第十一章不等式与不等式组——不等式组的工程问题讲义　2024—2025学年人教版（2024）数学七年级下册

第十一章不等式与不等式组——不等式组的工程问题人教版（2024）初中数学七年级下册 一、知识点回顾 1.1 工程问题的基本关系 - 核心公式： - 变形式： - 常见表述： - “甲队单独完成需10天” → 甲队效率为（将总工作量视为1）； - “两队合作” → 效率相加。 1.2 不等式组在工程问题中的应用 1. 问题类型： - 限定完成时间（如“至少提前2天完成”）； - 资源分配约束（如“合作时甲队工作时间不超过乙队”）。 2. 建模步骤： - 设未知数（如时间、效率）； - 根据题目条件列出一元一次不等式组； - 求解并验证解的合理性（如时间需为正数）。 二、重难点讲解 2.1 从工程问题中提取不等关系 - 关键步骤： 1. 确定比较对象：如两队效率、合作与单独工作时间； 2. 转化关键词： - “至少需要” →； - “不能超过” →。 3. 单位统一：时间单位需一致（如天、小时）。 示例分析： “一项工程，甲队单独完成需12天，乙队单独完成需15天。若两队合作后，要求总时间不超过7天，求甲队最多工作几天？” 建模： 2.2 解集的公共部分与合理性验证 - 核心规则： 1. 分别解每个不等式，求交集； 2. 排除不符合实际的解（如时间负数）。 三、易错点与解题方法 3.1 常见易错点 1. 单位混淆： - 错误：将“甲队效率”误写为（正确应为）。 2. 忽略合作效率： - 错误：合作时未将两队效率相加（如）。 3. 解集边界错误： - 错误：将“至少提前2天”建模为（正确应为）。 3.2 解题技巧与方法 1. 分步建模法： - 步骤： 1. 将总工作量设为1，表示效率为分数； 2. 根据条件独立列不等式； 3. 解不等式组并取整数解（若涉及天数）。 示例： “一项工程，甲队单独做需8天，乙队单独做需12天。现两队合作，且甲队工作时间比乙队少至少2天，求最少需要几天完成。” 解析： 1. 验证法： · 将解代入原问题检验合理性。 示例： · 若解得，验证： 1. 效率转换口诀： · “单独效率倒数求，合作效率相加凑”： · 例：甲队单独需天 → 效率。 一、 选择 1 .(单选)某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ）． A. B. C. D. 2 .(单选)某市近两年环保工作卓有成效，全年空气质量重度污染天数从年的天降到年的天．按照这样的降低率，该市全年空气质量重度污染天数首次不超过天的年份是（   ）． A.年 B.年 C.年 D.年 3 .(单选)某市近两年环保工作卓有成效，全年空气质量重度污染天数从年的天降到年的天．按照这样的降低速度，该市全年空气质量重度污染天数首次不超过天的年份是（   ）． A.年 B.年 C.年 D.年 4 .(单选)年月，教育部正式印发《义务教育课程方案（年版）》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来．某学校组织七年级学生到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ）． A. B. C. D. 5 .(单选)年月，教育部正式印发义务教育课程方案（年版）》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来．某学校组织七年级学生到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ）． A. B. C. D. 6 .(单选)年月，教育部正式印发《义务教育课程方案(2022年版)》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来．某学校组织七年级学生到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ）． A. B. C. D. 7 .(单选)某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ）． A. B. C. D. 8 .(单选)某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天生产的汽车多辆，现在天的产量就超过了原来天的产量．若设原来每天能生产辆汽车，则关于的不等式为（   ）． A. B. C. D. 二、 填空 1 .某工程队计划在天内修路．现计划发生变化，准备天完成修路任务，那么这天平均每天至少要修路多少？设这天平均每天要修路，依题意得一元一次不等式为：         ． 2 .某工人计划在天里加工个零件，最初三天中每天加工个，以后每天至少加工           个零件才能在规定的时间内超额完成任务． 3 . 某工程机械厂根据市场需求，计划生产、两种型号的大型挖掘机共台，该厂所筹生产资金不少于万元，但不超过万元，且所筹资金全部用于生产此两型挖掘机，所生产的此两型挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表: 型号 成本（万元/台） 售价（万元/台） 该厂对这两型挖掘机有           种生产方案？ 4 .某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天生产的汽车多辆，那么现在天的产量就超过了原来天的产量，请写出原来每天生产汽车辆应满足的不等式为           ． 5 .某工人计划在天里加工个零件，最初三天中每天加工个，设以后每天至少要加工个零件，才能在规定的时间内超额完成任务．请列出符合题意的不等式           . 6 .某单位的清洁工每周都要工作天休息天，而每周从周一至周日，每天都至少有名清洁工打扫卫生，那么这个单位至少需要聘请           名清洁工． 7 .某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天生产的汽车多辆，那么现在天的产量就超过了原来天的产量，请写出原来每天生产汽车辆应满足的不等式                                                          ． 