二次函数与几何综合题-【一战成名新中考】2025年中考数学中考必考知识点专题特训

二次函数与几何综合题 1．解：（1）抛物线的顶点横坐标为1， 抛物线的对称轴为直线． 点的坐标为， 抛物线与轴的另一交点坐标为． 将，，代入得：，解得：， 抛物线的表达式为； （2）存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，故设点， 由点、、的坐标得，，， 则，则， 即点； （3）直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ，且， 当时，有最大值，最大值为． 2．（1）解：设抛物线的表达式为：， 由题意得：，解得：， 则抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知，点、的坐标分别为：、，设交轴于点， 轴，平分， ，则，设点， 则，则，即点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：，则（舍去）或， 即点，； （3）证明：作轴于点，作轴于点，分别过点、、作轴的垂线，垂足分别为点、、， 设点， 将点的坐标代入得：，则， 则一次函数的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：或，即点，，设点，点， ，， ， ，， △△， 则，，即且， 解得：，即点，， 则，，， △的面积， 即△的面积为定值3． 3．解：（1），， ； （2）， ， 点的横坐标为，点在函数的图象上， 点的坐标为， 轴，在函数上， 点的坐标为，， ， 轴，， ， 矩形的周长为5， ， 解得：， 点的坐标为，； （3）与轴交于点， 点的坐标为， 由题意得：， 点的坐标为， ， 如图，当时，根据一次函数的比例系数为2，可得，， 或， 解得：，或，， 点的坐标为，或，或，或，， 点在直线上， 或或或， 解得：或或或， ， 或． 4．解：（1）由抛物线的表达式知，，则，则点，抛物线的对称轴为直线，则点， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）由点、的坐标得，直线的表达式为：， 由知，， 则， 则△的周长， 故当最大时，△的周长最大， 设点，则点， 则， 当时，最大，即点； 则， 将点向左平移2个单位得到点，连接交轴于点，过点作的垂线于点，则此时最小，理由： 且，则四边形为平行四边形，则， 则， 由中点坐标公式得，点，，由点、的坐标得，， 则最小值为：； （3）将该抛物线沿射线方向平移，设向左平移个单位，则向上平移了个单位， 则新抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：，则， 故新抛物线的表达式为：， 联立上式和直线的表达式并解得：（舍去）或，即点， 当点在点下方时， ，则， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则直线的表达式为：， 当点在点的上方时，同理可得：直线的表达式为：， 分别联立和新抛物线的表达式得：或， 解得：或， 即点或，． 5．解：（1）根据可得、两点坐标分别为、． 把两点坐标代入抛物线得： ，解得． 故抛物线的解析式为． （2）由、两点坐标由待定系数法求出直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标． ，． ． 当时，取得最大值4，此时． 故的最大值为4，此时点的坐标为． （3）作点关于轴的对称点，连接，然后过点作交抛物线于点 根据轴对称的性质，，， ， ． ． 另外，当时，点在线段的垂直平分线上，则， ． 故点和都符合条件． ①当时，，解得或3． 点坐标为，，． 根据、两点坐标由待定系数法求得直线解析式为：． 由平移规律可得直线解析式为． 联立直线和抛物线的解析式： ，解得或． 点坐标为． ②、两点关于对称，， 点在直线上． 联立直线和直线求得点坐标为，． 根据、两点坐标由待定系数法可得直线的解析式为：． 联立直线和抛物线的解析式得： ，解得或． 点坐标为，． 综上可得点坐标为或，． 6．解：（1）由题意得，，解得：， ，； （2）设直线的表达式为， 将，分别代入， 得，解得， 故直线的表达式为， 设，则， ， ， 当时，线段有最大值，最大值为； （3）由（1）知，抛物线解析式为， 当时，， ， ，， ，，， ； ①如图，当在轴上方时， 设， ， 根据题意得， 整理得：， △， 此方程无实数根， 在轴上方不存在点满足题意； ②如图，当在轴下方时， 由①得， ， ， 解得，， 当时，； 当时，； 的坐标为或． 7．解：（1）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，将点，点的坐标代入得： ，解得：， 抛物线的表达式为； （2）抛物线与轴交于点， 当时，得：， ， 设直线的解析式为，将点，点的坐标代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 点是抛物线上一动点，且在直线的上方，设点， 轴， 轴， ，， ，， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， ； （3）， △△， ， ， ， 作交轴于，作轴交于， 直线的解析式为，， 直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ，， ，轴， ，， ，，， ， △△， ， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值． 8．解：（1）将，代入，得 抛物线的解析式为 （2）过作轴，交于点， 当时，， ， 设直线的表达式为将，代入，得 ， 设，， ， ， ， 当时，， 当时，， ； （3）存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为，故设点， 由点、、的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：， 即点或； 当为斜边时，则， 解得：； 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：，，， 9．