加练7 全等三角形的性质与判定（解析版）-【一战成名新中考】2025安徽中考数学中考必考知识点专题特训

1.如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．

（1）求证：△ABE≌△CBD；

（2）证明：∠1＝∠3．

证明：（1）∵∠1＝∠2．

∴∠ABE＝∠CBD，

在△ABE和△CBD中，

，

∴△ABE≌△CBD（SAS）；

（2）由第一小问得△ABE≌△CBD，

∴∠A＝∠C，

∵∠AFB＝∠CFE，

∴∠1＝∠3．

2.如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）已知AC＝10，BE＝2，求AB的长．

（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠E＝∠DFC＝90°，

在Rt△BDE与Rt△CDF中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

∴DE＝DF，

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD平分∠BAC；

（2）解：∵Rt△BDE≌Rt△CDF，BE＝2，

∴CF＝BE＝2，

∵AC＝10，

∴AF＝AC﹣CF＝10﹣2＝8，

在Rt△ADE与Rt△ADF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），

∴AE＝AF＝8，

∴AB＝AE﹣BE＝8﹣2＝6．

3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，

求证：（1）DF∥BC；

（2）FG＝FE．

（1）证明：∵AF平分∠CAB，

∴∠CAF＝∠DAF．

在△ACF和△ADF中，

∵，

∴△ACF≌△ADF（SAS）．

∴∠ACF＝∠ADF．

∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，

∴∠ACE+∠CAE＝90°，∠CAE+∠B＝90°，

∴∠ACF＝∠B，

∴∠ADF＝∠B．

∴DF∥BC．

②证明：∵DF∥BC，BC⊥AC，

∴FG⊥AC．

∵FE⊥AB，

又AF平分∠CAB，

∴FG＝FE．

4.如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．

（1）求证：BE＝AD；

（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；

（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．

解：（1）如图1，∵∠ACB＝∠DCE＝α，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴BE＝AD；