4.函数的图象与性质加练-【一战成名新中考】2025年中考数学中考必考知识点专题特训

函数的图象与性质加练 （一）一次函数的图象与性质 1．C【解析】当时，函数的图象经过第一、三、四象限，函数的图象经过第二、四象限，故选项、不符合题意；当时，函数的图象经过第一、二、四象限，函数的图象经过第一、三象限，故选项不符合题意，选项符合题意． 2．B【解析】令，得，则一次函数的图象与轴的交点坐标为． 3．D【解析】一次函数，随的增大而增大，，该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 4．C【解析】一次函数的图象经过第一、二、三象限，，解得． 5．A【解析】.一次函数中，，，此函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，符合题意；.一次函数中，当时，；当时，，图象与两坐标轴围成的三角形面积，原说法错误，不符合题意；.，随的增大而增大，原说法错误，不符合题意；.一次函数中，，随的增大而增大，当时，，当时，，原说法错误，不符合题意． 6．C【解析】由题意可得：且，解得． 7．D【解析】函数图象经过第一、三象限时．当，时，与均在第一象限，不符合经过不同象限的两点，选项不符合题意．当，时，在第一象限，在第二象限，不符合图象经过第一、三象限时．选项不符合题意．当，时，在第四象限，在第一象限，不符合函数图象经过第一、三象限或第二、四象限．选项不符合题意．当，时，在第四象限，在第二象限，符合函数图象经过第二、四象限．选项符合题意． 8．A【解析】根据平移的性质可知：将函数的图象沿轴向上平移1个单位长度后的函数关系式为． 9．A【解析】由“上加下减”的原则可知，把直线向下平移2个单位所得直线的解析式为，即，直线向下平移2个单位，相当于把它向右平移了1个单位． 10．C【解析】当，即时，一次函数中，随的增大而增大，时，有最大值2，把代入得：，解得；当，即时，中，随的增大而减小，当时，有最大值2，把代入得：，解得，综上所述，的值为或4． 11．【解析】，随的增大而增大，又点、在一次函数的图象上，且，． 12．【解析】由题知，方程组的解可看成是函数与函数图象的交点坐标．将代入得，，所以函数与函数图象的交点的坐标为，所以方程组的解是． 13．或【解析】一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，，，，点的坐标为或，设一次函数解析式为，当点的坐标为时，，，一次函数解析式为，当点的坐标为时，，，一次函数解析式为，直线的解析式为或． 14．解：（1），，， 一次函数的图象与坐标轴交于、两点， ，解得， 一次函数， 设， ， ， ， 解得，， 与正比例函数的图象交于点， ，解得， 正比例函数； （2）由函数图象可得不等式的解集为． 15．解：（1）把代入得： ， 解得， ， 把代入得： ，解得， 点的坐标为，的值是2； （2）①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，如图： 由（1）知， 直线解析式为， 在中，令得， ，， ， ，，， ， ， 设，则， ， 在△中，， ，解得， ， 设直线解析式为，把代入得： ，解得， 直线解析式为； ②当的对应点在轴正半轴时，如图： ，， 与重合，即， 此时的解析式为； 综上所述，所在直线解析式为或； （3）在直线上是否存在点，使得，理由如下： 当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图： ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ，， 设， ，， ，，，， ，解得， ， 由，可得直线解析式为， 解得， ，； 当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图： 同理可得， 由，可得解析式为， 解得， ； 综上所述，的坐标为，或． （二）反比例函数的图象与性质 1．A【解析】反比例函数的图象分布在第二、四象限，由反比例函数的性质可知，，解得． 2．A【解析】正方形的面积为12，第一象限的小正方形的面积是3，双曲线经过点，． 3．B【解析】设反比例函数解析式为 ，反比例函数的图象经过点，，，即，点，，代入解析式，均不成立，点代入成立，点在图象上． 4．C【解析】连接，如解图所示．点是点关于轴的对称点，．．．又当时，反比例函数的图象位于第一象限，． 5．B【解析】由题意可知点与关于直线对称，，，． 6．B【解析】.因为，所以图象在第一、三象限，说法不正确，不符合题意；.反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，关于直线对称，正确，符合题意；.说法不正确，不符合题意；.反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故原说法不正确，不符合题意． 7．D【解析】设点的坐标为，，则，，点的纵坐标为，点的横坐标为，，，，，，，，，． 8．D【解析】矩形内的整数点有，，，，，，，，当反比例函数图象经过点时，此时，当反比例函数图象经过点时，此时，时，图象下方有点，，，，图象上方有，，，． 9．【解析】由题意，的图象在其所在的每一象限内随的增大而增大，．． 10．【解析】，反比例函数图象在第一、三象限，，，，． 11．【解析】连接，如图，轴，，，由图象可知，． 12．