第十一章不等式与不等式组——不等式组的方案选择问题讲义　2024—2025学年人教版（2024）数学七年级下册

第十一章不等式与不等式组——不等式组的方案选择问题人教版（2024）初中数学七年级下册

一、知识点回顾

1.1 方案选择问题的基本模型
- 定义：在多个可行方案中，通过不等式组分析约束条件，选择最优方案（如成本最低、利润最高）。
- 核心步骤：
1. 设定变量：明确不同方案的决策量（如购买数量、运输次数）；
2. 列出各方案的条件：转化为不等式或等式；
3. 综合约束条件：构建不等式组并求解；
4. 比较方案可行性：筛选符合所有条件的解。

1.2 常见问题类型
- 购买方案：比较不同优惠条件下的最优选择；
- 运输方案：选择车辆类型与数量的组合；
- 生产计划：满足资源限制下的最大产量。

二、重难点讲解

2.1 从多方案中提取约束条件
- 关键步骤：
1. 独立分析每个方案：分别列出其成本、数量等限制；
2. 统一变量与单位：确保不同方案的条件可比较；
3. 整合为不等式组：所有方案的条件需同时满足。

示例分析：

“某商店购买笔记本，方案一：买5本送1本，每本10元；方案二：满50元打9折。若至少买12本，且预算不超过100元，求如何选择更省钱。”
建模：
- 设定变量：设购买本（）；
- 方案一费用：分组购买，每6本实际付5本钱：
 

- 方案二费用：总价≥50元时打9折：
 

- 约束条件：
 

2.2 整数解与最优解筛选
- 核心规则：实际问题中购买数量、运输次数等需为整数，需从解集中筛选可行解并比较。
- 示例：
若解集为，则逐个验证时的费用，选择最小值。

三、易错点与解题方法

3.1 常见易错点
1. 变量混淆：

- 错误：不同方案使用不同变量（如方案一用，方案二用），导致无法比较。
2. 忽略隐性条件：
- 错误：未考虑“买5送1”中余数部分需单独计算（如买14本需计算2组送2本，余2本）。
3. 计算逻辑错误：
- 错误：将折扣后的总费用误写为（正确应为整体打折）。

3.2 解题技巧与方法
1. 分步建模法：
- 步骤：
1. 统一设未知数：如设购买量为；
2. 分方案列表达式：独立写出每个方案的费用或收益；
3. 构建不等式组：综合预算、数量等限制；
4. 代入整数解验证：比较各方案的实际花费。

示例：
“运输公司用大车（载重8吨）和小车（载重5吨）运送60吨货物，大车每辆运费500元，小车每辆300元，车辆总数不超过10辆。求最低运费的方案。”
解析：
- 设变量：大车辆，小车辆；
- 约束条件：
 

- 目标函数：；
- 筛选可行解：