专题04 排列组合常用技巧与归纳（8大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题04 排列组合常用技巧与归纳 【题型归纳目录】 题型一：直接法 题型二：间接法 题型三：涂色问题 题型四：相邻与不相邻问题 题型五：定序问题 题型六：隔板法 题型七：分组分配问题 题型八：路径问题 【知识点梳理】 1、求解有限制条件排列问题的主要方法 直 接 法 分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数 分步法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数 捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中 除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列 间接法 对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法 2、两类含有附加条件的组合问题的解法 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解． 3、分组问题的求解策略 （1）对不同元素的分配问题． ①整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A（n为均分的组数），避免重复计数． ②部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． ③不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． （2）对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”． 4、常用类型归纳： （1）定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法） （2）相邻问题捆绑法 （3）相离问题插空法 （4）定序问题除序（去重复）、空位、插入法 （5）平均分组问题倍除法（去重复法） （6）元素相同问题隔板法 （7）正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法） （8）重排问题求幂法 （9）环（圆）排问题直排法 （10）多排问题单排法 （11）排列组合混合问题先选后排法 （12）小集团问题先整体后局部法 （13）含约束条件问题合理分类与分步法 （14）简单问题实际操作穷举法 （15）数字排序问题查字典法 （16）复杂问题分解与合成法 （17）复杂问题转化归结法（化归法） （18）复杂分类问题表格法 （19）运算困难问题树图法 （20）不易理解问题构造模型法 【典型例题】 题型一：直接法 【例1】（24-25高二下·天津滨海新·期中）四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（    ） A．24 B．120 C．625 D．1024 【变式1-1】（24-25高二下·北京顺义·期中）某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求数学不排在第一节和第四节，则该班周一上午不同的排课方案共有（   ） A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 【变式1-2】（24-25高二下·福建泉州·期中）将两个1，两个3，一个5从左到右排成一行，则不同的排法种数为（   ） A．20 B．24 C．30 D．36 题型二：间接法 【例2】（24-25高二下·河南·期中）将字母排成一排，若要求相邻，且不在两端，则不同的排列方法共有（    ） A．228种 B．192种 C．240种 D．168种 【变式2-1】（2025·山东聊城·模拟预测）某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（    ） A．16种 B．12种 C．8种 D．6种 【变式2-2】（23-24高二下·北京顺义·期末）2016年11月30日，中国的“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.二十四节气不仅是一种时间体系，更是一套具有丰富内涵的生活与民俗系统.《传统廿四节气歌》中的“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的个节气.某个小组在参加“跟着节气去探究”综合实践活动时，要从个节气中选择个节气，且个节气不在同一个季节，那么不同的选法有（    ） A．60种 B．种 C．276种 D．432种 题型三：涂色问题 【例3】（24-25高二下·山东·期中）现有6种不同的颜色给图中的四块区域涂色，若每个区域涂一种颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（   ） A．400种 B．460种 C．480种 D．496种 【变式3-1】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种（      ）    A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ） A．540 B．600 C．660 D．720 题型四：相邻与不相邻问题 【例4】（24-25高二下·北京·期中）现有高中数学人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册教材各1本．若把这5本教材从左到右放置书架的某一层内（该层无其他书籍），如果必修第一册与必修第二册相邻，则不同的放法共有 种；如果必修第一册与必修第二册相邻且必修第一册与选择性必修第三册不相邻，则不同的放法共有 种．（用数字作答） 【变式4-1】（24-25高二下·上海宝山·期中）某班3个男孩和2个女孩站成一排做游戏，这2个女孩不相邻的站法种数为 ． 