相关信息有效地关联与重组．请根据自己理解，解答下列问题： （5）如图5，四边形中，，，，点在上，，例当时，的最小值为 　　． 9．如图1，正方形和正方形，连接，． （1）发现 当正方形绕点旋转，如图2， ①线段与线段之间的数量关系是 　　； ②直线与直线之间的位置关系是 　　． （2）探究 如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，证明：直线． （3）应用 在（2）情况下，连接（点在上方），若，且，，直接写出线段的长． 10．（1）【提出问题】数学课上，老师提出问题：如图1，在等腰△中，，点在边上，以为边作正方形，点在边上，连接，点为线段的中点，连接，．以点为对称中心，画出△关于点对称的图形，并直接写出与的位置及大小关系 　　； （2）【类比探究】在等边△中，、分别是、边上一点，且，以、为邻边作菱形，再将菱形绕点顺时针旋转一定角度后得到新的菱形如图2，连接，点为线段的中点，连接、，判断与的位置及大小关系，并证明你的结论； （3）【迁移运用】在（2）的条件下，若，，菱形在旋转过程中，当最小时，直接写出的值 　　． 11．在△中，，以点为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，过点作的平行线交直线于点． （1）如图1，当点与点重合时，求证：； （2）如图2，当点在线段上（不与端点重合）时，作交的延长线于点．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 12．在△中，，为△的中线，点为上一点，连接． （1）如图1，，，，求的长； （2）如图2，，把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，点为线段上一点，连接交于点，且，求证：； （3）如图3，，，为边上一点，满足，连接，当最小时，把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，，请直接写出△的面积． 13．在数学综合实践课上，贺老师以三角形折叠为主题开展数学活动． （1）特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点．①求的度数．②求证：△为等边三角形． （2）性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的长度． （3）深度探究 如图3，折叠△，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 14．如图1，在直角三角形纸片中，，，．点是射线上的动点（点不与点重合）．现将三角形纸片进行以下操作： 第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕； 第二步：将△沿折痕展开，连接，然后将△沿直线翻折得到△，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点． （1）折痕的长为 　　； （2）△沿直线翻折至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）△翻折至图2所示位置，直线经过点时，求的长． （4）在点的运动过程中，连接，则的取值范围是 　　． 15．已知，△中，，，点是边上一点，连接，且． （1）如图①，求证：； （2）如图②，点为边上一点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，求的度数； （3）如图③，过点作交于点，点为线段上一点，连接，作，交的延长线于点．直接写出线段，与之间的数量关系． 16．如图，已知△中，，为边上一点，，为三角形外一点，交于点，，． （1）若，求的度数． （2）求证：△△． （3）当△为直角三角形时，求的值． （4）若，，直接写出△的面积． 17．已知长方形中，，点、分别是线段和射线上的动点，且． （1）如图1，若，，求线段的长度； （2）如图2，若，，求线段的长度； （3）如图3，若点在的延长线上，点是中点，且与互补，求线段的长度． 18．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为　　． 19．问题提出 （1）如图①，在△中，，，则点到的最大距离为　　； 问题探究 （2）如图②，在矩形中，，，是上一动点，连接、，求的最小值； 问题解决 （3）如图③，矩形的四边是某市产业新区的外环路，、、、分别是四条贯穿路．已知，，，，、分别是线段、上一点，连接、、．现计划在三角形区域处修建一个科技园．为节省外墙材料费用，需要△的周长尽可能小，请问△的周长是否存在最小值？若存在，请求出△周长的最小值，若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 20．在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究． 动手操作： 第一步，画出等腰△，使得． 第二步，作出△关于对称的△． 第三步，过点作的平行线，交直线于点． 第四步，分别以，为边作． 根据以上操作，甲、乙、丙三位同学各自作出了如图所示的三个图形，并共同进行了探究．请你根据三位同学作出的图形解决下列问题． （1）直接写出图1中的度数； （2）图2、图3中均有△△．请就图2给出证明； （3）图3中．求出的长． 21．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点，分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系． （1）探究发现：小明同学的方法是延长到点．