二次函数图象与性质的应用-【一战成名新中考】2025年中考数学中考必考知识点专题特训

二次函数图象与性质的应用 1．在同一坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 2．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 3．“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线只经过两个象限，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为　　 A． B．或4 C．或4 D． 5．已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为9，则的值为　　 A． B．1 C．1或 D．或 6．二次函数，，为常数，的图象经过，两点，当为大于0的常数时，关于的一元二次方程的根是整数，则的可能取值的个数是　　 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 7．若二次函数的图象过不同的三个点，，，且，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D． 8．若二次函数的图象经过点和点，则的值为　　 A．2 B． C． D．6 9．已知抛物线且，都是常数）经过点，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为　　 A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 11．已知二次函数为常数）的图象上有且仅有两个点到轴的距离等于3个单位长度，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 12．如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是　　 A． B． C． D． 13．若函数的图象经过点和，则当时，函数的最大值与最小值之和是　　 A． B． C． D．0 14．已知二次函数为常数，且． （1）若函数图象过点，求的值； （2）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 15．已知函数，解答下列问题： （1）画出函数的图象； （2）观察图象，填空、回答： ①抛物线与轴的交点坐标是 　　，与轴的交点坐标是 　　； ②取什么值时，． 16．已知二次函数为常数）． （1）若，求该二次函数图象的对称轴； （2）若，该二次函数在时有最小值2，求的值； （3）将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：．若时，恒成立，求的最大值． 17．已知抛物线y＝﹣x2+mx+1经过点（1，4）． （1）求m的值及此抛物线的顶点坐标； （2）试判断点P（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上． 18．已知关于的二次函数． （1）判断该二次函数的图象与轴的交点个数，并说明理由； （2）若该二次函数的图象经过点和，当时，求的取值范围． 19．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． （1）当时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出和的大小关系； （2）抛物线经过点 ①当时，若，则的值为　　； ②若对于任意的都满足，求的取值范围． 20．如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点． （1）求的长； （2）若一次函数的图象经过点，结合图象，写出时的取值范围； （3）填空：当时，二次函数的取值范围为　　． 21．已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的解析式． （2）试判断点是否在此函数的图象上，并说明理由． 22．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点 （1）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若对于抛物线上的两个点，，都有．求的取值范围． 23．已知抛物线． （1）若抛物线经过点，求该抛物线的对称轴． （2）若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式． （3）若抛物线的对称轴为直线，点，在抛物线上，求证：． 24．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上任意一点． （1）若，，求该抛物线的对称轴； （2）已知点，，在该抛物线上，若存在，恰好使，比较，，的大小，并说明理由． 25．已知二次函数，其中为常数． （1）求证：点在二次函数图象上； （2）当为何值时，二次函数图象与轴只有一个交点； （3）当时，的最小值为1，求值． 26．已知二次函数为常数，且． （1）当时，求该二次函数的图象的顶点坐标； （2）直线与该二次函数的图象交于，，，两点，若当时，有，，求的取值范围； （3）顺次连接，，，，得到矩形，若该二次函数的图象与矩形有三个公共点，请直接写出的取值范围． 27．我们学习了二次函数的图象和性质，借助图象，利用二次函数的增减性和对称性解决问题尤为方便．请结合图象，研究二次函数的有关问题． 【特例探究】 （1）若点，是该二次函数图象上两点，则该二次函数的对称轴为直线　　； （2）当，时，若，则的取值范围为　　． 【拓展探究】 （3）当时，的取值范围是，则该二次函数的图象开口向　　（填“上”或“下” ，对称轴为直线　　； （4）在（3）的条件下，已知，，该二次函数的图象与线段只有一个公共点，求的取值范围． 28．已知二次函数 （1）求该二次函数图象的顶点坐标． （2）若：①当时，，则的取值范围是　　； ②已知点，在该二次函数图象上，求证：当时，． （3）设二次函数图象与轴交于点，过点作轴的平行线，将该函数图象在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到的图形记为“”．