8【解析】点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，，，，即，解得． 13．解：（1）矩形的顶点，分别在轴，轴上，点为坐标原点，点的坐标为，反比例函数的图象经过的中点， ， 将点的坐标代入反比例函数得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）反比例函数的图象与交于点， 又点与点的横坐标相等， 把代入得：， ， ， ， △的面积； （3）设点的坐标为，则， ， △与△相似，需满足或， 当时，， 解得或； 当时，， 解得或； 综上，点的坐标为或或或． （三）二次函数的图象与性质 1．D【解析】将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为：． 2．B【解析】.函数中，，，中，，，故错误；.函数中，，，中，，，故正确；.函数中，，，中，，，故错误；.函数中，，，中，，，故错误． 3．A【解析】二次函数的对称轴为直线，当或时函数值相等，，当且仅当时，函数取得最大值，，即，又当且仅当时，函数取得最小值，，即，． 4．B【解析】令，则，解得，抛物线与轴交点为． 5．C【解析】，二次函数图象的对称轴是：直线． 6．B【解析】抛物线的对称轴为直线，由题意得：△且或者△且，解得． 7．D【解析】关于的一元二次方程有一个根是，二次函数的图象过点，，，而，，二次函数的图象的顶点在第一象限，，△，，，，，，，． 8．D【解析】当时，；当时，；当时，； ． 9．5【解析】抛物线向右平移1个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式为，即，平移后的抛物线与，，，，． 10．-2【解析】对称轴为直线，解得． 11．【解析】抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线与轴的一个交点坐标为，当时，． 12．，【解析】点，均在二次函数的图象上，二次函数图象的对称轴为直线，当时，，点关于对称轴的对称点为点，关于的方程的解为，． 13．-3【解析】抛物线与轴交于，，，，、为方程的两根，． 14．6【解析】，的对称轴为，，，，点，点关于对称，得点的横坐标分别为，得点的横坐标为，在关于对称轴对称的两点到对称轴的距离相等，的对称轴为，的值为6． 15．-6【解析】抛物线与抛物线关于原点对称，则横纵坐标互为相反数，，，． 16．【解析】抛物线与直线交于两点可得：不等式的解集为． 17．【解析】二次函数，当时，，该二次函数与轴的交点坐标为． 18．解：（1）抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 点，是抛物线上的两个不同点，且当时，有， ，解得：， 的值为； （2）， 抛物线的开口向上， 抛物线上离对称轴越远的点，函数值越大． 又当时，都有， 若，则，解得：； 若，则，解得：． 的取值范围为或． 19．解：（1）， 即； （2）， 该函数图象的顶点坐标为，过点，，，， 函数图象如图所示： （3）由图象可得， 当时，的取值范围是． 20．解：（1）由表格知时，；时，， 抛物线对称轴为直线， 点与点是关于直线对称的， ， 二次函数对称轴是， 二次函数的顶点为， 设二次函数， 代入得，， 的解析式为； （2）由过点，，，过点，，，可知函数的图象可以由函数的图象向左平移两个单位变化得到， 的解析式为． （3）点在二次函数图象上，由表格数据可知当时的取值范围是． 二次函数的对称轴为轴， 的取值范围是或． 21．（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 抛物线解析式为，即； （2）解：抛物线解析式为， 即， 抛物线的对称轴为直线， 当时，有最值， 当时，时，；，， ，，解得； 当时，时，；，， ，，解得； 综上所述，的值为2或； （3）证明：，， ， ，，，即． 22．解：（1）抛物线的顶点坐标是， 设二次函数的解析式为， 二次函数的图象经过， ，解得， 这个二次函数的表达式为：； （2）点是在这条抛物线的图象上，理由： 当时，， 点是在这条抛物线的图象上． 23．（1）解：二次函数经过点， ，解得． ． 函数图象的顶点坐标为； （2）证明：函数的图象经过点，， ，． ． ； （3）解：，设函数图象经过点，，． 二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则点在对称轴左侧， 对于任意的，都有成立， 存在如下情况： 如图1，当时， 则关于对称轴的对称点为， ，， ，，解得； 如图2，当时， ，，解得， 综上所述，的取值范围为或． 24．解：（1）， 二次函数图象的顶点坐标为； （2）．和．是抛物线上任意两点，抛物线的对称轴为直线， ，， ， ； （3）抛物线 的顶点是，与轴的交点是， ①当时，，， 抛物线 与轴交点在点下方，顶点在直线下方，如图1， 在 中，令，得， ， 当时抛物线过点． 由结合图可知，当时，二次函数 的图象与线段只有一个公共点； ②当时， 若顶点在线段时，如图 此时， 解得， 若顶点在直线上方，即时，如图 二次函数 的图象与线段只有一个公共点，，． ， 解得； 综上所述，二次函数 的图象与线段只有一个公共点，的取值范围是或或． 25．解：（1）二次函数的图象经过点，且对称轴为直线， ，解得， 这个二次函数的解析式为； （2）当时，则， 整理得， 解得，， 这个函数不动点的坐标是和； （3）， 抛物线开口向上，顶点为， 这个函数不动点的坐标是，， 若点是函数图象上的一个动点，当点在点，之间运动时，的最大值为5，最小值为． 