解：（1）抛物线经过点，两点， ，解得． 此抛物线的解析式为； （2）当时，即， 解得，． ，，即，． 当时，， ，，即， ． 当点在轴上方抛物线上时，如图1所示，设直线交轴于点， ，，， △△， ， ． 设直线的解析式为， 把，代入，得： ，解得， 直线的解析式为， 联立直线与抛物线的解析式得， ， 解得． 点在第一象限， ， 此时， ． （3）①过点作轴，垂足为点，过点作轴的平行线与轴交于点，与相交于点，过点作轴的垂线，交轴于点，设矩形的周长为． 设直线的解析式为：， 把，代入，得，解得， 直线的解析式为：， 设，则， 当时，如图2， ，， ， 当时，如图3， ，， ， ； ②， 当时，， 故当时，随的增大而增大，而，不符合题意，舍去； 当时，， 故当时，随的增大而增大， 又， 当时，随的增大而增大． 10．解：（1）令，得，， 令，得，解得，， ， 把、两点坐标代入得： ，解得， 故答案为：，2； （2）在直线上方的抛物线上存在点，使四边形面积最大；理由如下： 令，得，解得，，或，； 过点作轴于，与交于点，如图1， 设，则， ， ， ， 当时，四边形面积最大，其最大值为8，此时； （3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图2， ，， ，， 当在抛物线上时，得：， 解得，， 当点在抛物线上时，得：， 解得，或2， 当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 11．解：（1）由题意得：，解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设，则点， 则， 解得：， 则点，或，； （3）将抛物线沿射线平移个单位，即向左平移4个单位向上平移4个单位， 则，则点对应的点， 设点，点， 当为对角线时，由中点坐标公式得：，则， 即点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或2， 即点或； 综上，或或． 12．解：（1）由题意得：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线的表达式知，点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 过点作轴交于点， 则△的面积， 当时，△的面积最大，此时，点，， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则最小， 理由：最小， 由点、的坐标得，， 即的最小值为； （3）将抛物线沿着射线的方向平移，设向左平移了个单位，则向上平移了个单位， 则， 将点的坐标代入上式得：， 解得：（舍去）或1， 故抛物线的对称轴为直线， 当点在点的上方时， ，则， 则直线的表达式为：， 当时，，即点； 当点在点的下方时， 设交于点，设， ，则， 即， 解得：，则点，， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当时，，即点， 综上，点或． 13．解：（1），关于轴对称，，点到轴的距离是0.6， 则点， ， ， 将代入得，解得：， 即； （2）由（1）得抛物线解析式为：， 由点的坐标得直线的表达式为：， 联立抛物线与直线得：． 解得：（舍去）或， ， 点的坐标为， 则； （3）将抛物线向右平移个单位后的抛物线表达式为：， 令，则，此时抛物线与轴的交点为， ， 即， 解得： 或． ， 或4． 14．解：（1）由题意得：，解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）①设点，点， 则， 即的最小值为； ②当点、均在点的左侧时，即， 则，即， 解得：或； 当点、在点的两侧时，即， 同理可得：， 解得：； 当点、均在点的右侧时， 则， 解得：或（均舍去）； 综上，或或． 15．解：（1）直线与轴、轴分别交于、两点，则点、的坐标分别为：、， 由题意得：，解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）， 过点作直线交抛物线于点，则点为所求点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：，则， 即点，或，， 当在上方时， 同理可得直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：，此方程无解； 故点，或，； （3）点在抛物线上，则点，连接， 过点作于点，交于点， ， 则点是的中点， 由（1）知，的表达式为：， 则直线的表达式为：， 联立上式和得表达式得：，则， 即点， 由中点坐标公式得，点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：，则（舍去）或， 则点，． 16．解：（1）抛物线经过，， ，解得：， 抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为， 将代入得，解得：， 直线的解析式为， 由， 解得：，， 设，由于点在直线的下方， ， 设直线的解析式为，则，解得：， 直线的解析式为， 当时，，， 如图1， ， 当时，取最大值为， ； （3）， ， 由， 解得：或， ， ， 抛物线与轴交于点， ， ， ，， ， ，， ， ， 当时，则，如图2， 由点、的坐标可得直线的解析式为， 直线的解析式为， 由，得， 解得：，， 点的横坐标为或； 当时，如图3，过点作于点， △是等腰直角三角形， 点是的中点， ，，， ，， △△， ，即， ， ， 过点作轴于点， 则△是等腰直角三角形， ， ， ， 直线的解析式为， 联立得：， 解得：， 点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或或． 17．