【变式4-2】（24-25高二下·湖南衡阳·期中）中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有 种（要求：用数字填空，用式子填空不给分） 题型五：定序问题 【例5】（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）某企业召集6个部门的员工座谈，其中A部门有2人到会，其它5个部门各有1人到会，座谈会上安排来自不同部门的3人按顺序发言，则不同的安排方法种数为 ． 【变式5-1】（23-24高二下·安徽六安·期中）高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有 种（用数字作答） 【变式5-2】（22-23高二下·北京·期中）2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，则有 种不同的排法． 题型六：隔板法 【例6】（22-23高二下·上海杨浦·期中）讲桌上放有两摞书，一摞3本，另一摞4本。学号为1-7号的7名学生，按照学号1-7的顺序依次取书，每名学生只能从其中一摞的最上面取一本书，则不同取法的种数为（    ） A．20 B．30 C．35 D．210 【变式6-1】（24-25高二下·宁夏·期中）不等式，其中是正整数，则使不等式成立的四元数组的组数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则关于，，的方程共有（    ）组不同的解. A．36 B．45 C．50 D．24 题型七：分组分配问题 【例7】（24-25高二下·安徽池州·期中）2024年11月24日，在池州市举行的马拉松比赛中，昭明大道设有三个服务站，某高中5名同学到①、②、③三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，其中同学甲只能去①号服务点，则不同的安排方法共有（    ）种 A．50 B．60 C．68 D．90 【变式7-1】（24-25高二下·福建莆田·期中）运动会期间，将甲､乙等6名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲､乙两名志愿者安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（    ） A．78 B．126 C．150 D．168 【变式7-2】（24-25高二下·广东深圳·期中）名同学分本不同的数学书，每名同学至少分一本书，不同分法的种数是（   ） A． B． C． D． 题型八：路径问题 【例8】（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）中国古代文化博大精深，其中很多发明至今还影响着我们，例如中国象棋．中国象棋中的“马”在棋盘上是行走“日”字可纵走如由到，也可横走如由到，在如图所示的棋盘上，“马”由点到点的最短走法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式8-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）如图所示，某地有南北街道6条、东西街道5条，一快递员从地出发，送货到地，且途经地，要求所走路程最短，共有（    ）种不同的走法． A．100 B．80 C．60 D．40 【变式8-2】（19-20高二下·广东云浮·期末）某中学有三栋教学楼，如图所示，若某学生要从处到达他所在的班级处（所有楼道间是连通的），则最短路程不同的走法数为（    ） A．5 B．10 C．15 D．21 【强化训练】 1．（24-25高二下·江苏泰州·期中）从5名大学毕业生中挑选3个人，分别担任三个班的实习班主任，甲、乙至少有1人入选，则不同的安排方法有（   ）种 A．9 B．36 C．54 D．72 2．（24-25高二下·河南周口·期中）2025年2月深圳福田区推出基于DeepSeek开发的AI数智员工，并上线福田区政务大模型2．0版，该模型能进一步驱动政务效能全面跃升．某地也准备推出20名AI数智员工（假定这20名AI数智员工没有区别），分别从事三个服务项目，若每个项目至少需要5名AI数智员工，则不同的分配方法种数为（   ） A．21 B．18 C．15 D．12 3．（24-25高二下·北京顺义·期中）从0，1，2，3，4这5个数字中随机选取3个不同的数字，可以组成比300大的三位数的个数为（  ） A．12 B．24 C．32 D．36 4．（24-25高二下·山东烟台·期中）要将4辆汽车并排停放在5个车位上，其中甲、乙两辆汽车车体较宽需要放在一起并占用3个车位，其他两辆汽车各占1个车位，则不同的停车方法种数为（    ） A．6 B．10 C．12 D．20 5．（24-25高二下·河南新乡·期中）从5名教师中选出2名参加会议，则不同的选取方法种数为（   ） A．6 B．10 C．12 D．15 6．（24-25高二下·贵州黔东南·期中）一只蚂蚁从平面直角坐标系上的原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位长度，其中在点的位置有一个陷阱，蚂蚁掉落到陷阱中就无法移动，则蚂蚁移动6次能移动到点的不同走法有（    ） A．8种 B．10种 C．12种 D．16种 7．（24-25高二下·福建三明·期中）小张打算对如图的4个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）涂不同颜色.现有6种颜色可供选择（6种颜色不一定用完），则不同的涂色方法种数有（    ） A．630 B．480 C．360 D．150 8．（多选题）（24-25高二下·全国·课前预习）某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有（　　）    A．种 B．种 C．12种 D．32种 9．