专题06 排列组合常用技巧总结（9大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题06 排列组合常用技巧总结 【题型归纳目录】 【题型归纳目录】 题型一：直接法 题型二：间接法 题型三：涂色问题 题型四：相邻与不相邻问题 题型五：定序问题 题型六：隔板法 题型七：分组分配问题 题型八：路径问题 题型九：数字排列问题 【知识点梳理】 1、求解有限制条件排列问题的主要方法 直 接 法 分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数 分步法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数 捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中 除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列 间接法 对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法 2、两类含有附加条件的组合问题的解法 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解． 3、分组问题的求解策略 （1）对不同元素的分配问题． ①整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A（n为均分的组数），避免重复计数． ②部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． ③不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． （2）对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”． 4、常用类型归纳： （1）定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法） （2）相邻问题捆绑法 （3）相离问题插空法 （4）定序问题除序（去重复）、空位、插入法 （5）平均分组问题倍除法（去重复法） （6）元素相同问题隔板法 （7）正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法） （8）重排问题求幂法 （9）环（圆）排问题直排法 （10）多排问题单排法 （11）排列组合混合问题先选后排法 （12）小集团问题先整体后局部法 （13）含约束条件问题合理分类与分步法 （14）简单问题实际操作穷举法 （15）数字排序问题查字典法 （16）复杂问题分解与合成法 （17）复杂问题转化归结法（化归法） （18）复杂分类问题表格法 （19）运算困难问题树图法 （20）不易理解问题构造模型法 【典型例题】 题型一：直接法 【例1】（24-25高二下·江苏扬州·期中）5名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（   ） A．6 B．120 C．125 D．243 【变式1-1】（24-25高二下·广东江门·期中）中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子.如图，是利用算筹表示数 1~9 的一种方法.若规定137可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的不含数字的三位数的个数为（   ） A．10 B．20 C．36 D．38 【变式1-2】（24-25高二下·北京顺义·期中）将3个不同的小球放入4个盒子中，不同放法种数为（   ） A．12 B．14 C．64 D．81 题型二：间接法 【例2】（2018·湖南长沙·一模）郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（    ） A．168种 B．156种 C．172种 D．180种 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（   ） A．1440种 B．1360种 C．1282种 D．1128种 【变式2-2】（23-24高二上·北京西城·期末）在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（    ） A．12种 B．24种 C．32种 D．36种 题型三：涂色问题 【例3】（24-25高二下·重庆·期中）小明用3D打印机制作了一个底面各边边长均不相等的四棱锥模型，现将此模型的每一个面都涂上一种颜色，其中有公共边的两个面异色，现有5种颜色可供使用，则有（   ）种不同的涂色方法 A．320 B．360 C．420 D．480 【变式3-1】（24-25高二上·辽宁·期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（    ） A．48种 B．96种 C．102种 D．120种 【变式3-2】（24-25高二下·河北沧州·期中）对图中个区域涂色，有种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都使用），要求每个区域涂种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 题型四：相邻与不相邻问题 【例4】（24-25高二下·江苏淮安·期中）甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学坐一排照相，若甲不坐在6个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为 【变式4-1】（24-25高二下·天津·期中）甲乙丙丁在内的6位同学站成一排，则甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有 种.