解：（1）①抛物线与轴交于点，， ，解得：， 该抛物线的解析式为； ②抛物线与轴交于点，令，则， ， ， ，， ， ，， 如图，过点作轴，则， ， ， ， 点的坐标为； （2）解：， 抛物线，对称轴为直线， 令，则， ， 如图，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 即当点在上时， 有最小值为， 的最小值为， ， 在△中，，， ， 整理得：， 解得：或（舍， 即的值为1． 18．解：（1）由题意可设交点式，代入，得，解得， 此抛物线的解析式为， 故答案为：； （2）存在点，使得△为锐角三角形，理由如下： 作于点交抛物线于点，过点作轴，于点，于点，如图1所示， 设， ，， ， 从而，即， ，解得或0（舍去）； 作于点交抛物线于点，作的延长线于点， 设， 同理可证，即， ，解得， 故点横坐标的取值范围为． （3）解法一（点参法） ，， 由待定系数法可得直线的解析式为， 与抛物线联立可得，解得， 故． 设，，， 则由待定系数法可得直线的解析式为， 直线过点， ，， 同理得直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立直线与直线得， 得，即， ． 故点在直线上． 解法二（线参法） 直线过点，直线过点， 故设直线解析式为，直线解析式为， 联立直线和抛物线，可得，由韦达定理知， 故，则， 联立直线与抛物线，可得，由韦达定理知， 故，则， 由待定系数法可得直线的解析式为， 又直线过点， 则，即， 联立直线与直线，可得，解得， 即， 故 ， 故点在直线上． 19．解：（1）抛物线与轴交于，对称轴是直线，则点， 则， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当时，， 由抛物线的表达式知，点，则点， 四边形为平行四边形，则， 设点，则点， 则， 解得：（舍去）或4， 即点； （3）由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点，，则， 当为直角时， 则，即， 解得：，则， 则； 当为直角时， 同样，则， 则， 综上，或． 20．解：（1）抛物线过，， 抛物线的对称轴方程为直线． （2）对称轴为直线， ， 抛物线，代入点，得， 解得， 抛物线解析式为． 点为抛物线对称轴与轴的交点， ， 又， 由待定系数法可知直线的解析式为， 联立与，得， 解得或0（舍去）， 即． 如图1所示，设交轴于点， ， ， ， ， 当时， 在△和△中， ， △△， ， 故， 则由待定系数法可得直线的解析式为， 联立直线解析式与抛物线解析式可得， 解得或， 故点坐标为，． （3）证明：如图2所示，设，， 故由待定系数法可得直线的解析式为． ，再由抛物线对称性可知， 同理可得直线的解析式为， 则， 同理可得直线的解析式为， 则， ，即，化简整理可得， 进而可得①， 把①式代入直线的解析式中，得： ， 令，解得，此时， 故直线恒过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数与几何综合题 1．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为1． （1）求抛物线的表达式． （2）在抛物线的对称轴上是否能找到一点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． （3）若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，有最大值，并求出最大值． 2．已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； （3）如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在抛物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：△的面积为定值，并求出该定值． 3．在平面直角坐标系中，已知是自变量的函数，，称函数为函数的“相关函数”． （1）求函数的“相关函数” 的函数表达式； （2）点在函数的图象上，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，过点作轴的垂线，垂足为，以，为邻边构造矩形，设点的横坐标为，矩形的周长为5时，求点的坐标； （3）函数与轴交于点，函数的顶点为，直线与轴交于点，与函数的图象交于点，当时，直接写出的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于、两点（点在点的左侧），作直线，连接，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是抛物线上直线上方的一动点，过点作轴于，交于点，过点作于点．点是线段上一动点，作轴于点，取的中点，连接，．当△的周长取得最大值时，求点的坐标和的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 5．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是第一象限抛物线上的点，过点分别作轴、轴的垂线，交于点、交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，连接，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一点，连接，． （1）求，的值； （2）若点在第一象限内，过点作轴交直线于点，求线段的最大值； （3）连接，，若，请判断是否存在符合要求的点，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． （1）求抛物线的表达式． （2）如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． （3）如图2，连接，，，与交于点，过点作交于点．记△，△，△的面积分别为，，．求的最大值． 8．