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：　　； （2）拓展延伸：如图2，在四边形中，，，、分别是边，上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）尝试应用：如图3，在四边形中，，，、分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明． 22．【问题背景】 如图1，在四边形中，若或，我们把这种四边形称为“对补四边形”．某学习小组根据研究矩形、菱形、正方形的经验，又进行了如下探究． 【初步认识】 该学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． （1）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则 　　． 【观察猜想】 （2）该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现“对补四边形”的边和对角线都有着特殊的性质，并提出了下列两个猜想． 猜想1：如图2，四边形是“对补四边形”，若对角线平分，和的数量关系是：　　； 猜想2：如图3，四边形是“对补四边形”，若，连接，则平分　　． 请补全猜想1和猜想2，并从猜想1或猜想2中任选一个给出证明； 【解决问题】 （3）某乡村准备开发一个红色旅游景区，如图4，在四边形中，，，，，且，求旅游景区的最大面积． 23．综合与探究 【问题情境】 如图1，小颖将矩形纸片折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边、分别交于点、． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，请判断四边形的形状并证明； 【问题解决】 （2）如图3，在矩形纸片中，若边，，与交于点． ①请判断与对角线的位置关系，并说明理由； ②当时，请求出此时的长． 24．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，，，，垂足是点．求证：． ①如图2，小明同学给出如下解法：作，垂足是点． ②如图3，小亮同学给出另一种解题方法：作，交延长线于点． 请你选择一名同学的解题方法，写出完整的证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明与的数量关系转化为与另一条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出了下面问题，请你解答． 如图4，在四边形中，，，，，交延长线于点．求证：． 【学以致用】 （3）如图5，四边形中，，，和都是钝角，且，，点在上，请直接写出的最小值． 25．如图，等边△中，点为直线上一点，连接，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转，点的对应点为点，连接． （1）如图1，点在边上，若，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图2，点在延长线上，连接，延长交于点，取的中点，连接．用等式表示线段与、之间的数量关系，并证明； （3）点在运动过程中，当线段的值最小时，直接写出的值． 26．如图1，在直角中，是的中点，，，． （1）求证：； （2）如图2，将绕点顺时针旋转，旋转角为，连接，． ①求的值； ②若，，三点共线，求的度数． 27．在矩形中，宽，是边上的一个动点，是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． （1）如图1，若，将矩形沿折叠后，点恰好落在上的点处，点落在点处，交于点． ①判断与是否相等，并说明理由； ②连接交于点，若，求的值； （2）如图2，若矩形的长，，将矩形沿折叠后，点、的对应点分别是点、，连接、，直接写出△面积的最小值为 　　． 28．【操作】（1）将纸片△沿折叠，使点刚好落在边上的处，展开如图1．若，则　　； 【思考】（2）如图2，作，垂足为，且，，，求边的长； 【延伸】（3）如图3，设为上一点（与、不重合，是上一个动点，连接、． ①试说明：与大小关系； ②若点是的中点，且，．求长． 29．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且已知． （1）求证：； （2）如图①，过轴上一点作于，交轴于点． ①求证：； ②求点的坐标； （3）将△沿轴向左平移，边与轴交于一点不同于和两点），过作一直线与的延长线交于点，与轴交于点，且，在△平移过程中，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线型（三角形、四边形、多边形）几何综合题 1．解：（1）由平移性质得：，，，，， ， ， ， ， ； （2），， ， 又， ； （3）△的周长为， ， 又四边形的周长为， ， 即， ， ， 由平移的性质得：， ， ， 即的长度为6． 2．解：（1）四边形是矩形， ，， ， 又， ， ， ， △△， ， ， ； （2）过点作于，则， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， 又， △△， ， 又，， ， ， ，， ， ， ； （3）设， ①当时，则， ， ， ， 又， △△， ， ； ②当时，过作于，交延长线于， 由△△，得，， ，， ，， ， ， △△， ， ， 解得（舍去负值）； ； ③当，即，时，，是直角， 当时，是钝角，△是钝角三角形， ， 当时，， 不存在的情况， 综上所述，当或时，△为等腰三角形． 