加练10 锐角三角函数的应用（解析版）-【一战成名新中考】2025安徽中考数学中考必考知识点专题特训

1．某数学活动小组运用所学的解直角三角形知识测量楼房FG的楼顶安装的信号发射塔外墙GH的高度，利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在A处测得∠GDF＝30°，在B处测得∠HEF＝50°，点A、B、C在一条直线上，AC⊥CH于点C，DF⊥CH于点F，AB为20米，BC＝40米，测角仪的高度（AD、BE）为1.5米，请根据测量数据，求出信号发射塔GH的值．（结果精确到1米，参考数据：1.73，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

解：由题意知，DE＝AB＝20米，EF＝BC＝40米，

∴DF＝DE+EF＝20+40＝60（米），

在Rt△DFG中，tan∠GDF＝tan30°，

∴FG＝DF•tan30°＝60×2034.6（米），

在Rt△EFH中，＝an∠HEF＝tan50°，

∴FH＝EF•tan50°＝40×1.19≈47.6（米），

∴GH＝FH﹣FG＝47.6﹣34.6≈13（米），

答：信号发射塔GH的长为13米．

2．如图一是屏幕投影仪投屏情景图，图二是其侧面抽象示意图，A，D，C是支架的一部分，投影光线B′E与投影仪BB′近似在同一直线上，已知AD与地面FC垂直，且AD的长为15cm，CD的长为60cm，AD距墙面EF的水平距离为3m，若投影光线与AD的夹角∠EAD＝120°，CD与地面的夹角∠DCF＝52°，求光源投屏最高点到地面的距离EF．（结果精确到1cm，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，1.73）

解：延长AD交CF于点G，过点A作AH⊥EF，垂足为H，

由题意得：AG⊥CF，AH＝3m＝300cm，∠HAD＝90°，AG＝HF，

∵∠EAD＝120°，

∴∠EAH＝∠EAD﹣∠HAD＝30°，

在Rt△CDG中，CD＝60cm，∠DCF＝52°，

∴DG＝CD•sin52°≈60×0.79＝47.4（cm），

∵AD＝15cm，

∴HF＝AG＝AD+DG＝15+47.4＝62.4（cm），

在Rt△AEH中，EH＝AH•tan30°＝300100（cm），

∴EF＝EH+HF＝10062.4≈235（cm），

∴光源投屏最高点到地面的距离EF约为235cm．

3．华为手机自带AR测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法．如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者AB与浮雕像CD垂直于地面BE，若手机显示AC＝1.75m，AD＝2.45m，∠CAD＝53°，求浮雕像CD的高度．（结果精确到0.1，参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，1.41）

解：过点C作CF⊥AD，垂足为F，

∴∠AFC＝∠DFC＝90°，

在Rt△ACF中，∠DAC＝53°，AC＝1.75m，

∴CF＝AC•sin53°≈1.75×0.8＝1.4（m），

AF＝AC•cos53°≈1.75×0.6＝1.05（m），

∵AD＝2.45m，

∴DF＝AD﹣AF＝2.45﹣1.05＝1.4（m），

在Rt△CDF中，CD1.42.0（m），

∴浮雕像CD的高度约为2.0m．

4．图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD'的夹角为∠D'AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流刚好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝150cm．问安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）