第十一章不等式与不等式组——不等式组的梯度计价问题讲义　2024—2025学年人教版（2024）数学七年级下册

第十一章不等式与不等式组——不等式组的梯度计价问题人教版（2024）初中数学七年级下册 一、知识点回顾 1.1 梯度计价问题的基本模型 - 定义：根据用量或消费的不同范围，采用不同的单价计算总费用（如水费、电费、出租车计价）。 - 核心关系： - 示例： - 某市水费标准：每月用水量≤10吨，单价2元/吨；超过10吨部分，单价3元/吨。 1.2 不等式组的构建原则 1. 分段条件：根据用量范围拆分不同计价规则； 2. 费用约束：结合总费用限制或用量限制列出不等式组。 二、重难点讲解 2.1 从梯度计价问题中提取不等关系 - 关键步骤： 1. 确定分段点：如用水量10吨、出租车起步价3公里； 2. 分范围列式： - 当用量时，总费用为； - 当用量时，总费用为； 3. 根据题目限制（如“总费用不超过50元”）列不等式组。 示例分析： “某市电费标准：前100度0.5元/度，超出部分0.8元/度。若小明家本月电费不超过80元，求用电量范围。” 建模： 解集：（单位：度）。 2.2 多段计价的综合处理 - 核心规则： - 按分段点从小到大依次分析； - 检验各范围的解是否满足该范围的用量条件。 示例： 出租车计价规则：起步价8元（含3公里），3-10公里每公里2元，超过10公里每公里3元。若乘车费用不超过30元，求乘车距离范围。 解析： 三、易错点与解题方法 3.1 常见易错点 1. 范围划分错误： - 错误：将出租车计价范围写为和，忽略3公里的分段。 2. 费用计算遗漏： - 错误：计算超出部分费用时未加上基础费用（如漏加起步价8元）。 3. 解集与范围条件矛盾： - 错误：解出，但该解属于的范围，未验证是否满足。 3.2 解题技巧与方法 1. 分步建模法： - 步骤： 1. 明确分段点和各范围单价； 2. 分范围计算费用表达式； 3. 根据总费用限制列不等式组； 4. 验证各范围的解是否满足用量条件。 示例： “某书店会员购书优惠：前3本9折，第4本起8折。若买本书总费用不超过100元（原价15元/本），求最多可买多少本。” 解析： 1. 表格辅助法： · 用表格整理各范围计价规则。 示例： 用量范围 单价（元/单位） 1. 边界值验证法： · 代入分段点值（如）验证费用是否一致。 一、 选择 1 .(单选)某县出租车收费标准为：起步价元（即行驶距离小于或等于千米时都需要付费元），超过千米以后每千米加收元（不足千米按千米计），小丽在该县城一次乘出租车出行时付费元，那么小丽所乘车路程最多是（   ）千米． A. B. C. D. 2 .(单选) 甲、乙两市出租车收费标准如表所示，某人分别在两市乘坐出租车各行驶千米（），若甲市的收费高于乙市，则满足（   ）． 起步价（元） 超过了千米后（元千米） 甲 乙 A. B. C. D. 3 .(单选) 某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 每户居民每月用电量（千瓦时） 电费价格（元千瓦时） 七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过元，则李叔家七月份最多可用电（   ）． A.千瓦时 B.千瓦时 C.千瓦时 D.千瓦时 4 .(单选)某种出租车的收费标准是:起步价元（即行驶距离不超过千米都需付元车费），超过千米以后，每增加千米，加收元（不足千米按千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费元，设此人从甲地到乙地经过的路程是千米，那么的最大值是（    ）． A. B. C. D. 5 .(单选)商店将标价为元的笔记本，采用如下方式进行促销：若购买不超过本，则按原价付款；若一次性购买本以上，则超过的部分打七折．小明有元钱，他购买笔记本的数量是（   ）． A.本 B.最少本 C.最多本 D.最多本 6 .(单选)某市打本市电话的收费标准是：每次分钟（含分钟）收费元，以后每分钟收费元（不足分钟按分钟计）．某天小芳同学打了一个分钟的市话，所用电话费为元；小刚准备给同学打本市电话分钟，他经过思考以后，决定先打分钟，挂断后再打分钟，这样只需要元．如果你想给某同学打市话，准备通话分钟，则你所需的电话费至少为（  ）元． A. B. C. D. 7 .(单选)某县出租车收费标准为：起步价元（即行驶距离小于或等于千米时都需要付费元），超过千米以后每千米加收元（不足千米按千米计），小丽在该县城一次乘出租车出行时付费元，那么小丽所乘车路程最多是（   ）千米． A. B. C. D. 8 .(单选)某市出租车的收费标准是：起步价元（即行驶距离不超过千米都需付元车费），超过千米以后，超过部分每千米收元（不足千米按千米计）．已知某人乘坐该市出租车行驶千米后，出租车费为元．若此人乘坐该市出租车行驶千米后，出租车费为元，则的取值范围是（   ）． A. B. C. D. 二、 填空 1 . 