6.2 平行四边形的判定 第2课时课件2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第六章 平行四边形 6.2 平行四边形的判定 第2课时 利用对角线判定平行四边形 1．平行四边形的判定定理1是如何陈述的？ 2．平行四边形的判定定理2是如何陈述的？ 3．若想证明一个四边形是平行四边形，你已经学过了哪些方法？ 4．平行四边形的对角线有什么性质？ 复习导入 一、问题导入 师用多媒体展示问题． 师生活动：师提出问题后，由学生独立思考，师选学生回答． 这节课，我们从四边形的对角线入手，来继续探索平行四边形的判定方法． 设计意图：教师提出问题，由学生独立思考，为新课的展开进行铺垫． 2 1．现两根长度不等的细木条，你能否适当的摆放这两根细木条，使得连接四个顶点所得到的四边形是平行四边形吗？试一试． 结论：如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，四边形ABCD是平行四边形． A D C B O 探究新知 二、探究新知 师生活动：师给各组提供活动所需木条，由学生在组内动手操作，相互交流讨论，独立得出结论，师选各组代表回答． 3 2．你能证明你所摆出的四边形是平行四边形吗？ 已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． O D C B A 探究新知 师生活动：师引导学生写出待证问题的已知和求证，并尝试作出辅助图形．让学生分组讨论证明过程后，选取学生代表板演． 4 证明：在△AOB和△COD中． ∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB≌△COD， ∴∠OAB＝∠OCD， ∴AB//CD． 同理可证AD//CB． ∴四边形ABCD是平行四边形． O D C B A 探究新知 5 3．以上活动事实，你能用文字语言表达吗？ 结论：平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 归纳新知 师生活动：学生分组讨论后尝试归纳判定定理，师选学生代表回答． 设计意图：通过探究问题，让学生在自主解决问题的过程中，通过操作、观察、交流、归纳等方法自主得到平行四边形的判定定理3，加深学生对判定定理的理解． 6 例1 如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形． A D C B E F 例 题 三、例题精讲 分析：连结BD，交AC点O，由于OB＝OD，因此用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明四边形BFDE是平行四边形最为恰当，根据题意只需证明OE＝OF． 7 证明：连结BD，交AC于点O． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC． 又∵AE＝CF， ∴OA－AE＝OC－CF， 即OE＝OF， ∴四边形BFDE是平行四边形． A D C B E F O 8 例2 如图，□AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D． 求证：四边形ABCD是平行四边形． F D C A B E O 例 题 分析：利用平行四边形的性质，证明△FDO≌△EBO，得出OD＝OB，再利用平行四边形的判定定理3证明结论． 9 证明：∵四边形AECF是平行四边形， ∴OE＝OF，OA＝OC，AE//CF． ∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO． ∴△FDO≌△EBO． ∴OD＝OB． 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形． F D C A B E O 设计意图：通过两个例题加深学生对平行四边形判定定理1、2的理解和应用，提高学生利用判定定理证明问题的能力． 10 判定四边形是平行四边形的方法： （1）利用边 ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （2）利用对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 课堂小结 七、课堂小结 11 知识点　对角线互相平分的四边形是平行四边形 1.在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件一定能 判定四边形ABCD为平行四边形的是（　B　） A. AD∥BC，AB＝CD B. AO＝OC，BO＝OD C. AD＝CB，AB∥CD D. ∠A＝∠B，∠C＝∠D B 随堂练习 2.小玲在做平行四边形框架时，采用如下方法：将两根木条AC， BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形.这种做 法的依据是 ⁠. 对角线互相平分的四边形是平行四边形　 3.如图，已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O. 若AC＝ 10，BD＝6，则当AO＝ ，DO＝ 时，四边形ABCD是平行 四边形. 5　 3　 4.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是 OB，OD的中点.求证：四边形AECF是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO. ∵E，F分别是OB，OD的中点， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形. 5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝ CO，∠ABD＝∠CDB. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵∠ABD＝∠CDB， ∠AOB＝∠COD，AO＝CO， ∴△ABO≌△CDO，∴BO＝DO. 又∵AO＝CO， ∴四边形ABCD是平行四边形. 6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，添加下列条件后仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是（　A　） A. AB＝CD B. AB∥CD C. OB＝OD D. ∠ADB＝∠CBD A 7.已知△ABC（如图1），按图2、图3所示的尺规作图痕迹，不需借 助三角形全等就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（　B　） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B 8.如图，在四边形ABCD中，AD＝12，对角线AC，BD交于点O， ∠ADB＝90°，OD＝OB＝5，AC＝26，则四边形ABCD的面积 为 ⁠. 120　 9.（教材P145习题T3变式）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交 于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，且AF＝CE，BH＝ DG. 求证：GF∥EH. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. 又∵AF＝CE，∴AF－OA＝CE－OC，即OF＝OE. 同理可得OG＝OH， ∴四边形EGFH是平行四边形，∴GF∥EH. 10.如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，EF过点O，分别交 AD，CB的延长线于点E，F，连接CE，AF. （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO. ∵O为AC的中点，∴OA＝OC. ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF. 又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形. （2）若AC平分∠BAE，AB＝6，AE＝8，求BF的长. （2）∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠EAC. ∵AD∥BC，∴∠EAC＝∠ACB， ∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝BC＝6. ∵四边形AFCE是平行四边形，∴CF＝AE＝8， ∴BF＝CF－BC＝8－6＝2. 11.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F为BD 上的两点，连接AE，AF，CE，CF. [问题探究] （1）若BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC. ∵BE＝DF，∴OB－BE＝OD－DF， 即OE＝OF. 又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形. [拓展提升] （2）如果点E，F分别在DB和BD的延长线上，且满足BE＝DF，那 么（1）中的结论还成立吗？请说明理由. （2）成立.理由如下： ∵BE＝DF，OB＝OD， ∴BE＋OB＝DF＋OD，即OE＝OF. 又∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形. [变式应用] （3）如果AE∥CF，求证：四边形AECF是平行四边形. （3）证明：∵AE∥CF，∴∠AEO＝∠CFO. ∵∠AOE＝∠COF，OA＝OC， ∴△AOE≌△COF， ∴OE＝OF. 又∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形. $$