专题05 利用向量法解决立体几何范围与最值问题（6大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019)

专题05 利用向量法解决立体几何范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：截面问题 题型二：体积、面积问题 题型三：数量积问题 题型四：距离问题 题型五：角度问题 题型六：线段和问题 【知识点梳理】 1、利用空间向量法求解立体几何中的距离和角度问题，求解的取值范围的关键是能够将所求转化为关于变量的函数的形式，从而利用函数值域的求解方法求得取值范围. 2、对于立体几何的综合问题的解答方法： （1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 【典型例题】 题型一：截面问题 【典例1-1】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①平面截正方体所得的截面图形是五边形； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是. 其中所有正确结论的序号是（   ） A．②③ B．②④ C．①③ D．①④ 【典例1-2】（多选题）（24-25高二下·浙江杭州·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（    ） A．棱上存在一点，使得平面 B．点到平面的距离为 C．过且与面平行的平面截正方体所得截面面积为 D．过的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为 题型二：体积、面积问题 【典例2-1】（多选题）（24-25高二上·江苏无锡·期末）如图，在长方体中，，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B．平面 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．若为线段上的动点，则三棱锥的体积最大值为 【典例2-2】（多选题）（22-23高二上·福建福州·阶段练习）已知正方体的棱长为2，如图，为棱上的动点，平面，则下列说法正确的是（   ） A．直线与平面所成角的正弦值范围为 B．当点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C．当点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得的截面图形是等腰梯形 D．已知为的中点，当的和最小时，则 【变式2-1】（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知正方体的棱长为2，是棱的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为 ． 【变式2-2】（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）如图所示，四面体的体积为V，点M为棱的靠近B的三等分点，点F分别为线段的中点，点N为线段的中点，过点N的平面与棱，，分别交于O，P，Q，设四面体的体积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型三：数量积问题 【典例3-1】（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（24-25高二上·广东广州·期中）已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·广西·期中）如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式3-2】（23-24高二上·北京延庆·期中）已知正三棱锥的底面的边长为2，是空间中任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型四：距离问题 【典例4-1】（24-25高二上·广东佛山·期末）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是3，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，则MN的最小值为（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）在三棱锥中，，，，中点为，点为棱上的动点，当取最小值时，线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·四川成都·期中）已知正方体的棱长为2，且满足且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·辽宁·期中）在空间直角坐标系中，已知，，为整数，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型五：角度问题 【典例5-1】（24-25高三下·江西赣州·期中）已知一圆锥的底面半径是1，高为，SA为该圆锥的一条母线，B，C是圆锥底面圆周上的两个动点，则直线SA与BC夹角的余弦值的最大值是（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】（24-25高二上·江西吉安·期末）如图，四边形，，现将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·湖南邵阳·一模）如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点. (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【变式5-2】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，，，，，，M是线段BD上的动点. (1)求证：； (2)设直线PM与平面ABCD所成的角为，求的最大值. 题型六：线段和问题 【典例6-1】（多选题）（24-25高二下·福建·期中）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，点在线段上，，则下列说法正确的是（    ） A．当三棱锥的体积最大时， B．当时，总存在点，使得 C．当时，存在点和，使得 D．的最小值是 【典例6-2】（24-25高二上·四川·期中）如图，在直三棱柱中，为腰长为的等腰直角三角形，且，侧面为正方形，为平面内一动点，则的最小值是（   ）    A． B． C． D． 【变式6-1】（多选题）（24-25高二上·辽宁大连·期末）如图，正方体的棱长为2，分别为正方形的内切圆上的点，下列说法正确的是（    ） A．若分别为的中点，则棱与平面所成角的余弦值为 B．若平面与平面平行，则平面到平面的距离的最小值是 C．直线与所成角的最大值为 D．的最小值为 【强化训练】 1．（24-25高二上·安徽合肥·期末）在长方体中，，线段与交于点，点P 为空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知空间四边形的四个顶点，，，的坐标分别为，，，，若为平面上的一个动点，则当，且，的夹角取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，在平面内过点作，交AB于，连PO.设点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25高二上·辽宁·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱台中，，，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·浙江·模拟预测）边长为1的正方体中，E，F分别是，中点，M是靠近B的四等分点，P在正方体内部或表面，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 8．（多选题）（24-25高二下·江苏宿迁·期中）正方体中，点P满足，若正方体棱长为1，则下列正确的有（   ） A．若，，则平面 B．若，则三棱锥的体积为定值 C．若，则点到直线的距离的最小值为 D．若，，则二面角的正弦值的最小值为 9．（多选题）（24-25高二下·福建龙岩·期中）在棱长为1的正方体中，下列说法正确的是（   ） A．若动点是内部一点（含边界，除点外），则对任意，都有平面 B．若，分别为，的中点，则平面截该正方体所得的截面周长为 C．若动点满足，则的最小值是 D．若动点在上，点在上，则的最小值为 10．（多选题）（24-25高二下·江苏常州·期中）在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（    ） A．点E到平面的距离为 B．若平面，则F是棱AD的中点 C．若平面，则F是AC上靠近C的三等分点 D．若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为 11．（多选题）（24-25高二上·云南昭通·期中）如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（    ） A． B．线段存在最小值，最小值为 C．直线与平面垂直 D．当三棱锥的体积最大时， 12．（多选题）（24-25高三上·广东深圳·开学考试）如图，四棱锥底面是边长为4的正方形，若点M在四边形内（包含边界）运动，N为的中点，，，则（   ）．    A．当M为的中点时，异面直线与所成角为 B．当平面时，点M的轨迹长度为 C．当与平面所成的角是时，点M到的距离可能为 D．点Q是四棱锥外接球上的一点，则的最大值是 13．（多选题）（24-25高二下·江苏南京·期中）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点.则（   ） A．为的中点时，平面平面 B．为的中点时，异面直线与之间的距离为 C．存在点，使得直线与平面所成的角为 D．为所在直线的动点，则的最大值为 14．（多选题）（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，底面，，，点满足，其中，，，则下列说法正确的是（    ） A．若点到点，，，的距离相等，则 B．若，则长度的最小值为 C．若，则长度的最大值为2 D．若，则点的轨迹的长度为 15．（多选题）（24-25高二上·湖南·期末）如图，在棱长为2的正方体中，，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．三棱锥的体积最大值为1 C．若，则点到直线的距离为 D．三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为 16．（多选题）（24-25高二上·江苏南京·期末）已知正方体的棱长为1，动点满足，.，，分别为，，的中点，则下列选项正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．存在点，使得平面 C．若，则点的轨迹为抛物线 D．若与平面所成角的大小为，则的最大值为 17．（多选题）（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（    ） A．与平面的夹角的正弦值为 B．点到的距离为 C．线段的长度的最大值为 D．与的数量积的范围是 18．（多选题）（24-25高二上·吉林·期中）如图，正方体的棱长为分别为的中点，为底面内的动点，且，则（    ） A．动点的轨迹长度为 B．存在点，使异面直线与所成的角为 C．点到平面的距离的最小值为 D．点到平面的距离的最大值为 19．（多选题）（24-25高二上·山西大同·期中）在正方体中，，，则（    ） A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段 C．若，则三棱锥的体积为定值 D．若，则与平面所成角的余弦值的最大值为 20．（多选题）（24-25高二上·重庆·期中）正方体的棱长为2，点为正方形内的一个动点（含边界），为的中点，则下列结论正确的是（   ） A．当与重合时，平面 B．当时，的最大值为 C．当时，的轨迹长度为 D．