第十一章不等式与不等式组——不等式组的分配问题讲义　2024—2025学年人教版（2024）数学七年级下册

第十一章不等式与不等式组——不等式组的分配问题人教版（2024）初中数学七年级下册 一、知识点回顾 1.1 分配问题的基本模型 - 核心场景：将有限资源（物品、任务、时间等）分配给不同对象，需满足多个约束条件。 - 关键变量： - 分配对象数量（如人数、组数）； - 资源总量（如物品总数、总时间）。 - 基本关系： 1.2 不等式组的构建原则 1. 约束条件分类： - 下限约束（如“每人至少分3本”）→； - 上限约束（如“每组不超过5人”）→。 2. 常见问题类型： - 资源分配（如书本、奖品）； - 任务分配（如小组任务时间）。 二、重难点讲解 2.1 从实际问题到不等式组的转化 - 关键步骤： 1. 设未知数：明确分配对象与资源的关系（如设每人分本书，共人）； 2. 提取约束条件： - 总量限制：； - 个体限制：或； 3. 综合为不等式组。 示例分析： “将50本书分给学生，每人至少3本，最多5本，且书全部分完。求学生人数的可能范围。” 建模： 解集： 2.2 整数解的实际意义 - 核心规则：分配问题中人数、物品数必须为非负整数，需筛选解集中的整数解。 - 示例：若解集为，则实际解为。 三、易错点与解题方法 3.1 常见易错点 1. 符号方向错误： - 错误：将“每人至少分2本”写为（正确应为）。 2. 忽略总量限制： - 错误：仅考虑个体约束（如每人分3本），未检查总量是否足够（）。 3. 未筛选整数解： - 错误：解集为，直接写，漏解。 3.2 解题技巧与方法 1. 分步建模法： - 步骤： 1. 设未知数并标注单位（如人数，物品数）； 2. 根据每个约束独立列不等式； 3. 解不等式组并筛选整数解。 示例： “用若干辆载重5吨的卡车运送40吨货物，每辆卡车至少运3吨，且卡车数量不超过10辆。求卡车数量的可能值。” 解析： 解不等式组： 1. 表格整理法： · 用表格梳理约束条件，避免遗漏。 示例： 条件描述 数学表达式 每辆卡车至少运3吨 总货物40吨 卡车数量≤10辆 1. 端点验证法： · 验证解集边界的合理性（如是否满足）。 一、 选择 1 .(单选)把一些书分给若干名同学，若           ；若每人分本，则不够，依题意，设有名同学，列不等式．则根线上的信息可以是（   ）． A.每人分本，则可多分个人 B.每人分本，则剩余本 C.每人分本，则剩余本 D.其中一个人分本，则其他同学每人可分本 2 .(单选)曹老师有一包糖果，若分给个学生，则每个学生分颗，还剩颗（）；若分给个学生，则每个学生分颗，还剩颗，则的值是（   ）． A. B. C. D. 3 .(单选)植树节期间，某校开展校园植树的劳动实践活动，学校计划购买杨树和松树两种树苗共棵，杨树苗每棵元，松树苗每棵元．若计划购买树苗的总费用不超过元，则最多可以购买松树苗（   ）． A.棵 B.棵 C.棵 D.棵 4 .(单选)把一些书分给若干名同学，若           ；若每人分本，则不够，依题意，设有名同学，列不等式．则根线上的信息可以是（   ）． A.每人分本，则可多分个人 B.每人分本，则剩余本 C.每人分本，则剩余本 D.其中一个人分本，则其他同学每人可分本 5 .(单选)把若干支笔分给一些学生，如果每人分支，那么余支；如果每人分支，那么最后一名学生分到的笔少于支，则学生至少有（   ）． A.人 B.人 C.人 D.人 6 .(单选)若干名学生分宿舍，每间人余人，每间人，其中一间不空也不满，则宿舍有（    ）间，学生有（    ）人． A., B., C., D., 7 .(单选)现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，则有一间宿舍不空也不满，若设宿舍间数为，则可以列得不等式组为（   ）． A. B. C. D. 8 .(单选)把一些书分给几名同学，若每人分本，则有剩余，若           ．依题意，设有名同学，可列不等式，则横线上的信息可以是（   ）． A.每人分本，则剩余本 B.每人分本，则剩余的书可多分给个人 C.每人分本，则剩余本 D.其中一个人分本，则其他同学每人可分本 二、 填空 1 .一个人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚元，三人间每晚元（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付元）． ( 1 )若该旅游团一晚的住宿费为元，则他们租住了           间一人间． ( 2 )若该旅游团租住了间一人间，且共有名男士，则租住一晚的住宿费最少为           元． 2 .金秋十月，丹桂飘香，某中学迎来了首届知行创新科技大赛，八年级某班共有人报名参加航海组、航空组和无人机组三个项目组的比赛（每人限参加一项），其中航海组的同学比无人机组的同学的两倍少人，航空组的同学不少于人但不超过人，班级决定为航海组的每位同学购买个航海模型，为航空组的每位同学购买个航空模型，为无人机组的每位同学购买若干个无人机模型，已知航海模型元/个，航空模型元/个，无人机模型元/个，若购买这三种模型共需花费元，则其中购买无人机模型的费用是           ． 3 . 某校初三年级共有个班级的名学生需要进行体检，各班学生人数如下表所示： 班级 班 班 班 班 班 班 班 班 人数 若已经有个班级的学生完成了体检，且已经完成体检的男生、女生的人数之比为，则还没有体检的班级可能是           ． 4 .将一箱书分给学生，若每名学生分本书，则还剩本书；若每名学生分本书，则最后一名学生虽然分到了书，但是数量不足本，则学生人数为           ． 5 .某运输队接到运送物资的任务，该运输队有、两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为型卡车次，型卡车次，且辆型卡车和辆型卡车每天可运送物资吨，辆型卡车和辆型卡车每天可运送物资吨． ( 1 )、型卡车每次可运送物资各           、           吨． ( 2 )若该运输队派出、型卡车共辆，需每天至少运送物资吨，则型卡车最多派出           辆． 