第十一章不等式与不等式组——不等式组的方案选择问题讲义　2024—2025学年人教版（2024）数学七年级下册

第十一章不等式与不等式组——不等式组的方案选择问题人教版（2024）初中数学七年级下册 一、知识点回顾 1.1 方案选择问题的基本模型 - 定义：在多个可行方案中，通过不等式组分析约束条件，选择最优方案（如成本最低、利润最高）。 - 核心步骤： 1. 设定变量：明确不同方案的决策量（如购买数量、运输次数）； 2. 列出各方案的条件：转化为不等式或等式； 3. 综合约束条件：构建不等式组并求解； 4. 比较方案可行性：筛选符合所有条件的解。 1.2 常见问题类型 - 购买方案：比较不同优惠条件下的最优选择； - 运输方案：选择车辆类型与数量的组合； - 生产计划：满足资源限制下的最大产量。 二、重难点讲解 2.1 从多方案中提取约束条件 - 关键步骤： 1. 独立分析每个方案：分别列出其成本、数量等限制； 2. 统一变量与单位：确保不同方案的条件可比较； 3. 整合为不等式组：所有方案的条件需同时满足。 示例分析： “某商店购买笔记本，方案一：买5本送1本，每本10元；方案二：满50元打9折。若至少买12本，且预算不超过100元，求如何选择更省钱。” 建模： - 设定变量：设购买本（）； - 方案一费用：分组购买，每6本实际付5本钱： - 方案二费用：总价≥50元时打9折： - 约束条件： 2.2 整数解与最优解筛选 - 核心规则：实际问题中购买数量、运输次数等需为整数，需从解集中筛选可行解并比较。 - 示例： 若解集为，则逐个验证时的费用，选择最小值。 三、易错点与解题方法 3.1 常见易错点 1. 变量混淆： - 错误：不同方案使用不同变量（如方案一用，方案二用），导致无法比较。 2. 忽略隐性条件： - 错误：未考虑“买5送1”中余数部分需单独计算（如买14本需计算2组送2本，余2本）。 3. 计算逻辑错误： - 错误：将折扣后的总费用误写为（正确应为整体打折）。 3.2 解题技巧与方法 1. 分步建模法： - 步骤： 1. 统一设未知数：如设购买量为； 2. 分方案列表达式：独立写出每个方案的费用或收益； 3. 构建不等式组：综合预算、数量等限制； 4. 代入整数解验证：比较各方案的实际花费。 示例： “运输公司用大车（载重8吨）和小车（载重5吨）运送60吨货物，大车每辆运费500元，小车每辆300元，车辆总数不超过10辆。求最低运费的方案。” 解析： - 设变量：大车辆，小车辆； - 约束条件： - 目标函数：； - 筛选可行解： -时，，费用元； -时，，费用元； - 最优解：，费用最低。 1. 表格整理法： · 用表格横向对比不同方案的表达式与约束条件。 示例： 方案 费用表达式 约束条件 方案一 方案二 —— 1. 语言转换口诀： · “方案条件逐个列，统一变量再求解，整数验证别忘记，最优需比费用低”。 一、 选择 1 .(单选)某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克元，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共千克，准备投入资金不少于元，要求利润也不少于元，设购买甲种蔬菜千克（为整数），则有（   ）不同的购买方案． A.种 B.种 C.种 D.种 2 .(单选)为做好创建全国文明城市的工作，某单位要购买个分类垃圾桶．市场上有，两种分类垃圾桶，型分类垃圾桶元/个，型分类垃圾桶元/个．若总费用不超过元，则不同的购买方式有（   ）． A.种 B.种 C.种 D.种 3 .(单选)某学校准备购进单价分别为元和元的，两种笔记本共本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的倍，不少于种笔记本数量的倍，则不同的购买方案种数为（   ）． A. B. C. D. 4 .(单选)疫情防控期间，某社区决定用元订购，两种型号口罩（两种口罩都买），其中种型号口罩每包元，种型号口罩每包元，则可供社区选择的购买方案有 A.种 B.种 C.种 D.种 5 .(单选)小明一家去公园游玩，爸爸给小明元买午饭，要买份套餐，有元套餐和元套餐可供选择，若至少购买份元套餐，请问小明购买的方案有（   ）． A.种 B.种 C.种 D.种 6 .(单选)小明去商店购买、两种玩具，共用了元钱，种玩具每件元，种玩具每件元．若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量多于种玩具的数量，则小明的购买方案有（   ）． A.种 B.种 C.种 D.种 7 .(单选)小明一家人去公园游玩，小明爸爸给了小明元买午饭，有元套餐和元套餐可供选择，若至少有个人要吃元套餐，请问小明购买的方案有（   ）． A.