（用数字作答） 【变式4-2】（24-25高二下·上海·期中）某学校组织学生参加劳动实践活动， 其中 4 名男生和 2 名女生参加农场体验活动， 体验活动结束后，农场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为 ． (用数字作答) 题型五：定序问题 【例5】（23-24高二下·上海·期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 种.（结果用数字作答） 【变式5-1】（23-24高二下·上海浦东新·期中）在《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 【变式5-2】（22-23高二上·河南驻马店·期末）某同学将英文单词“million”中字母的顺序记错了，那么他在书写该单词时，写错的情况有 种（用数字作答）． 题型六：隔板法 【例6】（23-24高二下·贵州遵义·期末）方程的非负整数解个数为（    ）． A．220 B．120 C．84 D．24 【变式6-1】（22-23高二下·山西朔州·阶段练习）方程的正整数解的个数为（    ） A．56 B．35 C．70 D．66 【变式6-2】（24-25高二下·江苏苏州·期中）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（    ）种分配方案． A．135 B．10 C．75 D．120 题型七：分组分配问题 【例7】（24-25高二下·北京顺义·期中）如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共（   ） A．32种 B．24种 C．·20种 D．16种 【变式7-1】（24-25高二下·浙江绍兴·期中）某地区安排，，，，，六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且，两人安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（   ） A．132 B．114 C．90 D．72 【变式7-2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）某市组织6名获奖者到当地四个不同的会场与学生进行交流，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（   ） A．4320种 B．2640种 C．1560种 D．110种 题型八：路径问题 【例8】（24-25高二下·浙江宁波·期中）两张相同的方格表，有一方格重合（如图），沿格线连接两点；则不同的最短连接线有 条.    【变式8-1】（23-24高二下·河北石家庄·期末）如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块，的最短路线有 条． 【变式8-2】（24-25高二下·湖北恩施·期中）如图，在中国象棋的模盘上，敌方有一无名小卒，小卒未过河前只能竖行，不能横行，过河后每次只可横行或竖行一格，需想办法到达敌军的“帅”处，从而坐上“正堂”，赢得胜利，已知小卒中途不会受到任何阻碍，则小卒坐到“正堂”的最短路线有 条．    【变式8-3】（22-23高二下·上海静安·期中）如图所示，现有个正方形构成的网格，从A点沿网格线到B点，且不能经过C点，则最短路线共有 条．    题型九：数字排列问题 【例9】（24-25高二下·江苏苏州·期中）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如212，324等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成三位数，则组成的三位数中，“凹数”的个数是 ，其中能被3整除的“凹数”的个数是 . 【变式9-1】（24-25高二下·山东·期中）由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1和3不相邻的五位数的个数为 .（用数字作答） 【变式9-2】（24-25高二下·浙江杭州·期中）用组成四位数，数字最多用次，其中，则满足条件的四位数共有 个． 【强化训练】 1．（23-24高二下·安徽池州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ）    A．120 B．26 C．340 D．420 2．（23-24高二下·广东清远·期末）现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（    ） A．264种 B．216种 C．192种 D．144种 3．（24-25高二下·河南新乡·期中）用分类加法计数原理计算：书架上有5本不同的数学书和4本不同的物理书，从中任取1本书，共有多少种取法？（   ） A．9 B．20 C．40 D．60 4．（24-25高二下·山东烟台·期中）1800的正约数的个数为（    ） A．18 B．28 C．36 D．46 5．（24-25高二下·四川成都·期中）集合，，从集合中取一个元素作为点的横坐标，从集合中取一个元素作为点的纵坐标，则该点在第一象限内有（   ）种 A．6 B．5 C．4 D．3 6．（24-25高二下·云南·期中）某天小雪要坐高铁或普通旅客快车从南昌市出发去昆明市，已知当天普通旅客快车有2个车次，高铁有12个车次，则小雪当天从南昌市出发去昆明市的车次选择共有（   ） A．2种 B．14种 C．24种 D．30种 7．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（    ） A．72种 B．114种 C．120种 D．144种 8．（24-25高二上·江西·阶段练习）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为 ．（用数字作答） 9．（24-25高二下·山东聊城·期中）从1，2，3，4，5中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则得到的三位数中偶数的个数为 ．（用数字作答） 10．（24-25高二下·湖南长沙·期中）在五一小长假期间，要从6人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有 种. 11．