6.2 平行四边形的判定 第3课时　课件　2024—2025学年北师大版数学八年级下册

第六章 平行四边形 6.2 平行四边形的判定 第3课时 平行线之间的距离及平行四边形判定方法的选择 在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？与同伴交流. 情景导入 如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度． 经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等(从图中也可以看到这一点)． 猜想：平行线间距离处处相等. 探究1 平行线之间的距离 探究新知 如图，直线a//b，A,B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C,D.求证：AC=BD. 证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD， 理论证明 a b A B C D ∴∠1=∠2=90°. ∴AC∥BD. ∴AB∥CD， ∴四边形ACDB是平行四边形. ∴AC=BD. 1 2 如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等(如图：AC=BD),这个距离称为平行线之间的距离. (简记为：两条平行线间的距离处处相等）. 知识归纳 A B 思考：两条平行线之间的距离与点和点之间的距离、点到线之间的距离有何区别与联系？ a b A B 点到直线的距离只有一条，即过直线外点作直线的垂线段的长度；而平行线的距离有无数条即一直线任一点都可以得到一条两平行直线的距离. 例1 如图，直线AE//BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为 . A B C D E 分析：根据平行线之间的距离处处相等. 解析：设高为h,则S△ABD= ·BD·h=16,h=4, 所以S △ACE= ·AE·h= ×5 ×4=10. 10 例 题 思考：若垂线段改为夹在两条线段间的平行线段呢？它们是否相等呢？ 由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”易知其围成的封闭图形为平行四边形，再由平行四边形性质易知夹在两条平行线间的平行线段相等. 例2 已知，如图，在平行四边形ABCD中，BN=DM，BE=DF．求证：四边形MENF是平行四边形. 证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠MDF=∠NBE． ∵DM=BN，DF=BE， ∴△MDF≌△NBE(SAS). ∴MF=NE，∠MFD=∠NEB． ∴四边形MENF是平行四边形. ∴∠MFE=∠NEF ∴FM∥EN． 例 题 A B C D E F 证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形， ∴AD EF，EF BC. ∴AD BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. // = // = // = 问题 四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证四边形ABCD 是平行四边形. 提示:要由其中的一个或多个平行四边形，得出四边形中边角的条件，判定其他四边形也是平行四边形 探究2 平行四边形判定方法的选择 探究新知 例3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 B 例 题 【解析】由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以，故选B． 例4 如图，在 ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE． 求证：AF=CE． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABE=∠CDF． 又∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF， 例 题 在△ABE和△CDF中， ∠ABE＝∠CDF， ∠AEB＝∠CFD， AB＝CD ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）． ∴AE=CF， ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF=CE． 知识点1　两条平行线之间的距离 1.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G， 则下列说法错误的是（　D　） A. AB＝CD B. CE＝FG C. A，B两点间的距离就是线段AB的长度 D. l2与l1之间的距离就是线段CD的长度 D 随堂练习 2.如图，直线l1∥l2，若△ABC的面积为10，则△DBC的面积（　C　） A. 大于10 B. 小于10 C. 等于10 D. 不能确定 第2题图 C 3.如图，在▱ABCD中，AD＝12，AC＝26，∠ADB＝90°，则AD 与BC之间的距离为（　B　） A. 5 B. 10 C. 2 D. 26 第3题图 B 4.如图，直线a∥b，点A，B分别在直线a，b上，∠1＝45°.若点 C在直线b上，∠BAC＝105°，且直线a和b之间的距离为3，则线段 AC的长度为 ⁠. 6　 5.在同一平面内，已知直线a，b，c相互平行，直线a与b之间的距 离是4 cm，直线b与c之间的距离是6 cm，那么直线a与c之间的距离 是 ⁠. 2 cm或10 cm　 A. AD＝BC B. AB∥DC C. AB＝DC D. ∠A＝∠C 知识点2　平行四边形判定方法的选择 6.如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　C　） C 7.（开放性试题）如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，连 接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF，请你添加一个条件 （不需再添加任何线段或字母），使四边形ABCD是平行四边形.你添 加的条件是 ⁠. ∠F＝∠CDE（答案不唯一）　 8.在一次课题学习中，老师让同学们合作编题.某学习小组受“赵爽 弦图”的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将▱ABCD 的四条边DA，AB，BC，CD分别延长至点E，F，G，H，使得AE ＝CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE. 求证：四边形EFGH是 平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠BCD＝∠BAD，∴∠HCG＝∠EAF. ∵DH＝BF，∴DH＋CD＝BF＋AB，即CH＝AF. 又∵CG＝AE，∴△HCG≌△FAE， ∴EF＝GH. 同理可得，EH＝GF. ∴四边形EFGH是平行四边形. 9.（教材P149习题T5变式）如图，在7×7的方格纸中，每个小方格 都是边长为1的小正方形，方格线的交点称为格点.已知A，B是方格纸 中的两个格点，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点 C的个数是（　C　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 C 10.在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点 N，M，使四边形ANCM是平行四边形.如图，有甲、乙、丙三种方 案，其中正确的方案有（　A　） A. 甲、乙、丙 B. 甲、乙 C. 甲、丙 D. 乙、丙 A 11.如图，P是▱ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD， 得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA. 设它们的面积分别是S1，S2， S3，S4，给出下列结论：①S1＋S3＝S2＋S4；②若 S3＝2S1，则S2＝ 2S4；③若S1＋S3＝5，则四边形ABCD的面积为10；④S1＋S2＝S3＋S4. 其中正确的是 .（填序号） ①③　 12.如图，BD是▱ABCD的对角线，过点A，C分别作AE⊥BD于点 E，CF⊥BD于点F. （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠ADE＝∠CBF. ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF，∠AED＝∠CFB＝90°， ∴△ADE≌△CBF，∴AE＝CF. 又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形. （2）若AD＝13，AE＝12，AB＝20，则点C到边AB的距离为 ⁠. 　 13.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，E是 BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF. （1）求证：AE＝CE； 解：（1）证明：∵E是BD的中点，∴BE＝DE. ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CBE. ∵∠AED＝∠CEB， ∴△ADE≌△CBE，∴AE＝CE. （2）求证：四边形ABDF是平行四边形； （2）证明：∵AE＝CE，BE＝DE， ∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD. ∵DF＝CD，∴DF＝AB. 又∵DF∥AB，∴四边形ABDF是平行四边形. （3）若AB＝4，AF＝8，∠F＝30°，求四边形ABCF的面积. （3）如图，过点D作DG⊥AF于点G，过点C作CH⊥BD于点H. ∵四边形ABDF是平行四边形，AB＝4，AF＝8， ∴CD＝AB＝DF＝4，BD＝AF＝8，BD∥AF. ∵∠F＝30°，∴∠BDC＝∠F＝30°. 在Rt△DFG中，DG＝ DF＝ ×4＝2； 在Rt△DCH中，CH＝ CD＝ ×4＝2. ∴S四边形ABCF＝S▱ABDF＋S△BCD＝DG·AF＋ BD·CH＝2×8＋ ×8×2 ＝24. EQ \F(1,2) EQ \F(1,2) EQ \F(1,2) $$