26．解：（1）抛物线经过点， ，， 抛物线的函数表达式为； （2）， 当时，取得最小值为． 当时，，当时，， 当时，的取值范围是； （3）点的坐标为，过点作轴交抛物线于点， ， ， 、两点之间的距离为，， ． 当时，， 当时，． 当时，的值为或； （4）点的坐标为， 点在直线上， 点的坐标为， 点在直线上， ， 点在轴的左侧． ①点在抛物线的对称轴的左侧时，设直线与交于点，交抛物线的对称轴于点，如图， 则，， 的坐标为，过点作轴交抛物线于点， ， ， 点为抛物线对称轴上一点，轴， ， ， 直线将△的面积分成两部分， 或， 或． ， △△， 或， 或， 解得：或， ， 或． ②点在抛物线的对称轴的右侧时，设直线与交于点，交抛物线的对称轴于点，如图， 则，， 的坐标为，过点作轴交抛物线于点， ， ， 点为抛物线对称轴上一点，轴， ， ， 直线将△的面积分成两部分， 或， 或． ， △△， 或， 或， 或， ， 或． 综上，当直线将△的面积分成两部分且时，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的图象与性质加练 （一）一次函数的图象与性质 1．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能为　　 A． B． C． D． 2．一次函数的图象与轴的交点坐标为　　 A． B． C． D． 3．一次函数，随的增大而增大，则一次函数的图象不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 5．已知一次函数，下列说法正确的是　　 A．图象不经过第二象限 B．图象与两坐标轴围成的三角形面积是 C．随的增大而减小 D．当时， 6．若函数是关于的正比例函数，则　　 A． B． C． D． 7．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点，，那么一定有　　 A．， B．， C．， D．， 8．将函数的图象沿轴向上平移1个单位长度后，得到对应的函数关系式为　　 A． B． C． D． 9．把直线向下平移2个单位，相当于把它向右平移了　　 A．1个单位 B．2个单位 C．3个单位 D．4个单位 10．已知一次函数，其中，当时，函数有最大值为2，则的值为　　 A．4 B． C．或4 D．4或2 11．点、在一次函数的图象上，则　　（用、或填空）． 12．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 　　． 13．已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，若，则直线的解析式为 　　． 14．如图，一次函数的图象与坐标轴交于、两点，且，与正比例函数的图象交于点，若． （1）求一次函数和正比例函数的表达式； （2）结合图象直接写出不等式的解集． 15．已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于，两点，直线与坐标轴交于，两点，两直线交于点； （1）求点的坐标和的值； （2）如图2，点是轴上一动点，连接，将沿翻折，当点对应点刚好落在轴上时，求所在直线解析式； （3）在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由． （二）反比例函数的图象与性质 1．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则　　 A． B． C． D． 2．如图，以正方形两条对角线的交点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，轴，轴，双曲线经过点，若正方形的面积为12，则的值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知反比例函数的图象经过点，则下列各点中，在该反比例函数图象上的是　　 A． B． C． D． 4．如图，是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若△的面积为18，则的值为　　 A．9 B．12 C．18 D．20 5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于、两点，且点、都在第一象限．若，则、两点间的距离为　　 A．1 B． C．2 D． 6．对于反比例函数，下列说法正确的是　　 A．它的图象分布在二、四象限 B．它的图象关于直线对称 C．点在它的图象上 D．它的图象不是中心对称图形 7．如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于　　 A． B．2 C． D． 8．如图，当反比例函数的图象将矩形的内部（不含边界）的横、纵坐标都为整数的点分成数量相等的两部分，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 9．若反比例函数的图象在其所在的每一象限内，随的增大而增大，则的取值范围是 　　． 10．在反比例函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为 　　．