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）甲、乙、丙等7人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（    ）种 A．96 B．128 C．240 D．672 12．（22-23高二下·四川资阳·期末）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，其中奇数不相邻，且2不在第二位，则这样的六位数个数为（    ） A．120种 B．108种 C．96种 D．72种 13．（22-23高二上·河南驻马店·期末）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.我市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“小雪”、“大雪”、“冬至”、“小寒”、“大寒”五张知识展板，分别放置在五个并排的文化橱窗里，要求“小雪”不能放在首位，“大雪”不能在末位，且“冬至”不在正中间位置，则不同的放置方式的种数有（    ） A．66 B．64 C．48 D．30 14．（24-25高二下·重庆荣昌·期中）2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（ ） A．120种 B．360种 C．420种 D．540种 15．（23-24高二下·山东临沂·期中）用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．180 B．240 C．280 D．300 16．（24-25高二上·辽宁·期末）如图，给编号为的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．125种 17．（24-25高二下·山西大同·期中）袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（    ） A．84种 B．504种 C．729种 D．39种 18．（24-25高二下·新疆和田·阶段练习）7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（    ）种不同的放法． A．60种 B．36种 C．30种 D．15种 19．（24-25高二上·江苏南京·期末）方程的非负整数解有（    ） A．组 B．136组 C．190组 D．68组 20．（24-25高二下·广东广州·期中）将5名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A．240种 B．180种 C．120种 D．60种 21．（24-25高二下·江苏徐州·期中）某校有5名学生打算前往观看电影《哪吒2》，《战狼》，《流浪地球2》，每场电影至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看电影《哪吒2》的方案种数有（    ） A．30 B．45 C．60 D．75 22．（24-25高二下·浙江·期中）如图是杭州地铁一号线的运行线路图的一部分，现有甲、乙、丙、丁4名游客乘坐湘湖至萧山国际机场方向的地铁一号线去西湖游玩，已知定安路站、龙翔桥站、凤起路站均可到达西湖景区，每名游客只在其中一个车站下车，且每个车站至少有一名游客下车，已知甲在定安路站下车，那么这4名游客下车的不同方案有（   ）种. A．24 B．20 C．12 D．6 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 排列组合常用技巧总结 【题型归纳目录】 【题型归纳目录】 题型一：直接法 题型二：间接法 题型三：涂色问题 题型四：相邻与不相邻问题 题型五：定序问题 题型六：隔板法 题型七：分组分配问题 题型八：路径问题 题型九：数字排列问题 【知识点梳理】 1、求解有限制条件排列问题的主要方法 直 接 法 分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数 分步法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数 捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中 除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列 间接法 对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法 2、两类含有附加条件的组合问题的解法 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解． 3、分组问题的求解策略 （1）对不同元素的分配问题． ①整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A（n为均分的组数），避免重复计数． ②部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． ③不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． （2）对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”． 4、常用类型归纳： （1）定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法） （2）相邻问题捆绑法 （3）相离问题插空法 （4）定序问题除序（去重复）、空位、插入法 （5）平均分组问题倍除法（去重复法） （6）元素相同问题隔板法 （7）正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法） （8）重排问题求幂法 （9）环（圆）排问题直排法 （10）多排问题单排法 （11）排列组合混合问题先选后排法 （12）小集团问题先整体后局部法 （13）含约束条件问题合理分类与分步法 （14）简单问题实际操作穷举法 （15）数字排序问题查字典法 （16）复杂问题分解与合成法 （17）复杂问题转化归结法（化归法） （18）复杂分类问题表格法 （19）运算困难问题树图法 （20）不易理解问题构造模型法 【典型例题】 题型一：直接法 【例1】（24-25高二下·江苏扬州·期中）5名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（   ） A．