11.圆的相关证明与计算加练-【一战成名新中考】2025年中考数学中考必考知识点专题特训

圆的相关证明与计算加练 1．如图1，是的直径，，是的切线，，是切点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点作，分别交，于，两点，若，，求的半径． 2．如图，在中，，点在上，以为直径的与边相切于点，与边相交于点，且，连接并延长交于点，连接． （1）求证：是的切线． （2）若的长为，求图形中阴影部分的面积． 3．如图，点在上，过点，分别与、交于、，过作于． （1）求证：是的切线； （2）若与相切于点，，，求阴影部分面积． 4．如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点．是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接．若，，求的长． 5．如图，在△中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求长． 6．如图，为的切线，为切点，过作，垂足为，交于点，延长与的延长线交于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 7．如图，在等腰△中，，以为直径的交于点，点是上一动点（不与点重合），的延长线交于点，连接交于点．已知，． （1） 　　． （2）当时，求的值； （3）设，， ①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的范围； ②设△的面积为，△的面积为，求的最小值． 8．已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接． （1）求证：是的切线． （2）判断线段、、之间的数量关系，并加以证明． （3）若，，求的半径的长． 9．综合与探究 问题情境： 如图，已知为的直径，点为上异于、的一点，过点作的切线，过点作于点，连接． 探究发现： （1）证明：； 探究引申： （2）如图2，勤奋小组继续探究发现，若是等腰三角形且对称轴经过点，此时，与存在数量关系，请写出结论并证明； 探究规律： （3）如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当为正三角形时，与存在的数量关系是：　　． 10．如图，是△的外接圆，且，过点作，交于点，交于点，延长到，使得，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，．求的半径． 11．如图，为的直径，为延长线上一点，为上一点，连结，作于点，交于点，若， （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 12．如图，在△中，，为的中点，以为直径作，交边于点，过点作，垂足为点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 13．如图，已知△中，，点是边上一点，连接，以为直径画，与边交于点，与边交于点，，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 14．如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点．是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 15．如图，在△中，，以点为圆心，长为半径作．将△绕点顺时针旋转得△，使点的对应点落在边上，交于点，连接交于点，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 16．如图，在△中，经过，两点的与边交于点，圆心在上，过点作交于点，连接交于点，且． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，．求图中阴影部分的面积（结果保留． 17．如图1，△中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为点，连接． （1）求证：是的切线； （2）如图2，分别延长，相交于点，若，，求的长． 18．如图，矩形中，点是对角线上一动点；以为圆心，长为半径作圆，使边与相切于点，若，； （1）求的半径； （2）若与，边相交于点，，连接，，求的值． 19．如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于，已知平分． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． 20．如图1，△是等腰三角形，，点为边上一动点，以点为圆心，为半径的圆分别交，于点，，为线段的中点． （1）求证：△△； （2）如图2，连接交圆于点，当点为弧的中点时，求此时的长度； （3）如图3，当圆与相切时，连接，若，求△和△的周长之比． 21．已知：如图，过正方形的顶点，，且与边相切于点．点是与的交点，连接，， ，点是延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）如果正方形边长为2，求的长． 22．如图，是的直径，，是上两点，平分，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）已知，，求的长． 23．如图，为是直径，弦交于点，，过点作的垂线，垂足为点，连结，． （1）求证：是的切线． （2）求证：△为等腰三角形． （3）若，，求的长． 24．【阅读】两汉文化看徐州，小军在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到：玉壁、玉环等器物为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，如图1，雷纹玉环就是徐州一个古代的玉环文物；其主视图就是一个标准的圆环，其中大圆称为外圆、小圆称为内圆（类似于图2、3、． 【作图】 （1）图2是一个圆环，请在图2中，仅用无刻度直尺作出圆环内两条相等的线段，并用字母表示出来； （2）图3是一个圆环，请用无刻度的直尺和圆规在图3中找出该圆环的中心； 【探究】 （3）如图4是内圆半径、外圆半径的圆环；点是内圆上的任意一点，如果以为圆心、一定长度为半径画圆，与该圆环的内圆与外圆共有个交点．请直接写出的值以及对应的范围． 25．如图，△内接于，为的直径，，连接、．，交延长线于点． （1）证明：平分； （2）若平分， ①当时，求的长； ②设，，直接写出与的函数关系式． 26．已知为直径，弦于，作点关于的对称点，连结并延长交于点，连结． （1）如图1，若对称点与点重合，试求的度数． （2）如图2，连结交于点，求证：． （3）如图3，连结交于点，若，， ①试求的长；②直接写出的值． 27．综合与实践【主题】足球最佳射门位置 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张度越大时，进球的可能性越大．如图1， 　　．（用“”、“ ”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为．若点是上一个异于点的动点，求证：当运动员跑动到切点处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点为轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点的坐标． 28．如图，为的直径，弦交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在上，连接，延长交于点，交于点，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，，求的长． 29．综合与实践： 活动主题 扇面制作 活动情景 如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2，扇面形状为扇环，且，，． 活动小组 甲组 乙组 制作工具 直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀 制作材料 任务一：确定弦的长度． 如图2，求所对弦的长度． 任务二：设计甲组扇面． 如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为．请运用所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据． 任务三：确定卡纸大小． 如图4，乙组利用矩形卡纸，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆的相关证明与计算加练 1．（1）证明：如图1，连接， ，是的切线， ，，， ， 由圆周角定理得：， ， ； （2）解：，是的切线，， ， ， ，， 四边形为平行四边形，， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 的半径为2． 2．（1）证明：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：的长为，， ， ， ， ， ， ，， 阴影部分的面积为． 3．（1）证明：连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：连接， 与相切于点， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，， 设， ，，， ，且，， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 阴影部分面积为． 4．（1）如图，连接，， ， ， ， ， ， ， 是直径，是的中点， ， ， ，即， 是半径， 是的切线． （2）设，则， 在△中， ， 解得， ， ， ， ． 5．（1）证明：， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：，，， ， ， ， 解得， ， ， 的长为4． 6．（1）证明：连接，则， ， 于点， ， 垂直平分， ， ， 为的切线，为切点， ， ， 是的半径，且， 为的切线． （2）解：， ， ，，且， ， 解得， 的长为6． 7．解：（1）是的直径， ， ， 故答案为：90； （2）， ，， ， ， ， ，， ， ， 设，则， 在△中，由勾股定理得， ， ， ， ， ； （3）①如图， 作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， △△， ， ， ， ， ， ， ， ， 由得，， ， ， ； ②由①知， ， ， △△， ， 当最大时，最小， 当点和点重合时，最大， 的最小值是1． 8．（1）证明：连接，，如图， 是的切线， ， ，是直径， 弧弧， ， 在△和△中， ， △△， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：．理由如下： 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， △△， ， ； （3）解：弧弧， ， ， ， △△， ， ， ， ， ． 的半径的长为4.5． 9．（1）证明：为的切线， ， ， ， ， ， ， ， （2）解：． 理由如下：是等腰三角形且对称轴经过点， ， ， 为的切线， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ； （3）解：为正三角形， ，， ， ， ，， ， ， 而， ． 故答案为：． 10．（1）证明：连接、，交于点， ，交于点，延长到，使得， 垂直平分， ， ， ， 是的直径， 点在上， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：，， △△， ， ， ，，， ，， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ， ， ， 的半径长为2． 11．（1）证明：连结，则， ， 于点， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：为的直径，于点，交于点， ， ， △△， 设， ，，， ，， ， ， ， ，， △是等边三角形， ， ， ， ， ， 的长为3． 12．（1）证明：如图，连接，， 是直径， ， 即， 在△中，，为的中点， ， 点是的中点， 又点是的中点， 是△的中位线， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：是直角三角形斜边中线，， ， ， ， 点是的中点， ， 在△中，，， ， ，即， ， 在△中，，， ． 