加练9 全等相似综合题（解析版）-【一战成名新中考】2025安徽中考数学中考必考知识点专题特训

1.如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，AB上，且DE∥BC．

（1）则的值为 　　；

（2）将△ADE绕点A逆时针旋转到如图2的位置，旋转角为α（45°＜α＜90°），连接CD，BE，求的值；

（3）将△ADE绕点A旋转，当∠DEB＝90°，AC＝5，AD时，请直接写出线段CD的长．

 

解：（1）【解法提示】∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠B＝45°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠AED＝∠B＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，如图1，过点E作EF∥CD交BC于点F，∵DE∥BC，EF∥CD，∠ACB＝90°，∴四边形DCFE是矩形，∴CD＝EF，∠EFC＝90°，∴∠EFB＝180°﹣90°＝90°，∴sin∠Bsin45°，∴；

（2）由（1）知，△ADE∽△ACB，

∴，∠CAB＝∠DAE，

∴∠CAB+∠BAD＝∠DAE+∠BAD，

即∠CAD＝∠BAE，

∴△ACD∽△ABE，

∴；

（3）①如图，当∠DEB＝90°，位于AC右侧时，过点A作AF⊥BE，交BE的延长线

于点F，

 

∵∠DEB＝90°，∠AFE＝90°，∠ADE＝90°，AD＝DE，

∴四边形ADEF是正方形，

∴AD＝DE＝EF＝AF，

∵AC＝5，

∴ABAC＝5，

∴BF3，

∴BE＝BF﹣EF＝32，

∵，∠CAB﹣∠DAB＝∠DAE﹣∠DAB，

即∠CAD＝∠BAE，

∴△ACD∽△ABE，

∴，

∴CDBE2；

②如图，当∠DEB＝90°，位于AC左侧时，过点A作AF⊥BE，交BE于点F，

 

∵∠DEB＝90°，∠AFE＝90°，∠ADE＝90°，AD＝DE，

∴四边形ADEF是正方形，

∴AD＝DE＝EF＝AF，

∵AC＝5，

∴ABAC＝5，

∴BF3，

∴BE＝BF+EF＝34，

∵，∠CAB+∠EAC＝∠DAE+∠EAC，

即∠CAD＝∠BAE，

∴△ACD∽△ABE，

∴，

∴CDBE42；

综上，线段CD的长为或2．

     

2.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D为AB上一点，连接CD，分别过点A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．

（1）求证：AN＝CM；

（2）若点D满足BD：AD＝2：1，求DM的长；

（3）如图2，若点E为AB中点，连接EM，设sin∠NAD＝k，求证：EM＝k．

（1）证明：∵AN⊥CD，BM⊥CD，∴∠ANC＝90°，∠BMC＝90°，

又∠ACB＝90°，

∴∠ACN+∠BCM＝∠BCM+∠CBM＝90°，

∴∠ACN＝∠CBM，

又∵AC＝BC，

∴△ACN≌△CBM（AAS），

∴AN＝CM；

（2）解：∵∠AND＝∠BMD，∠ADN＝∠BDM，