6 B．120 C．125 D．243 【答案】D 【解析】依题意，每名男生都可以报名参加3个运动队中的任何一个，且每人限报其中的一个， 故每名男生的报名方法都是3种，因此5名男生的不同报法种数为. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高二下·广东江门·期中）中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子.如图，是利用算筹表示数 1~9 的一种方法.若规定137可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的不含数字的三位数的个数为（   ） A．10 B．20 C．36 D．38 【答案】D 【解析】依题意，一根算筹只能表示；两根算筹可以表示、， 三根算筹可以表示、，四根算筹可以表示、； 依题意根算筹可以分为，，三种情况： 若为，则有个三位数； 若为，则有个三位数； 若为，则有个三位数； 综上可得一共有个三位数. 故选：D 【变式1-2】（24-25高二下·北京顺义·期中）将3个不同的小球放入4个盒子中，不同放法种数为（   ） A．12 B．14 C．64 D．81 【答案】C 【解析】第一个小球有4种不同的放法， 第二个小球有4种不同的放法， 第三个小球也有4种不同的放法， 按照分步乘法计数原理可得，将3个不同的小球放入4个盒子中，不同放法种数有. 故选：C. 题型二：间接法 【例2】（2018·湖南长沙·一模）郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（    ） A．168种 B．156种 C．172种 D．180种 【答案】B 【解析】根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析： 先计算小李和小王不受限制的排法数学：先在6位志愿者中任选1个，安排在甲展区，有种情况， 再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况， 最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有种情况， 所以小李和小王不受限制的排法有种， 若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况： 在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况， 再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况， 最后安排2个安排到剩下的展区，有1种情况， 则小李和小王在一起的排法有种， 所以小李和小不在一起的排法有种， 故选：B 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（   ） A．1440种 B．1360种 C．1282种 D．1128种 【答案】D 【解析】采取对丙和甲进行捆绑的方法： 如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：种， 如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：种， 若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：种． 则不同的安排方案共有(种)． 故选：D． 【变式2-2】（23-24高二上·北京西城·期末）在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（    ） A．12种 B．24种 C．32种 D．36种 【答案】C 【解析】如下图所示： 在正方体中，共有6个表面，在这6个表面内任取3个点都在同一平面内，共有种； 在正方体的8个顶点中任选3个共有种； 所以这3个顶点恰好不在同一个表面中的选法共有种. 故选：C 题型三：涂色问题 【例3】（24-25高二下·重庆·期中）小明用3D打印机制作了一个底面各边边长均不相等的四棱锥模型，现将此模型的每一个面都涂上一种颜色，其中有公共边的两个面异色，现有5种颜色可供使用，则有（   ）种不同的涂色方法 A．320 B．360 C．420 D．480 【答案】C 【解析】 如图： 当用种颜色时，即平面，平面，平面，涂种不同的颜色， 平面与平面同色，平面与平面同色，所以有种方法； 当用种颜色时，即平面，平面，平面，涂种不同的颜色， 从平面与平面中选一个涂第四种颜色，另一面与所对的面同色即可，所以有种方法； 当用种颜色时，即个面涂不同的颜色，有种方法， 所以总共有种方法， 故选：C 【变式3-1】（24-25高二上·辽宁·期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（    ） A．48种 B．96种 C．102种 D．120种 【答案】B 【解析】如图，设图中的六个区域分别为， 按照是否同色，分两类： ①不同色，先给涂色，有，再根据是否用余下那种颜色分两种情况， 不用第三种颜色，即用的颜色，用的颜色，有种，有种，则有种涂法； 用第三种颜色，即用第三种颜色，用的颜色，有种，有种， 或用第三种颜色， 用的颜色，则有种涂法， 所以不同色的涂法有：， ②同色，先给涂色，有，则只能用第三种颜色，有种，有种， 所以同色的涂法有：， 综上，不同的涂色方法有：种. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高二下·河北沧州·期中）对图中个区域涂色，有种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都使用），要求每个区域涂种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解析】先涂区域，有种选择，再涂区域、、、，各有种选择， 故不同的涂色方法有种. 