代数推理-【一战成名新中考】2025年中考数学中考必考知识点专题特训

代数推理 1．B【解析】，，，，、相当于是关于的一元二次方程的两个实数根，． 2．B【解析】联立，得，由题意知：，，均是非负数则，解得，，当时，有最小值，即． 3．C【解析】，，，，，，，即，． 4．D【解析】，，，，，，或，即或，故、结论错误，不符合题意；，，故结论错误，不符合题意，结论正确，符合题意． 5．A【解析】，，故选项不符合题意；，，故选项不符合题意；，，， 故选项不符合题意． 6．D【解析】①若时，则，，原式，故①符合题意．②若，则，，，，故②不符合题意．③若，则，原式，故③符合题意．④若，则，，，故④符合题意． 7．D【解析】、，，，，，故本选项命题是真命题，不符合题意；、，，，，，，，故本选项命题是真命题，不符合题意；、， ，，，，，故本选项命题是真命题，不符合题意；、，，，，，，，本选项命题是假命题，符合题意． 8．A【解析】，，，， ，、、都为正数，，，，，． 9．A【解析】，，，，，，，． 10．C【解析】设，，，由等比性质得：，，则，，由，，． 11．解：（1），， ； （2）动点的坐标满足， 点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆； ， ， 动点的轨迹是以点为圆心，5为半径的圆； （3）设， 当取最小值时，表示点到点的距离与点到点的距离之和， 点关于轴对称的点的坐标是， 此时． 设过点和两点的直线解析式为， ， ， ， 当时，， 即时，有最小值5． 12．解：（1）①， 故答案为：． ②， 故答案为：． ，，是三角形的三边， ， ， 故答案为：． （2）选①， ， ， ， ， ， ． 13．解：（1）① ， ，， ； ② ， 故答案为：①，② （2）解：，理由如下：设， 则 ， （3）证明： ，， 又 即：． ． 14．解：（1）， 且， ，，， ， ． ； （2）甲的用时为，乙的用时为， ， ， 答；乙用时更短． 15．解：（1）① 原式 故答案为：1 ② 原式. （2），且， （3）正数、满足 ，，， 当时，的值最小， 最小值 16．解：由，且，可知、、三数中，两负一正， 当时，，当时，， ， ， ． 17．解：（1）①； ②证明： ， ，， ， ， ； （2）①； ②证明： ， ， ， ． 18．解：（1）正数、、满足， ，，， ， 、、均为正数， ； （2）证明：设， 则，，， ，，， ， ． 19．解：由已知有，①；，②；，③；，④； 即⑦ 由④得，代入⑦得 由已知， 若，则由⑥可得，矛盾． 故有，． 20．解：①， ②， ①平方②得：， ， 原式可化为：，即， ， 分别与联立， 解得或， 都有． 综上等式证明． 21．（1）证法 左边 右边 所以等式成立． 证法 左边 右边 等式成立． （2） ，， 原式左边 右边即等式成立． （3） ； 又 由（2）式得： 等式左边 右边所以等式成立． （4） 由（1）（2）（3）得：（4） 由（4）（1）得：； 由（4）（2）得：； 由（4）（3）得：； 令， ，，． ， 同理： 22．证明：， ， 同理：， ， ， ，，，四个数不为0，且互不相等， ， ． 23．证明： ， ， ，， ，，， ， ， ． 24．证明：由题意得：， ， ，，， ． 25．证明：（1）方程有两个相等的实数根， △， ， ； （2）把代入得， ， 而， ． 26．解：（1）以2，为根的方程可以是， 故答案为：， （2）， ， 是方程的根， ， ； （3）设， ， ， 是方程的根， ， ． 27．解：（1）关于的方程①有两个相等的实数根， △，且， 解得，； ，． ，且． （2）证明：由（1）知，，即． 关于的方程的二次项系数，一次项系数，常数项， △ ． ，． △， 方程②有两个不相等的实数根； （3）解：由，得．代入第一个方程，得 ，解得． 把代入第二个方程，得 ． 整理得． ． 28．解：（1）由题意知、是方程的两实数解， ，， ． （2），两边同除以，得，即， 又，即，且， 与为方程的两实数解， ， ． （3）令，抛物线开口向上． 一元二次方程有两个实根，一个根大于2，另一个根小于2， △． 当时，， 解得，． 29．解：（1）二次函数，为常数）图象经过点， ， ； （2）由（1）知二次函数解析式是， 函数图象经过点，， ，， ， ； （3）， ， 二次函数图象的对称轴是直线， 二次函数在时，随增大而减小， ，， 的最小值是4． 30．解：（1）由题意可知：，， ， ， 有最小值为； （2）， 当时，有最小值， 或（舍去）时，有最小值； （2）设该设备平均每天的租货使用成本为元． 则， 当时，有最小值， 或（舍去）时，有最小值，最小值元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 代数推理 1．已知，，若，则下列等式成立的是　　 A． B． C． D． 2．已知三个实数、、，满足，，且、、，则的最小值是　　 A． B． C． D． 3．已知三个实数，，满足，，则　　 A．， B．， C．， D．， 4．已知三个实数，，，满足，，则下列结论正确的是　　 A．， B．， C． D． 5．已知三个实数，，满足，，，则下列结论不成立的是　　 A． B． C． D． 6．已知实数，，满足，有下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中结论正确的有　　 A．①③ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 7．若实数，，，，均不为满足，且，则下列命题为假命题的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．已知、、满足，，且、、都为正数．设，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 9．已知，，为实数，且，，则，，之间的大小关系是　　 A． B． C． D． 10．已知，，，则、、之间的大小关系是　　 A． B． C． D． 11．阅读材料题：在平面直角坐标系中有两点，，，，我们有，两点间的距离为，利用此知识解答以下问题： （1）求和之间的距离； （2）设动点的坐标满足，动点的坐标满足，则动点、的轨迹分别是什么？ （3）请直接写出当取何值时，有最小值，并写出最小值． 12．