加练8 相似三角形的性质与判定（解析版）-【一战成名新中考】2025安徽中考数学中考必考知识点专题特训

1.如图，△ABC中，点P在AB上，点E为BC的中点，点Q在线段CA的延长线上，且∠B＝∠PEQ＝∠C＝45°．

（1）求证：BE•QE＝PE•CQ；

（2）若，，求PQ的长．

（1）证明：∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，∠BPE+∠PEQ+∠CEQ＝180°，

又∵∠B＝∠PEQ＝∠C＝45°，

∴∠BPE＝180°﹣45°﹣∠BEP，∠CEQ＝180°﹣45°﹣∠BEP，

∴∠BPE＝∠CEQ，

∵∠B＝∠C，

∴△BPE∽△CEQ，

∴，

∴BE•QE＝PE•CQ；

（2）解：连接AE，如图，

∵∠B＝∠C＝45°，

∴∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∵点E为BC的中点，

∴AE＝BE＝CEBC．

由（1）知：△BPE∽△CEQ，

∴，

∴，

∴BE2＝36，

∵BE＞0，

∴BE＝6，

∴BE＝CE＝AE＝6，

∴AB＝ACBE＝6，

∴AP＝AB﹣BP＝4，AQ＝CQ﹣AC＝3，

∵∠BAQ＝180°﹣∠BAC＝90°，

∴PQ5．

2.如图，已知在△ABC中，P是BC上一点，连接AP使得∠CAP＝∠ABC．

（1）求证：AC2＝PC•BC；

（2）若AB＝AC＝5，sin∠ABC，求tan∠APC．

（1）证明：∵∠CAP＝∠ABC，∠C＝∠C，

∴△ABC∽△PAC，

∴，

∴AC2＝PC•BC；

（2）解：由（1）知△ABC∽△PAC，

∴∠APC＝∠BAC，

过点C作CH⊥AB，

∵AB＝AC＝5，，

∴，

设BC＝5x，CH＝4x，

则AH＝AB﹣BH＝5﹣3x，，

在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2，即52＝（4x）2+（5﹣3x）2，

解得：或0（舍去），

∴，

∴．

3.如图，在△ABC中，点D、G在边AC上，点E在边BC上，DB＝DC，EG∥AB，AE、BD交于点F，BF＝AG．

（1）求证：△BFE∽△CGE；

（2）当∠AEG＝∠C时，求证：AB2＝AG•AC．

证明：（1）∵DB＝DC，

∴∠DBC＝∠DCB，

∵EG∥AB，

∴，

∵BF＝AG，

∴，

∴△BFE∽△CGE；

（2）∵△BFE∽△CGE，

∴∠BEF＝∠GEC，∠BFE＝∠EGC，