6.2 平行四边形的判定 第1课时　课件 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第六章 平行四边形 6.2 平行四边形的判定 第1课时 利用边判定平行四边形 我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的两组对边分别平行，且是一个中心对称图形，具有如下一些性质： 1．两组对边分别相等； 2．两组对角分别相等； 3．两条对角线互相平分． 复习导入 一、情境导入 2 那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的定义加以判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 那么是否还存在其他的判定方法呢 本节课我们就来研究这个问题． 设计意图：通过回忆平行四边的有关性质，引出如何判定平行四边形的问题，为新课的展开进行了铺垫． 3 （一）平行四边形的判定定理1 思考 1．由平行四边形的性质“平行四边形的两组对边分别相等”，逆向思考，互换条件与结论，试写出它的逆命题．你认为它是一个真命题吗？ 探究新知 二、探究学习 师生活动：教学中，组织学生自主探索，逆向思考，对逆命题的真假作出猜想． 4 结论：   条件 结论 平行四边形的两组对边分别相等 四边形是平行四边形 两组对边分别相等 逆命题 两组对边分别相等 四边形是平行四边形 猜想逆命题是真命题． 5 试一试 2．你能作一个两组对边分别相等的四边形吗？你发现了什么结论？把你作的四边形和其他同学作的进行比较，看看是否都能得到相同的结论． 探究新知 师生活动：师引导学生根据教材中的作图步骤，独立完成作图过程．在作图过程中，师要注意提醒学生，取得半径要确保画出的弧有交点．作图后，让学生观察所作的四边形是否为平行四边形，并与其他同学交流，达成共识． 6 结论：作图步骤： （1）任取两点B、D； （2）分别以点B和点D为圆心、任意长为半径，分别在线段BD的两侧画弧； （3）再分别以点B和点D为圆心、适当长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点A和点C； （4）顺次连结各点，即得两组对边分别相等的四边形ABCD． D A B C 探究新知 7 所作的四边形是平行四边形． 通过作图步骤可知，尽管每个人取的边长不一样，但只要对边分别相等，所作的就都是平行四边形． 归纳：平行四边形的判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． D A B C 探究新知 8 3．你能用演绎推理的方法证明问题2中发现的结论吗？试一试． 已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA． D A B C 求证：四边形ABCD是平行四边形． 探究新知 师生活动：师引导学生写出待证问题的已知和求证，并尝试作出辅助图形．让学生分组讨论证明过程后，选取学生代表板演． 分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，现在只有平行四边形的定义这一种方法，即必须证明AB∥CD，AD∥CB，因此需要连结对角线构造内错角． 9 证明：连接BD． 在△ABD和△CDB中． ∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB． ∴△ABD≌△CDB． ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∴AD//CB，AB//CD． ∴四边形ABCD是平行四边形． D A B C 1 4 3 2 探究新知 10 （二）平行四边形的判定定理2 思考 4．如果只知道四边形的一组对边相等，显然这一条件还不足以保证它是一个平行四边形．从边的角度看，把你认为需要再增加的条件填在下面的空框内： 结论：添加条件“这组对边平行”，得到猜想“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”． 平行四边形 Þ + 一组对边相等 探究新知 师生活动：此处前提是“一组对边”，现知道“相等”，启发学生自主思考，在增加什么条件，可以使四边形为平行四边形． 11 试一试 5．试着作一个有一组对边平行且相等的四边形，观察你所画的图形，你能得到什么结论？与同学交流． 结论：作图步骤： （1）任意画两条平行线m、n； （2）在直线m、n上分别截取AB、CD，使AB＝CD； D C B A n m 12 D C B A n m 试一试 5．试着作一个有一组对边平行且相等的四边形，观察你所画的图形，你能得到什么结论？与同学交流． 结论：作图步骤： （3）分别连结点B、C和点A、D，即得到一组对边平行且相等的四边形． 所作的四边形是平行四边形． 师生活动：师引导学生根据教材中的作图步骤，独立完成作图过程．作图后，让学生观察所作的四边形是否为平行四边形，并与其他同学交流，达成共识． 13 平行四边形的判定定理2：一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形． 知识归纳 14 6．你能用演绎推理的方法证明问题5中发现的结论吗？试一试． 已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD且AB＝CD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． D C B A 师生活动：师引导学生写出待证问题的已知和求证，并尝试作出辅助图形．让学生分组讨论证明过程后，选取学生代表板演． 分析：要证明四边形是平行四边形，可以用平行四边形的定义，也可以用前面得到的平行四边形的判定定理1． 15 证明：连结对角线AC． 在△ABC和△CDA中， ∵AB//CD， ∴∠1＝∠2． 又∵AB＝CD，AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA． ∴BC＝DA． ∴四边形ABCD是平行四边形． D C B A 1 2 设计意图：通过探究问题，让学生在自主解决问题的过程中，通过操作、观察、交流、归纳等方法自主得到平行四边形的两个判定定理，加深学生对判定定理的理解． 16 例1 在□ABCD中，点E、F分别在对边BC和DA上，且AF＝CE． 求证四边形AECF是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//CB， 即AF//CE． 又∵AF＝CE． ∴四边形AECF为平行四边形． A F D C E B 例 题 三、例题精讲 分析：我们已经有了三种判定平行四边形的方法，根据已知条件有AF＝CE，若运用现在刚刚得到的判定定理2，则只需证明AF∥CE． 17 例2 如图，四边形ABCD中，AD//BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF． 求证：四边形ABCD是平行四边形． A D B C E F 例 题 分析：由AE⊥AD，CF⊥BC可得∠EAD＝∠FCB＝90°．