种 B.种 C.种 D.种 8 .(单选)某篮球比赛的计分规则是：胜一场得分，平一场得分，负一场得分．某球队参赛场，积分，若不考虑比赛顺序，则该队平、胜、负的情况可能有（   ）． A.种 B.种 C.种 D.种 二、 填空 1 .某学校积极响应“双减”政策，为了丰富学生校园生活，经研究决定准备购买一批体育健身器材，其中需要购买甲、乙两种品牌的篮球．购买甲品牌的篮球个，乙品牌的篮球个，共花费元，已知购买一个乙品牌的篮球比购买一个甲品牌的篮球多花元． ( 1 )购买一个甲品牌、一个乙品牌的篮球各需           、           元． ( 2 )经过一段时间调查，发现喜欢篮球的学生较多，于是学校决定再次购进甲、乙两种品牌篮球共个．正好某商店促销，甲品牌篮球单价比第一次购买时降低元，乙品牌篮球按第一次购买时单价的折出售，如果学校此次购买甲、乙两种品牌篮球的总费用不超过第一次花费的80\%，且保证这次购买的乙品牌篮球不少于个，则这次学校有           种购买方案． 2 .菜市场内某摊位上售卖、、、四种蔬菜，其中、两种蔬菜的单价相同，种蔬菜的单价是种蔬菜的倍，上午时段，、两种蔬菜的销量相同，种蔬菜的销量是种蔬菜销量的倍，结果上午时段、两种蔬菜的总销售额比、两种蔬菜的总销售额多元，且四种蔬菜上午时段的单价与销量均为正整数，到了下午的时候，由于种蔬菜的新鲜度下降，摊主便将种蔬菜打八折售卖，其他三种蔬菜单价不变，结果下午时段除了种蔬菜销量下降了，其他几种蔬菜的销量跟上午一样，若种蔬菜与种蔬菜的单价之差超过元但不超过元，种蔬菜和种蔬菜上午时段的单价之和不超过元，则下午时段四种蔬菜总销售额最多为           元． 3 .某医院为了提高服务质量，进行了下面的调查：当还未开始挂号时，有个人已经在排队挂号；开始挂号后，排队的人数平均每分钟增加人．假定挂号的速度是每窗口每分钟个人，当开放一个窗口时，分钟后恰好不会出现排队现象；当同时开放两个窗口时，则分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有           个． 4 . 为备战电商节，某公司决定购买台快递打包机．现有，两种型号的设备，其中每台的进价与每小时的打包量如下表： 型 型 价格（万元台） 打包量（箱时） 购买台型设备比购买台型设备多万元，购买台型设备比购买台型设备少万元． ( 1 )          ，          ． ( 2 )如果公司购买快递打包机的总资金不超过万元，该公司有           种购买方案． ( 3 )在（）的条件下，如果要求快递打包机每小时的总打包量不低于箱，为了节约成本，按方案二购买型设备           台，型设备           台最省钱． 5 .书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富．某学校准备为学生们购买一批毛笔和宣纸，已知购买支毛笔和张宣纸需要元，购买支毛笔和张宣纸需要元． ( 1 )毛笔的单价是           元，宣纸的单价是           元． ( 2 )学校准备购买毛笔支，宣纸若干张（超过张）． 某超市给出以下两种优惠方案． 方案：购买一支毛笔，赠送一张宣纸； 方案：购买张宣纸以上，超出的部分按原价打折，毛笔不打折． 当学校购买张到张宣纸时选择           方案更划算，购买张以上宣纸时选择           方案更划算． 6 .为了做好学校防疫工作，某中学开学前要备足防疫物资，现准备购买口罩（单位：只）和医用外科口罩（单位：包，一包只）若干，经市场调查：购买只口罩、包医用外科口罩共需元；购买一只口罩的费用是购买一包医用外科口罩费用的倍． ( 1 )购买一只口罩需           元，一包医用外科口罩需           元． ( 2 )市场上现有甲、乙两所医疗机构，甲医疗机构的销售方案为购买只口罩送包医用外科口罩，乙医疗机构的销售方案为购买口罩全部打九折．若该中学准备购买只口罩，购买医用外科口罩包，请你帮助设计最佳购买方案，并计算最佳购买方案所需的总费用为           元（用含的代数式表示）． 7 .新能源汽车因其废气排放量比较低，被越来越多的家庭所喜爱，某汽车专卖店销售甲、乙两种型号的新能源汽车，某月的第一周售出辆甲种型号的新能源汽车和辆乙种型号的新能源汽车，销售额为万元；第二周售出辆甲种型号的新能源汽车和辆乙种型号的新能源汽车，销售额为万元． ( 1 )每辆甲种型号的新能源汽车的售价为           万元，每辆乙种型号的新能源汽车的售价为           万元． ( 2 )某公司准备向该汽车专卖店购买甲、乙两种型号的新能源汽车共辆，其购车费用不少于万元，且不超过万元，那么有           种购车方案，从公司节约的角度考虑，你会选择购买甲种型号的新能源汽车           辆，乙种型号的新能源汽车           辆． 