（多选题）（24-25高二下·江苏苏州·期中）到了毕业季，某科技创新兴趣小组内的5名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是（   ） A．所有不同的排法种数为120种 B．如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为48种 C．如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为48种 D．如果甲和丙不能相邻，则所有不同的排法种数为72种 10．（多选题）（24-25高二下·福建三明·期中）“六艺”即“礼､乐､射､御､书､数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法､乐舞､射箭､驾车､书法和算术.某国学馆开设“传承优秀文化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是（    ） A．“礼”与“射”必须相邻的培训方法有种排法 B．先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为种排法 C．课程“乐”不排在第一节，课程“御”不排在最后一节，共有种排法 D．甲､乙､丙､丁､戊五名教师教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，求甲不任教“数”的课程安排方案种数为种排法 11．（多选题）（24-25高二下·山东济宁·期中）小张、小赵、小李、小孙、小王为五名志愿者．现有接待、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的是（   ） A．若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有种 B．若安排5人排成一排训练，小张不站在第一位，小赵不站在第五位，则有78种不同的方案 C．若安排5人排成一排训练，小张必须站在小李的左侧，则有60种不同的站法 D．若安排5人排成一排训练，小张和小赵必须相邻，且小孙和小李不相邻，则有24种不同的站法 12．（多选题）（24-25高二下·贵州黔东南·期中）从0，1，2，3，4，5中任选4个不同的数字组成一个四位数，则下列说法正确的是（    ） A．这样的四位数有300个 B．若这个四位数是偶数，则这样的四位数有156个 C．若0，1被选中，且0，1不相邻，则这样的四位数有72个 D．若这个四位数的个位、十位和百位上的数字之和为偶数，则这样的四位数有144个 13．（24-25高二下·上海·期中）有9名学生站在一排拍毕业纪念照，其中甲要和乙站在一起，丙的个子最高站在中间，则不同排法有 种． 14．（24-25高二下·福建泉州·期中）将1个白球，2个不同的黑球和3个不同的红球从左到右排成一列，要求2个黑球相邻且3个红球互不相邻，则不同的排列方式有 种. 15．（24-25高二上·安徽亳州·期末）数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有 种. 16．（24-25高二上·江西·期末）现将8个体积相同但质量均不同的小球放入恰好能容纳8个小球且底面圆直径与小球直径相同的圆柱形卡槽内，这8个小球分别为2个红球、4个白球、2个黑球，若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端，则共有 种不同的放法；若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，则共有 种不同的放法． 17．（23-24高二下·山东济宁·期中）某中学元旦晚会共由7个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有 种.（用数字作答） 18．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有 条.（用数字作答）    19．（24-25高二下·天津·期中）在不超过20的质数中，随机挑选三个不同的数，则它们的乘积为偶数的组合方式共有 种.（请用数字作答） 20．（24-25高二上·上海·期末）用0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中，偶数的个数是 21．（24-25高二下·湖北·期中）用数字、、、、组成的无重复数字的四位数的个数为 ．（用数字作答） 22．（24-25高二下·山东泰安·期中）用这9个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是 . 23．（24-25高二上·上海浦东新·期中）从这7个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为 .（用数字作答） 24．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）用0、2、4、6、8这5个数字，组成没有重复数字的三位数的个数为 .（用数字作答） 25．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数．则这样的三位数一共有 （用数字作答） 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 排列组合常用技巧与归纳 【题型归纳目录】 题型一：直接法 题型二：间接法 题型三：涂色问题 题型四：相邻与不相邻问题 题型五：定序问题 题型六：隔板法 题型七：分组分配问题 题型八：路径问题 【知识点梳理】 1、求解有限制条件排列问题的主要方法 直 接 法 分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数 分步法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数 捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中 除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列 间接法 对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法 2、两类含有附加条件的组合问题的解法 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解． 