在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为，，的三角形中，有． （1）推导该结论的一种思路可以用如图的框图表示，请填写其中的空格． （2）推导该结论的其他思路还有： ①利用，，，再配方， ②利用，使用平方差公式， ③利用， 上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路． 13．阅读以下材料： 我们知道，比较两数（式大小有很多方法，”作差法“是常用的方法之一，其原理是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中，求证：． 证明： ．， 根据以上材料，解决下列问题： （1）比较大小：①若，则　　，② 　　； （2）已知，，试比较、的大小，并说明理由；（可设 （3）若，，求证：． 14．阅读理解：已知，，．试比较与的大小． 想法：求．当，则；当，则；当，则． 解：，． 用你学到的方法解决下列问题： （1）已知且，，．试比较与的大小． （2）甲、乙两地相距，小明和小宇同路往返于甲乙两地．小明去时和返回时的速度分别是、，；小宇去时和返回时的速度都是．请问二者一个来回中，谁用时更短？ 15．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料一： 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如，求证： 证明：原式 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征． 阅读材料二： 基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，，即， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为2． 请根据阅读材料解答下列问题： （1）已知，求下列各式的值： 　　； ②　　． （2）若，解方程 （3）若正数、满足，求的最小值． 16．已知、、满足，且，，，求代数式的值． 17．我们要学会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界．例如生活经验：（1）往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了．这一生活经验可以转译成数学问题：克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为，再往杯中加入克糖，此时糖水的含糖量变大了，①用数学关系式可以表示为 　　； ． ． ． ②请证明你选择的数学关系式是正确的． （2）再如：矩形的面积为为定值），设矩形的长为，则宽为，周长为，当矩形为正方形时，周长为，“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，①用数学关系式可以表示为 　　； ． ． ． ②请证明你选择的数学关系式是正确的．（友情提示：， 18．材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数、、满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值，进而得出、、之间的关系，从而解决问题．过程如下： 解：设，则有，，， 将以上三个等式相加，得 、、都为正数 ，即 ． 仔细阅读上述材料，解决下面的问题： （1）若正数、、满足，求的值； （2）已知，、、互不相等．求证：． 19．已知实数、、、互不相等，且，试求的值． 20．若，且．求证：． 21．证明以下各式： （1）若，则 （2）若，则 （3）已知：且，求证： （4）若：，，．求证：． 22．已知，，，四个数不为0，且互不相等，试证明：若，那么． 23．已知，，求证：． 24．已知，，，，，都是非零实数，且，求证： 25．已知关于的方程、是常数）有两个相等的实数根． （1）求证：； （2）求证：． 26．阅读下面材料，回答下列问题： 构造法是依据问题的条件和结论给出的信息，把问题做适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而疏通解题思路的方法．构造方程是常用的一种构造方法，它能使得问题被简化，得以迅速解决． 材料：已知，求代数式的值； 分析：这道题如果将代数式化简，再直接将代入求值比较困难，观察的值，发现，对比一元二次方程求根公式，不难发现是方程的根，所以，，所以原式． （1）以2，为根的方程可以是 　　； （2）已知，请用材料中的方法求代数式的值； （3）求代数式的值． 27．已知关于的方程①有两个相等的实数根． （1）用含的代数式表示； （2）求证：关于的方程②必有两个不相等的实数根； （3）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式的值． 28．阅读材料： 材料1．已知实数、满足，且，求的值． 解：由题意知、是方程的两个不相等的实数根，得， 材料2．如图，函数的图象，是一条连续不断的抛物线，因为当时，；当时，．可知抛物线与轴的一个交点的横坐标在0与1之间． 所以方程的一个根所在的范围是． 根据上述材料解决下面问题： （1）已知实数、满足，，且，求的值； （2）已知实数、满足，，，且，求的值； （3）若关于的一元二次方程的一个根大于2，另一个根小于2，求的取值范围． 29．已知二次函数，为常数）图象经过三个点，，． （1）用含的代数式表示； （2）求证：； （3）若二次函数在时，随增大而减小，求的最小值． 30．知识背景：当且时，因为，所以，从而（当时取等号）．设函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． 应用举例：已知函数与函数，则当时，，有最小值为． 解决问题：（1）当时，有最 　　值为 　　； （2）已知函数与函数当取何值时，有最小值，最小值是多少？ （3）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元：二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001．若设该设备的租赁使用天数为天，则当取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$