为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市出台了居民用水“阶梯价格”制度来引导市民节约用水，下表是用水价格的标准： 一户居民每月用水量米 水费价格（元米） 一档 不超过米 二档 超过米的部分 已知该市某户居民今年月份用水米，缴纳水费元；月份用水米，缴纳水费元． ( 1 )求出表格中，的值：          ，          ． ( 2 )月份是用水高峰期，该户居民计划月份水费支出不超过元，那么该户居民月份最多可用水           米． 2 .某超市在元旦节期间推出如下优惠方案： （1）一次性购物不超过元不享受优惠． （2）一次性购物超过元但不超过元优惠． （3）一次性购物超过元一律优惠． 市民王波在元旦期间两次购物分别付款元和元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款           ． 3 . 某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 月用电量 电费价格元 七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过元，则李叔家七月份最多可用电           ． 4 . 某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 月用电量/（） 电费价格/ [元/（）] 七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过元，则李叔家七月份最多可用电           ． 5 . 某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 日用电量 电费价格/[元] 七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过元，则李叔家七月份最多可用电           ． 6 .从地向地打长途电话，通话时间不超过收费元，超过后每分钟加收元．有元钱时，打一次电话最多可以通话           分钟．（结果取整数，不足的通话时间按计费．） 7 . 某日刘师傅驾驶一辆小型车到某防疫站打疫苗，上午到达，在路边的电子收费停车区域内停车，其收费标准如下表： 白天（） 夜间（（不含）次日（不含）） 首小时内 首小时后 小型车：元小时 大型车：元小时 小型车：元分钟 大型车：元分钟 小型车：元分钟 大型车：元分钟 说明：不足一个计时单位不收取费用． ( 1 )如果刘师傅离开，那么应缴费           元． ( 2 )如果刘师傅离开时缴费元，那么停车的时长可能是           分钟．（写出一个即可） 三、 解答 1 . 有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元） 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） ( 1 )若张老师选用套餐，月份主叫时间分钟，则他月份的通话费用为           元． ( 2 )若王老师选择套餐，李老师选择套餐，月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师月份的主叫时间． ( 3 )设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 2 . 根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从年月日起对居民生活用电试行新的“阶梯电价”收费，具体收费标准如表： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过千瓦时的部分 超过千瓦时，但不超过千瓦时的部分 超过千瓦时的部分 年月份，该市居民甲用电千瓦时，交费元；居民乙用电千瓦时，交费元． ( 1 )求上表中、的值． ( 2 )试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元？ 3 .甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过元后，超出元的部分按收费：在乙商场累计购物超过元后，超出元的部分按收费．回答下列问题： ( 1 )①若你在甲商场累计购物元，实际付款金额元，写出关于的函数关系式． ②若你在乙商场累计购物元，实际付款金额元，写出关于的函数关系式． ( 2 )当你在同一商场累计购物超过元时，在哪家商场的实际花费少？ 4 . “十一”期间，小聪跟爸爸一起去市旅游，出发前小聪从网上了解到市出租车收费标准如下： 行程（千米） 千米以内 满千米但不超过千米的部分 千米以上的部分 收费标准（元） 元 元/千米 元/千米 ( 1 )若甲、乙两地相距千米，乘出租车从甲地到乙地需要付款多少元？ ( 2 )小聪和爸爸从火车站乘出租车到旅馆，下车时计费表显示元，请你帮小聪算一算从火车站到旅馆的距离有多远？ ( 3 )小聪的妈妈乘飞机来到市，小聪和爸爸从旅馆乘出租车到机场去接妈妈，到达机场时计费表显示元，接完妈妈，立即沿原路返回旅馆（接人时间忽略不计），请帮小聪算一下乘原车返回和换乘另外的出租车，哪种更便宜？ 5 . 