点，在图形“”上，且满足，求的取值范围． 29．已知二次函数，经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）已知点，，连结，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求的取值范围； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，请直接写出的值，不必说明理由． 30．已知抛物线与轴交于和两点． （1）求出该抛物线的对称轴（用含的代数式表示）； （2）若，对于该抛物线上的任意两点，，，，当时．总有． ①求该抛物线的函数解析式； ②若直线与抛物线交于，两点，都不与，重合），将直线绕点旋转得到，此时恰好经过抛物线与轴的交点，请求出的值． 31．在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①求证：该抛物线的顶点不在第三象限； ②若为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点，和，，求的值． （2）若，直线与该抛物线有两个交点，，其坐标分别为和．当时，求的最小值． 32．已知抛物线． （1）若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，的最大值为4，求抛物线的函数表达式； （2）当时，最大值与最小值的差为，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数图象与性质的应用 1．D【解析】由题知，一次函数过定点，二次函数过定点．当时，一次函数中随的增大而减小，此时抛物线的开口向上，且对称轴在轴左侧．所以和都不正确．当时，一次函数中随的增大而增大，此时抛物线的开口向下．所以不正确． 2．C【解析】当时，；当时，；当时，．，． 3．A【解析】，抛物线开口向上，对称轴为直线，点坐标为，抛物线只经过两个象限，，． 4．B【解析】的对称轴为直线，顶点坐标为，时，函数有最大值，在，当时，函数有最小值，，解得；时，函数有最小值，在，当时，函数有最小值，，解得． 5．B【解析】二次函数（其中是自变量），对称轴是直线，当时，随的增大而增大，，时，的最大值为9，时，，，，或（不合题意舍去）． 6．A【解析】二次函数，，为常数，的图象经过，两点，当时，；抛物线的对称轴为直线，关于的一元二次方程的根是整数，整数根为，或，或，的可能取值的个数为3个． 7．C【解析】二次函数的对称轴为直线，点，，在二次函数的图象上，且，，，二次函数图象在上单调递减，在上单调递增．点，都在二次函数的图象上，且，，解得：且． 8．B【解析】抛物线的对称轴为直线，点和点关于直线对称，，解得． 9．B【解析】该抛物线经过点和，该抛物线的对称轴为直线．点关于该对称轴对称的点的坐标是．对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，，，．该抛物线经过点和．不妨设该抛物线的函数表达式为．代入，得，解得，当 时，． 10．D【解析】由条件可得：，解得，将点代入抛物线得：，如图，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是． 11．B【解析】，抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为，二次函数为常数）的图象上有且仅有两个点到轴的距离等于3个单位长度，，． 12．D【解析】二次函数的顶点为，对称轴为，而对称轴左侧图象与轴交点横坐标的取值范围是，右侧交点横坐标的取值范围是，一元二次方程的正数解的范围是． 13．B【解析】由题意，函数的图象经过点和，．．函数为．当时，当时，最大值为1；当时，取最小值为．函数的最大值与最小值之和是：． 14．解：（1）二次函数的图象过点， ， ； （2）， 抛物线的顶点为， 时，， 当时，， 当时，当时，，， ， ， ； 当时，当时，，， ， ， ； 的值为或． 15．解：（1）列表： 0 2 0 0 画出函数的图象如图所示． （2）①抛物线与轴的交点坐标是，与轴的交点坐标是，和． 故答案为：；，和． ②由图可知，或时，． 16．解：（1）， 为常数）， ， 二次函数的对称轴是直线； （2）， 二次函数的对称轴是直线， 当时，函数有最小值．即，解得：（舍去）或； 当时，函数有最小值．即解得：（舍去）或， 综上，或； （3）如图，令设其图象与原抛物线交点的横坐标为和，， 观察图象，随着抛物线的向右不断平移和的值不断增大， 当时，恒成立，即时，的最大值为， 得（舍去）或3， 得或， 的最大值为． 17．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+1经过点（1，4）． ∴将（1，4）代入y＝﹣x2+mx+1， 得4＝﹣12+m+1， ∴m＝4， 则y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5， ∴顶点坐标为（2，5）； （2）将x＝﹣1代入得，y＝﹣x2+4x+1＝﹣4， ∴点P（﹣1，﹣4）在函数图象上． 18．解：（1）该二次函数的图象与轴的交点个数有2个． 理由：令， △， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 该二次函数的图象与轴的交点个数有2个． （2）该二次函数的图象经过点和， 该二次函数的图象的对称轴为直线， ， 解得， 该二次函数的解析式为，该二次函数的图象的顶点坐标为． 令， 解得，， 该二次函数的图象与轴的交点坐标为，． 将代入，得， 当时，的取值范围为． 19．解：（1）当时，，， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线上的点离对称轴越远函数值越大． ， ； （2）①当时，点， ， 抛物线的对称轴为直线． 抛物线的对称轴为直线． ． 故答案为：； ②由题意，， 抛物线的对称轴是直线，且抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 对于任意的都满足， ． 又， ． ． 20．