第十一章不等式与不等式组——不等式组的行程问题讲义　2024—2025学年人教版（2024）数学七年级下册

第十一章不等式与不等式组——不等式组的行程问题人教版（2024）初中数学七年级下册 一、知识点回顾 1.1 行程问题的基本关系 - 核心公式： - 变形式： 1.2 不等式组在行程问题中的应用 1. 问题类型： - 比较两物体的运动关系（如追及、相遇、速度差）； - 限定时间或路程范围（如“至少”“不超过”）。 2. 建模步骤： - 设未知数（如速度、时间）； - 根据题目条件列出一元一次不等式组； - 求解并验证解的合理性。 二、重难点讲解 2.1 从行程问题中提取不等关系 - 关键步骤： 1. 明确比较对象：例如甲、乙的速度或时间； 2. 转化关键词： - “甲比乙快” →； - “甲在1小时内到达” →。 3. 单位统一：时间单位（小时/分钟）、路程单位（千米/米）需一致。 示例分析： “甲、乙两人从A地到B地，甲的速度为，乙的速度为，甲比乙早到半小时，求A到B的路程范围。” 建模： 2.2 解集的公共部分判断 - 核心规则： - 分别解每个不等式，再求交集； - 结合实际问题排除不合理解（如负速度）。 三、易错点与解题方法 3.1 常见易错点 1. 单位未统一： - 错误：速度单位为，时间单位为分钟，未换算直接计算。 2. 忽略实际限制： - 错误：解集包含负数路程（如），未剔除。 3. 不等号方向错误： - 错误：“甲比乙快”误写为。 3.2 解题技巧与方法 1. 分步建模法： - 步骤： 1. 设未知数并标注单位； 2. 根据每个条件独立列不等式； 3. 解不等式组并验证。 示例： “小明跑步速度是，小红骑车速度至少是小明的2倍，且两人1分钟内通过的路程总和超过。求小红的速度范围。” 1. 数轴辅助法： · 用文字描述解集范围，如： 1. 单位换算口诀： · “大化小乘进率，小化大除以率”： · 例：，。 一、 选择 1 .(单选)在一次爆破中，用米的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为，引爆员点着导火索后，至少以每秒           米的速度才能跑到或以外的安全区域？ A. B. C. D. 2 .(单选)某人要完成千米的路程，并要在分钟内到达，已知他每分钟可以走米，若跑步，每分钟可以跑米，问这人完成这段路程，至少要跑(　　) A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟 3 .(单选)小明要从甲地到乙地，两地相距千米．已知他步行的平均速度为米/分，跑步的平均速度为米/分，若他要在分钟内（包括分钟）从甲地到达乙地，则至少需要跑步多少分钟？设他跑步分钟，则列出的不等式为（   ）． A. B. C. D. 4 .(单选)随着科技的进步，在很多城市都可以通过手机实时查看公交车的到站情况．小聪要乘坐公交车，他走到站牌的处，拿出手机查看了公交车的到站情况，发现他与公交车之间的距离为（如图），此时他与公交车相向而行，到站牌去乘车．假设公交车的速度是小聪速度的倍，小聪不会错过这辆公交车，则站牌与小聪之间的距离最大为（   ）． A. B. C. D. 5 .(单选)随着科技的进步，在很多城市都可以通过手机实时查看公交车到站情况．小聪同学想乘公交车，他走到、两站之间的处，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为700m（如图），此时他有两种选择： （1）与公交车相向而行，到公交站去乘车； （2）与公交车同向而行，到公交站去乘车． 假设公交车的速度是小聪速度的倍，小聪无论选择哪站乘坐都不会错过这辆公交车，则，两公交站之间的距离最大为（   ）． A. B. C. D. 6 .(单选)斑马线前“车让人”，反映了城市的文明程度，但行人一般都会在红灯亮起前通过马路，某人行横道全长米，小明以的速度过该人行横道，行至处时，秒倒计时灯亮了，小明要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（   ）． A.倍 B.倍 C.倍 D.倍 7 .(单选)某汽车计划以的平均速度行驶从地赶到地，实际行驶了时，发现只行驶了，为了按时赶到地，由于该路段限速．则他在后面的行程中的平均速度的范围是（   ）． A. B. C. D. 8 .(单选)一艘轮船从某江上游的甲地匀速行驶到下游的乙地用了，从乙地匀速返回甲地用了不到，这段江水流速为，轮船在静水里的往返速度不变，应满足（   ）． A. B. C. D. 