故选：B. 题型四：相邻与不相邻问题 【例4】（24-25高二下·江苏淮安·期中）甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学坐一排照相，若甲不坐在6个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为 【答案】144 【解析】乙和丙相邻，那么乙和丙两人之间的排列方式有种． 甲不坐在个人的两端，那么甲可选择的位置有中间的个位置，所以甲的排法有种． 此时相当于将乙丙整体、甲以及丁、戊、戌进行排列，已经排好了甲，还剩下个位置，乙丙整体和丁、戊、戌全排列的方式有种． 所以不同的排列方式种数为种． 故答案为：144． 【变式4-1】（24-25高二下·天津·期中）甲乙丙丁在内的6位同学站成一排，则甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有 种.（用数字作答） 【答案】 【解析】将丙丁捆绑和甲乙以外的两人排列，有种，形成了四个空， 再将甲乙插入四个空，有种， 所以甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有种. 故答案为：. 【变式4-2】（24-25高二下·上海·期中）某学校组织学生参加劳动实践活动， 其中 4 名男生和 2 名女生参加农场体验活动， 体验活动结束后，农场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为 ． (用数字作答) 【答案】 【解析】由题意，农场主站在中间有种方法， 农场主站在中间，且2名女生相邻有种方法， 所以2名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为. 故答案为：528. 题型五：定序问题 【例5】（23-24高二下·上海·期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 种.（结果用数字作答） 【答案】2520 【解析】由题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为，，， 则因为每一串只能从上往下吃， 所以在前被吃，在前而在前被吃，即它们被吃的相对位置是已定的，同理被吃的相对位置也是已定的， 所以根据排列中定序问题可得不同的吃完的顺序有种. 故答案为：2520. 【变式5-1】（23-24高二下·上海浦东新·期中）在《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 【答案】12 【解析】将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，与其他3种原料一起共有4个元素排顺序， 茄子净肉在鸡脯肉后下锅，有种顺序， 剩下两个元素放入最后2个位置，有种顺序， 则有种下锅顺序. 故答案为：12. 【变式5-2】（22-23高二上·河南驻马店·期末）某同学将英文单词“million”中字母的顺序记错了，那么他在书写该单词时，写错的情况有 种（用数字作答）． 【答案】1259 【解析】英文单词“million”中字母的顺序记错了， 因为有两个i，两个l重复，那么他在书写该单词时， 共有种可能， 而正确的拼写只有1种，故写错的情况有1259种. 故答案为：1259 题型六：隔板法 【例6】（23-24高二下·贵州遵义·期末）方程的非负整数解个数为（    ）． A．220 B．120 C．84 D．24 【答案】A 【解析】依题意，可知为非负整数， 因为， 所以， 从而将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，每部分至少一个球， 一共有12个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有种. 故选：A 【变式6-1】（22-23高二下·山西朔州·阶段练习）方程的正整数解的个数为（    ） A．56 B．35 C．70 D．66 【答案】B 【解析】原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球， 采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可， 故共有种． 故选：B. 【变式6-2】（24-25高二下·江苏苏州·期中）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（    ）种分配方案． A．135 B．10 C．75 D．120 【答案】B 【解析】“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”， 故有， 故选：B. 题型七：分组分配问题 【例7】（24-25高二下·北京顺义·期中）如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共（   ） A．32种 B．24种 C．·20种 D．16种 【答案】D 【解析】按照甲、乙两人同时在天和核心舱或问天实验舱两种情况讨论： ①若甲、乙两人同时在天和核心舱，则需要从剩余4人中再选1人， 剩下的3人去剩下的两个舱位，则有种可能； ②若甲、乙两人同时在问天实验舱，则剩下的4人选3人去天和核心舱即可， 共有种可能， 根据分类加法计算原理，共有种可能. 故选：D. 【变式7-1】（24-25高二下·浙江绍兴·期中）某地区安排，，，，，六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且，两人安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（   ） A．132 B．114 C．90 D．