若，则与平面所成角正弦值的最小值为 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 利用向量法解决立体几何范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：截面问题 题型二：体积、面积问题 题型三：数量积问题 题型四：距离问题 题型五：角度问题 题型六：线段和问题 【知识点梳理】 1、利用空间向量法求解立体几何中的距离和角度问题，求解的取值范围的关键是能够将所求转化为关于变量的函数的形式，从而利用函数值域的求解方法求得取值范围. 2、对于立体几何的综合问题的解答方法： （1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 【典型例题】 题型一：截面问题 【典例1-1】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①平面截正方体所得的截面图形是五边形； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是. 其中所有正确结论的序号是（   ） A．②③ B．②④ C．①③ D．①④ 【答案】C 【解析】对于①，连接分别于的延长线分别交于，连接分别交于，连接，如下图所示： 易知平面与平面为同一平面， 其截正方体所得的截面图形是，为五边形，即①正确； 对于②，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则，显然， 又平面，平面，所以平面； 因此直线到平面的距离即为点到平面的距离， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，即； 易知， 则直线到平面的距离是，即②错误； 对于③，由点在线段上运动，可设， 因此，则， 可得， 假设存在点，使得，可得， 整理可得，解得或（舍去）， 故存在点，使得，即③正确. 对于④，易知，， 所以点到直线的距离为， 可知当时，点到直线的距离最小为， 所以面积的最小值是，即④错误. 故选：C 【点睛】方法点睛：在求解空间中点存在性问题以及最值问题时，经常利用空间直角坐标系由空间向量求得相应结果即可得出结论. 【典例1-2】（多选题）（24-25高二下·浙江杭州·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（    ） A．棱上存在一点，使得平面 B．点到平面的距离为 C．过且与面平行的平面截正方体所得截面面积为 D．过的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】A，在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的一个法向量，则， 令，得， 设棱上点，，则， 若平面，则有， 解得，与矛盾， 即在棱上不存在点M，使得平面，A不正确； B，点到平面的距离h，因， 则，B正确； C，取AD，CD的中点E，F，连接， 则，即确定一个平面，如图， 依题意，，，即四边形是平行四边形，， 平面，平面，于是得平面， 显然，平面，平面，于是得平面， 而，平面，因此，平面平面， 即梯形是过与平面平行的正方体的截面， 而， 则此等腰梯形的高， 所以过与平面平行的正方体的截面面积为，C正确； D，过PQ的平面截正方体的外接球所得截面小圆最小时， 该小圆直径是直线PQ被正方体的外接球所截弦， 由对称性知线段PQ中点N是这个小圆的圆心， 令正方体的外接球球心为O，连接ON，OP， 则，而，而球半径， 则这个小圆半径，此圆面积为，D正确. 故选：BCD 题型二：体积、面积问题 【典例2-1】（多选题）（24-25高二上·江苏无锡·期末）如图，在长方体中，，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B．平面 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．若为线段上的动点，则三棱锥的体积最大值为 【答案】CD 【解析】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，M，N分别为棱，的中点， 故， ， 故， 所以与不垂直，故与平面不垂直，A错误； B选项，，而平面的一个法向量为， 则， 故与不垂直，故与平面不平行，B错误； C选项，，，， 设异面直线和所成角的夹角为， 故， 故异面直线和所成角的余弦值为，C正确； D选项，为线段上的动点，设，， 其中，， 故， 则， 故， 由于为定值，故点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 又， 设点到平面的距离为， 则， 因为，所以当时，， 则三棱锥的体积最大值为，D正确. 故选：CD 【典例2-2】（多选题）（22-23高二上·福建福州·阶段练习）已知正方体的棱长为2，如图，为棱上的动点，平面，则下列说法正确的是（   ） A．直线与平面所成角的正弦值范围为 B．当点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C．当点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得的截面图形是等腰梯形 D．已知为的中点，当的和最小时，则 【答案】ACD 【解析】对于A选项，以点D为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则点、、设点， 平面，则为平面的一个法向量，且，， ， 所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确； 对于B选项，当与重合时，连接， 在正方体中，平面，平面，， ∵四边形是正方形，则，，平面， 平面， 平面，，同理可证， ，平面，平面， 易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为. 分别取棱,,,,,的中点， 易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面， 正六边形的周长为，面积为， 则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，B选项错误； 对于C选项，设平面交棱于点，点，， 平面，平面，，即，得，， 所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，， 而，，且， 由空间中两点间的距离公式可得，， ， 所以，四边形为等腰梯形，C选项正确； 对于D选项，将矩形与矩形沿摊平为一个平面，如下图所示： 若最短，则三点共线， ，，又， ，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题. 