第十一章不等式与不等式组——不等式组的和差倍分问题讲义　2024—2025学年人教版（2024）数学七年级下册

第十一章不等式与不等式组——不等式组的和差倍分问题人教版（2024）初中数学七年级下册 一、知识点回顾 1.1 和差倍分问题的基本关系 1. 和差关系： - 已知两个量的和或差，表示未知量。 - 示例：若甲、乙两数之和为，甲比乙大，则设乙为，甲为，得方程。 1. 倍数关系： · 已知某量是另一量的若干倍，表示未知量。 · 示例：甲的年龄是乙的倍，设乙的年龄为，则甲为。 1.2 不等式组在和差倍分问题中的应用 1. 问题类型： - 限定量的范围（如“甲数至少是乙数的3倍”）； - 综合和差与倍数关系（如“两数之和不超过100，且甲数比乙数多至少20”）。 2. 建模步骤： - 设未知数（如甲、乙的数量）； - 根据题目中的“和”“差”“倍”“分”关系列不等式组； - 求解并验证解的合理性（如数量需为非负整数）。 二、重难点讲解 2.1 从语言描述中提取不等关系 - 关键步骤： 1. 识别关键词： - “至少” →； - “不超过” →； - “是…的几倍” → 倍数表达式。 2. 综合关系式：将和差与倍数关系结合为不等式组。 示例分析： “甲数比乙数的2倍多5，且两数之和小于50，乙数至少为10。求乙数的可能取值。” 建模： 2.2 整数解的处理 - 核心规则：实际问题中数量常为整数，需从解集中筛选整数解。 - 示例：解集为，则整数解为。 三、易错点与解题方法 3.1 常见易错点 1. 单位混淆： - 错误：将“甲比乙多5元”误写为（若乙单位为“万元”，甲需同步单位）。 2. 倍数关系方向错误： - 错误：甲是乙的3倍，误写为（正确应为）。 3. 忽略实际限制： - 错误：解集为，但实际问题中表示人数，未排除负数解。 3.2 解题技巧与方法 1. 分步建模法： - 步骤： 1. 设较小量为变量（如设乙为）； 2. 用和差倍分关系表示其他量； 3. 根据条件列不等式组。 1. 表格辅助法： · 用表格整理已知量与未知量的关系，避免遗漏条件。 示例： 项目 甲数 乙数 关系式 限制 1. 语言转换口诀： · “和差用加减，倍数乘除算，限定找不等，整数解莫忘”。 一、 选择 1 .(单选)小明借到一本有页的图书，要在天之内读完，开始天每天只读页，那么以后几天里每天至少要读多少页？设以后几天里每天要读页，所列不等式为（   ）． A. B. C. D. 2 .(单选)我国从年月日起在公众场所实行“禁烟”．为配合“禁烟”行动，今年月某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有道题．每题答对得分，答错或不答都扣分．小明参加本次竞赛的得分要超过分，他至少要答对（   ）道题． A. B. C. D. 3 .(单选)某校学生志愿者服务小组在“奉献爱心”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人，如果分给每位老人盒牛奶，那么剩下盒牛奶；如果分给每位老人盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足盒，但至少盒，则这个敬老院的老人最少有（  ） A.人 B.人 C.人 D.人 4 .(单选)已知，，，都是整数，且，，，，那么的最大值是（  ）． A. B. C. D. 5 .(单选)小颖准备用元钱买笔和笔记本，已知每支笔元，每个笔记本元，她买了个笔记本，则她最多还可以买笔（   ）． A.支 B.支 C.支 D.支 6 .(单选)已知三个连续正整数的和小于，则这样的数共有（   ）． A.组 B.组 C.组 D.组 7 .(单选)某校举行知识竞赛，共有道抢答题，答对一题得分，答错或不答扣分，要使总得分不少于分，则至少应该答对几道题？若设答对道题，可得式子为（   ）． A. B. C. D. 8 .(单选)三个连续正整数之和小于，这样的正整数有（   ）． A.组 B.组 C.组 D.组 二、 填空 1 .已知三角形的内角和为，三角形的三个内角分别为，，，且，，则的取值范围是           ． 2 .有一个两位数，其个位数字比十位数字大，且这个两位数大于且小于，那么这个两位数是           ． 3 .月日，重庆一中某校区综合实践活动如期举行，开幕式时，初一年级和初二年级的部分同学表演了啦啦操，该队列要求每排所站人数相等．原计划每排站人，但多出名同学；如果比计划少站排，则所有同学恰好能平均分到各排．已知每排最多站人，则参加啦啦操表演的同学共有           人． 4 .已知购买件商品和件商品共需元，购买件商品和件商品共需元．若某商店需购买商品的件数比购买商品的件数的倍少件，且商店购买的、两种商品的总费用不超过元，则购买商品的件数最多为           件． 5 .为了节省空间，家里的饭碗一般是按如图所示摆起来存放的，如果只饭碗（注：饭碗的大小形状都一样，下同）摆起来的高度为，只饭碗摆起来的高度为，李老师家的碗橱每格的高度为，则李老师一摞碗最多只能放           只． 6 .某城市有一百万户居民，每户用水量定额为月平均吨．由于，，月天热，每户每月多用水吨．为了不超过全年用水定额，则全年的其他月份每户的用水量应控制在每月平均           吨之内．如果每户每天节约用水千克，则全市一年（按天计）节约的水量约占全年用水定额的           （保留三位有效数字）． 7 .一次数学测试中，某一个学习小组有人，其中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人，用计算器计算这个小组的平均成绩是           分．