3．【提出问题】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， △△； 【问题探究】证明：如图1， 延长至，使，连接，作，于， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， △△， ， ， ， ， ， ， ， ， ， △△， ， ， ， △△， ， ； 【拓展延伸】解：如图2，作于，作于， ，， ，， △△， ， ， △△， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，四边形是矩形， ，，，， ，， △△ ，， ， ， 故答案为：． 4．（1）证明：是△的一个外角， ， ， ， ， 在△和△中，， △△， ， △为等腰三角形； （2）①解：线段与的数量关系是：，证明如下： 连接，如图2所示： ，，，， △是等腰直角三角形，， ，， ， △是等腰直角三角形， ，， 在△和△中，， △△， ， 在△和△中，， △△， ，， ，， 四边形是菱形， ， 菱形是正方形， ， ，， ， ，， ， ， 在△中，， 由勾股定理得：， 又，， ； ②连接，如图3所示： 设， ， ， 同理可证明：△△，△△， ，，， ， ， ， ， △是等腰三角形， ， ， ， ， 在△中，， ， ， 在△中，，， ， 即， ， ，， 在△中，， ， 由勾股定理得：， ， 在△中，， ， 由勾股定理得：， ， ， 或 综上所述：的长为或． 5．（1）解：如图1，延长到点，使，连接， 是的中点， ， 在△和△中，， △△， ， ， ，即， ， ， 解得：； （2）证明：如图2，延长到，使，连接，， 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， ； （3）解：如图3，延长到，使，连接，， ， ， 在△和△中，， △△， ，， ， ， 在△中，根据勾股定理得：， ， ，， ． 6．（1）证明：， ， 平分， ， ， ； （2）解：；理由如下： 平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， 即； （3）解：；理由如下： 由（1）知， ， ， ， ， ． 7．解：（1）四边形是正方形， ，， 根据折叠可得， ， ， ． 在△和△中，， △△， ， 故答案为：；． （2）能，，理由如下： 四边形是矩形， ，， 又， ， ， ， △△， ， ， ， 即； （3）如图，取的中点，连接，， 由题意知， ，， △△， ， ， 是的中点，， ， 在△中，， 在△中，， 的最小值是， ， 点在以点为圆心，半径为2的圆上运动， 点的运动轨迹的长为． 8．（1）解：对折△，使点落在边上的点处， ，， 四边形是筝形； （2）解：垂直平分， 理由：四边形是筝形， ，， 点，点在线段的垂直平分线上， 垂直平分线， 故答案为：垂直平分线； （3）证明：如图3，连接， 是锐角△的高， ， 将△沿边翻折后得到△，将△沿边翻折后得到△， ，， 在△和△中，， △△， ， 四边形是四边形是“筝形”； （4）解：将△沿边翻折后得到△，将△沿边翻折后得到△， ，，，， 由（3）知，，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ； （5）解：如图5，将△沿着翻折得到△，将△沿着翻折得到△，连接， ，，，，，， ， ， ， ， 当，，三条线段共线时，有最大值， 故答案为：60． 9．解：（1）①，②； 理由：①四边形和四边形是正方形， ，，， ， △△， ； 故答案为：； ②如图2，延长交于，交于， 由①知，△△， ， ， ， ， ， ， 即； （2）延长交于，交于， 四边形与四边形都为矩形， ， ， ，， ， △△， ， ， ， ， ， ， ， （3）如图4，与的交点记作， ， ， 在△中，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点，，在同一条直线上如图5， ， ， 由（2）知，△△， ， ， ． 10．解：（1）如图1，延长至，使，连接， 则△与△关于点对称，△即为所求作的图形． 四边形是正方形， ， ， 点为线段的中点， ， ， ， ，点为线段的中点， ， ，， ， △是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：，； （2）结论：，；证明如下： 如图2，作△关于点成中心对称的△，连接、， 则，，， △△， ，， ， 四边形是菱形，， ，， ， ， ，即， △是等边三角形， ，， ， ， △△， ，， ， △是等边三角形， ， ， ， 在△中，； （3）如图3，过点作于点，连接、，交于点， 由旋转得，， 四边形是菱形，， ， △是等边三角形，，， 是的中点，， 又点为线段的中点， 是△的中位线， ， 点是定点， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 设交于点，当点与点重合时，为最小值， 此时，， 故答案为：． 11．（1）证明：如图1， 延长至， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：如图2， ，理由如下： 以点为圆心，为半径画弧，交于，连接，取的中点，连接， ， ， ， 线段顺时针旋转，得到线段， ，， ， ， ， △△， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 12．