【变式2-1】（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知正方体的棱长为2，是棱的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为 ． 【答案】 【解析】如图，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，则，，， 由得，得， 故， 故由二次函数的性质可知，当时，取得最小值， 根据正方体的性质可知平面，因平面， 故，故， 故的面积最小值为， 故答案为： 【变式2-2】（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）如图所示，四面体的体积为V，点M为棱的靠近B的三等分点，点F分别为线段的中点，点N为线段的中点，过点N的平面与棱，，分别交于O，P，Q，设四面体的体积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，连接，可得， ； 令，则，所以， 因为N，O，P，Q四点共面，可得， 当且仅当时取等号，所以； 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 又因为，， 所以，即的最小值为. 故选：A. 题型三：数量积问题 【典例3-1】（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由点在直线上运动，故可设，， 则， ， 所以 ， 故当时，取得最小值. 故选：C． 【典例3-2】（24-25高二上·广东广州·期中）已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因点在直线上运动，则设，于是有， 因此，， 于是得 则当时，，此时，点 故选：A 【变式3-1】（24-25高二上·广西·期中）如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【解析】 ，当且仅当与重合时，等号成立， 故的最小值为12. 故选：D 【变式3-2】（23-24高二上·北京延庆·期中）已知正三棱锥的底面的边长为2，是空间中任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设中点为，连接，设中点为，连接， 则， ， 当与重合时，取最小值，此时有最小值. 故选：A. 题型四：距离问题 【典例4-1】（24-25高二上·广东佛山·期末）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是3，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，则MN的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正方形，得，而平面平面，平面， 得平面，又四边形是正方形，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，， 设与都垂直的向量，则，令，得， 所以的最小值为. 故选：B 【点睛】思路点睛：求两条异面直线上两点间距离最小值，可以利用空间向量求出两条异面直线的公共法向量，再求投影长即可. 【典例4-2】（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，可得， 设，所以可得； 因此， 因此点到直线的距离为 . 当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为. 故选：A 【变式4-1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）在三棱锥中，，，，中点为，点为棱上的动点，当取最小值时，线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，将三棱锥补全为长方体，设长方体的长宽高分别为， 则有，解得， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 故， 所以， 则当时，取得最小值， 此时. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：将三棱锥补全为长方体，是解决本题的关键. 【变式4-2】（24-25高二上·四川成都·期中）已知正方体的棱长为2，且满足且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，， ∴，即， 由共面向量定理得，，E，A，C四点共面，即点E在平面上， 则的最小值为点D到平面的距离． 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，取， D到平面的距离， 即的最小值为． 故选：B 【变式4-3】（24-25高二上·辽宁·期中）在空间直角坐标系中，已知，，为整数，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】解：∵，， ∴， ∴ 当时，为增函数， ∴， ∵为整数， ∴的最小值为， 故选：C. 题型五：角度问题 【典例5-1】（24-25高三下·江西赣州·期中）已知一圆锥的底面半径是1，高为，SA为该圆锥的一条母线，B，C是圆锥底面圆周上的两个动点，则直线SA与BC夹角的余弦值的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】   如图，设圆锥的底面圆圆心为点，分别以直线所在直线为轴， 过点且与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系. 依题意，因点B，C是圆锥底面圆周上的两个动点， 可设，其中， 则， 设直线SA与BC夹角为， 则 ， 因，故当时，取得最大值1，此时取得最大值. 故选：D. 