（结果精确到） 8 .一张试卷共道题，做对一题得分，做错或不做均扣分，小明做了全部试题，若要成绩优秀（注：成绩在分及以上为优秀），则小明至少要做对           道题． 三、 解答 1 .为庆祝伟大的中国共产党成立周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有道题，满分分，每一题答对得分，答错扣分，不答得分． ( 1 )若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为分，则该参赛同学一共答对了多少道题？ ( 2 )若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？ 2 .为拓宽销售渠道，某水果商店计划将个柚子和个橙子装入大、小两种礼箱进行出售，其中每件小礼箱装个柚子和个橙子；每件大礼箱装个柚子和个橙子．要求每件礼箱都装满，柚子恰好全部装完，橙子有剩余，设小礼箱的数量为件． ( 1 )大礼箱的数量为           件(用含的代数式表示)． ( 2 )若橙子剩余个，则需要大、小两种礼箱共多少件? ( 3 )由于橙子有剩余，则小礼箱至少需要           件． 3 .年月，为了应对武汉发生的新型冠状病毒疫情，国家卫健委及相关单位在武汉建立了方舱医院，某方舱医院的具体信息如下： ．方舱医院由四部分组成，分别是废弃物处理单元、病房单元、技术保障单元、医疗功能单元； ．整个方舱医院占地面积为平方米； ．废弃物处理单元面积为总占地面积的； ．病房单元占地面积是技术保障单元占地面积的倍； ．病房单元与医疗功能单元面积的和不高于总占地面积的． 求医疗功能单元的最大面积． 4 .小明参加学校举办的法律知识竞赛，共有道题，规定答对一道题得分，答错一道题扣分，不答得分，只有得分超过分才能获奖，小明有道题没答，问小明至少答对多少道题才能获奖？ 5 .某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球，若购买个足球和个篮球共需元，购买个足球和个篮球共需元． ( 1 )求购买一个足球、一个篮球各需多少元？ ( 2 )根据该中学的实际情况，需从体育用品商店一次性购买足球和篮球共个，要求购买足球和篮球的总费用不超过元．这所中学最多可以购买多少个篮球？ 6 .有一群猴子，一天结伴去偷桃子，在分桃子时，如果每只猴子分了个，那么还剩个；如果每只猴子分个，都能分得桃子，剩下一只猴子分得的桃子不够个，求有几只猴子，几个桃子？ 7 . 一次智力测验，共设道选择题，评分标准为：对题得分，答错或不答题扣分．下表记录了名参赛学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分 甲 乙 ( 1 )若参赛学生小亮只答对了道选择题，则小亮的得分是多少？ ( 2 )参赛学生至少要答           道题，总分才不会低于分． 8 . 有甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．下表是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 套（含套） 套（含套） 套及以上 每套服装的价格 元 元 元 经调查：两个乐团共人（甲乐团人数不少于人)，如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费元．请回答以下问题： ( 1 )如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？ ( 2 )甲、乙两个乐团各有多少名学生？ ( 3 )现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人（要求从每个乐团抽调的人数不少于人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”．甲乐团每位成员负责位小朋友，乙乐团每位成员负责位小朋友，这样恰好使得福利院位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由． 9 .小明有元和角两种硬币共枚，这些硬币的总币值小于元． ( 1 )根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的不等式如下： 甲：           乙：           根据甲、乙两名同学所列的不等式，请你分别指出未知数表示的意义，然后在横线上补全甲、乙两名同学所列的不等式： 甲：表示            乙：表示            ( 2 )求小明可能有几枚角的硬币．（写出完整的解答过程） 10 .把一些练习本分给几名同学，如果每人分本，那么多出本；如果每人分本，那么其中有一人分得到练习本，但所得不足本．求这些练习本有多少本？共有多少名学生？ 11 .一木盒中装有红、白、蓝三种颜色的球，已知蓝球数至少是白球数的一半，至多是红球数的，且白球数与蓝球数的和至少是，问：盒中至少有多少个红球？ 12 .某学校为了庆祝国庆节，准备购买一批盆花布置校园．已知盆种花和盆种花共需元，盆种花和盆种花共需元． ( 1 )求盆种花和盆种花的售价各是多少元？ ( 2 )学校准备购进这两种盆花共盆，并且种盆花的数量不超过种盆花数量的倍，请求出种盆花的数量最多是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$