加练12 几何压轴题（解析版）-【一战成名新中考】2025安徽中考数学中考必考知识点专题特训

1.如图，平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P为BC中点，AP交BD于点E，连接CE，AE＝CE．

（1）求证：平行四边形ABCD为菱形；

（2）若AB＝5，AE＝3，

①求的值．

②求BD的长．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，

∵AE＝CE，OE＝OE，

∴△AOE≌△COE（SSS），

∴∠AOE＝∠COE，

∵∠AOE+∠COE＝180°，

∴∠COE＝∠AOE＝90°，

即 AC⊥BD，

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：①∵平行四边形ABCD对角线的交点为O，

∴OB＝OD，AD∥BC，AD＝BC，

∴△ADE∽△PBE，

∴，

∵P为BC的中点，

∴，

设OE＝x，则BE＝OB﹣x，DE＝OB+x，

∴，解得，

∴，，

∴；

②设OE＝x，则BE＝2x，OB＝3x，

在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2＝AE2﹣OE2＝32﹣x2＝9﹣x2，

在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＝AB2﹣OB2＝52﹣（3x）2＝25﹣9x2，

则9﹣x2＝25﹣9x2，

∴（负值舍去），

∴，

∴．

2.已知正方形ABCD，点E是对角线AC上一点，连接BE、DE，F是DE延长线上一点．

（1）如图，若BF⊥BE，DF交AB于点G．求证：∠FBG＝∠FGB；

（2）如图，在（1）的条件下，当BF＝BE．求证：．

证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，

在△ABE和△ADE中，

，

∴△ABE≌△ADE（SAS），

∴BE＝DE，∠ABE＝∠ADE，

∵BF⊥BE，

∴∠EBF＝90°，

∴∠FBG+∠EBG＝90°，

∵∠BAD＝90°，

∴∠ADG+∠AGD＝90°，

∴∠FBG＝∠AGD，

∵∠FGB＝∠AGD，

∴∠FBG＝∠FGB；

（2）∵BF⊥BE，BF＝BE，

∴EFBE，

∵BE＝DE，

∴EFDE，

由（2）可知，∠FBG＝∠FGB，

∴FG＝BF，

∴FG＝DE，

∴GE＝EF﹣FGDE﹣DE＝（1）DE．

3.如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．

（1）求证：BE＝DE；

（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

①求证：矩形DEFG是正方形；

②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，

在△ABE和△ADE中，

，

∴△ABE≌△ADE（SAS），