【典例5-2】（24-25高二上·江西吉安·期末）如图，四边形，，现将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取的中点为，连接，又， 所以，且，是的平面角， 由都在面内，故面，面内过作， 可构建如下图示的空间直角坐标系，则， 由，则，且， 所以， 则， 当时，最大. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：构建合适空间直角坐标系，并确定含参的点坐标为关键. 【变式5-1】（2025·湖南邵阳·一模）如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点. (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【解析】（1），，所以 又，， 又，，，. （2）在直四棱柱中，平面，又平面，所以，， ，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，. ，，， 设为平面的一个法向量， 令，得，. 设平面的一个法向量，则，取. ，又平面与平面不重合， 平面平面. （3）当时，为平面的一个法向量，， 则， 设， ，， 设直线与平面所成角为， ， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 【变式5-2】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，，，，，，M是线段BD上的动点. (1)求证：； (2)设直线PM与平面ABCD所成的角为，求的最大值. 【解析】（1）因平面平面ABCD，，平面平面ABCD， 平面ABCD，则平面PAD，又平面PAD，则； （2）由（1）可得平面PAD，过A做AD的垂线，设垂线交PD为E， 连接AE，则AB，AD，AE两两垂直.如图建立以A为原点的空间直角坐标系， 由题目数据可得：. 设，其中，则， 又，，则. 由题可得平面ABCD的法向量可取， 则， 则当时，取最小值，则. 即的最大值为. 题型六：线段和问题 【典例6-1】（多选题）（24-25高二下·福建·期中）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，点在线段上，，则下列说法正确的是（    ） A．当三棱锥的体积最大时， B．当时，总存在点，使得 C．当时，存在点和，使得 D．的最小值是 【答案】ABD 【解析】因为，可知点在正方形内（包括边界）， 对于选项A：因为平面∥平面， 且点平面，可知三棱锥的高为2， 若三棱锥的体积最大，则的面积取到最大值， 显然当点线段，即时，的面积取到最大值，故A正确； 对于选项BC：以点为坐标原点建系空间直角坐标系， 则，可得， 因为点在线段上，， 可设，则， 若，则，解得， 所以当时，总存在点，使得，故B正确； 若，则， 可得，解得，不合题意， 所以当时，不存在点和，使得，故C错误； 对于选项D：取点关于平面的对称点， 则， 因为，则， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，则， 即的最小值为，所以的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 【典例6-2】（24-25高二上·四川·期中）如图，在直三棱柱中，为腰长为的等腰直角三角形，且，侧面为正方形，为平面内一动点，则的最小值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设关于平面的对称点为，利用对称点、到平面距离相等，得出关于平面的对称点为，利用对称点求出最短路径即可 【解析】由题意，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设关于平面的对称点为， 则， 设平面的法向量， 则即 令，则， 所以为平面的一个法向量， 所以与到平面的距离， 即①，又，所以②， 所以由①②得，又由可得，所以， 所以， 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为． 故选：A．    【变式6-1】（多选题）（24-25高二上·辽宁大连·期末）如图，正方体的棱长为2，分别为正方形的内切圆上的点，下列说法正确的是（    ） A．若分别为的中点，则棱与平面所成角的余弦值为 B．若平面与平面平行，则平面到平面的距离的最小值是 C．直线与所成角的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】以正方体的中心为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 对于A，由题意可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为， 设棱与平面所成的角为， 所以， 所以棱与平面所成角的余弦值为，故A错误； 对于B，由题意易得与平面互相平行，从而可得平面的一个法向量为， 设，， 则到平面的距离， 当且仅当时，， 所以到平面的最小距离为，同理可得到平面的最小距离为，符合题意， 所以平面到平面的距离的最小值是，故B正确； 对于C，当是的中点，是的中点，是的中点时， 易证，所以直线与所成角的最大值为，故C正确； 对于D，由条件，设， ， 则，同理可得， ， 所以 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 【强化训练】 1．（24-25高二上·安徽合肥·期末）在长方体中，，线段与交于点，点P 为空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接AC与BD交于点O，连接记的中点为G，AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，则O 为EF的中点， 因为 所以， 所以 ， 所以当P与G重合时，取得最小值，为0，此时取得最小值，为． 故选：C.    2．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知空间四边形的四个顶点，，，的坐标分别为，，，，若为平面上的一个动点，则当，且，的夹角取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得：， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线与平面的夹角为， 则， 由题意可知：，则， 且， 所以． 