再由AAS可得△EAD≌△FCB．从而得到AD＝CB．再由平行四边形的判定方法可得四边形ABCD是平行四边形． 设计意图：通过两个例题加深学生对平行四边形判定定理1、2的理解和应用，提高学生利用判定定理证明问题的能力． 18 证明：∵AD//BC， ∴∠ADB＝∠CBD． ∵AE⊥AD，CF⊥BC， ∴∠EAD＝∠FCB＝90°． ∵AE＝CF， ∴△EAD≌△FCB． ∴AD＝CB． ∵AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． A D B C E F 19 利用边判定四边形是平行四边形的方法： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 课堂小结 五、课堂小结 设计意图：通过小结，使学生对本节课的内容有一个整体的认识和理解，从而能更有效地去学习． 20 知识点1　两组对边分别相等的四边形是平行四边形 1.（链接教材）如图，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，当CD ＝ ，AD＝ 时，四边形ABCD是平行四边形. 第1题图 5　 8　 随堂练习 2.如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以 点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接 CD，BC，则四边形ABCD是 ，理由是 ⁠ ⁠. 第2题图 平行四边形　 两组对边分别 相等的四边形是平行四边形　 3.如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC. 求证：四边形 ABCD是平行四边形. 证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°. ∵在Rt△ABD和Rt△CDB中， AD＝CB，BD＝DB， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB，∴AB＝CD. 又∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形. 知识点2　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4.如图，已知四边形ABCD，下面是嘉淇不完整的推理过程： ∵∠A＋∠D＝180°，∴AB∥CD. ∵（ 　　　　），∴四边形ABCD是平行四边形. 小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列正确 的是（　B　） B A. ∠B＋∠C＝180° B. AB＝CD C. ∠A＝∠B D. AD＝BC 5.（教材P142随堂练习T1变式）如图，将△ABC向右平移4个单位长 度，得到△DEF，连接AD，BE，CF，则图中有 个平行四边形. 3　 6.（2024·渭南潼关期末）如图，点E，F均在四边形ABDC的对角 线BC上，连接AE，DF. 若 AE＝DF，AB∥CD，∠AEB＝∠DFC. 求证：四边形ABDC是平行四边形. 证明：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠DCF. 在△ABE和△DCF中，​ ∴△ABE≌△DCF（AAS）， ∴AB＝CD. ∵AB∥CD， ∴四边形ABDC是平行四边形. 7.（2024·西安校级模拟）如图，△ABC与△DEF的边BC，EF在同 一条直线上，AB∥DE，AC∥DF且BE＝CF. 求证：四边形ABED是 平行四边形. 证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝EC＋CF， 即BC＝EF. ∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠B＝∠DEF，∠ACE＝∠F， ∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB＝DE. ∵AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形. 8.如图，E是▱ABCD的边AD的延长线上一点，连接BE交CD于点F，连接CE，BD. 添加以下条件，仍不能判定四边形BCED为平行四边形的是（　D　） A. ∠ABD＝∠DCE B. ∠AEC＝∠CBD C. EF＝BF D. AB＝DB 第8题图 D 9.如图，两条宽为4的长方形纸条交叉摆放，若∠ABC＝45°，则重 叠部分四边形ABCD的面积为 ⁠. 第9题图 16 　 10.如图，在平面直角坐标系中，已知A（－3，0），B（3，0），C （0，4），在平面内找一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 ⁠ ⁠. （6，4）或（－6，4）或（0，－ 4） 11.（2024·湖南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边 AB上， ⁠. 请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一 组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： ①（或②）　 解：（1）选择①，证明如下： ∵∠B＝∠AED，∴BC∥DE. ∵AB∥CD， ∴四边形BCDE为平行四边形. （或选择②，证明如下： ∵AE＝BE，AE＝CD，∴BE＝CD. ∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形.） （1）求证：四边形BCDE为平行四边形； （2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长. （2）由（1）可知，四边形BCDE为平行四边形， ∴DE＝BC＝10. ∵AD⊥AB，∴∠A＝90°， ∴AE＝ ＝ ＝6， 即线段AE的长为6. 12.如图，在▱ABCD中，M，N两点分别从点D到点A、点B到点 C运动，且速度相同；E，F两点分别从点A到点B、点C到点D运动， 且速度相同.M，N两点之间和E，F两点之间分别用橡皮筋连接. 解：（1）没有出发时，这两根橡皮筋互相平分.理由如下： 如图1，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD，即EF与MN互相平分. 　　 （1）没有出发时，这两根橡皮筋存在怎样的关系？ （2）若同时出发，这两根橡皮筋还存在（1）中的关系吗？为什么？ （2）若同时出发，这两根橡皮筋还存在（1）中的关系.理由如下： 如图2，连接EN，NF，FM，ME. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AD＝BC. 由题意，得AE＝CF，DM＝BN， ∴AD－DM＝BC－BN，即AM＝CN， ∴△AEM≌△CFN，∴EM＝FN. 同理可得EN＝FM， ∴四边形ENFM是平行四边形， ∴EF与MN互相平分. $$