（1）解：如图1，在△中，，， △是等腰直角三角形， ，， ， ， 为△的中线， ，， 在△中，， ，， ， ， ； （2）证明：如图2，连接，延长交于点， ，， △是等边三角形， 设△的边长为，则， 为△的中线， ，，，， ， 把线段绕点逆时针旋转得线段， ，， ， ， 在△和△中，， △△， ，， ，即， ， ， ， ，， ， 在△中，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， △△， ， ， 设，则，， ， ； （3）解：过点作，使，连接，，如图3， ，，△是等边三角形， ，，， ， 在△和△中，， △△， ， 垂直平分， ， ， 当、、三点共线时，最小，如图4， ，， △是等腰直角三角形， ， ， 垂直平分， △与△关于直线对称， ， 过点作于点， ， ，， ， △是等腰直角三角形， ， 在△中，， ， ， ， ，， 由旋转得：，， △是等边三角形， ，， 过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接， 则， ， ， ，， ， 在△中，， ， ， ， ． 13．（1）①解：等边三角形，点为的中点， ， ， ； ②证明：， ， ， △为等边三角形； （2）解：， ， 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， ， ， ， ， 设，则， 在△中，， ， 解得， ． （3）证明：如图，作，，，分别交于，，． ， ，， ，，， △△， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ． 14．解：（1）折叠三角形纸片使点与点重合， ，，，， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：6； （2）如图1， ，理由如下： 连接， 由折叠得， ，， ， △△， ； （3）如图2，连接， 由（1）知， ，，， 由折叠得， ，，，， ，， ， ， ， 设，则， 在△中，由勾股定理得， ， ， ， ； （4）如图2， 连接， ，， ， ． 15．（1）证明：△中，，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：， ， 以为边在的左侧作等边三角形， ，， ， ， ， 在△和△中，， △△， ； （3）解：，理由如下： 在△中，，，点是中点，，如图③，连接，延长至，使，连接， ，， ， △为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在△和△中，， △△， ， ，， ． 16．（1）解：， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：由（1）得，， 在△和△中，， △△； （3）解：由（1）得， ，， ，， ， △△， ， ， ， ， ， 当△为直角三角形，只能是， △为等腰直角三角形，则△也为等腰直角三角形， 过点作于点，如图1， 设，则由勾股定理得：， ， △，△均为等腰直角三角形， ， 由（1）得， ， ， ； （4）解：△的面积为；理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图 由（2）得，而， ， ， ， ， 设，则，， 由（2）得， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 整理得：， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 在直角三角形地中，由勾股定理和得：， ， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ． 17．解：（1），， ， ， 四边形是长方形， ， ， 在△和△中，， △△， ， ， ， 在△中，， ， ； （2）法一：作正方形，交于，则， ， ， 延长至，使， 在△和△中，， △△， ，， ， ， 在△和△中，， △△， ． 设， ，， 在△中，， 即， 解得， ， 又：， ， ， ； 法二：作，过作于点，过点作交其延长线于点，过点作交其延长线于点， 在△和△中，， △△， ，， ， ，， ， 在△和△中，， △△， ，， ，， 在△中，， 在△中，， ， 解得，即； （3）作，过作于点，过点作交其延长线于点， 点为的中点， ， 在△和△中，， △△， ，， 设，则，， ， ，， ， 在△和△中，， △△， ，， ， 又， ， 连接， 由辅助线易得， ， 在△和△中，， △△， ，， ， ， 在△中，， 即， ，即． 18．【问题原型】证明：如图，设与交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在△和△中，， △△， ． 【问题应用】（1）解：由【问题原型】得：△△， ． 四边形是正方形，， ，， ，为的中点， ， ， 在△和△中，， △△， ， ， ，， ， ， ，解得：， 为的中点，， ； （2）解：如图，连接， ，，， 在△和△中，， △△， ， ， 延长到点，使，则，垂直平分， 连接、，则， ，， ， ， 的最小值是． 19．解：（1）如图1， 作于，取的中点，连接， ， ， 当和点重合时，最大； （2）如图2， 延长至，使，连接，交于， 此时最小，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ； （3）如图3， 以以边作等边三角形，作△的外接圆，连接， ， 点在上，连接，交于，此时， ，， ，， ， ， ， ， ， 作点关于的对称点，作关于的对称点，连接，交于，交于，此时△的周长最小， ，，，，，， ，， ， ， △周长最小值为：． 20．