故选：C. 【点睛】结论点睛：直线与平面内任一条直线的夹角的最小值即为直线与平面的夹角. 3．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，在平面内过点作，交AB于，连PO.设点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】，则，又， 所以是矩形 ，因为，，所以，即是正方形， 从而是中点，而，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点 ，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 设，则，， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 因为直线与平面所成的角为， 所以，化简得， 由得， 在时是增函数， 所以时，． 故选：D． 4．（24-25高二上·辽宁·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为平面，， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则、，设，其中， 所以，， 则点到直线的距离 ， 设，因为，所以，则. 所以，点到直线的距离的最小值为， 故选：A. 5．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱台中，，，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设，则平面， 故， 的最小值即为四棱台的高. 如下图，过作，垂足为，过作，垂足为， 过作平面，垂足为，连接， 则，， 因为，，故， 故，而，故，所以， 因为平面，故，而， 故平面，因平面，故， 故，故，即的最小值为， 故选：B.    6．（24-25高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，点到直线的距离最小时面积取得最小值, 而点在线段上，直线与互为异面直线， 因此点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离. 下面用向量法求异面直线与的距离： 以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，,, ，，, 设异面直线与公垂线的方向向量为，则， 即，得， 令，则，即， 于是异面直线与的距离为， 又， 所以面积的最小值为. 故选：B 7．（2024·浙江·模拟预测）边长为1的正方体中，E，F分别是，中点，M是靠近B的四等分点，P在正方体内部或表面，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】在边长为1的正方体中，建立空间直角坐标系，设，    则， ，则， 由，得，即，而， 因此， 当且仅当，取等号，此时，所以的最大值是. 故选：D 8．（多选题）（24-25高二下·江苏宿迁·期中）正方体中，点P满足，若正方体棱长为1，则下列正确的有（   ） A．若，，则平面 B．若，则三棱锥的体积为定值 C．若，则点到直线的距离的最小值为 D．若，，则二面角的正弦值的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A，由可得，且可知三点共线； 可知点在线段上，连接，如下图所示： 由正方体性质可知，又平面，平面， 所以平面； 同理可得平面， 又，且平面， 因此可得平面平面，又因为平面， 所以平面，即A正确； 对于B，若，可知四点共面，即点在平面内， 由A选项中的分析可知，平面平面，如下图所示： 此时点到平面的距离为正方体对角线的三分之一，即； 又三角形是边长为的正三角形，其面积为， 则三棱锥的体积为定值，即B错误； 对于C，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 所以，，，； 又，因此，即； 所以， 则点到直线的距离为， 显然当时，距离最小为，即C正确； 对于D，若，，由选项C分析可知； 则，又； 设平面的一个法向量为， 则，解得，令，则， 因此； 易知平面的一个法向量为， 则二面角的正弦值为， 又因为，，可知，当时信任不是最小值， 所以时，， 易知当时，， 即二面角的正弦值的最小值为，可得D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用空间直角坐标系，将二面角的正弦值表示成关于的表达式，再结合其范围利用不等式性质可求出结果. 9．（多选题）（24-25高二下·福建龙岩·期中）在棱长为1的正方体中，下列说法正确的是（   ） A．若动点是内部一点（含边界，除点外），则对任意，都有平面 B．若，分别为，的中点，则平面截该正方体所得的截面周长为 C．若动点满足，则的最小值是 D．若动点在上，点在上，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】对于选项A，当运动到点时，易知不垂直于， 所以不垂直于平面，故A错误； 对于选项B，如图，设， 连接交于点，连接交于点，连接， 则五边形即截面， 由题意得为等腰直角三角形，则， 由，得，则，， 所以，， 同理可得，， 因为分别为的中点， 所以，则截面周长为，故B正确； 对于选项C，由，得平面上点的轨迹是阿波罗尼斯圆， 空间中点的轨迹是球面，球心在直线上， 由得；得， 则半径，， 则， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 设且， 因， 则， 则，令，则， 所以异面直线AC和的距离为， 因的最小值即异面直线和的距离， 故的最小值为，故D正确． 故选：BCD． 10．（多选题）（24-25高二下·江苏常州·期中）在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（    ） A．点E到平面的距离为 B．若平面，则F是棱AD的中点 C．若平面，则F是AC上靠近C的三等分点 D．