3、分组问题的求解策略 （1）对不同元素的分配问题． ①整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A（n为均分的组数），避免重复计数． ②部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． ③不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． （2）对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”． 4、常用类型归纳： （1）定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法） （2）相邻问题捆绑法 （3）相离问题插空法 （4）定序问题除序（去重复）、空位、插入法 （5）平均分组问题倍除法（去重复法） （6）元素相同问题隔板法 （7）正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法） （8）重排问题求幂法 （9）环（圆）排问题直排法 （10）多排问题单排法 （11）排列组合混合问题先选后排法 （12）小集团问题先整体后局部法 （13）含约束条件问题合理分类与分步法 （14）简单问题实际操作穷举法 （15）数字排序问题查字典法 （16）复杂问题分解与合成法 （17）复杂问题转化归结法（化归法） （18）复杂分类问题表格法 （19）运算困难问题树图法 （20）不易理解问题构造模型法 【典型例题】 题型一：直接法 【例1】（24-25高二下·天津滨海新·期中）四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（    ） A．24 B．120 C．625 D．1024 【答案】D 【解析】对于甲来说，有种借阅可能，同理，每人都有种借阅可能， 根据分步乘法计数原理可得共有种可能. 故选：D 【变式1-1】（24-25高二下·北京顺义·期中）某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求数学不排在第一节和第四节，则该班周一上午不同的排课方案共有（   ） A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 【答案】C 【解析】先排数学课有2种方法，再排余下3门课程有种方法， 所以该班周一上午不同的排课方案共有（种）. 故选：C 【变式1-2】（24-25高二下·福建泉州·期中）将两个1，两个3，一个5从左到右排成一行，则不同的排法种数为（   ） A．20 B．24 C．30 D．36 【答案】C 【解析】从5个位置中任取两个排1，从余下3个位置中任取两个排2，最后一个位置排5， 所以不同的排法种数为. 故选：C 题型二：间接法 【例2】（24-25高二下·河南·期中）将字母排成一排，若要求相邻，且不在两端，则不同的排列方法共有（    ） A．228种 B．192种 C．240种 D．168种 【答案】B 【解析】将捆绑在一起，视为一个整体，不考虑的位置，则有（种）排法， 当在两端时，有（种）排法， 所以满足要求的排列方法有（种）. 故选：B 【变式2-1】（2025·山东聊城·模拟预测）某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（    ） A．16种 B．12种 C．8种 D．6种 【答案】C 【解析】马术比赛和跑步比赛不相邻的情况为：种， 马术比赛和跑步比赛不相邻且游泳比赛在第一或最后一场的情况为：种， 故不同的比赛方式共有种. 故选：C. 【变式2-2】（23-24高二下·北京顺义·期末）2016年11月30日，中国的“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.二十四节气不仅是一种时间体系，更是一套具有丰富内涵的生活与民俗系统.《传统廿四节气歌》中的“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的个节气.某个小组在参加“跟着节气去探究”综合实践活动时，要从个节气中选择个节气，且个节气不在同一个季节，那么不同的选法有（    ） A．60种 B．种 C．276种 D．432种 【答案】B 【解析】从个节气中选择个节气，总共不同的选法有种， 从个节气中选择个节气，且个节气在同一个季节，不同的选法有， 所以从个节气中选择个节气，且个节气不在同一个季节，不同的选法有种； 故选：B. 题型三：涂色问题 【例3】（24-25高二下·山东·期中）现有6种不同的颜色给图中的四块区域涂色，若每个区域涂一种颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（   ） A．400种 B．460种 C．480种 D．496种 【答案】C 【解析】当使用4种颜色时，不同的涂法有种方法； 当使用3种颜色时，不同的涂法有种方法； 所以不同的涂法共有种. 故选：C. 【变式3-1】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种（      ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分4步进行分析： ①，对于区域，有4种颜色可选； ②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选； ③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选； ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选， 则区域、有种选择， 则不同的涂色方案有种. 