72 【答案】B 【解析】第一种分配方式这每个社区各两人，则，为一组，再从，，，中选两人为一组，剩下的两人为一组，所以有种分配方法， 第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人， 当，两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，所以有种分配方法， 当，两人加上另一个人三人去一个社区，则剩下的3人，1人为一组，2人为一组，所以有种分配方法， 所以由分类加法原理可知共有种不同的分配方法. 故选：B 【变式7-2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）某市组织6名获奖者到当地四个不同的会场与学生进行交流，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（   ） A．4320种 B．2640种 C．1560种 D．110种 【答案】C 【解析】依题意各会场的获奖者人数可能是或， 若为，则有种不同的派出方法； 若为，则有种不同的派出方法； 综上可得一共有种不同的派出方法. 故选：C 题型八：路径问题 【例8】（24-25高二下·浙江宁波·期中）两张相同的方格表，有一方格重合（如图），沿格线连接两点；则不同的最短连接线有 条.    【答案】2450 【解析】把方格表重合的地方标上点，如图，从到的路线必定过中的一点， 从到有种，到到有种，因此从经过到有种路线， 从到有种，到到有种，因此从经过到有种路线， 所有路线条数为． 故答案为：2450． 【变式8-1】（23-24高二下·河北石家庄·期末）如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块，的最短路线有 条． 【答案】150 【解析】由题可知，的最短路线必经过两点， 则的最短路线有种，的最短路线有种； 的最短路线有种，的最短路线有种； 因为的最短路线有和， 所以的最短路线有种， 故答案为：150． 【变式8-2】（24-25高二下·湖北恩施·期中）如图，在中国象棋的模盘上，敌方有一无名小卒，小卒未过河前只能竖行，不能横行，过河后每次只可横行或竖行一格，需想办法到达敌军的“帅”处，从而坐上“正堂”，赢得胜利，已知小卒中途不会受到任何阻碍，则小卒坐到“正堂”的最短路线有 条．    【答案】70 【解析】小卒过河前只能往前走，故过河前路线唯一，过河后需走八步，其中，横着需走4步，竖着需走4步，故只需选出横着走的四步即可，即． 故答案为： 【变式8-3】（22-23高二下·上海静安·期中）如图所示，现有个正方形构成的网格，从A点沿网格线到B点，且不能经过C点，则最短路线共有 条．    【答案】66 【解析】从A到B的最短路线，均需走9步，包括横向的5步和纵向的4步， 所以A到B的最短路线共有＝126条， 其中经过C点的有＝60条， 所以不能经过C点的有126－60＝66条． 故答案为：66． 题型九：数字排列问题 【例9】（24-25高二下·江苏苏州·期中）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如212，324等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成三位数，则组成的三位数中，“凹数”的个数是 ，其中能被3整除的“凹数”的个数是 . 【答案】 30 10 【解析】依题意，十位数字是1的“凹数”个数为；十位数字是2的“凹数”个数为； 十位数字是3的“凹数”个数为；十位数字是4的“凹数”个数为1， 所以所求“凹数”的个数是； 1，2，3，4，5除以3的余数依次为1，2，0，1，2， 因此能被3整除的“凹数”含有数字3时，另两个数字除以3的余数不同， 其中十位数字是1，另两个数字分别为2，3和3，5；十位数字是2，另两个数字为3，4； 十位数字是3，另两个数字分别为4，5；共有个； 不含数字3时，三个数字除以3的余数相同，十位数字是1，另两个数字分别为4，4； 十位数字是2，另两个数字为5，5，共2个， 所以能被3整除的“凹数”的个数是10个. 故答案为：30；10 【变式9-1】（24-25高二下·山东·期中）由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1和3不相邻的五位数的个数为 .（用数字作答） 【答案】72 【解析】组成没有重复数字的五位数的个数为； 组成没有重复数字且1和3相邻的五位数的个数为； 所以符合题意的五位数的个数为. 故答案为：72. 【变式9-2】（24-25高二下·浙江杭州·期中）用组成四位数，数字最多用次，其中，则满足条件的四位数共有 个． 【答案】 【解析】当四个不同数字各出现一次时，有个； 当一个数字出现两次，其他两个数字各出现一次时，则重复出现的数字只能是， 则有个； 当一个数字出现三次，另一个数字出现一次时，则重复出现的数字只能是， 则有个； 当两个不同数字各出现两次时，则重复出现的数字只能是， 则有个； 当一个数字出现四次时，则仅有数字符合条件，则有个， 综上所述，满足条件的四位数共有个. 故答案为：. 【强化训练】 1．（23-24高二下·安徽池州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ）    A．120 B．26 C．340 D．420 【答案】D 【解析】根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E， 分4步进行分析： ①，对于区域A，有5种颜色可选； ②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选； ④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选， 若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选， 则区域D、E有种选择， 所以不同的涂色方案有种. 故选：D. 2．（23-24高二下·广东清远·期末）现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（    ） A．264种 B．216种 C．192种 D．