若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为 【答案】AD 【解析】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， ， 点E到平面的距离为，A正确； B选项，设，， 则， 设平面的法向量为， ， 则， 令，则，所以， 其中， 故，F的轨迹为连接的中点的一条线段， 所以F不一定是棱AD的中点，B错误； C选项，设平面的法向量为， ， 则， 令，则，故， 若平面，则， 设， 所以，解得， 故，则F是AC上靠近C的四等分点，C错误； D选项，若F在棱AB上运动，设， 则， ，设， ， 故点F到直线的距离为， 当时，点F到直线的距离取得最小值，最小值为，D正确. 故选：AD 11．（多选题）（24-25高二上·云南昭通·期中）如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（    ） A． B．线段存在最小值，最小值为 C．直线与平面垂直 D．当三棱锥的体积最大时， 【答案】BD 【解析】如图，建立空间直角坐标系，则，， ，过点作于点，连接， 则，， 则， 显然，与ME不一定相等，选项A错误； 对于B，因为，， 所以， 则，故， 所以当时取得最小值，最小值为，故B正确； 对于C：由，平面的法向量为，， ，平面，始终与平面平行，故C错误； 对于D：因为平面平面， 平面平面平面，，所以平面， 由，共面，得，而，则， 所以，即三棱锥的高为， ，则， 则当时，，故D正确. 故选：BD. 12．（多选题）（24-25高三上·广东深圳·开学考试）如图，四棱锥底面是边长为4的正方形，若点M在四边形内（包含边界）运动，N为的中点，，，则（   ）．    A．当M为的中点时，异面直线与所成角为 B．当平面时，点M的轨迹长度为 C．当与平面所成的角是时，点M到的距离可能为 D．点Q是四棱锥外接球上的一点，则的最大值是 【答案】ACD 【解析】对于A，因为为正方形，连接与，相交于点O，连接， 则，，两两垂直， 故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，   ，，，，， N为的中点，则． 当M为的中点时，，，，    设异面直线与所成角为， ，，故，A正确； 对于B，设Q为的中点，N为的中点，    则，平面，平面，则平面， 又平面，，平面， 又，设， 故平面平面，平面平面， 平面平面，则， 则H为的中点，点M在四边形内（包含边界）运动，则， 点M的轨迹是过点O与平行的线段，长度为4，B不正确； 对于C，即点M的轨迹以中点K为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧（如图），   K到的距离为3，弧上的点到的距离最小值为， 因为，所以存在点M到的距离为，C正确； 对于D，，的最大值，D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，准确画出图形，利用向量方法解决几何问题. 13．（多选题）（24-25高二下·江苏南京·期中）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点.则（   ） A．为的中点时，平面平面 B．为的中点时，异面直线与之间的距离为 C．存在点，使得直线与平面所成的角为 D．为所在直线的动点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】对于A，由题可知，半圆柱和三棱柱的底面在同一平面内，由圆柱性质可知平面， 又平面，， 为的中点，， ，，，，即， 又，是平面内的相交直线，平面， 又平面，平面平面，故A正确； 对于B，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 当为中点时，，，， 设平面的一个法向量为，则； 取，则，，所以， 所求异面直线与之间的距离为，故B正确； 对于C，设点，，，其中，0， 由射影定理知，，即， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，，所以， 若直线与平面所成的角为， 则， 由知，代入上式整理得，此方程无解， 所以不存在点，使得直线与平面所成的角为，即选项C错误； 对于D，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则中点（即弧所在圆的圆心）的坐标为， 如图， 以为旋转轴将四边形旋转至四边形位置，则平面平行于底面，且，， 则由三角形两边之差小于第三边可知，当，（在延长线上）三点共线时取得最大值为， 又弧所在圆圆心为，半径为2， ，故D正确． 故选：ABD. 14．（多选题）（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，底面，，，点满足，其中，，，则下列说法正确的是（    ） A．若点到点，，，的距离相等，则 B．若，则长度的最小值为 C．若，则长度的最大值为2 D．若，则点的轨迹的长度为 【答案】ABD 【解析】对于A，若点P到点B，，D，的距离相等， 则点P在经过对角面的中心，且垂直于平面的直线上， 分别取，的中点，， 连接，如图（1），则点P在线段上，则，， 所以，故A正确； 图（1） 对于B，若，则点在上及其内部， 如图（2）， 图（2） 则长度的最小值为点到平面的距离， 设为与的交点，则所求距离转化为点到直线的距离， 易知为等腰直角三角形，所以，故B正确； 对于C，若，则点P在上及其内部， 如图（3）， 图（3） 则长度的最大值为，，中的一个，计算可得，， 所以长度的最大值为，故C错误； 对于D，若，则， 所以， 所以，所以， 则点在平面内，且在以为圆心，半径为1的圆弧上，这段圆弧的长度为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用向量的几何意义，得到具体的几何关系进行求解是关键，方法点睛：几何与代数的结合求解是关键. 15．（多选题）（24-25高二上·湖南·期末）如图，在棱长为2的正方体中，，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．三棱锥的体积最大值为1 C．若，则点到直线的距离为 D．三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为 【答案】ACD 【解析】 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.