故选：A 【变式3-2】（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ） A．540 B．600 C．660 D．720 【答案】D 【解析】第一步涂陕西有5种选择，第二步涂湖北有4种选择，第三步涂安徽有4种选择，第四步涂江西有3种选择，第五步涂湖南有3种选择,即共有种涂色方案. 故选：D 题型四：相邻与不相邻问题 【例4】（24-25高二下·北京·期中）现有高中数学人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册教材各1本．若把这5本教材从左到右放置书架的某一层内（该层无其他书籍），如果必修第一册与必修第二册相邻，则不同的放法共有 种；如果必修第一册与必修第二册相邻且必修第一册与选择性必修第三册不相邻，则不同的放法共有 种．（用数字作答） 【答案】 48 36 【解析】若必修一与必修二相邻，则这两本书看成一个元素，则不同的方法有种方法； 若必修一与必修二和必修三都相邻，则这三本书看成一个元素，必修一在中间，则有种方法， 根据间接法，满足条件的方法种数为种方法. 故答案为：48；36 【变式4-1】（24-25高二下·上海宝山·期中）某班3个男孩和2个女孩站成一排做游戏，这2个女孩不相邻的站法种数为 ． 【答案】 【解析】个男孩进行全排列，则个男孩的排列方法有种. 个男孩排好后会形成个空位（包括两端），从这个空位中选个空位安排个女孩. 则个女孩的排列方法有种. 根据排列组合的乘法原理： 所以个女孩不相邻的站法种数为（种）. 故答案为：72. 【变式4-2】（24-25高二下·湖南衡阳·期中）中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有 种（要求：用数字填空，用式子填空不给分） 【答案】 【解析】由题意得，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到， 当“立春”和“惊蛰”、“惊蛰”和“清明”均相邻时，只有2种排法，即“惊蛰”在中间，“立春”“清明”分布两侧， 此时再用捆绑法，将三者捆在一起即， 所以最终满足题意的排法为. 故答案为： 题型五：定序问题 【例5】（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）某企业召集6个部门的员工座谈，其中A部门有2人到会，其它5个部门各有1人到会，座谈会上安排来自不同部门的3人按顺序发言，则不同的安排方法种数为 ． 【答案】180 【解析】第一类：有A部门的人发言，有不同的安排方法种数为：（种）， 第二类：没有A部门的人发言，有不同的安排方法种数为：（种）， 所以，不同的安排方法种数共为（种）， 故答案为：180. 【变式5-1】（23-24高二下·安徽六安·期中）高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有 种（用数字作答） 【答案】40 【解析】先排除甲、乙、丙三个节目剩余的2个节目有, 因甲、乙、丙的排序为定序，只有2种排法， 则根据分步计数乘法原理满足条件的出场顺序共有种， 故答案为：40. 【变式5-2】（22-23高二下·北京·期中）2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，则有 种不同的排法． 【答案】360 【解析】2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定， ∴共有种不同排法， 故答案为：360. 题型六：隔板法 【例6】（22-23高二下·上海杨浦·期中）讲桌上放有两摞书，一摞3本，另一摞4本。学号为1-7号的7名学生，按照学号1-7的顺序依次取书，每名学生只能从其中一摞的最上面取一本书，则不同取法的种数为（    ） A．20 B．30 C．35 D．210 【答案】C 【解析】根据题意，问题等价于从一行七个空里选三个空把、、按从小到大自左向右顺序填进去， 剩下四个空将、、、7从小到大自左向右顺序填进去，共有填法种. 故选：C. 【变式6-1】（24-25高二下·宁夏·期中）不等式，其中是正整数，则使不等式成立的四元数组的组数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，且是正整数， 将问题转化成不等式的正整数解的组数. 求方程的正整数解， 可先将看作个“”，将这个“”排成一排，在其中间形成的个空位中选择个空位放入隔板，则隔板隔开形成组“”，每组“”的和分别对应的值， 因此，方程的正整数解的组数为， 方程的正整数解的组数为， 方程的正整数解的组数为， ， 方程的正整数解的组数为， 所以原不等式的非负整数解的组数为 . 故选：B. 【变式6-2】（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则关于，，的方程共有（    ）组不同的解. A．36 B．45 C．50 D．24 【答案】A 【解析】根据题意，对于方程将10看成10个相同的小球，将其分成3组，每组至少1个， 第一组有个，第二组有个，第三组有个，即可得一个方程的解， 所以10个相同的小球形成9个空，从中选2个，插入隔板即可， 所以共有组不同的解. 故选：A 题型七：分组分配问题 【例7】（24-25高二下·安徽池州·期中）2024年11月24日，在池州市举行的马拉松比赛中，昭明大道设有三个服务站，某高中5名同学到①、②、③三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，其中同学甲只能去①号服务点，则不同的安排方法共有（    ）种 A．50 B．60 C．68 D．