第十一章不等式与不等式组——不等式组的梯度计价问题讲义　2024—2025学年人教版（2024）数学七年级下册

第十一章不等式与不等式组——不等式组的梯度计价问题人教版（2024）初中数学七年级下册

一、知识点回顾

1.1 梯度计价问题的基本模型
- 定义：根据用量或消费的不同范围，采用不同的单价计算总费用（如水费、电费、出租车计价）。
- 核心关系：
 

- 示例：
- 某市水费标准：每月用水量≤10吨，单价2元/吨；超过10吨部分，单价3元/吨。

1.2 不等式组的构建原则
1. 分段条件：根据用量范围拆分不同计价规则；
2. 费用约束：结合总费用限制或用量限制列出不等式组。

二、重难点讲解

2.1 从梯度计价问题中提取不等关系
- 关键步骤：
1. 确定分段点：如用水量10吨、出租车起步价3公里；
2. 分范围列式：
- 当用量时，总费用为；
- 当用量时，总费用为；

3. 根据题目限制（如“总费用不超过50元”）列不等式组。

示例分析：
“某市电费标准：前100度0.5元/度，超出部分0.8元/度。若小明家本月电费不超过80元，求用电量范围。”
建模：
 

解集：（单位：度）。

2.2 多段计价的综合处理
- 核心规则：
- 按分段点从小到大依次分析；
- 检验各范围的解是否满足该范围的用量条件。

示例：
出租车计价规则：起步价8元（含3公里），3-10公里每公里2元，超过10公里每公里3元。若乘车费用不超过30元，求乘车距离范围。
解析：
 

三、易错点与解题方法

3.1 常见易错点

1. 范围划分错误：
- 错误：将出租车计价范围写为和，忽略3公里的分段。
2. 费用计算遗漏：
- 错误：计算超出部分费用时未加上基础费用（如漏加起步价8元）。
3. 解集与范围条件矛盾：
- 错误：解出，但该解属于的范围，未验证是否满足。

3.2 解题技巧与方法
1. 分步建模法：
- 步骤：
1. 明确分段点和各范围单价；
2. 分范围计算费用表达式；
3. 根据总费用限制列不等式组；
4. 验证各范围的解是否满足用量条件。

示例：
“某书店会员购书优惠：前3本9折，第4本起8折。若买本书总费用不超过100元（原价15元/本），求最多可买多少本。”
解析：
 

2. 表格辅助法：
   • 用表格整理各范围计价规则。
     示例：