144种 【答案】A 【解析】依题意，求不同涂色方案问题，有用4种颜色和用3种颜色两类办法， 用4种颜色，先涂点有种方法，再在中选一点涂第4色，另两点有3种涂色方法， 因此不同涂色方法数为； 用3种颜色，先涂点有种方法，再涂有2种方法， 因此不同涂色方法数为， 所以不同的涂色方案有（种）. 故选：A 3．（24-25高二下·河南新乡·期中）用分类加法计数原理计算：书架上有5本不同的数学书和4本不同的物理书，从中任取1本书，共有多少种取法？（   ） A．9 B．20 C．40 D．60 【答案】A 【解析】由分类加法计数原理，可知不同的取法有种． 故选：A 4．（24-25高二下·山东烟台·期中）1800的正约数的个数为（    ） A．18 B．28 C．36 D．46 【答案】C 【解析】首先将1800进行质因数分解可得， 对于，正约数有，共4个正约数； 对于，正约数有，共3个正约数； 对于，正约数有，共3个正约数， 根据分步乘法计数原理可知1800的正约数的个数为. 故选：C. 5．（24-25高二下·四川成都·期中）集合，，从集合中取一个元素作为点的横坐标，从集合中取一个元素作为点的纵坐标，则该点在第一象限内有（   ）种 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】第一象限内的点的横坐标是正数，纵坐标是正数． 从集合取一个正数作为点的横坐标有1，3两种不同的选法， 从集合取一个正数作为点的纵坐标有5，6两种不同的选法， 由分步乘法计数原理可得总的方法数有种不同的选法. 故选：C. 6．（24-25高二下·云南·期中）某天小雪要坐高铁或普通旅客快车从南昌市出发去昆明市，已知当天普通旅客快车有2个车次，高铁有12个车次，则小雪当天从南昌市出发去昆明市的车次选择共有（   ） A．2种 B．14种 C．24种 D．30种 【答案】B 【解析】由分类加法计数原理，得小雪当天从南昌市出发去昆明市的车次选择共有种. 故选：B. 7．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（    ） A．72种 B．114种 C．120种 D．144种 【答案】B 【解析】不考虑甲乙是否同一天加班的特殊情况，5位员工安排在3天加班， 可分为与两种情况， ①：；②：，共有150种情况． 若甲、乙在同一天加班，分他们都在2人组和都在3人组两种情况， ①都在2人组：；②都在3人组：， 考虑两人的特殊要求之后，共有（种）不同的值班安排方法． 故选：B 8．（24-25高二上·江西·阶段练习）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为 ．（用数字作答） 【答案】14 【解析】将这些“凸数”分为两类：①含数字0，则0一定在个位上，有种； ②不含数字0，则有种， 所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为. 故答案为：14 9．（24-25高二下·山东聊城·期中）从1，2，3，4，5中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则得到的三位数中偶数的个数为 ．（用数字作答） 【答案】24 【解析】先填个位数，可以选或，有种方法， 然后从剩下的四个数字中任选两个分别填在十位以及百位上，则有种情况， 由分步乘法计数原理可知，总情况数有种. 故答案为： 10．（24-25高二下·湖南长沙·期中）在五一小长假期间，要从6人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有 种. 【答案】150 【解析】根据题意可知，值班的人数为2人或者3人，若人数为2，则需要一个人值班首尾两天，一个人值中间的那一天，故方法数为：；若人数为3，则每人值一天班，故方法数为；故总的方法有30+120=150种. 故答案为： 11．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）甲、乙、丙等7人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（    ）种 A．96 B．128 C．240 D．672 【答案】D 【解析】先从7人中任选2人排在乙和丙之间有中排法，有乙和丙之间可相互排序有， 把这4人看成一个元素与其余3人排序有，故由分步乘法计数原理共有， 甲不在两端有， 故甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有. 故选：D. 12．（22-23高二下·四川资阳·期末）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，其中奇数不相邻，且2不在第二位，则这样的六位数个数为（    ） A．120种 B．108种 C．96种 D．72种 【答案】B 【解析】1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，其中奇数不相邻，先排3个偶数，然后把3个奇数插入即可，共有个， 若2在第二位，则第一位一定为奇数，则从3个奇数中选择一个放在第一位上，此时还剩下2个偶数和2个奇数安排在后四位上，则先排2个偶数，然后把剩下2个奇数插空即可，此时共有个， 因此符合条件的六位数有个， 故选：B 13．（22-23高二上·河南驻马店·期末）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.我市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“小雪”、“大雪”、“冬至”、“小寒”、“大寒”五张知识展板，分别放置在五个并排的文化橱窗里，要求“小雪”不能放在首位，“大雪”不能在末位，且“冬至”不在正中间位置，则不同的放置方式的种数有（    ） A．66 B．64 C．48 D．30 【答案】B 【解析】由题意，五张知识展板并排放在文化橱窗里共有种排法， 小雪站在首位或大雪站在末位有种排法， 小雪站在首位且大雪站在末位有种排法， 则小雪不站首位，大雪不站在末位的站法共有种， 而小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中间的情况分两类， 小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中间，小雪不站末位，有， 小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中间，小雪站末位，有， 故小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至不在正中间的站法共有：种. 