90 【答案】A 【解析】当①号服务点只有甲时，将剩下四个人分成两组，按人数可分为{1,3}，{2,2}两种情况， 总的分组种类有种；再将两组人分配到②和③号服务点，有种方法， 故总共有种方法； 当①号服务点有两个同学时，共有种方法； 当①号服务点有三个同学时，共有种方法. 故总共有种方法. 故选：A. 【变式7-1】（24-25高二下·福建莆田·期中）运动会期间，将甲､乙等6名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲､乙两名志愿者安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（    ） A．78 B．126 C．150 D．168 【答案】C 【解析】甲､乙两名志愿者安排到同一个场地，可将甲乙捆绑成一个元素，6名志愿者可以理解为5名志愿者. 将5名志愿者分为1，2，2， 则不同的安排方法有种. 将5名志愿者分为1，1，3， 则不同的安排方法有种. 故不同的安排方法共有种. 故选：C. 【变式7-2】（24-25高二下·广东深圳·期中）名同学分本不同的数学书，每名同学至少分一本书，不同分法的种数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将本不同的数学书选2本作为一组，其余2本书各作为一组，共有种情况， 再将分好的三组书分给3名同学，有种情况， 由分步乘法计数原理可得，总的分法有种情况. 故选：C 题型八：路径问题 【例8】（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）中国古代文化博大精深，其中很多发明至今还影响着我们，例如中国象棋．中国象棋中的“马”在棋盘上是行走“日”字可纵走如由到，也可横走如由到，在如图所示的棋盘上，“马”由点到点的最短走法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】如图，若到，则先到和处，如下图，最少4步，包含如下路线， 到处有2种路线，到处有2种路线，到有2种路线，到处没有路线， 综上可知， 到的最短走4步，有6种. 故选：C 【变式8-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）如图所示，某地有南北街道6条、东西街道5条，一快递员从地出发，送货到地，且途经地，要求所走路程最短，共有（    ）种不同的走法． A．100 B．80 C．60 D．40 【答案】D 【解析】分两步，第一步从到的最短距离的走法有，第二步从到的最短距离走法有，由分步乘法计数原理得，总方法数为． 故选：D． 【变式8-2】（19-20高二下·广东云浮·期末）某中学有三栋教学楼，如图所示，若某学生要从处到达他所在的班级处（所有楼道间是连通的），则最短路程不同的走法数为（    ） A．5 B．10 C．15 D．21 【答案】D 【解析】从到共需走7步，其中横步（向右）有2步，竖直向上的有5步， 故最短路程的不同走法数为． 故选：D. 【强化训练】 1．（24-25高二下·江苏泰州·期中）从5名大学毕业生中挑选3个人，分别担任三个班的实习班主任，甲、乙至少有1人入选，则不同的安排方法有（   ）种 A．9 B．36 C．54 D．72 【答案】C 【解析】当甲、乙两人中有1人入选，先选出2人中的1人，再从剩下的3个人中选出2个， 最后将其分配到3个班级，故有种； 当甲、乙两人都入选，则先从剩下的3人中选出1人，再将其分配到3个班级，故有种； 所以，共有种不同的选派方法. 故选：C 2．（24-25高二下·河南周口·期中）2025年2月深圳福田区推出基于DeepSeek开发的AI数智员工，并上线福田区政务大模型2．0版，该模型能进一步驱动政务效能全面跃升．某地也准备推出20名AI数智员工（假定这20名AI数智员工没有区别），分别从事三个服务项目，若每个项目至少需要5名AI数智员工，则不同的分配方法种数为（   ） A．21 B．18 C．15 D．12 【答案】A 【解析】先每组分5名员工，然后剩余5名分成三组， 采用隔板法，五名员工和两个隔板，共有七个位置， 所以不同的分配方法种数为种. 故选：A 3．（24-25高二下·北京顺义·期中）从0，1，2，3，4这5个数字中随机选取3个不同的数字，可以组成比300大的三位数的个数为（  ） A．12 B．24 C．32 D．36 【答案】B 【解析】当百位数是3时，则十位和个位共有种排法； 同理可得当百位数是4时，十位和个位共有12种排法， 所以比300大的三位数的个数为. 故选：B. 4．（24-25高二下·山东烟台·期中）要将4辆汽车并排停放在5个车位上，其中甲、乙两辆汽车车体较宽需要放在一起并占用3个车位，其他两辆汽车各占1个车位，则不同的停车方法种数为（    ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【解析】. 故选：C. 5．（24-25高二下·河南新乡·期中）从5名教师中选出2名参加会议，则不同的选取方法种数为（   ） A．6 B．10 C．12 D．15 【答案】B 【解析】从5名教师中选出2名参加会议，则有种不同的选取方法. 故选：B 6．（24-25高二下·贵州黔东南·期中）一只蚂蚁从平面直角坐标系上的原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位长度，其中在点的位置有一个陷阱，蚂蚁掉落到陷阱中就无法移动，则蚂蚁移动6次能移动到点的不同走法有（    ） A．8种 B．10种 C．12种 D．16种 【答案】A 【解析】移动6次到达,则需要向右移动3次，向上移动3次， 故总的方法有种， 若经过再到达，需要先从原点到，再从到， 此时共有种， 故蚂蚁移动6次能移动到点的不同走法共有种， 故选：A 7．（24-25高二下·福建三明·期中）小张打算对如图的4个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）涂不同颜色.现有6种颜色可供选择（6种颜色不一定用完），则不同的涂色方法种数有（    ） A．630 B．480 C．360 D．