第十一章不等式与不等式组——不等式组的经济问题讲义　　2024—2025学年人教版（2024）数学七年级下册

第十一章不等式与不等式组——不等式组的经济问题人教版（2024）初中数学七年级下册 一、知识点回顾 1.1 经济问题的基本模型 - 核心关系： 1. 利润收入成本，即 2. 折扣计算： -折表示售价为原价的，如“8折”即。 3. 盈亏平衡：利润（至少不亏损）。 1.2 不等式组在经济问题中的应用 1. 问题类型： - 商品定价范围（如“售价至少为成本的1.2倍，且不超过市场最高价”）； - 促销活动约束（如“满减”与“折扣”叠加的限制）。 2. 建模步骤： - 设未知数（如售价、销量）； - 根据利润、成本、销量等条件列不等式组； - 求解并验证解的合理性（如售价需为整数）。 二、重难点讲解 2.1 从经济问题中提取不等关系 - 关键步骤： 1. 识别经济指标：成本价、售价、销量、利润； 2. 转化关键词： - “至少盈利100元” →； - “售价不超过成本的2倍” →。 3. 单位统一：金额单位（元）、销量单位需一致。 示例分析： “某商品成本为50元，售价定为元。若销量至少为100件，且总利润不低于2000元，求售价范围。” 建模： 解不等式组： 2.2 复合促销问题的处理 - 核心规则： - 分步计算折扣、满减等条件，转化为不等式组。 - 示例： “满200元减50元，同时打9折，求实际支付金额范围。” 解析： - 设原价为元，实际支付元： - 需分段列不等式（如“实际支付不超过150元”）。 三、易错点与解题方法 3.1 常见易错点 1. 符号方向错误： - 错误：将“利润不低于2000元”写为。 2. 忽略实际限制： - 错误：解集中售价为负数（如），未剔除。 3. 折扣计算错误： - 错误：将“8折”误算为（正确应为）。 3.2 解题技巧与方法 1. 分步建模法： - 步骤： 1. 设变量并标注单位（如售价元/件）； 2. 分别列出利润、销量、促销条件的不等式； 3. 解不等式组并筛选合理值。 示例： “某书店促销：购书满100元减20元，最多可买5本，每本定价至少15元。若要享受优惠，求购书金额范围。” 解析： 矛盾无解：若最多买5本且每本≥15元，则最低消费为元，无法达到满减条件，故无解。 1. 表格辅助法： · 用表格整理分段条件（如满减、折扣）。 示例： 消费区间 实际支付公式 1. 验证法： · 代入解集边界值检查合理性。 示例： · 若售价解集为，验证和是否满足利润要求。 一、 选择 1 .(单选)某商店分别购进价格为每千克元的甲种糖果和价格为每千克元的乙种糖果，若该商店以每千克元的价格将两种糖果全部卖完，为保证盈利，与应满足的关系是（   ）． A. B. C. D. 2 .(单选)某品牌手机在春节期间进行销售，其中某款手机进价为元/部，标价为元/部．现在进行打折促销，但要保证利润率不低于，则最低打（   ）． A.六折 B.七折 C.八折 D.九折 3 .(单选)某批电子产品的进价为元/件，售价为元/件．为提高销量，商店准备将这批电子产品降价销售，若要保证单件利润率不低于5\%，则该批电子产品最多可降价（   ）． A.元 B.元 C.元 D.元 4 .(单选)小马拿元钱去购买笔记本和黑色签字笔共件，已知每本笔记本元，每支黑色签字笔元，求小马最多能买几支黑色签字笔．设小马买了支黑色签字笔，根据题意可列不等式为（   ）． A. B. C. D. 5 .(单选)某种商品的进价为元，标价为元，由于该商品积压，商店准备打折销售，要保证利润率不低于，该种商品最多可打（   ）． A.折 B.9折 C.折 D.折 6 .(单选)为进一步开展“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共个，但要求足球和篮球的总费用不超过元，已知每个足球元，每个篮球元，学校最多可以购买的篮球个数是（   ）． A. B. C. D. 7 .(单选)某学校准备购进单价分别为元和元的，两种笔记本共本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的倍，不少于种笔记本数量的倍，则不同的购买方案种数为（   ）． A. B. C. D. 8 .(单选) （•安徽合肥五十中期中）下面是新华书店种类型文学名著套装的价目表，小明在这里看好了类型②的名著套装，爸爸说：“今天有促销活动，九折优惠呢！你可以再选一套，但两套最终付款总额不能超过元．”