二、 填空 1 .绿波路段是城市交通管理的一项重要措施，它能够有效地解决交通拥堵问题，提高交通效率，为城市的可持续发展做出贡献，如图是绿波路段的一部分，该路段限速千米/小时，间的距离为米，在路口处绿灯时间为秒，小车过路口后，以千米/小时的速度匀速行驶分钟后，路口小车通行方向变绿灯，若小车要在这个绿灯能顺利通过路口，求小车行驶速度的取值范围为           ． 2 .相距千米的、两地在一条笔直的公路上，甲、乙两辆巡警车分别从、两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往、两地．甲、乙两车的速度分别为千米/时、千米/时．已知两车都配有对讲机，当两部对讲机之间距离不超过千米时能够互相通话，则行驶过程中两部对讲机可以保持通话的最长时间为           小时． 3 .李华爸爸计划以的平均速度行驶从家去往某地开会，因路上堵车，实际行驶时只行驶了，但是前方路段限速．为了按时参会，他在后面的行程中的平均速度为，则的取值范围是           ． 4 .如图为某三岔路口交通环岛的简化模型．在某高峰时段，单位时间进出路口，，的机动车辆数如图所示，图中，，分别表示该时段单位时间内通过路段，，的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则，，的大小关系是           ．（用“”“”或“”连接） 5 .小明家距离学校千米，一天中午，小明从家里出发时，离规定到校时间只剩分钟，为了准时到校，他必须加快速度．已知他每分钟走米，若跑步每分钟可跑米，为了不迟到，小明至少要跑多少分钟？设至少要跑分钟，则列出的不等式为           ． 6 .假期里全家去旅游，爸爸开小型汽车走中间车道，你给爸爸建议车速为           ． 7 .小强开车从北京去天津，前半段路程的平均车速为，后半段路程的平均车速为．原路返回北京时，他前半段路程的平均车速为，那么他后半段路程的平均车速至少要达到           ，才能保证返程所用时间不多于去程． 8 .一艘轮船从某江上游的地匀速驶到下游的地用了小时，从地匀速返回地用了不到小时，这段江水的水流速度为，设轮船在静水里的往返速度为，且此速度一直保持不变，请列出符合题意的一元一次不等式：                                            ． 三、 解答 1 .某公园为了方便游客游览，设置了观光接驳车，公园设计的其中一条观光路线上设有、、、四个站点（如图所示），相邻两个站点的距离都是千米，游客只能在站点上、下车，一辆接驳车在，之间往返行驶，一名游客在距离站点千米的处徒步游览时，临时有事要赶回站点，此时他正好遇到开往站点的接驳车，他决定走到站点等待刚才那辆车从站点开回．已知接驳车与游客步行有如下信息（游客上下车的时间忽略不计）： ( 1 ) 求接驳车行驶的平均速度、游客步行的平均速度． ( 2 )该游客从处走到站点所需时间为           小时．（用含的式子表示） ( 3 )如果该游客不晚于接驳车到达站点，那么当时他离站点的距离最多有多远？ 2 .某公园为了方便游客游览，设置了观光接驳车．公园设计的其中一条观光路线上设有，，，四个站点（如图所示），相邻两个站点的距离都是千米，游客只能在站点上、下车．一辆接驳车在、之间往返行驶，一名游客在距离站点千米的处徒步游览时，临时有事要赶回站点，此时他正好遇到开往站点的接驳车，他决定走到站点等待刚才那辆车从站点开回．已知接驳车行驶的平均速度为千米/时，该游客步行的平均速度为千米/时，游客上下车的时间忽略不计． ( 1 )接驳车在，之间往返行驶一次所需时间为           小时． ( 2 )该游客从处走到站点所需时间为           小时．（用含的式子表示） ( 3 )如果该游客不晚于接驳车到达了站点，那么当时他离站点的距离最多有多远？ 3 .我市进行“新城区改造建设”，有甲、乙两种车参加运土，已知辆甲种车和辆乙种车一次共可运土米，辆甲种车和辆乙种车一次共可运土米． ( 1 )求甲、乙两种车每辆一次可分别运土多少米． ( 2 )某公司派甲、乙两种汽车共辆参加运土，且一次运土总量不低于米，求公司最多要派多少辆甲种汽车参加运土． 4 .张翔上午出发，从学校骑自行车去县城，路程全长，中途因道路施工步行一段路，他步行的平均速度是． ( 1 )若张翔骑车的平均速度是，当天上午到达县城，则他骑车与步行各用多少时间？ ( 2 )若张翔必须在当天上午之前赶到县城，他的步行平均速度不变，则他骑车的平均速度应在什么范围内？ 