（用“”连接） 11．如图，点是反比例函数的图象上一点，轴于点，为轴上一点，若△的面积为3，则的值为 　　． 12．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接，，若△的面积为1，则的值为　　． 13．如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点为坐标原点，点的坐标为，反比例函数的图象经过的中点，且与交于点，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△的面积； （3）若点是轴上一点，且△与△相似，求点的坐标． （三）二次函数的图象与性质 1．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的表达式为　　 A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数图象大致为　　 A． B． C． D． 3．已知二次函数，其中，当且仅当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．抛物线与轴的交点个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 5．二次函数的图象的对称轴是　　 A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 6．已知抛物线与轴的正、负半轴各有一个交点，则的取值范围为　　 A． B． C．或 D． 7．关于的一元二次方程有一个根是，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 8．已知，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 9．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移个单位，所得抛物线与重合，则　　． 10．若二次函数的对称轴是直线，则　　． 11．抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是　　． 12．已知二次函数，自变量与函数的部分对应值如下表： 0 1 2 3 5 0 0 关于的一元二次方程的解是 　　． 13．若抛物线与轴交于，，，两点，则　　． 14．如图，平行于轴的直线与两条抛物线和相交于点，，，．若，，，则的值为　　． 15．若抛物线与抛物线关于原点对称，则的值为　　． 16．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集为　　． 17．二次函数与轴的交点坐标是　　． 18．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两个不同点． （1）当时，有，求的值； （2）若，当时，都有，求的取值范围． 19．已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出的取值范围． 20．已知二次函数与的部分对应值如表所示： 0 1 2 3 4 5 1 0 1 0 （1）直接写出的值，并求出的解析式； （2）函数的图象可以由函数的图象通过怎样的变换得到？请直接写出的解析式； （3）若点在该二次函数图象上，当时，求的取值范围． 21．已知二次函数的图象过点，点和点． （1）若点，求二次函数表达式． （2）当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，求的值． （3）若且，求证：． 22．已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是． （1）求这个二次函数的表达式． （2）判断点是否在二次函数图象上，并说明理由． 23．在平面直角坐标系中，设二次函数是常数）． （1）若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标． （2）若函数图象经过点，，求证：． （3）已知函数图象经过点，，．若对于任意的，都有成立，直接写出的取值范围． 24．在平面直角坐标系中，抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含有的代数式表示）； （2）若．和．是抛物线上任意两点，且．求的值； （3）已知点和点，若二次函数的图象与线段只有一个公共点，求的取值范围． 25．二次函数的图象经过点，且对称轴为直线． （1）求这个二次函数的解析式． （2）图象上的点称为函数的不动点，求这个函数不动点的坐标． （3）若是二次函数图象上不动点之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差． 26．在平面直角坐标系中，抛物线为常数）经过点，点的坐标为，过点作轴交抛物线于点，点为抛物线对称轴上一点，且轴，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当时，的取值范围是 　　； （3）、两点之间的距离为，当时，求的值； （4）已知点的坐标为，当直线将△的面积分成两部分且时，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$