第十一章一元不等式与不等式组——不等式组的其他实际问题讲义　2024—2025学年人教版（2024）数学七年级下册

第十一章不等式与不等式组——不等式组的其他实际问题人教版（2024）初中数学七年级下册 一、知识点回顾 1.1 实际问题的多样性 - 核心思想：通过不等式组解决生活、几何、混合等综合性问题，需结合具体情境分析数量关系。 - 常见类型： 1. 年龄问题：年龄差固定，年龄和变化； 2. 几何问题：利用几何性质（如三角形三边关系）列不等式； 3. 混合问题：调配不同属性的物质（如浓度、合金）。 1.2 不等式组的构建逻辑 1. 多条件综合：从不同角度提取不等关系（如“至少”“至多”“范围”）； 2. 变量统一：明确未知数的实际意义（如人数、长度、时间）。 二、重难点讲解 2.1 复杂情境中的不等关系提取 - 关键步骤： 1. 分解问题：将复合问题拆解为多个简单条件； 2. 转化语言： - “甲比乙大5岁” →； - “长比宽多至少2米” →。 示例分析： “一个长方形的长比宽多3米，周长不超过24米，求宽的可能范围。” 建模： 解集：且（单位：米）。 2.2 混合问题的处理技巧 - 核心规则： - 混合后属性（如浓度、纯度）需满足范围限制； - 利用“溶质守恒”“总量平衡”列不等式组。 示例： “用含盐20%的盐水A和含盐5%的盐水B混合成含盐至少10%且不超过15%的盐水，求A与B的质量比范围。” 建模： 解集：。 三、易错点与解题方法 3.1 常见易错点 1. 变量定义不清： - 错误：未明确“设甲为”时的实际含义（如年龄、长度）。 2. 忽略隐含条件： - 错误：求三角形边长时未考虑“两边之和大于第三边”。 3. 混合问题比例计算错误： - 错误：将“含盐20%”误算为盐的质量（正确应为盐质量）。 3.2 解题技巧与方法 1. 分步建模法： - 步骤： 1. 设变量并标注单位（如年龄差为固定值）； 2. 独立分析每个条件并转化为不等式； 3. 综合解集并验证合理性。 示例： “父亲比儿子大28岁，5年后父亲的年龄不超过儿子年龄的3倍，求儿子当前年龄的可能值。” 解析： 实际解：儿子年龄至少9岁（整数解：）。 1. 表格整理法： · 用表格梳理混合问题中的质量、浓度等参数。 示例： 溶液类型 质量（kg） 浓度（%） 盐质量（kg） A 20 B 5 混合液 1. 数轴描述法： · 用文字描述数轴表示解集范围。 示例：解集描述为： · 数轴上从2（实心圈）到5（空心圈）的区间。 一、 选择 1 .(单选)某项球类规则达标测验，规定满分分，分及格，模拟考试与正式考试形式相同，都是道选择题，每题答对记分，答错或不答记分，并规定正式考试中要有分的试题就是模拟考试中的原题．假设某人在模拟考试中答对的试题，在正式考试中仍能答对，某人欲在正式考试中确保及格，则他在模拟考试中，至少要得（  ）． A.分 B.分 C.分 D.分 2 .(单选)已知实数，，满足，求的最大值与最小值． A.最大值为，最小值为 B.最大值为，最小值为 C.最大值为，最小值为 D.最大值为，最小值为 3 .(单选)（•河南郑州中原区期末）一天上班高峰时，某大厦电梯已经挤了很多人，现在所有人重量为公斤．公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起，大胖不得不走出电梯等待下一班．此时公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起，电梯缓缓关上了门，留下了尴尬的大胖．已知当电梯承载的重量超过公斤时警示音响起，则的取值范围可用下列哪一个不等式表示（   ）． A. B. C. D. 4 .(单选)某校名同学去工厂进行暑假实践活动，每名同学每天可以加工甲种零件个或乙种零件个，已知每加工一个甲种零件可获利元，每加工一个乙种零件可获利元，若要使车间每天获利不低于元，加工乙种零件的同学至少有（   ）． A.名 B.名 C.名 D.名 5 .(单选)燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在礼花弹燃放前转移到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度为，人离开的速度为，则导火线的长（单位：）应满足的不等式为（   ）． A. B. C. D. 6 .(单选)为加强拔尖创新人才的培养，某校面向对口小学招募对数学有兴趣的拔尖学生开展贯通式培养，入选同学要在该校组织的数学测试中得分不低于分，测试共有道题，每道题选对得分，不选或选错扣分，则入选同学至少要选对（   ）． A.道 B.道 C.道 D.道 7 .(单选)为庆祝伟大的中国共产党成立周年，某校德育处举行了以“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”为主题的党史知识竞赛．