那么小明再买第二套名著选择价格最贵的类型是（   ）． 类型 ① ② ③ ④ ⑤ 价格/元 A.① B.③ C.④ D.⑤ 二、 填空 1 . 小石经营的水果店入驻了某电商平台，并对部分水果（如下表）进行促销：参与促销的水果免配送费且一次购买水果的总价满元减元．每笔订单顾客网上支付成功后，小石会得到支付款的． 水果 促销前单价 苹果 元箱 粑粑柑 元箱 车厘子 元箱 火龙果 元箱 ( 1 )当时，一次购买苹果和车厘子各箱，需要支付           元，小石会得到           元． ( 2 )在促销活动中，为保障小石每笔订单所得到的金额不低于促销前总价的折，的最大值是           ． 2 .某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为元、标价为元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于，则最低折扣是           ． 3 .某种商品的进价为元，标价为元．由于商品积压，商家准备打折销售，但要保证利润不低于，则至少可以打           折． 4 .某校要为生物科学活动社团提供实验器材，计划购买，两种型号的放大镜，型号的放大镜每个元，型号的放大镜每个元，且所需购买型号放大镜的数量是型号放大镜数量的倍，总费用不超过元，则最多可以购买型号放大镜           个． 5 .巴蜀中学初一年级老师为同学们购买《平凡的世界》，《朝花夕拾》和《钢铁是怎样练成的》供大家借阅，已知三本书单价之和为元，计划购买三种书数量总共不超过本，其中《平凡的世界》单价为元，计划购买本，《朝花夕拾》至少购买本，《钢铁是怎样练成的》数量不少于《朝花夕拾》的倍．在做预算时将《钢铁是怎样练成的》和《朝花夕拾》的票价弄反了，结果实际购买三种书的总价比预算多了元，若三本书的单价均为整数，则实际购买这三种书最多需要花费           元． 6 .今年春节期间，为提倡文明、环保祭祖，某烟花销售商拟今年不再销售烟花爆竹，改为销售鲜花．经过市场调查，发现有甲、乙、丙、丁四种鲜花组合比较受顾客的喜爱，于是制定了进货方案．其中甲、丙的进货量相同，乙、丁的进货量相同．甲与丁单价相同，甲、乙与丙、丁的单价和均为元束．且甲、乙的进货总价比丙、丁的进货总价多元．由于年末资金周转紧张，所以临时决定只购进甲、乙两种组合，甲、乙的进货量与原方案相同，且进货量总数不超过束，则该销售商最多需要准备           元进货资金． 7 .某品牌护眼灯的进价为元，商店以元的价格出售．五一劳动节期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价           元． 8 .某种商品进价为元，标价为元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打           折． 三、 解答 1 . 某电子产品店两次购进甲和乙两种品牌耳机的数量和总费用如下表： 第一次 第二次 甲品牌耳机（个） 乙品牌耳机（个） 总费用（元） ( 1 )甲、乙两种品牌耳机的进价各是多少元？ ( 2 )商家第三次进货计划购进两种品牌耳机共个，其中甲品牌耳机数量不少于个，在采购总价不超过元的情况下，最多能购进多少个甲品牌耳机？ 2 .小明在超市给全家购买五一小长假出游所需的小食品，若购买袋薯片和瓶饮料共需要元，若购买袋薯片和瓶饮料共需要元． ( 1 )求袋薯片和瓶饮料各多少元？ ( 2 )小明家人一起在五一期间出游，他买了薯片和饮料一共件，总价钱不超过元，那么最多能买多少袋薯片？ 3 .期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她 到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本本，乙种笔记本本，共花费元，已知购买一本甲种笔记本比购买一本乙种笔记本多花费元． ( 1 )求购买一本甲种、一本乙种笔记本各需多少元？ ( 2 )两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共本，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价元，乙种笔记本按上一次购买时售价的折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过元，求至多需要购买多少本甲种笔记本？ 