（1）解：由题意可得，四边形是平行四边形， ，， ，， ，△关于对称的△， ，， ， ， ； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， 由对称可得，，， ，， ， ， ， ， 在△和△中，， △△； （3）解：过点作，垂足为点， ，， ，， ， 由对称可得，，， ， ， ， ， 过点作交的延长线于点， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 设， ，， ， ， ， 即． 21．解：（1）． 延长到点．使．连接，如图1， ，， ． ，． ． ． 又， ． ． ． ； （2）（1）中的结论仍然成立．理由如下： 如图2中，延长至，使，连接． ，， ， 在与中，， ． ，． ， ． ，即． 在与中，， ． ，即， ； （3）结论：．理由如下： 如图3中，在上截取，使，连接． ，， ． 在与中，， ． ，． ． ． ， ， ， ， ． 22．【初步认识】 （1）解：， 设，，， 四边形是“对补四边形”， 或， ， 解得：， ，，， ． 【观察猜想】解：猜想1：四边形是“对补四边形”，若对角线平分，则， 故答案为：； 猜想2：四边形是“对补四边形”，若，连接，则平分； 【推理验证】 （2）选择猜想； 证明：如图，过点分别作于，于， 对角线平分，，， ，， 四边形是“对补四边形”， ， ， ， 在△和△中，， △△， ； 选择猜想； 证明：如图，过点作，垂足为，作，垂足为， ，， ， 又，， △△， ，， ，，， 平分； 【解决问题】 （3）解：如图，连接，将△绕点旋转，使与重合，得△，过点作于点， 设，且，则，，，， ， ， 、、三点共线， ，， ， 在△中，， ，， ，， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 旅游景区的最大面积是． 23．解：（1）四边形为菱形， 证明：由折叠得点与点关于直线对称， 直线垂直平分， 点与点重合， 直线垂直平分， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， 四边形是菱形； （2）①， 证明：如图3，， ， ， ，△是等边三角形， ， ， ，； ②的长度为或， 理由：如图3，点在线段上，设交于点， ，， ， ， ，， ，， ， ， 如图4，点在线段的延长线上，延长、交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长度为或． 24．（1）证明：①小明同学的解法： ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 在△和△中，， △△， ； ②小亮同学的解法： ，， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 在△和△中，， △△， ； （2）证明：如图4，作交延长线于点，则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，， 又，， ，， △△，， ，； （3）解：的最小值为；理由如下： 如图5，过点作的垂线交的延长线于点，作交延长线于点，则， 由（2）可得四边形是矩形，△△， ，， 四边形是正方形，， 又， △是等腰直角三角形， 作关于的对称点，连接交于点，如图5.2，则， ，此时最小， ，点在的延长线上，且， ，， ， 又， 在△中，， ， 解得：（负值舍去），， ， ， ，， ， 在△中，． 25．解：（1）以点为旋转中心，将线段逆时针旋转，点的对应点为点， ，， ， △是等边三角形， ，， ， ； （2）， 证明：延长至，使，过作，交延长线于，连接，则， 由旋转可知，，， ， ， ，， ， △△， ，， ， ， ，四边形为平行四边形， ，， ，△△， ，， 是△中位线， ， ， 的中点， 是△中位线， ， ，， ； （3）延长至，使，连接，过作于，过作于， 由（2）可得，当点在下方时，，， 同理，当点在上方时，△△，，，则， 在直线上运动，且， 因此在点在运动过程中，当时，线段的值最小， ， 四边形为矩形， ， 设，则， ， 在△ 中，， ， ，， ，， 由旋转可知，， ，， ，， ， ． 26．（1）证明：如图1中，， ， ； （2）①解：， ， ， ， ， ， ． ②解：如图中，当点落在线段上时，设交于点． ， ， ， ， ． 27．解：（1）①，理由如下： 如图1，由折叠得：，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， △△， ， ； ②如图2，延长，交于点， ，， ，， ，，， △△， ， 设，则， 由勾股定理得：， ，， ，， ，△△， ，即，， ， ， △△，△△， ，， ，； （2）如图3，由折叠得：，， 当△中边上的高最小时△的面积最小，即当，，三点共线时，△的面积最小， ，，， ， ， ， △的面积， 即△面积的最小值为． 故答案为：． 28．解：（1）将纸片△沿折叠，使点刚好落在边上的处， ， ， ， ； （2）将纸片△沿折叠，使点刚好落在边上的处， 为的角平分线， 点到和点到的距离相等． ， ，； （3）①结论：，理由如下： 如图3，连接， 将纸片△沿折叠，使点刚好落在边上的处， 为的角平分线，， ， 在△中，， ； ②连接，如图3， ，， △为等边三角形， 点是的中点， ，， ， ， ． 29．（1）证明：， ，， ，， ， ， 又， ， ； （2）①证明：如图①， ，， ， ， ， 平分， ， ， ，， ， 在△与△中，， △△， ， ， ； ②解：，， ； （3）证明：过点作交于点，如图②， 则，， ， ， ， ， ， 在△和△中，， △△， ， ，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$