2025年中考数学压轴题系列：四边形综合

2025年中考数学压轴题系列：四边形综合

1．探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．

在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点．

(1)观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为________．证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是_______．

(2)数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由．

(3)结论拓展：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为________．

 

 

 

 

 

 

 

 

2．已知，，为了得到矩形，甲、乙两位同学的作图方法如下．

甲：如图1，以点A为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，且点与位于的异侧，连接，，得四边形．

乙：如图2，分别以点A，为圆心，大于的相同长为半径画弧，连接两弧交点的直线交于点，连接；再以点为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点

，连接，，得四边形．

请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

3．小明在一次数学活动中，进行了如下的探究活动：如图，在矩形中，，，以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点、、的对应点分别为、、．

(1)如图①，当点落在边上时，求的长；

(2)如图②，当点落在线段上时，与交于点．求的长．

(3)记点为矩形对角线的交点，连接、，记面积为，求的取值范围．

 

 

 

4．垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作与它相邻的两个顶点所连对角线的垂线，与平行四边形的一边相交，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．

(1)如图1，四边形为“垂中平行四边形”，平分，求证：．

(2)如图2，矩形为“垂中平行四边形”，于点，交边于点，若8，求的长．

(3)如图3，若四边形为“垂中平行四边形”，且，直接写出和的数量关系．

(4)如图4，在中，于点，若，，以为边构造“垂中平行四边形”，使点落在“垂中平行四边形”的边上，当过一个顶点作与它相邻两个顶点所连对角线的垂线经过的中点时，求的长．

 

 

 

 

 

 

 

 

5．【问题情境】

如图1，在正方形中，是边上的一个动点，连接将沿直线翻折，得到，点的对应点落在正方形内．

【猜想证明】

（1）如图1，连接并延长，交于点，交边于点．求证：；

（2）如图2，当是边的中点时，连接并延长，交边于点，将沿直线