13．（1）证明：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的直径， 为的切线； （2）解：为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．（1）证明：连接、，则， ， ， ， 是的直径，是的中点， ， ， ， 是的半径，且， 为的切线． （2）解：，，， ， ， ， ， 解得， 的半径长为3． 15．解：（1）将△绕点顺时针旋转得△， ， 在△与△中， ， △， ， 是的半径， 与相切； （2）在△中，，，， ， 将△绕点顺时针旋转得△， ， ，，， ， △， ， ， △△， ，， ， ， ， ． 16．解：（1）与的相切，理由如下： ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线， 与的相切； （2）如图，过点作于点， 设， ，， 在△中，由勾股定理，得；， 解得：， ， ， ， ，， ， ， ，， 图中阴影部分的面积扇形的面积△的面积． 17．（1）证明：连接，如图， 为的直径， ． ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2）解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）， ， ， ，， 的长． 18．解：（1）与相切， ， 四边形是矩形， ， ， 设， ，， ， ， △△， ， ， ， 的半径为； （2）延长交于， 则， ， ， ， ， ， ， ， △△， ． 19．（1）证明：如图1，连接， ， ． 平分， ， 又， ， ， ， 是切线； （2）解：如图2，连接，取中点，连接， 于点． 四边形是矩形， ， ． 在中，， ， 的半径为5． 20．（1）证明：， ， ， ， ， 又， △△； （2）解：连接，，如图2所示： 为线段的中点， 设， ， ， 点为弧的中点， ， 是的直径， ， 即， ， △△， ， ， 解得：， ； （3）解：设与的切点，连接，，如图3所示： ， 为线段的中点， 设，则， ，，， 设，则， 由（1）的结论得：△△， ， ， ， ， △△， ， ， ， ， 整理得：， ，， ， ，， ， 是直径， ， 在△中，由勾股定理得：， 在△和△中， ，， △△， ， ， 解得：， ， 由（1）得：△△，相似比为：， △和△的周长之比为． 21．（1）证明：四边形是正方形， ， 是的直径； ，． ， ， 是的切线； 解：连接， 是的切线， ， 过作于， 则四边形是矩形，， ，， ， ， 设， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 22．（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 即， 是圆的半径， 是的切线； （2）解：是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， △△， ， ， ，， ，， △△， ， ， ， ． 23．（1）证明：过点作直线的垂线，垂足为点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）证明：延长交于点， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， △为等腰三角形． （3）解：作于点，则， ， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ，， ， ，， ，， ， 的长为． 24．解：（1）如图； （2）如图3：作弦、的垂直平分线的交点，点即为所求； （3）当时，， 当时，， 当时，． 25．（1）证明：， ， ，， ， 平分； （2）解：①过作于， 平分，， ， ， △△， ， 设， ， ， 为的直径， ， 平分， ， ， ， ， ，，， △△， ， ， ， ； ②如图， 为的直径， ， 平分， ， 过作于，过作于， △，△是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ， △△， ， ， ． 26．解：（1）连接，如图4所示， 为直径，弦于， 故， ， ， 又为直径， ， ． （2）证明：连接，如图5所示， 由对称性可知，， 由垂径定理可知，， 在△和△中， ， △△， ， ， 又为直径， ， ， 即． （3）①连接、，如图6所示： 由于，， 从而可得为的中垂线， ，由三线合一性质可知， 由垂径定理知， ， ， ， ． ②连接、、，如图7所示： ， ，， ，， ． ，， △△， ， ，即，， ， ， ， ． 27．【素材】解：如图1，设交圆于点，连接， ，， ； 【实践探索】证明：如图2，设交于， ，， ； 线段为弦作，恰与直线相切，切点为， 即当运动员跑动到切点处时，射门张角最大，此时． 【迁移应用】解：如图3，以为弦作，过点作于，连接，， 由【实践探索】可知：当与轴相切，且切点为时，最大，此时， 点，点， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， 点的坐标为，． 28．（1）证明：如图1，连接， 为的直径，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图2，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， △△， ； （3）解：如图3，连接，，， 在△中，， ， 设，， ， ， ，， ， ， ， ，，，， ， ， ， ，， ， ， ， 过点作于，过点作于， 由勾股定理得：， ， ，即， ，， ，， ． 29．解：任务一：过点作，交于点， ，， ， ，， ， 任务二：如图，是以直径为底边，底角为30度， 由任务一可知，， 取，以为圆心，分别以、为半径画弧，即可得到扇面． 任务三：乙组扇面设计图如图所示，连接，，交于点， 与相切于点， ， 四边形是矩形， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，，， ，， ， 又， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 在中，， 又， ， 该矩形的边长分别为，． 学科网（北京）股份有限公司 $$