知识竞赛共道题，每一题答对得分，不答得分，答错扣分，小聪有道题没答，竞赛成绩超过分．设他答对了道题，则根据题意可列出不等式为（   ）． A. B. C. D. 8 .(单选)研究表明，运动时将心率（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不应该超过，最低值不低于．以岁为例计算，，，，所以岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为 A. B. C. D. 二、 填空 1 .某环保知识竞赛一共有道题，规定：答对一道题得分，答错或不答一道题扣分，得分超过分可以获一等奖．小明同学参加了这次竞赛，并且获得了一等奖，则小明同学在本次竞赛中，最少答对了           道题． 2 . 奥运会期间，某球迷准备用元预订张下表中比赛项目的门票． 比赛项目 票价（元/场） 男篮 足球 乒乓球 ( 1 )若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票，则他可以预订男篮门票和乒乓球门票各           、           张． ( 2 )若在总票数不变的前提下，他想预订表中三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，他能预订男篮、足球和乒乓球三种球类门票各           、           、           张（总费用不超过元）． 3 .甲、乙两人玩纸牌游戏，规定每人最多两种取法，甲每次取张或张，乙每次取张或张（是定值且为整数，）．经统计，甲共取了次，乙共取了次，并且乙至少取了二次张牌，最终两人所取牌的总张数恰好相等，那么纸牌总数最少有           张． 4 .长方形内一点到其中三边的距离分别是，，，而这个长方形的面积不大于，且到另一边的距离也是整数，则最大为           ． 5 .某校名老师带领若干学生到上海旅游，他们联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社的标价都为每人元．经商谈，甲旅行社给的优惠条件是：教师全额付费，学生按折付费；乙旅行社给的优惠条件是：全体师生按折付费．经核算，选择甲旅行社更合算．请你计算，这次参加旅游的学生至少有多少？ 6 .将，，，，，，，，，这个自然数填到图中个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是           ． 7 . （第届“学用杯”全国数学知识应用竞赛）某市引入“早餐工程”，既满足了人们的生活需要，又解决了一部分下岗职工的再就业问题，李大姐就是其中受益者．自她加入“早餐工程”的队伍，她的脸上比刚下岗时增添了许多笑容．下面是她一周的毛收人列表： 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 每天毛收入元 预计她在下半年（按天计算）的毛收入共有           元． 8 .年月日至日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为元/个，“冰墩墩”挂件的进价为元/个． ( 1 )若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了元，则购进“冰墩墩”摆件的数量为           ，挂件的数量为           ． ( 2 )该商店计划将“冰墩墩”摆件的售价定为元/个，“冰墩墩”挂件的售价定为元/个，若购进的个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利元，则购进的“冰墩墩”挂件不能超过           个． 三、 解答 1 .临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小枣粽每袋个，豆沙粽每袋个，肉粽每袋个，为了促销，超市计划将所购粽子组合包装，全部制成、两种套装销售，套装为每袋小枣粽个，豆沙粽个；套装为每袋小枣粽个，肉粽个． ( 1 )设购进的小枣粽袋，豆沙粽袋，则购进的肉粽的个数为                               （用含、的代数式表示）． ( 2 )若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进多少袋？ 2 . 某人凭会员卡一年内去游泳馆游泳的次数（单位：次）与游泳费用（单位：元）的部分数据如下： 一年内游泳次数/次 游泳费用/元 ( 1 )用含的式子表示游泳费用为           元． ( 2 )此人一年内游泳次的费用是           元． ( 3 )小丽有元，一年内她凭会员卡最多可以游泳多少次？ 