4 . 某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 台 台 元 第二周 台 台 元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） ( 1 )求、两种型号的电风扇的销售单价． ( 2 )若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？ ( 3 )在（）的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润超过元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 5 .习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书．已知购买本甲种书和本乙种书共需元；购买本甲种书和本乙种书共需元． ( 1 )求甲，乙两种书的单价分别为多少元； ( 2 )若学校决定购买以上两种书共本，总费用不超过元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 6 .大连大樱桃久负盛名，李伯伯为了丰富自家大樱桃的品种，计划购买美早和黄水晶两个品种的树苗，经了解，棵美早树苗和棵黄水晶树苗共需元；棵美早树苗和棵黄水晶树苗共需元． ( 1 )求这两种树苗的单价各多少元？ ( 2 )为了错峰成熟，尽量达到供需平衡，李伯伯欲购买的美早树苗比黄水晶多棵，总费用不超过元，最多可以购买美早树苗多少棵？ 7 .某文具商店首次购进了甲、乙两种畅销笔记本．已知每个甲种笔记本的进价比每个乙种笔记本的进价多元，且购进个甲种笔记本比购进个乙种笔记本多花元． ( 1 )求本次购进甲、乙两种笔记本的进价分别是每个多少元？ ( 2 )为满足更多学生需求，该超市准备再次购进甲、乙两种笔记本共个，若购进这个笔记本的总金额不超过元，求最多购进多少个甲种笔记本？ 8 .振兴乡村，打造特色农产品，沙坪坝区中梁镇政府组织销售“诗意田园，中梁好物”特色农产品，两种礼盒，端午节前预售礼盒盒和礼盒盒，且预售中礼盒的售价是礼盒售价的倍． ( 1 )若预售总额不少于元，则每盒礼盒的预售价最少是多少元？ ( 2 )沙坪坝区中梁镇政府在端午节三天假期间计划推出礼盒盒，礼盒盒．由于预售的火爆，决定将礼盒的价格在（）中最低价格的基础上增加，而礼盒在（）中的售价上增加了元，结果礼盒的销售量比计划少，礼盒的销售量与计划保持一致，最终实际销售额与计划销售额相等，求的值． 9 .体育无处不在，运动无限精彩．随着天气转暖，户外活动人数逐渐增多．某体育用品店为了吸引顾客，准备在五一假期搞促销活动，对部分品牌篮球进行打折销售，其中甲品牌篮球打九折，乙品牌篮球打八折．已知打折前，买个甲品牌篮球和个乙品牌篮球共需元；打折后，买个甲品牌篮球和个乙品牌篮球共需元． ( 1 )打折前甲、乙两种品牌篮球每个分别为多少元？ ( 2 )某校需购买甲品牌篮球个，乙品牌篮球个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 10 .某校学期末欲在学期末对优秀学生和进步较大的学生进行奖励．购买件种奖品和件种奖品共需元，购买件种奖品和件种奖品共需元． ( 1 )求种奖品和种奖品的单价 ( 2 )该校准备购进这两种奖品共件，且总费用不超过元，求最多购买多少件种奖品. 11 .某小区积极创建环保示范社区，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，已知温馨提示牌的单价为每个元，垃圾箱的单价为每个元，共需购买温馨提示牌和垃圾箱共个. ( 1 )若规定温馨提示牌和垃圾箱的个数之比为，求所需的购买费用； ( 2 )若该小区至多安放个温馨提示牌，且费用不超过元，请列举所有购买方案，并说明理由. 12 .某学校七年级甲、乙两班为丰富学生的体育活动购买了一批足球和篮球，足球和篮球的价格不同，如图是两个班级购买的足球和篮球的数量及消费的金额． ( 1 )求每个足球和篮球的价格； ( 2 )若该校七年级丙班在同一商场购买了同种型号的足球个、篮球个，则该班共消费           元； ( 3 )若该校八年级在同一商店采购同种型号的足球和篮球共个，且他们的消费金额不少于元，则该校八年级至少购买了多少个足球？ 学科网（北京）股份有限公司 $$