解：（1）令，则， 解得，， ，， ； （2）由题意可得：， ， ， 令， 解得，， 观察图象可知，当时，； （3）由题意可得： 即当时，二次函数取得最大值9， 在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小， ， 当时，二次函数取得最小值0， 当时，二次函数的取值范围为． 故答案为：． 21．解：（1）由题意得：， 解得， 该二次函数的解析式是； （2）不在，理由如下： 把代入，得， 点不在该函数图形上． 22．解：（1）抛物线过点， ， ， 抛物线解析式为直线； （2）①当时，则， ， ， ， 解得； ②当时，则， ， ， ， 解得， ， ③当时，则， ， ， 则，不合题意； 综上所述：或． 23．（1）解：将点代入抛物线解析式得， ， 则， 所以抛物线的对称轴为直线． （2）解：由题知， 将先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后， 所得点的坐标为． 因为这两个点都在抛物线上， 所以， 解得， 所以该抛物线的解析式为． （3）证明：因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 则． 又因为点，在抛物线上， 所以，， 则，， 所以． 因为， 所以， 则． 24．解：（1），，点，是抛物线上任意一点， 抛物线过点， 即， 抛物线对称轴为直线，即该抛物线的对称轴为直线； （2）．理由如下： 设抛物线对称轴为直线．则抛物线上点关于对称轴的对称点为， 存在，恰好使， ， 抛物线开口下， 在对称轴的左侧随增大而增大． 又 关于对称轴的对称点为 且， 点，， 都在对称轴左侧，且． ． 25．（1）证明：当时，， 点在二次函数图象上； （2）解：当△时，二次函数图象与轴只有一个交点， 即， 解得，， 当为1或9时，二次函数图象与轴只有一个交点； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，，， 把代入得； 当时，即， ，， 把，代入得， 解得（舍去），， 当时，即， ，， 把代入得， 解得（舍去）， 综上所述，的值为1或． 26．解：（1）当时，， 该二次函数的图象的顶点坐标为； （2）联立得：， 整理得：， 则，， ，， ，， ， ， ， ， ； （3）， 抛物线的顶点坐标为，， 当时，， ， 当时，， 抛物线始终经过点， 当，即时，，此时，抛物线的顶点在轴上， 该抛物线与矩形有2个公共点，如图1， 当时，该抛物线与矩形有2个公共点，如图2， 即时，抛物线与矩形恰好有3个公共点；如图3， 当抛物线经过点时，， 解得：， 当时，，即或时，抛物线与矩形恰好有3个公共点，如图4，图5， 综上所述，该二次函数的图象与矩形有三个公共点时，的取值范围为或或． 27．解：（1）点，关于对称轴对称， 对称轴为直线， 故答案为：． （2）当，时，二次函数， 令，得；令，得， 故当时，的取值范围为或． （3）时，的取值范围是， 抛物线开口向下， 从而可知当时，或6， 故对称轴为直线． 故答案为：下，； （4）在（3）的条件下，对称轴为直线，故，， ， 当时， 二次函数的图象与线段只有一个公共点， 则必须满足当时，且当时，， 即，解得：． 综上，的取值范围为． 28．（1）解：由题意可知，对称轴为直线， 当时，， 即顶点坐标为． （2）①当时，，令，则， 解得或3， 时，， 时，，且当时，， ． ②证明：（解法一） ，， ， ， ， ，即． （解法二）， 又， 故，即、两点的中点在对称轴的右侧， 因此，． （3）如图1所示， 点，，， 、两点关于直线对称，且都在图形“”上， 、两点到直线的距离相等， ，即， 又，即， 解得． 29．解：（1）二次函数，经过点，对称轴为直线， ， ， 二次函数的表达式； （2）点，，连结，将向上平移5个单位长度， 设平移后的点的对应点为，点的对应点为， 平移后的，点，， 令，则， ， 抛物线与轴的交点为，和，． 将再向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点， ． 令，则， 解得：或， 的长度为5， ． 综上，的取值范围为． （3）二次函数的对称轴为直线，， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． ①当时，即时， 当时，二次函数的最大值为，最小值为， ， （不合题意，舍去）． ②当时， 当时，二次函数的最大值为，最小值为，或最大值为，最小值为， 或， 或（不合题意，舍去），或（不合题意，舍去）． ③当时， 当时，二次函数的最小值为，最大值为， ， （不合题意，舍去）． 综上，的值为． 30．解：（1）已知抛物线与轴交于和两点，将点的坐标代入得： ，即， 该抛物线的对称轴为直线，即； （2）①，对于该抛物线上的任意两点，，，，当时．总有， 或，且当时，随的增大而增大， ， 已知抛物线与轴交于和两点，将点的坐标代入得： ， 又， ， 该抛物线的解析式为； ②恒过，旋转中心为， 旋转后过恒过点， 还过点， 设的解析式为， ，解得：， ， 旋转得， 平行于， ． 31．（1）①证明：当时，代入抛物线并化为顶点式得： ， 顶点坐标为， 若顶点在第三象限，则 解得：， 该不等式组无解， 抛物线的顶点不在第三象限； ②解：为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点，和，， △． ， ， 抛物线为， 当时，，．则； （2）解：，直线与该抛物线有两个交点，，其坐标分别为和， ． 解得：． ． ， ． ， 直线与该抛物线有交点，将点的坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线为． 的图象开口方向向上，对称轴为直线． ①当，即时，，随的增大而减小， 当时，取最小值为． ②当，即时，，随的增大而减小， ，随的增大而增大， 当时，取最小值为0． ③当时，，随的增大而增大， 当时，取最小值为． 综上可知，当时，取最小值为；当时，取最小值为0；当时，取最小值为． 32．解：（1）①把点代入抛物线中得：， ， ， 抛物线的对称轴是：直线； ②抛物线的对称轴是：直线，且， 当时，时，有最大值为4， ， ， 抛物线的函数表达式为：； （2）， ， 抛物线的对称轴是：直线， 当时，时有最小值是， 分两种情况： ①如图1，当时，若时取最大值为， 则， ， ，（舍； ②如图2，当时，若时取最大值为， 则， ， ，（舍； 综上，的值是或． 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