8 .接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．现需从北京运输一批疫苗到某县疾控中心，据调查得知，辆型冷链运输车与辆型冷链运输车一次可以运输新冠病毒疫苗盒；辆型冷链运输车与辆型冷链运输车一次可以运输新冠病毒疫苗盒． ( 1 )求每辆型车一次可以分别运输           盒新冠病毒疫苗，每辆型车一次可以运输           盒新冠病毒疫苗． ( 2 )计划用两种冷链运输车共辆运输这批疫苗，型车每辆所需费用为元，型车每辆所需费用为元．若运输新冠病毒疫苗不少于盒，且总费用不超过元，请问有           种运输方案，请你列出所有的运输方案． 三、 解答 1 .“体彩毅起来，乐享江淮行”安徽体彩第一届公益徒步活动在合肥市肥西县官亭林海举行，活动主办方为了奖励徒步大会活动中取得了好成绩的参赛选手，计划购买甲、乙两种纪念品共件并发放，其中甲种纪念品每件售价为元，乙种纪念品每件售价元． ( 1 )如果购买甲、乙两种纪念品一共花费了元，那么购买甲、乙两种纪念品各多少件？ ( 2 )设购买甲种纪念品件，如果购买乙种纪念品的件数不超过甲种纪念品数量的倍，并且费用不超过元，那么主办方购买甲、乙两种纪念品共有几种方案？哪一种方案所需的总费用最少？最少费用是多少元？ 2 . 某商场开展促销活动，出售甲、乙两种商品，活动方案有如下两种: 甲商品 乙商品 售价(单位: 元) 促销方案一 买一件甲商品，赠送一件乙商品 促销方案二 甲商品和乙商品都打九折 (备注: 参加方案一，则不能参加方案二; 参加方案二，则不能参加方案一) ( 1 )若某单位购买甲商品件，购买乙商品的件数比甲商品多件, 选用方案一需花费           元; 选用方案二需花费           元; (用含的代数式填空) ( 2 )在（1）间的条件下，请问购买甲商品多少件时，选择方案一与选择方案二的花费相同? ( 3 )请根据购买甲商品的件数的不同范围，直接写出选择哪种促销方案更合适. 3 .某校为丰富学生的课余生活，并拓展同学们的知识视野，准备举办一次趣味知识答题活动，计划购买，两种奖品鼓励答题的同学．若购买种奖品件，种奖品件，那么共需元；若购买种奖品件，种奖品件，那么共需元． ( 1 )求，两种奖品每件各多少元？ ( 2 )现需要购买，两种奖品共件． ① 若预算资金不超过元，那么最多购买种奖品多少件？ ② 若预算资金不低于元且不超过元，有哪几种购买方案？ 4 .百果园李老板在德昌旅游时发现这里的水果极其丰富，尤其是春节期间的草莓更是物美价廉．他在一家水果店前驻足观察到，一位客人买了斤中果草莓和斤大果草莓共花费元，另一位客人买了斤中果草莓和斤大果草莓花费元． ( 1 )请问在德昌中果草莓和大果草莓每斤各多少元？ ( 2 )在重庆，中果草莓每斤元，大果草莓每斤元，如果在德昌这个店购买然后运回重庆销售，有一定利润．经了解：重庆到德昌公里，一辆载重斤的卡车满载的时候运输费用为每公里元，现计划购买中果和大果草莓共斤，在运输以及销售过程中大果和中果草莓损耗各．如果大果购买重量与中果购买重量之差不超过斤，那么当总利润不低于元且水果重量均为整数时，请问有哪几种购买方案？ 5 . 某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 台 台 元 第二周 台 台 元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） ( 1 )求、两种型号的电风扇的销售单价． ( 2 )若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？ ( 3 )在（）的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润超过元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 6 .某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进台甲型微波炉和台乙型微波炉，共需要资金元；若购进台甲型微波炉和台乙型微波炉，共需要资金元． ( 1 )求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？ ( 2 )该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号的微波炉共台，请问有几种进货方案？请写出进货方案． ( 3 )甲型微波炉的售价为元，售出一台乙型微波炉的利润率为．