5 .张翔上午出发，从学校骑自行车去县城，路程全长，中途因道路施工步行一段路．他步行的平均速度是． ( 1 )若张翔骑车的平均速度是，当天上午到达县城，则他骑车与步行各用多久？ ( 2 )若张翔必须在当天上午之前赶到县城，他的步行平均速度不变，则他骑车的平均速度应在什么范围内？ 6 .举世瞩目的港珠澳大桥东接香港，西接珠海、澳门，是世界上最长的跨海大桥，被誉为“新世界七大奇迹”之一．如图，香港口岸至珠海口岸约千米，某一时刻，一辆穿梭巴士从香港口岸发车，沿港珠澳大桥开往珠海口岸．分钟后，一辆私家车也从香港口岸出发沿港珠澳大桥开往珠海口岸，在私家车出发的同时，一辆大客车从珠海口岸出发开往香港口岸．已知穿梭巴士的平均速度为千米/时，大客车的平均速度为千米/时． ( 1 )穿梭巴士出发多长时间与大客车相遇？ ( 2 )已知全程的限速（不超过）是千米/时，私家车速度是什么范围时才能在到达珠 海口岸前追上穿梭巴士？ ( 3 )若私家车的平均速度为千米/时，设私家车的行驶时间为小时，在行驶过程中，当私家车与穿梭巴士的距离不小于千米且不超过千米时，直接写出的取值范围． 7 .暑假期间小张一家为体验生活品质，自驾汽车外出旅游，计划每天行驶相同的路程．如果汽车每天行驶的路程比原计划多公里，那么天内它的行程就超过公里；如果汽车每天的行程比原计划少公里，那么它行驶同样的路程需要天多的时间，求这辆汽车原来每天计划的行程范围（单位：公里） 8 .小华家距离学校千米，某一天小华从家中去上学恰好行走到一半的路程时，发现离到校时间只有分钟了，如果小华能按时赶到学校，那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到每小时多少千米？ 9 .某校组织学生乘汽车前往自然保护区野营．从学校出发后，汽车先以的速度在平路上行驶，后又以的速度爬坡到达目的地；返回时，汽车沿原路线先以的速度下坡，后又以的速度在平路上行驶回到学校． ( 1 ) 用含、的代数式填表： 速度 时间 路程 前往 平路 上坡 返回 平路 ①            ②            下坡 ③            ④            ( 2 )已知汽车从学校出发到到达目的地共用时． ① 若汽车在返回时共用时，求（）的表格中的、的值． ② 若学校与目的地的距离不超过，请围绕“汽车从学校出发到到达目的地”这一过程中汽车行驶的“时间”或“路程”，提出一个能用一元一次不等式解决的问题，并写出解答过程． 10 .已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点出发行驶． ( 1 )若甲车的速度是乙车的倍，甲车走了千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了小时，求甲、乙两车的速度． ( 2 )假设甲、乙每辆车最多只能带升汽油，每升汽油可以行驶千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点，并求出甲车一共行驶了多少千米？ 11 .一艘轮船从某江上游的地匀速行驶到下游的地，用了，从地匀速行驶返回地用时至之间（不包含和），这段水流速度为，轮船在静水里的往返速度不变． ( 1 )求的取值范围． ( 2 )若是质数（大于的自然数，除了和它本身外，不能被其他自然数整除）求的值． 12 .十字形的路口，东西、南北方向的行人车辆来来往往，车水马龙，而红绿灯的作用就是不让双方向的车挤在一起，具体来说就是确保一个方向先过，另一个方向再过，并以此规律循环． 一般的十字路口，红灯和绿灯的持续时间是不同的，红灯的时间总比绿灯长，例如当东西方向红灯亮时，南北方向的绿灯要经过若干秒才亮，这样才可以确保十字路口的交通安全． 如图所示，假设某十字路口东西方向和南北方向的道路宽窄一致．当绿灯亮时，骑车人马上从等待线出发，若他不会与另一方向绿灯亮时马上从等待线出发的机动车相撞，就意味着可以保证交通安全，所以必须设置合理的红绿灯时间差，才能保证十字路口的通行安全，根据调查，某十字路口长为米，宽为米，通过此路口的自行车平均时速为，机动车平均时速为． ( 1 )若，． ① 骑车人需要骑行           米才能通过此十字路口． ② 若此路口红绿灯实际时间差，能保证交通安全吗？ ( 2 )欲保证此十字路口交通安全，请直接写出红绿灯时间差应满足的条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$