6 .为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县、两类某方面薄弱的学校进行改造．根据预算，共需资金万元，改造一所类学校和两所类学校共需资金万元；改造两所类学校和一所类学校共需资金万元． ( 1 )改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是           、           万元． ( 2 )根据我市教育局的规划，计划对该县、两类学校进行改造，要求改造的类学校的数量比类学校数量的倍多所，在计划投入资金不超过万元的条件下，至多能改造           所类学校． 7 .为了加强学生的交通意识，保证学生的交通安全，某附中和交警大队联合举行了“交通志愿者”活动，选派部分同学和家长志愿者到学校东门和南门的若干个交通路口协助警察维持交通秩序，若每个路口安排人，那么每个路口安排完后还剩下人，若每个路口安排人，那么每个路口安排完后还剩下人数不足人，若每个路口安排人，只有最后一个路口不足人，则这个中学一共选派的同学和家长志愿者的总人数为           ． 8 .某宾馆一楼房间比二楼房间少间，一旅游团有人，若全部安排在一楼，每间住人，房间不够，每间住人，有房间没住满．若全部安排在二楼，每间住人，房间不够，每间住人，则有房间没住满．问宾馆一楼的房间有           间． 三、 解答 1 .今有浓度为、、的甲、乙、丙三种盐水分别为克、克、克，现要配制浓度为的盐水克．甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？ 2 .某校高一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无房住；若每间住人，则有一间不空也不满．已知住宿生少于人，则该校高一新生中住宿生人数为多少? 3 .某校七年级春游，现有座和座两种客车供选择租用，若只租用座客车若干辆，则正好坐满；若只租用座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过人．已知座客车每辆租金元，座客车每辆租金元． ( 1 )若只租用座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ ( 2 )请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 4 .有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐人，如果减少一条船，正好每条船坐人，这个班共           名同学． 5 .“倡导垃圾分类，共享绿色生活”为响应垃圾分类号召，滨湖世纪社区计划在某小区内新建、两类垃圾站，占用绿地面积分别为和，已知座类垃圾站和座类垃圾站日处理垃圾能力为吨，座类垃圾站和座类垃圾站日处理垃圾能力为吨． ( 1 )填空：座类垃圾站日处理垃圾能力是           吨；座类垃圾站日处理垃圾能力是           吨． ( 2 )该小区计划投入使用座两类垃圾处理站，使每日处理垃圾能力不低于吨，则共有哪几种设计方案? 6 .某水产市场，需要把海鲜产品运送全国各地，若用辆甲车和辆乙车一次性可运送吨，若用4䢂甲车和辆乙车一次性可运送吨． ( 1 )求每辆甲车和每辆乙车一次可以分别运输多少吨海鲜产品． ( 2 )为了保证海鲜的鲜活度，及时把产品运送到销售地，该市场负责人计划用辆甲乙两种车同时运送，若运送的海鲜产品不少于吨． ① 至少需要用几辆甲车？ ② 已知每辆甲车运送一次费用为元，每辆乙车运送一次费用为元，且总费用不多于元，求哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 7 . 某校决定组织学生开展校外拓展活动，若每位老师带个学生，还剩个学生没人带；若每位老师带个学生，就有一位老师少带个学生．现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．学校计划此次拓展活动的租车总费用不超过元，为了安全，每辆客车上至少要有名老师． 客车 甲种 乙种 载客量（人辆） 租金（元辆） ( 1 )参加此次拓展活动的老师有多少人？参加此次拓展活动的学生有多少人？ ( 2 )既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有名老师，可知租用客车总数为多少辆． ( 3 )你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． 8 .列一元一次不等式解应用题 明珠学校团委组织  名学生去农博园参观，决定租用 、 两种型号的旅游车．已知一辆型车可坐  人，一辆型车可坐  人，经测算学校需要租用这两种型号的旅游车共  辆．学校至少要租用  型车多少辆？ 9 .为了美化环境，张老师组织班级部分同学在操场植树，班级购买了若干树苗，若每人植棵，还剩棵，若每人植棵，最后一人有树植，但不足棵，这批树苗共有多少棵？ 10 . 把一些书分给几个学生，如果每人分本，那么余本；如果前面的每个学生分本，那么最后一人就分不到本，这些书有多少本？学生有多少人？ 11 .年月，第五届未来学校年会在重庆市徐悲鸿中学隆重召开．当时，我校计划将学习大厦的学习中心全部进行改造，改造为未来艺术创意中心和未来科技孵化中心．根据预算，共需资金万元，其中，改造一间艺术创意中心和两间未来科技孵化中心共需资金万元；改造两间艺术创意中心和一间未来科技孵化中心共需资金万元． ( 1 )改造一间艺术创意中心学校和一间未来科技孵化中心所需的资金分别是多少万元？ ( 2 )若我校的艺术创意中心有且不超过间，则未来科技孵化中心有多少间？ 12 .某校组织夏令营活动，现有座和座两种客车供选择租用，若只租用座客车若干辆，则刚好坐满；若只租用座客车，则能少租一辆，而且还有一辆没有坐满，但超过人，问： ( 1 )该校有多少人参加夏令营活动？ ( 2 )已知座客车每辆租金元，座客车每辆租金元，请你帮该校设计一种最省钱得租车方案． 学科网（北京）股份有限公司 $$