根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定对居民生活用电实施“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过千瓦时的部分 超过千瓦时，但不超过千瓦时的部分 超过千瓦时的部分 实施“阶梯电价”收费以后，该市居民陈先生家积极响应号召节约用电，月用电千瓦时，交电费元． ( 1 )          ． ( 2 )陈先生家月用电千瓦时，应交费多少元？ ( 3 )若陈先生家月份与月份的电费相差元，求陈先生家月份用电量是多少． 6 . 为了鼓励居民节约用水，我市某地水费按下表规定收取： 每户每月用水量 不超过吨（含吨） 超过吨的部分 水费单价 元吨 元吨 ( 1 )若小明家月份付水费不少于元，问他家月份用水至少多少吨？ ( 2 )若小华家、月份共用吨水（其中月份用水多于月份）共收水费元（水费按月结算），则小华家月、月各用水多少吨？ ( 3 )已知某住宅区户居民月份交水费共元，且该月每户用水量均不超过吨（含吨），问该月用水量不超过吨的用户最多可能有多少户？ 7 .（列方程（组）及不等式解应用题） 水是人类生命之源，为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策，若居民每户每月用水量不超过立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费（现行居民生活用水水价基本水价污水处理费）；若每户每月用水量超过立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价，每立方米污水处理费不变．甲用户月份用水立方米，缴水费元；乙用户月份用水立方米，缴水费元．（注：污水处理的立方数实际生活用水的立方数） ( 1 )求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？ ( 2 )如果某用户月份生活用水水费计划不超过元，该用户月份最多可用水多少立方米？ 8 . 为缓解油价上涨给出租车行业带来的成本压力，某市自年月日起，调整出租车运价，调整方案见下列表格及图象（其中，，为常数）． 行驶路程 收费标准 调价前 调价后 不超过的部分 起步价元 起步价元 超过不超出的部分 每千米元 每千米元 超出的部分 每千米元 设行驶路程时，调价前的运价（元），调价后的运价为（元），如图，折线表示与之间的关系式，线段表示当时，与的函数关系式，根据图表信息，完成下列各题： ( 1 )填空：          ，          ，          ． ( 2 )写出当时，与的关系． ( 3 )设行驶路程时，对于乘客来说调价前的运价（元），调价后的运价为（元）哪个更合算，为什么？ 9 . 为鼓励居民节约用电，某市采用价格调控手段达到省电目的．该市电费收费标准如下表（按月结算）： 每月用电量度 电价（元/度） 不超过度的部分 元度 超过度且不超过度的部分 元度 超过度的部分 元度 ( 1 )某居民月份用电量为度，请问该居民月应缴交电费多少元？ ( 2 )设某月的用电量为度，试写出不同用电量区间应缴交的电费． 10 .年月日，南京地铁新的价格方案正式实施，实行消费累计进行优惠，普通成人每月持卡乘坐地铁，当消费累计金额不超过元时，每次乘坐地铁的票价打折，当消费累计金额超过元时，达到规定的消费累计金额后的乘次，票价所打折扣如下所示： 小明上、下班每次乘坐的地铁单程票价为元，年月份他上、下班持卡共乘坐了次． 消费累计金额元 折扣 折 折 折 ( 1 ) 填表： 第次 第次 第次 第次 第次 消费累计金额（元） ( 2 )小明当月第几次乘车后，消费累计金额超过元？（用一元一次不等式解决问题）． ( 3 )小明月份上、下班持卡乘坐地铁的消费累计金额为           元． 11 .用纸在某誊印社复印文件，复印页数不超过页时，每页收费元；超过页时，超过的部分每页收费元．在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少每页收费元. ( 1 )当复印多少页时，到誊印社复印和图书馆复印价格相同？ ( 2 )如何根据复印的页数选择复印的地点，使总价格比较便宜？ 12 . 根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从年月日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元千瓦时） 不超过千瓦时 超过千瓦时但不超过千瓦时的部分 超过千瓦时的部分 年月份，该市居民甲用电千瓦时，交电费元；居民乙用电千瓦时，交电费元．该市一户居民在年月以后，某月用电千瓦时，当月交电费元． ( 1 )上表中，          ；          ． ( 2 )请分别写出当，和时，与之间的关系式． ( 3 )试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时时，其当月的平均电价每千瓦时为元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$