150 【答案】A 【解析】四部分分别记为，如图所示， 由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色： 第一类，用4种颜色涂色，有种方法． 第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有种．在涂的过程中，选对顶的两部分（或）涂同色，另两部分涂异色有种选法；3种颜色涂上去有种涂法，根据分步计数原理求得共种涂法． 第三类，用两种颜色涂色，选颜色有种选法，用一种颜色，涂一种颜色，有种涂法，故共种涂法． 所以共有涂色方法种． 故选：A. 8．（多选题）（24-25高二下·全国·课前预习）某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有（　　）    A．种 B．种 C．12种 D．32种 【答案】AB 【解析】因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验探究一下走法可得出： ①要走的路程最短必须走5步，且不能重复； ②向东的走法定出后，向南的走法随之确定， 所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可， 故不同走法的种数有种． 故选：AB 9．（多选题）（24-25高二下·江苏苏州·期中）到了毕业季，某科技创新兴趣小组内的5名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是（   ） A．所有不同的排法种数为120种 B．如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为48种 C．如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为48种 D．如果甲和丙不能相邻，则所有不同的排法种数为72种 【答案】ABD 【解析】对于A，5名同学排一排共有种不同排法，故A正确； 对于B，相邻问题捆绑法，共有种排法，故B正确； 对于C，先排甲，有3个位置可选，再排另外4人有种，共有种排法，故C错误； 对于D，先将除了甲丙之外的三人排好有种，再插空甲丙有种，共有种排法，故D正确. 故选：ABD. 10．（多选题）（24-25高二下·福建三明·期中）“六艺”即“礼､乐､射､御､书､数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法､乐舞､射箭､驾车､书法和算术.某国学馆开设“传承优秀文化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是（    ） A．“礼”与“射”必须相邻的培训方法有种排法 B．先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为种排法 C．课程“乐”不排在第一节，课程“御”不排在最后一节，共有种排法 D．甲､乙､丙､丁､戊五名教师教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，求甲不任教“数”的课程安排方案种数为种排法 【答案】BCD 【解析】对于A，先排“礼、射”有种，然后将“礼、射”看作一个课程，与其余4个全排有， 所以满足条件的培训方法种数为，故A错误； 对于B，先全排有种，“数”和“乐”的顺序有2种，满足顺序排法相同， 所以满足条件的排法有种，故B正确； 对于C，当“乐”排在第一节时有种排法，当“御”排在最后一节时有种排法， 全排有种，当“乐”排在第一节且“御”排在最后一节时有种排法， 所以当“乐”不排在第一节且“御”不排在最后一节时有种排法，故C正确； 对于D，当甲只任教1科时有种排法；当甲任教2科时有种排法， 所以甲不任教“数”的课程安排方案有种，故D正确. 故选：BCD. 11．（多选题）（24-25高二下·山东济宁·期中）小张、小赵、小李、小孙、小王为五名志愿者．现有接待、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的是（   ） A．若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有种 B．若安排5人排成一排训练，小张不站在第一位，小赵不站在第五位，则有78种不同的方案 C．若安排5人排成一排训练，小张必须站在小李的左侧，则有60种不同的站法 D．若安排5人排成一排训练，小张和小赵必须相邻，且小孙和小李不相邻，则有24种不同的站法 【答案】BCD 【解析】A：因为每人均有四种不同选择，所以五人每人可任选一项工作，有种选法，错误； B：若小张在第五位，有种；若小张不在第五位，有种，共有种方案，正确； C：先选出两个位置安排小张、小李，再安排其余三人，共有种站法，正确； D：将小张和小赵捆绑，再与小王全排列，最后让小孙和小李插空，共有种站法，正确． 故选：BCD 12．（多选题）（24-25高二下·贵州黔东南·期中）从0，1，2，3，4，5中任选4个不同的数字组成一个四位数，则下列说法正确的是（    ） A．这样的四位数有300个 B．若这个四位数是偶数，则这样的四位数有156个 C．若0，1被选中，且0，1不相邻，则这样的四位数有72个 D．若这个四位数的个位、十位和百位上的数字之和为偶数，则这样的四位数有144个 【答案】ABD 【解析】对于A，符合条件的四位数有个，A正确， 对于B，符合条件的奇数有,故偶数有个，B正确， 对于C，先从剩下4个数字选择两个数字，共有，若1在千位，则剩余数字的排列有种， 若1不在千位，则有，故总的四位数有，C错误， 对于D，若千位为1，3，5时，且个位、十位和百位上的数字均为偶数，此时有种， 若千位为1，3，5时，且个位、十位和百位上的数字有一个位置为偶数，另外两个位置的数字为奇数，此时有种， 若千位为2或4时，个位、十位和百位上的数字有一个位置为偶数，另外两个位置的数字为奇数， 此时有种，故符合条件的四位数共有，D正确， 故选：ABD 13．（24-25高二下·上海·期中）有9名学生站在一排拍毕业纪念照，其中甲要和乙站在一起，丙的个子最高站在中间，则不同排法有 种． 