综合与探究 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； （3）点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由． 9．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于，两点，与轴交于点，点为轴上方抛物线上的动点，设点的横坐标为． （1）求此抛物线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）过点作轴，垂足为点，过点作轴的平行线与轴交于点，与相交于点，过点作轴的垂线，交轴于点，设矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②当随的增大而增大时，求的取值范围． 10．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点． （1）直接写出： 　　， 　　； （2）在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围． 11．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点（不与，重合），过点作轴的垂线交直线于点，当，求此时点的坐标； （3）将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点为点的对应点，点为的对称轴上任意一点，在上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，当点在直线上方的抛物线时，连接、，点是轴上一动点，连接、．当△的面积最大时，求的最小值； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线的方向平移，当抛物线经过点时停止平移，平移后的抛物线为，点是抛物线对称轴上一点，当，直接写出所有满足条件的点的坐标． 13．雨伞是生活中的常见物品，撑开后的雨伞（如图是我们熟悉的数学模型——抛物线．在如图2所示的直角坐标系中，伞柄在轴上，伞骨，的交点为坐标原点，点为抛物线的顶点，，点，在抛物线上，且，关于轴对称，点到轴的距离是0.6，，两点之间的距离为4．设抛物线解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）分别延长，，交抛物线于点，，求，两点之间的距离； （3）将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，新抛物线与轴的正半轴相交于点，且，求的值． 14．在平面直角坐标系中，抛物线，是常数且与轴的一个交点，且抛物线经过点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）已知点与点是轴上的两个动点，且点的横坐标比点的横坐标小2，分别过点和点作轴交抛物线于点，作轴交抛物线于点．设点的坐标为． ①若点和点的纵坐标分别为和．求的最小值； ②当时，若以点，，，为顶点的四边形面积为12，求的值． 15．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过点、，与轴另一交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上的一点，使得，请求出点的坐标； （3）点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点，满足？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，，与轴交于点，且过点．点、是抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点在直线下方时，求△面积的取值范围； （3）直线与线段相交于点，当△中有一个角等于时，直接写出点的横坐标． 17．在平面直角坐标系中，抛物线，为常数，与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． （1）若，． ①求该抛物线的解析式； ②设为线段上的点，且满足，求点的坐标． （2）若，是直线与抛物线的交点，若，（点在点的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求的值． 18．已知抛物线交轴于，两点，交轴于点． （1）直接写出此抛物线的解析式为 　　； （2）如图1，在对称轴的右侧的抛物线上是否存在点，使得△为锐角三角形？若存在，求点横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）如图2，、、为抛物线上的点，且、交轴于点，点是直线和直线的交点，当点在抛物线上运动（不与、重合）时，点是否在定直线上运动？若是，求出此直线解析式；若不是，请说明理由． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，对称轴是直线，顶点为． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标； （3）设点是线段上的一动点，过点作，交于点．点从点出以每秒3个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒．当以为直角边的△是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值． 20．在平面直角坐标系中，抛物线过，，三点，且与轴交于另一点． （1）求抛物线的对称轴方程； （2）如图1，点为抛物线对称轴与轴的交点，连接，直线交抛物线于另一点，为直线下方抛物线上的点，连接、，若，求点坐标； （3）如图2，点为第一象限内抛物线上一点，过点的直线与抛物线交于第四象限内一点，连接、，分别交轴于点、，且，求证：直线恒经过一定点，并求出定点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$