3 .如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为． ( 1 )写出用表示的式子          ．当时，求的值． ( 2 )受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 4 .某校组织学生去游乐园参加拓展体验活动，活动中有“摩天轮”和“海盗船”两个体验项目供同学选择．如果名同学选择“摩天轮”项目，名同学选择“海盗船”项目，购票费用共需元；如果名同学选择“摩天轮”项目，名同学选择“海盗船”项目，购票费用共需元． ( 1 )求每张“摩天轮”项目的票价和每张“海盗船”项目的票价各为多少元； ( 2 )该校有名同学参加“摩天轮”和“海盗船”两个项目，若要求购票总费用不超过元，那么最多有多少名同学选择“摩天轮”项目? 5 .学校广播站要招聘一名播音员，擅长诵读的小龙想去应聘，但是不知道是否符合应聘条件，于是在微信上向好朋友亮亮倾诉，如图所示的是他们的部分对话内容，面对小龙的问题，亮亮也犯了难． ( 1 )请聪明的你用所学的方程知识帮小龙计算一下，他是否符合学校广播站的应聘条件？ ( 2 )小龙和奶奶各读一篇文章，已知奶奶所读文章比小龙所读文章至少多了个字，但奶奶所用的时间是小龙的倍，则小龙至少读了多少分钟？ 6 .围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，已知购买副象棋和副围棋共需元，购买副象棋和副围棋共需元． ( 1 )求每副象棋和围棋的价格； ( 2 )若学校准备购买象棋和围棋总共副，且总费用不超过元，则最多能购买多少副围棋？ 7 .端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从月日起开始打折促销，购买盒肉粽和盒红柊粽需元，购买盒肉粽和盒红責粽需元． ( 1 )每盒肉粽和红苯粽各多少元？ ( 2 )轩轩同学想在端午节为敬老院送粽子，他带了元钱去商场买粽子，已知购买的红苯粽比肉粽的倍多盒，则他最多可以买多少盒肉粽？ 8 .在平面直角坐标系中，对于点，，将点关于直线对称得到点；当时，将点向上平移个单位，当时，将点向下平移个单位，得到点，我们称点为点关于点的对称平移点．例如，如图已知，，点关于点的对称平移点为． ( 1 )已知点，． ① 点关于点的对称平移点为           （直接写出答案）． ② 若点为点关于点的对称平移点，则点的坐标为           （直接写出答案）． ( 2 )已知点在第一三象限的角平分线上，点的横坐标为，点的坐标为． ① 点为点关于点的对称平移点，若以，，，为顶点的四边形围成的面积为，求的值． ② 点向右平移个单位得到点，点向右平移个单位得到点，以一边向上作正方形，以一边向上作正方形，点为正方形的边上的一个动点，在点运动过程中，若点关于点的所有对称平移点都在正方形的内部或边上，请直接写出的取值范围． 9 .有、、、四支排球队进行单循环赛，记分规则是：两队比分为或时，胜队得分，负队得分；比分为时，胜队得分，负队得分，比赛结果是队和队并列第一，队和队分别获得第三和第四，有几种不同的得分情况？请列出每局的得分情况． 10 .如图，平面直角坐标系中，直线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，且． ( 1 )求的面积． ( 2 )如图，若为直线上一动点，连接，且，求点横坐标的取值范围． ( 3 )如图，点在第三象限的直线上，连接，于，连接交轴于点，连接交的延长线于，则、、、之间是否有某种确定的数量关系？试证明你的结论． 11 .在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的级伴随点，为正整数，当时，点叫做点的一级伴随点，以此类推，得到各级伴随点． ( 1 )时，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…． ① 若点的坐标为，则点的坐标为           ，点的坐标为           ． ② 的坐标是什么？请展示你的思维过程． ③ 若点的坐标为，对于任意的正整数，点均在轴上方，求、应满足的条件． ( 2 )当时，点是点级伴随点，请你直接写出一组满足条件的点的坐标及此时的值． 12 .已知关于，的方程组． ( 1 )当时，求这个方程组的解． ( 2 )当这个方程组的解，满足，求的取值范围． ( 3 )在（）的条件下，如果的顶点坐标分别分，，，那么面积的最大值、最小值各是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$