【答案】8460 【解析】由题知，当丙站在正中间，其左右各有4个位置， 若甲乙两位同学站在一起且都在丙的左手边，则从剩下6个人中选2个人，连同甲乙一起站在丙的左手边，其余4个位置的人站法按全排列站在丙的右手侧， 有种， 同理，当甲乙两个人站在丙的右手侧时，有种 由分类加法计数原理知，共有种排法. 故答案为：8460 14．（24-25高二下·福建泉州·期中）将1个白球，2个不同的黑球和3个不同的红球从左到右排成一列，要求2个黑球相邻且3个红球互不相邻，则不同的排列方式有 种. 【答案】24 【解析】视2个黑球为一个整体，与白球排列，再将3个红球插入每个排列的3个间隙， 所以不同的排列方式为（种）. 故答案为：24 15．（24-25高二上·安徽亳州·期末）数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有 种. 【答案】 【解析】依题意，排，相邻且站在正中间，有种站法； 再排，不相邻，而两侧各有2个位置，即不在同侧， 在两侧各取1个位置再排列，共有种站法， 最后排有种站法， 所以不同的站法共有（种）. 故答案为：32 16．（24-25高二上·江西·期末）现将8个体积相同但质量均不同的小球放入恰好能容纳8个小球且底面圆直径与小球直径相同的圆柱形卡槽内，这8个小球分别为2个红球、4个白球、2个黑球，若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端，则共有 种不同的放法；若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，则共有 种不同的放法． 【答案】 1728 3840 【解析】由题意可将把8个小球放入卡槽内的过程转化为这8个小球位置上的排列组合问题， 若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端， 先排红球和黑球共有种方法，再排其中1个白球有种方法， 最后排剩余的3个白球有种方法，所以共有种不同的放法． 若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，先任选1个白球，1个黑球放入2个红球中间，有种方法， 又2个红球的放法有种， 再将1个白球，1个黑球和2个红球进行捆绑与剩余的4个小球进行全排列有种， 所以共有种不同的放法． 故答案为：； 17．（23-24高二下·山东济宁·期中）某中学元旦晚会共由7个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有 种.（用数字作答） 【答案】2160 【解析】因为丙不能排在最后一位，则编排方案共有种， 又因为甲、乙处于对称位置，即节目甲排在乙的前面与节目乙排在甲的前面数量相等， 所以该晚会节目演出顺序的编排方案共有种. 故答案为：2160. 18．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有 条.（用数字作答）    【答案】 【解析】由题意，从西南角A地到东北角B地的最短路线，共需要走9步， 其中4步向上，5步向右，共有种不同的走法， 又由中间的矩形中没有道路，所以在向上和向右的走法中，都需要连续走2步， 共有种不同的走法， 所以从西南角A地到东北角B地的最短路线共有种不同的走法. 故答案为：. 19．（24-25高二下·天津·期中）在不超过20的质数中，随机挑选三个不同的数，则它们的乘积为偶数的组合方式共有 种.（请用数字作答） 【答案】 【解析】不超过20的质数有，奇数为，偶数为， 所以随机挑选三个不同的数，则它们的乘积为偶数则必须有2，则满足条件的组合方式共. 故答案为：. 20．（24-25高二上·上海·期末）用0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中，偶数的个数是 【答案】 【解析】当个数数字是0时，满足条件的四位数由， 当个数数字是2时，满足条件的四位数由， 故满足条件的偶数个数是10， 故答案为：10 21．（24-25高二下·湖北·期中）用数字、、、、组成的无重复数字的四位数的个数为 ．（用数字作答） 【答案】 【解析】首位不能排，有种选择，然后在剩余个数字中选择个排在剩余的三个数位上， 因此，满足条件的四位数的个数为个. 故答案为：. 22．（24-25高二下·山东泰安·期中）用这9个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是 . 【答案】448 【解析】用这9个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是. 故答案为：. 23．（24-25高二上·上海浦东新·期中）从这7个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为 .（用数字作答） 【答案】 【解析】第一步，从这个数中任选个，共有种方法， 第二步，选出的个数中，最小的为，从剩下的个数中选出个分给， 由题意可知，选出后“五位凹数”就确定了，共有种方法， 所以满足条件的“五位凹数”共有个， 故答案为：. 24．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）用0、2、4、6、8这5个数字，组成没有重复数字的三位数的个数为 .（用数字作答） 【答案】 【解析】三位数的百位不能选零，则有种选择，而十位与个位分别有种与种选择， 所以三位数的个数为. 故答案为：. 25．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数．则这样的三位数一共有 （用数字作答） 【答案】52 【解析】求符合题意的三位数个数，有两类办法： 0在个位，有个没有重复数字的三位偶数； 0不在个位，排个位有种方法，再排百位有种方法，排十位有种方法， 此时共有个没有重复数字的三位偶数， 所以没有重复数字的三位偶数共有个. 故答案为：52 14 学科网（北京）股份有限公司 $$