为了促销，公司决定甲型微波炉九折出售，而每售出一台乙型微波炉，返还顾客现金元，要（）中所有方案获利相同，则的值应为多少？ 7 . 根据以下素材，探索完成任务． 设计烟花采购方案 自疫情开放以来，旅游业逐步回暖，为吸引游客，温州某乡镇决定举办烟花节，需考虑如何采购烟花及烟花燃放时长 素材 已知购买箱型和箱型烟花需要元，购买箱型和箱型烟花需要元． 素材 某烟花厂提供产品信息如下： （1）型烟花每箱发，型烟花每箱发． （2）即将推出新品型烟花，每箱元，每箱发． （3）本厂生产的所有型号烟花每发间隔秒． 素材 （1）该乡镇准备支出元（全部用完）购买烟花． （2）燃放烟花时逐箱不间断燃放，且每次仅燃放一箱，假设每发烟花均能正常绽放，且间隔时长保持不变，忽略每箱烟花之间的引燃时间． 问题解决 任务 确定单价 求、型烟花每箱多少元？ 任务 确定方案① 若仅购买，型烟花，可以燃放多少秒？ 确定方案② 若同时采购、、三种烟花，型烟花的箱数是型的倍，如何采购使得燃放时间最长？并求出最长燃放时间． 8 .有根大小相同的进水管给、两个水池注水，原计划用根进水管给水池注水，其余根给水池注水，那么小时可同时注满，因为发现水池以一定的速度漏水，所以改为各用根进水管给水池注水，结果也是同时注满． ( 1 )如果用根进水管给漏水的水池注水，需要多少分钟注满? ( 2 )如果增加根同样的进水管，水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟?（结果四舍五入到个位数） 9 .为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，我校计划从商场一次性购买一批足球和篮球用于开展课后服务训练，经多方调研，现决定购买品牌篮球和品牌足球共个，要求采购总费用不超过万元．若甲、乙两商店销售这两种商品的零售价相同，其中篮球每个零售价元，足球每个零售价元． ( 1 )若按照商场零售价直接购买，至多可以买篮球多少个？ ( 2 )为促进消费，盘活库存，甲、乙两商店均开展“大订单超值购”活动，推出不同的优惠 方案：甲店篮球按零售价格打折销售，足球按照零售价格原价销售；乙店按照购买篮球和足球的零售总价格打折销售：若学校至少采购篮球个，请你运用所学知识，帮采购人员算一算：我校从哪家商店购买篮球和足球更合算？说说你的理由（按照采购规定，篮球和足球只能从同一家商店购买）． 10 .某校准备租车运送选拔出来的名学生去参观市博物馆，已知租辆甲型客车和辆乙型客车满载可坐人；租辆甲型客车和一辆乙型客车满载可坐人，学校总务处计划同时租甲型客车辆，乙型客车辆，一次将学生运往市博物馆，且恰好每辆客车都满载． 根据以上信息，解答下列问题： ( 1 )辆甲型客车和辆乙型客车都满载，一次可分别坐多少学生？ ( 2 )请你帮该学校总务处设计租车方案． ( 3 )已知甲型客车每辆租金元/次，乙型客车每辆租金元/次，请你选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 11 .为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进件甲种农机具和件乙种农机具共需万元，购进件甲种农机具和件乙种农机具共需万元． ( 1 )求购进件甲种农机具和件乙种农机具各需多少万元？ ( 2 )若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共件，且投入资金不少于万元又不超过万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？ ( 3 )在（）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价万元，每件乙种农机具降价万元，在投入资金最少的情况下该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），求再次购买农机具的方案有哪几种？ 12 . 某物流公司现有吨货物，计划同时租用，两种车，经理发现一个运货货单上的一个信息是： 型车（满载） 型车（满载） 运货总量 辆 辆 吨 辆 辆 吨 根据以上信息，解答下列问题： ( 1 )辆型车和辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ ( 2 )若物流公司打算一次运完，且恰好每辆车都装满货物，请你帮该物流公司设计租车方案． ( 3 )若型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次，那么最少租车费是多少元？此时的租车方案是什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$