故选：B. 14．（24-25高二下·重庆荣昌·期中）2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（ ） A．120种 B．360种 C．420种 D．540种 【答案】C 【解析】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色， 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，相对的直角三角形必同色， 此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，其中一对相对的直角三角形必同色， 余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有种； 综上，不同的涂色方案有：种. 故选：C. 15．（23-24高二下·山东临沂·期中）用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．180 B．240 C．280 D．300 【答案】A 【解析】 如图，先涂，有5种不同的涂色方法，再涂，有4种不同的涂色方法， 然后涂，有3种不同的涂色方法，最后涂，有3种不同的涂色方法， 则不同的涂色方法有种. 故选：A. 16．（24-25高二上·辽宁·期末）如图，给编号为的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．125种 【答案】A 【解析】由题意可得，只需确定区域的颜色，即可确定所有区域的涂色． 先涂区域1，有5种选择；再涂区域2，有4种选择；最后涂区域3，有3种选择． 故不同的涂色方案有种． 故选：A. 17．（24-25高二下·山西大同·期中）袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（    ） A．84种 B．504种 C．729种 D．39种 【答案】A 【解析】四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完， 即将个球分成了份： 个球有个空隙，选个空隙插上“隔板”即可分成4份， 即：种. 故选：A. 18．（24-25高二下·新疆和田·阶段练习）7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（    ）种不同的放法． A．60种 B．36种 C．30种 D．15种 【答案】D 【解析】将7个小球分成三组即可，可采用插空法，7个小球有6个空，则有种不同的方法. 故选：D. 19．（24-25高二上·江苏南京·期末）方程的非负整数解有（    ） A．组 B．136组 C．190组 D．68组 【答案】C 【解析】根据题意，对于方程， 将“18”看成18个“1”， 18个“1”共有19个空， 从19个空中选两个空进行隔板，或从19个空中选1个空插2个隔板， 即可以将18个“1”分为三组，每组对应“1”的数目依次为的数值， 则有. 方程的非负整数解有190组. 故选：C 20．（24-25高二下·广东广州·期中）将5名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A．240种 B．180种 C．120种 D．60种 【答案】A 【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者， 可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素， 四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种， 根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案. 故选：A. 21．（24-25高二下·江苏徐州·期中）某校有5名学生打算前往观看电影《哪吒2》，《战狼》，《流浪地球2》，每场电影至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看电影《哪吒2》的方案种数有（    ） A．30 B．45 C．60 D．75 【答案】C 【解析】依题意，将5名学生分为1，2，2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有种方法； 由于甲同学不去观看电影《哪吒2》，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由种方法； 按照分步乘法原理，共有种方法． 故选：C 22．（24-25高二下·浙江·期中）如图是杭州地铁一号线的运行线路图的一部分，现有甲、乙、丙、丁4名游客乘坐湘湖至萧山国际机场方向的地铁一号线去西湖游玩，已知定安路站、龙翔桥站、凤起路站均可到达西湖景区，每名游客只在其中一个车站下车，且每个车站至少有一名游客下车，已知甲在定安路站下车，那么这4名游客下车的不同方案有（   ）种. A．24 B．20 C．12 D．6 【答案】C 【解析】因为每个车站至少有一名游客下车，所以要将乙、丙、丁名游客分成组． 从名游客中选个人为一组，剩下个人为一组，则分组方法有种． 将分好的组全排列，安排到龙翔桥站和风起路站这个车站，则排列方法有种． 前面分组有种方法，排列有种方法，所以这名游客下车的不同方案有种． 又因为甲已经确定在定安路站下车，这是一种确定的情况，不需要参与组合排列计算，所以最终的方案数就是种（乘是因为甲在定安路站下车后，剩下人分组排列后可以看作是另外两个站的人员分配情况，而对于这两个站的顺序有种情况）． 这名游客下车的不同方案有12种． 故选：C． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$