8 .某项工程，乙工程队单独完成任务的时间是甲工程队的倍，若甲工程队先做天，则乙工程队只需再单独做天就能恰好完成任务．现甲，乙工程队共同承包此工程，若甲工程队先做天后，由乙工程队接替，乙工程队再做天恰好完成，其中，是正整数，则完成此工程共耗时           天． 三、 解答 1 .校园景观升级工程，若由甲工程队单独完成所需天数是由乙工程队单独完成所需天数的倍；若甲工程队单独做天后，再由乙工程队单独做天，恰好完成该工程的，甲、乙工程队每天的施工费用分别为万元和万元． ( 1 )单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？（列方程解应用题） ( 2 )若甲工程队先做天后有事离场，再由乙工程队完成余下工程，若要完成全部工程的施工费用不超过万元，且乙工程队的施工天数大于天，求的值．（天数为整数） 2 .一个工程队原定在天内至少要挖土立方米，在前两天一共完成了立方米，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务．以后天内平均每天至少要挖土多少立方米？ 3 .某工厂生产线上有、两种机器人组装同一种玩具，每小时一台种机器人比一台种机器人多组装个，每小时台种机器人和台种机器人共组装个． ( 1 )求每小时一台种机器人、一台种机器人分别能组装多少个玩具？ ( 2 )因市场销售火爆，销售商决定向该工厂追加订单，该工厂随即对、两种机器人进行技术升级．升级工作全面完成后，种机器人每小时组装的玩具数量增加，种机器人每小时组装的玩具数量增加．已知升级改造后，投入生产的种机器人的台数比种机器人台数的倍还多台，且、两种机器人每小时组装的玩具数量之和不低于个，那么该工厂最少应安排多少台种机器人投入生产？ 4 .列不等式解应用题：某车间有名工人，每人每天可加工甲种零件个或乙种零件个，在这名工人中，派一部分人加工甲种零件，其余人加工乙种零件．已知每加工一个甲种零件获利元，每加工一个乙种零件可获利元．若要使车间每天获利不低于元，问至少要派多少人加工乙种零件？ 5 .新冠肺炎疫情期间，某口罩厂为了满足疫情防控需求，决定拨款万元购进、两种型号的口罩机共台．两种型号口罩机的单价和工作效率如表． ( 1 )求购进、两种型号的口罩机各多少台． ( 2 )现有万只口罩的生产任务，计划安排口罩机共台同时进行生产．若工人每天工作，若要在天内完成任务，则至少安排种型号的口罩机多少台． 6 .某工人加工个零件，若每小时加工个就可按时完成；但他加工小时后，因事停工分钟，那么这个工人为了按时或提前完成任务，后面的时间每小时他至少要加工多少个零件？ 7 . 新冠肺炎疫情期间，某口罩厂为生产更多的口罩满足疫情防控需求，决定拨款万元购进，两种型号的口罩机共台．两种型号口罩机的单价和工作效率分别如表： 单价/万元 工作效率/（只） 种型号 种型号 ( 1 )求购进，两种型号的口罩机各多少台． ( 2 )现有万只口罩的生产任务，计划安排新购进的口罩机共台进行生产．若工厂的工人每天工作，则至少需要种型号的口罩机多少台才能在天内完成任务？ 8 .年以来，新冠肺炎疫情肆虐全球，感染人数不断攀升，口罩瞬间成为需求最为迫切的防疫物资．为了缓解供需矛盾，在中央的号召下，许多企业纷纷跨界转行生产口罩．某工厂接到订单任务，要求用天时间生产型和型两种型号口罩，共不少于万只，其中型口罩的只数不少于型口罩．该厂的生产能力是：每天只能生产一种口罩，如果天生产型口罩，天生产型口罩，一共可以生产万只；如果天生产型口罩，天生产型口罩，一共可以生产万只．已知生产一只型口罩可获利元，生产一只型口罩可获利元． ( 1 )试求出该厂的生产能力，即每天能生产型口罩或者型口罩各多少万只？ ( 2 )要确保完成任务，该厂应如何分配生产型和型口罩的天数，有几种方案？ ( 3 )在完成任务的前提下，应该怎样安排生产型和型口罩的天数，才能使获得的总利润最大，最大利润是多少万元？ 9 .某环保协会购买了甲、乙两种树苗共棵，其中甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元，据相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和． ( 1 )若购买甲、乙两种树苗共用去了元，则购买甲、乙两种树苗各多少棵？ ( 2 )若要使这批树苗的成活率不低于，则至多可购买甲种树苗多少棵？ 10 .市煤气公司准备给某新建小区的用户安装管道煤气，现有用户提出了安装申请，此外每天还有新的用户提出申请．假设煤气公司每个安装小组每天安装的数量相同，且每天申请安装的用户数也相同，若煤气公司安排个安装小组同时做，则天就可以装完所有新、旧用户的申请；若煤气公司安排个安装小组同时做，则天可以装完所有新旧用户的申请． ( 1 )求每天新申请安装的用户数及每个安装小组每天安装的数量． ( 2 )如果要求在天内安装完所有新、旧用户的申请，但前天煤气公司只能派出个安装小组安装，那么最后几天至少需要增加多少个安装小组同时安装，才能完成任务? 11 .某车间有个小组计划在天内生产件产品（每天每个小组生产量相同），按原先的生产速度，不能完成任务，如果每个小组每天比原先多生产件产品，就能提前完成任务，请问每个小组原先每天生产多少件产品．（结果取整数） 12 .某工程公司承建了一段公路的施工工程，这个工程的施工土方量为万立方米，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工天恰好完成，由于特殊情况，公司临时抽调甲队去别处施工，只能由乙队先单独施工天后甲队返回，两队再共同施工天，经过计算，这样甲、乙两队只能完成万立方米的土方量． ( 1 )问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方米？ ( 2 )在现在的情况下，要想保证在天内完成任务，公司在施工开始前就为乙队新配备一批机械和人员来提高乙队的效率，那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方米才能保证按时完成任务？（结果精确到立方米） 学科网（北京）股份有限公司 $$