设， 则，，，，. 对于选项A：因为，，所以， 所以，所以，A正确. 对于选项B：三棱锥的体积， 所以当时，三棱锥的体积取得最大值，B错误. 对于选项C：若，则，，，所以，， 所以点到直线的距离，C正确. 对于选项D：设，的中点分别为，，过点作平面的垂线，过点作与棱垂直的平面，直线与平面交于点， 则点为外接球的球心，显然点的轨迹长度与点的轨迹长度相等.因为，， 所以. 在平面内，点的轨迹方程为，且，， 故点的轨迹长度近似为，即三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为，D正确. 故选：ACD. 16．（多选题）（24-25高二上·江苏南京·期末）已知正方体的棱长为1，动点满足，.，，分别为，，的中点，则下列选项正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．存在点，使得平面 C．若，则点的轨迹为抛物线 D．若与平面所成角的大小为，则的最大值为 【答案】AD 【解析】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由，得，，， ，设平面的法向量为， 则，令，得， 对于A，令，则，， 而平面，因此存在点，使得平面，A正确； 对于B，令，解得，不满足题意， 因此不存在点，使得平面，B错误； 对于C，，由，得， 整理得，点的轨迹为椭圆的一部分，C错误； 对于D，平面的法向量为，由与平面所成角的大小为， 得，整理得， 令，则， 其中锐角由确定，，则当时，取得最大值，D正确. 故选：AD 【点睛】思路点睛：涉及探求几何体中点的轨迹问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算建立动点坐标的关系解决. 17．（多选题）（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（    ） A．与平面的夹角的正弦值为 B．点到的距离为 C．线段的长度的最大值为 D．与的数量积的范围是 【答案】ABD 【解析】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得，， 若，则，可得， 则，解得，即. 对于选项A：可知平面的法向量， 则， 所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确； 对于选项B：因为， 所以点到的距离为，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 且，可得当且仅当时，取到最大值， 所以线段的长度的最大值为3，故C错误； 对于选项D：因为，， 则， 且，可知当时，取到最小值； 当时，取到最大值； 所以与的数量积的范围是，故D正确； 故选：ABD. 18．（多选题）（24-25高二上·吉林·期中）如图，正方体的棱长为分别为的中点，为底面内的动点，且，则（    ） A．动点的轨迹长度为 B．存在点，使异面直线与所成的角为 C．点到平面的距离的最小值为 D．点到平面的距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】因为为底面内的动点，且，所以， 所以动点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆落在底面内的部分， 所以动点的轨迹长度为，故A正确. 如图，建立空间直角坐标系，则， 设，因为，所以. 因为无解， 所以不存在满足条件的点，故B错误. 设平面的法向量为，因为， 所以令，得.因， 所以点到平面的距离， 当时，，所以C确. 当或时，，所以D正确. 故选：ACD. 19．（多选题）（24-25高二上·山西大同·期中）在正方体中，，，则（    ） A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段 C．若，则三棱锥的体积为定值 D．若，则与平面所成角的余弦值的最大值为 【答案】BCD 【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、 、， 因为， 对于A选项，当时，则点的轨迹为线段，A错； 对于B选项，若，即点， 此时，点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段，B对； 对于C选项，若，即点，其中， ，，设平面的法向量为， 则，取，可得， ，则点到平面的距离为， 因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，C对； 对于D选项，若，则，其中， 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 当时，取最小值，此时取最大值，且，则， 因此，当时，则与平面所成角的余弦值的最大值为，D对. 故选：BCD. 20．（多选题）（24-25高二上·重庆·期中）正方体的棱长为2，点为正方形内的一个动点（含边界），为的中点，则下列结论正确的是（   ） A．当与重合时，平面 B．当时，的最大值为 C．当时，的轨迹长度为 D．若，则与平面所成角正弦值的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A，当与重合时，如图，连接， 因为平面，平面， 所以， 又，平面，， 所以平面，平面，则， 同理，，且是平面内两条相交直线， 所以平面，即平面，故A正确； 对于B，以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设，，， ，，当时， 所以，即， 所以， ，，故的最大值为，故B错误； 对于C，因为，所以在以为球心，为半径的球上， 又为侧面上的点，所以在球被平面截得的交线上， 取的中点，则平面，，， 所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，如图所示，的轨迹长度为. 故C正确； 对于D，如图，，，， 因为，设，，则， 由选项A，同理可证平面，且， 设与平面所成角为， 则 ，， ，故D正确. 故选：ACD. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$